说到函数的连续性，让我们想到曾今学习过的一则寓言故事——《揠苗助长》，这个故事告诉我们，干任何事情都要遵循客观规律，不要急于求成，否则会事与愿违，造成“欲速则不达”的后果。讲解的过程中视频播放动画故事，提出“问题1”，引出本节课的主题——函数的连续性问题。

问题1：为什么农夫在短时间内发现不了禾苗的生长呢？

函数连续性的几何直观：反映曲线“连着”或“不断开”，如 图2 。

让学生从几何图形上直观感知函数的连续性，通过图形引导学生从极限的角度思考函数在一点处的连续性问题，同时提出“问题2”。

问题2：函数连续性用数学语言如何定义呢？

给出以柯西为代表的数学家对函数连续性做出的严格数学定义，并讲解课程发展中重要数学家们的人生经历，激励学生学习科学家的奋斗精神。

定义：设函数 $y=f\left(x\right)$在点 $x_0$的某一邻域内有定义，如果

$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right),$

那么就称函数 $y=f\left(x\right)$在点 $x_0$连续。

在连续函数定义的基础上引导学生积极思考探究，分组讨论“问题3”，并让小组同学选代表将最终讨论结果展示分享，此阶段将学生的注意力集中在探究过程、结果展示、结果分析上，充分给学生提供表露他们对概念理解的机会，让学生尝试用他们自己的理解表述对概念的认知，增强学生自信心，实现课堂学生的中心地位。同时，老师对学生的展示结果及时给出评价与鼓励，鼓励方式是分享者不但可以为自己争取到平时成绩，也可以为自己小组的每位成员争取到平时成绩；相反，连续三次没有分享结果的小组每位成员将扣除一定的平时成绩，即施行“一荣俱荣，一损俱损”的激励方式，这样可以培养学生的团队意识及大局意识，充分调动课堂氛围，增强学习主动性。

问题3：通过几何图像和连续性定义，同学们能否发现函数在一点连续需要满足的条件？

通过同学们的解答，探究出函数在一点连续的三个条件：① 在点 $x=x_0$有定义；② 在 $x\to x_0$时函数极限存在；③ $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$并强调这三个条件对于函数在一点连续是缺一不可的。

通过从极限角度学习函数连续性的概念后，继续抛出“问题4”，将学生的思考点进行迁移，引导学生从已有概念——“增量”的角度积极思考，建立“增量”与“连续性”之间的联系，从新角度发展学生对概念的内涵理解，从而探究出连续函数的等价命题，归纳概括出函数连续性的概念本质。通过这一阶段的实践，加深学生对函数连续性这个抽象概念的内涵理解。整个教学过程循序渐进，自然衔接，培养学生由浅入深的逻辑思维能力、直观到抽象的概括能力。

问题4：函数的连续性还有其他描述形式吗？

自变量增量： $\Delta x=x-x_0$；函数值增量 $\Delta y=f\left(x\right)-f\left(x_0\right)=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$，如 图3 所示。

数形结合探究出函数 $y=f\left(x\right)$在点 $x_0$连续的等价命题：

f (x)在点 $x_0$连续 $\iff$ $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$ $\iff$ $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }f\left(x_0+\Delta x\right)=f\left(x_0\right)$ $\iff$ $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta y=0$。

通过等价命题概括出连续函数的本质特点：当函数自变量的变动很微小时，函数值的变动也很微小。

学习完连续函数的定义、等价命题之后，启发学生综合运用自己所学知识解决引例中的问题，明确解决问题的思路和方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。

例1 引例解答—为什么农夫在短时间内看不见禾苗的生长呢？

解 建立连续函数数学模型：把禾苗的生长A看成时间t的函数，这样便得到一个连续函数：A(t)。根据连续函数的本质特点，当∆t很小时，∆A也很小，所以农夫在短时间内看不见禾苗的生长，但其实禾苗每时每刻都在生长，只是人们用肉眼发现不了而已。

基于慕课背景，通过图片、动画、演示视频等手段引入生活实例，引导学生运用数学知识解决实际生活中的问题，印证寓言故事中的哲学道理，启发同学们要遵循客观规律，不可急于求成。另外，鼓励学生列举生活中其他连续性的现象，如：“体温的变化”、“人体身高的增长”、“河水的流动”、“容颜的变化”、“知识的积累”等，建立连续函数模型，分析问题本质，让学生深入体会理解连续函数的内涵。同时，通过“知识的积累”这个连续性实例引入毛主席学习名言“贵有恒，何必三更起五更眠，最无益，只怕一日曝十日寒”，启发同学们，学习不在于一时的努力，而在于长久的坚持，学习需要持续不断！我们只有在工作、学习中树立坚持不懈、持之以恒、永不懈怠的奋斗精神，才能寻找到通往成功的秘钥。

例2 讨论分段函数 $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}1-x,\hfill & x<0\hfill \\ 1,\hfill & x=0\hfill \\ 1+x,\hfill & x>0\hfill \end{array}$在 $x=0$处的连续性。

解 首先函数f(x)在点 $x=0$处有定义，因为

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(1+x\right)=1,\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(1-x\right)=1,$

所以函数f(x)在点 $x=0$处的极限值为1，而 $f\left(0\right)=1$所以函数f (x)在点 $x=0$连续。

学生分组解答，并上讲台分享自己小组的探讨结果，同时按“一荣俱荣、一损俱损”方式进行鼓励。在同学们解答完后抛出“问题5”，从而地把函数在一点处的连续性问题推广到区间上的连续性问题，引出下节课教学内容，起到承上启下的作用。

问题5：例2中的函数在整个定义域上连续吗？

教师对本节课的知识点进行总结，强调重点是函数连续性的定义及其等价命题，难点是连续函数的应用，之后分层布置作业，通过分层布置作业提高学生的学习兴趣与学习效率，在作业中发现教学中存在的不足，及时调整教学方向，并在微信学习群和QQ学习群发布教学PPT、处理难点疑点、课后思考题、发布课后复习资料及知识点拓展资料等，以保障学生学习的可持续发展。