向量自回归(VAR)模型与其他依赖外生变量的联立方程模型有着显著的区别。该模型的特点在于，其所有变量均通过它们自身的历史数据、其他内生变量的过去值，以及随机误差项来进行解释。为了深入探究国际黄金、原油与天然气价格指数之间的内在联系，本研究选择了VAR模型作为分析工具。值得一提的是，VAR模型在构建时并不严格依赖于特定的经济理论，这为其在选择解释变量时提供了灵活性。这种灵活性和可扩展性使得我们能够更全面地揭示变量之间的动态关系，从而提高研究结果的准确性和可信度。通过运用VAR模型，我们可以更深入地理解国际能源价格之间的相互作用机制，为相关决策和政策制定提供坚实的理论基础。VAR(p)模型的一般数学表达式可以描述为：

$Y_t=C+{\Theta }_1{Y}_{t-1}+\cdots +{\Theta }_p{Y}_{t-p}+{\epsilon }_t$(1)

其中， $E\left({\epsilon }_t\right)=0，E\left({\epsilon }_t{{\epsilon }^{\prime }}_t\right)=\{\begin{array}{c}\Omega \left(t=\tau \right)\\ 0\left(t\ne \tau \right)\end{array}$，并且不同时刻 ${\epsilon }_t$相互独立分布，服从正态分布则该式为p-阶向量自回归模型，满足该模型的随机过程为p-阶向量自回归过程，记为VAR(p)。

本研究采用了世界黄金协会每日公布的黄金价格数据，并从中选取每月第一天的数据作为月度代表，标记为GOLDP。该协会是黄金行业的领军组织，致力于提升黄金市场的透明度和发展。其提供的黄金数据经过严格验证，具备高度的权威性和专业性。同时，原油和天然气的数据则来源于国际货币基金组织(IMF)公布的世界原油和天然气名义现货价格指数，分别命名为OILP和GASP。这些月度数据详细且全面，为分析提供了高精度的时间轴参考。数据以2016年为基准，便于我们按月对比价格变动。在编制该指数时，综合了Dated Brent、West Texas Intermediate (WTI)和Dubai Fateh等多种关键原油价格，同时考虑了欧洲、日本和美国的天然气价格，确保了数据的广泛性和全面性。这些名义现货价格为进口国提供了实时的市场参考，以指导其决策。鉴于2008年全球金融危机对多个领域产生的深远影响，本研究特意从2009年开始收集数据，以避免该特殊时期的干扰。研究样本涵盖了2009年1月至2023年12月的数据，共计15年，180个观测值。为了提升数据的稳定性和可靠性，我们对OILP、GASP和GOLDP三个时间序列进行了对数转换。这种转换不会改变数据的内在关系，但能有效地缩小变量的尺度，使数据更加平稳 [12] 。此外，对数处理还有助于减轻模型中的共线性和异方差性问题。经过这样的处理，我们最终得到了LNOILP、LNGASP和LNGOLDP三个序列。

图4 及 图5 分别为2009年1月~2023年12月的原油和天然气的名义现货价格指数变化及黄金价格变化。从 图4 及 图5 中可以看出，期间黄金价格与原油和天然气的价格指数走势近似，在2009年1月至2019年12月期间原油与天然气的价格趋势接近，黄金价格与原油价格走势接近。但2020年开始三者走势出现分离，主要原因为近些年例如新冠疫情、全球经济面临巨大下行风险以及俄乌冲突等边缘政治问题突出导致。但是从长期来看，三者之间的趋势还是近似的。进一步对2009年1月~2023年12月及2009年1月~2019年12月、2020年1月~2023年12月分别进行协整分析。

我们首先构建黄金价格、原油及天然气的价格指数的协整方程，构建的长期均衡方程：

$\text{LNGOLDP}+{\alpha }_1\text{LNOILP}+{\alpha }_2\text{LNGASP}+{\beta }_1={\epsilon }_1$(2)

其中 ${\alpha }_i$为协整系数， ${\beta }_1$为常数项， ${\epsilon }_1$为残差项， $\text{LNGASP}$代表天然气价格指数， $\text{LNOILP}$代表原油价格指数， $\text{LNGOLDP}$代表黄金价格。

首先我们先对2009年1月至2023年12月国际原油、天然气价格指数及黄金进行协整分析，探求自金融危机后至2023年12月三种大宗商品之间的长期协整关系。

对LNGASP、LNOILP、LNGOLDP三个时间序列通过ADF单位根方法进行平稳性检验，由 表1 可以看出，首先，LNGASP、LNOILP和LNGOLDP的ADF值在5%、1%置信度对应的临界值均大于各自对应的ADF值，切其ADF值对应的P值均大于0.05，故LNGASP、LNOILP、LNGOLDP三个时间序列均存在单位根，这说明三者在5%与1%置信度水平下均是非平稳的，需进一步进行一阶差分。其次，对三个时间序列进行差分，分别得到DLNGASP、DLNOILP、DLNGOLDP三个一阶差分序列，再对差分后的序列进行检验，发现在5%与1%的临界值水平下均小于ADF值，且P值均小于0.05，所以DLNGOLDP、DLNOILP、DLNGASP三个序列均是一阶单整的，故可以对原序列进行协整分析。

1) VAR模型最优滞后阶数选择

注：LogL为对数似然函数；LR为似然统计量；FPE为最终预测误差信息准则；AIC为赤池信息准则；HQIC为汉南奎因信息准则；SBIC为施瓦茨斯信息准则；^*为该信息准则下的最优选择。

如 表2 所示，*为根据LR，FPE以及AIC准则，我们选取的最优滞后阶数为2。

2) Johansen协整检验

对原油、天然气价格指数和黄金价格序列进行协整检验，由于EG两步法仅适用于2个变量之间的关系，故本文的协整检验将采用Johansen极大似然法。

如 表3 Johansen测试的结果显示了不同协整关系个数的统计量和对应的5%临界值，在rank为0时，迹统计量远大于5%的临界值，因此拒绝原假设不存在协整关系，当rank为1时，迹统计量13.9113小于5%的临界值15.41，因此不能拒绝存在一个协整关系的原假设，认为存在至少一个协整关系。最后，^*号标注了选择的协整关系个数为1。因此确定三者之间存在协整关系。

通过协整检验证明了变量序列间在较长时间内的关系是否处于平稳状态，构建向量误差修正模型能够探究黄金价格、原油及天然气价格指数在长期均衡关系下，各变量的短期偏移对黄金价格的影响。协整方程结果如 表4 所示：

beta表示的是协整方程的系数估计值。具体来说，lngoldp、lnoilp和lngasp分别表示黄金价格、原油和天然气价格指数的系数估计值。_ce1表示的是常数项的系数估计值。

根据 表4 所展示的协整方程结果，黄金价格(lngoldp)、石油价格(lnoilp)和天然气价格(lngasp)之间存在一种长期的均衡关系。黄金价格的自然对数与石油价格的自然对数成正比，与天然气价格的自然对数成反比。更具体地说，当石油价格的自然对数上升1单位时，黄金价格的自然对数将上升约314.5682单位；而当天然气价格的自然对数上升1单位时，黄金价格的自然对数将下降约183.3508单位。此外，常数项(_cons)的估计值为−669.3327。由此得到LNGOLDP、LNOILP和LNGASP和长期均衡关系的协整方程：

$\text{LNGOLDP}=-314.5682\ast \text{LNOILP}+183.3508\ast \text{LNCOALP}+669.3327$(3)

进一步通过AR根检验来确保VECM模型的稳定性。 图6 所示的为AR根单位圆下的模型稳定性检测，可以看出模型特征根的倒数均在单位圆内，说明构建的VECM模型是稳定的。因此，自2009年1月至2023年12月，国际黄金、原油和天然气价格指数存在长期协整关系。

经过对2009年1月至2023年12月的国际黄金、原油和天然气价格指数数据的深入研究，我们发现黄金、原油与天然气之间存在长期的协整关系。然而，从2020年3月开始，受到新冠疫情、以及正在进行的俄乌战争对欧盟和全球的能源市场产生了严重影响 [13] ，这三者的价格走势出现了分离。为了更准确地评估这些事件对国际黄金、原油及天然气市场关系的影响，我们对这些事件发生前的2009年1月~2020年2月时间段进行进一步的协整分析。

对2009年1月~2020年2月的黄金价格、原油及天然气价格指数进行平稳性检验，LNGASP1、LNOILP1、LNGOLDP1分别表示2009年1月~2020年2月期间的黄金、原油、天然气的价格。由 表5 可以看出，LNGOLDP1、LNOILP1和LNGASP1的ADF值在5%、1%置信度对应的临界值均大于各自对应的ADF值且其ADF值对应的P值均大于0.05，故这三个时间序列存在单位根，说明LNGOLDP1、LNOILP1、LNGASP1和在5%与1%两个置信度水平下均是非平稳的。对三个序列进行一阶差分后发现差分后的序列DLNGOLDP1、DLNOILP1和DLNGASP1在1%的显著水平下均是平稳的，所以三者均是一阶单整序列，故可以三者原序列进行协整分析。

1) VAR模型最优滞后阶数选择

如 表6 所示，根据LR，FPE以及AIC准则，我们选取的最优滞后阶数为1。

*号标注了模型协整关系个数为0。

2) Johansen 协整检验

采用Johansen极大似然法来进行协整检验：

*号标注了模型协整关系个数为0。

如 表7 Johansen测试的结果显示了不同协整关系个数的迹统计量和对应的5%显著水平下的临界值。结果显示，rank为0的迹统计量小于5%显著水平下的临界值，因此不能拒绝不存在协整关系的原假设，因此三者之间在2009年1月至2020年3月间不存在协整关系。