图1 所示为加载镍钛合金钢丝绳的变厚度功能梯度材料组合梁结构。 图2 为镍钛合金钢丝绳的示意图。变厚度功能梯度材料组合梁的两端通过一组刚度为k₁、k₂、k₃、k₄的弹簧连接固定，两根梁通过中间弹簧k₅、k₆连接。导入坐标系o-xz，原点o固定在横梁1的中性面上。符号l₁、l₂、b、h₁、h₂分别表示横梁的长度、宽度和高度。在左梁的x₀点加载气动简谐外部激励F。在计算过程中，忽略了热环境对弹簧刚度的影响。

如 图1 所示，功能梯度材料由金属和陶瓷制成，材料属性(包括弹性模量E、泊松比v、密度ρ、热膨胀系数 ${\alpha }_x$)与温度相关，关系如下所示：

$P\left(T\right)=P_0\left(P_{-1}{T}^{-1}+1+P_{1}T+P_2{T}^2+P_3{T}^3\right)$(1)

P₀、P₁、P₂和P₃是与温度有关的材料系数，且功能梯度的材料属性沿厚度方向变化：

$P\left(T,z\right)=\left[P_0\left(T\right)-P_1\left(T\right)\right]{\left(\left(2z+h\right)/2h\right)}^n+P_1\left(T\right)$(2)

式中：n为材料的梯度指数。

如2.1节所示，变厚度功能梯度组合梁系统中存在两根梁，中间采用一系列人工弹簧连接。建模过程中，可被视为独立的梁结构，最后将所有能量进行相加。结构的势能可以写为：

$U=\frac{1}{2}b{\displaystyle {\int }_{-h/2}^{h/2}{\displaystyle {\int }_0^l\sigma \epsilon \text{d}x}\text{d}z}$(3)

根据von Kármán理论，应力σ和应变ε：

$\sigma =Q\epsilon$(4)

$\epsilon =-z\left(\partial w/\partial x\right)$(5)

式中：w表示变厚度功能梯度材料组合梁的横向位移。Q是刚度系数，表示为：

$Q=E\left(z,t\right)/\left(1-v^2\right)$(6)

式中：E(z,t)是杨氏模量，v是材料的泊松比。基于Euler-Bernoulli理论，位移如下：

$u_x=-z\left(\partial w/\partial x\right),u_z=w$(7)

式中：u_x和u_z表示变厚度组合梁任意位置的轴向和横向位移。

根据文献 [14] ，热能可以写为：

$U_T=\frac{1}{2}b{\displaystyle {\int }_{-h/2}^{h/2}{\displaystyle {\int }_0^l{\sigma }_T{\left(\partial w/\partial x\right)}^2\text{d}x}}\text{d}z$(8)

热应力：

${\sigma }_T=Q{\epsilon }_T$(9)

式中：热应变 ${\epsilon }_T$可以表示为：

${\epsilon }_T={\alpha }_x\Delta T$(10)

式中： ${\alpha }_x$为x方向热膨胀系数， $\Delta T$是温度差。

根据胡克定律，连接处弹簧势能：

$U_k=\frac{1}{2}{k}_5{\left(w_{1_c}-w_{2_c}\right)}^2+\frac{1}{2}{k}_6{\left({w^{\prime }}_{1_c}-{w^{\prime }}_{2_c}\right)}^2$(11)

式中：k₅、k₆代表拉伸和扭转弹簧刚度。下标1和2代表横梁1和2。下标c代表连接弹簧位置。

本文中，两端为弹性边界，采用一系列拉伸和扭转弹簧进行连接，根据胡克定律，两端弹簧势能：

$U_z=\frac{1}{2}{k}_1{w}_{1_0}^2+\frac{1}{2}{k}_2{w^{\prime }}_{1_0}^2,U_y=\frac{1}{2}{k}_3{w}_{2_1}^2+\frac{1}{2}{k}_4{w^{\prime }}_{2_1}^2$(12)

式中：U_z和U_y代表两端弹簧的势能，k₁、k₃和k₂、k₄代表拉伸和扭转弹簧刚度。 $w^{\prime }$代表w对x的偏导数。下标1₀和2₁代表横梁1的左端和横梁2的右端。

变厚度功能梯度材料组合梁的动能：

$T=\frac{1}{2}b{\displaystyle {\int }_{-h/2}^{h/2}{\displaystyle {\int }_0^l\left(\rho \left({\left({\stackrel{\dot{}}{u}}_x\right)}^2+{\left({\stackrel{\dot{}}{u}}_z\right)}^2\right)\right)\text{d}x}\text{d}z}$(13)

式中： $\rho$是梁的密度， ${\stackrel{\dot{}}{u}}_x$和 ${\stackrel{\dot{}}{u}}_z$表示x方向和z方向位移对于t的导数。

复杂环境下的力通常是周期性的，在本文的计算中，简化为一个简谐激励F：

$F=Af\sin \left(\varpi t\right)$(14)

式中： $\varpi$是力的频率。力F所做的功：

$W_F={\displaystyle {\int }_0^{l}Af\sin \left(\varpi t\right)w\text{d}x}$(15)

铺设系统表面的钢丝绳可以看作一个非线性阻尼力。钢丝绳力的拟合表达式 [12] ：

$f_{st}=K_{1}w+K_3{w}^3+c_1\stackrel{\dot{}}{w}+r_{21}{w}^2\stackrel{\dot{}}{w}+r_{12}w{\stackrel{\dot{}}{w}}^2$(16)

式中：K₁、K₃、c₁分别为线性刚度系数、立方刚度系数和线性阻尼系数，r₂₁、r₁₂为耦合阻尼系数。钢丝绳做的功：

$W_{st}={\displaystyle {\int }_0^l-\gamma f_{st}w\text{d}x}$(17)

式中： $\gamma$为镍钛合金钢丝绳的相对尺寸修正系数。

未知的位移函数可以写成：

$w\left(\xi ,t\right)=\chi \left(\xi \right)q\left(t\right)$(18)

式中： $\xi =x/l$是无量纲长度， $\chi \left(\xi \right)$是模态函数可以使用多项式表示为：

$\chi \left(\xi \right)={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{N}{\sum }}{a}_n{\phi }_n\left(\xi \right)}$(19)

使用Schmidt正交化后的多项式函数代替梁的位移函数，不同边界条件下，多项式的首项是不同的 [15] 。本文梁的两端为自由边界，多项式首项为1。考虑：

$T_{\max }={\left(U+U_T+U_k+U_z+U_y\right)}_{\max }$(20)

瑞利商取驻值得：

$\left(K+K_T+K_z+K_y+K_k-{\omega }^{2}M\right)X=0$(21)

式中：K、K_T、K_z、K_y和K_k分别为弹性势能矩阵、热能矩阵、边界弹簧矩阵和连接弹簧矩阵，M为质量矩阵， $X={\left[a_n\right]}^{\text{T}}$是特征向量。通过求解公式(21)，即可得系统的固有频率和模态函数。

由2.3节瑞利法求得的模态函数，使用拉格朗日方程可得：

$M\ddot{q}+C\stackrel{\dot{}}{q}+Kq=F$(22)

式中：为了简化计算，C为瑞利阻尼矩阵，表示为：

$C=aM+bK$(23)

式中：a和b是质量阵和刚度阵的系数，可以写为：

$a=2\left({\xi }_2/{\omega }_2-{\xi }_1/{\varpi }_1\right)/\left(1/{\omega }_2^2-1/{\omega }_1^2\right),b=2\left({\xi }_2{\omega }_2-{\xi }_1{\omega }_1\right)/\left({\omega }_2^2-{\omega }_1^2\right)$(24)

利用谐波平衡法求解系统的动力学方程(22)，其解用傅里叶级数表示为：

$q_l={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{H}{\sum }}{A}_{li}\cos \left(i\omega t\right)+B_{li}\sin \left(i\omega t\right)}$(25)

$q_r={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{H}{\sum }}{A}_{ri}\cos \left(i\omega t\right)+B_{ri}\sin \left(i\omega t\right)}$(26)

式中：H为谐波平衡法的阶数，取第一和第三谐波系数为零，用弧长法求解，得到代数方程，通过计算均方根，可以得到响应的幅频特性曲线。

论当h₂= 0.003 m时，首先分析复杂环境中温度参数对系统固有频率的影响。由 表6 可知，温度由280 K增加到290 K时，一阶固有频率由105.86 Hz减小到59.27 Hz，前四阶固有频率均有所减小。若温度持续增加，低阶固有频率会逐渐减小至零。所以，在以后的工程环境中，选择合适的温度条件具有重要的意义。

温度对固有频率的影响已经得出结论。采用本文所述方法讨论厚度参数对固有频率的影响，厚度改变对固有频率影响如 表7 所示。当横梁2厚度h₂由0.003 m减小到0.001 m时，第一阶固有频率由105.86 Hz减小到74.32 Hz，前四阶固有频率均有减小。由仿真计算和理论计算的对比误差可知，建模过程是完全正确的。当厚度变薄时，理论与仿真的固有频率误差会稍有增加。

如 图3 所示，探讨厚度参数对振型的影响。由于功能梯度材料属性会随着厚度的改变而有所改变，所以当横梁2的厚度h₂= 0.003 m减小到h₂= 0.001 m时，横梁2的刚度会有所降低，而刚度降低的横梁2就更易发生振动，导致振型峰值的横坐标出现在更右处。

在变厚度功能梯度材料组合梁表面铺设镍钛合金钢丝绳后，讨论厚度参数对幅频特性曲线的影响，如 图4 所示。幅频特性曲线提取位置为横梁2长度的中点，简谐激励加载在横梁1长度的中点。由 图4 可知，随着厚度h₂= 0.003 m减小到h₂= 0.001 m时，幅频特性曲线的幅值增加。幅频特性曲线峰值的横坐标左移，其左移趋势与厚度对固有频率的影响一致。镍钛合金钢丝绳的减振效果增加，幅频特性曲线第一阶的峰值减振效果由15.42%增加到35.71%，第二阶的峰值减振效果差距与第一阶相差不大。但无论厚度如何变化，镍钛合金钢丝绳都有很好的减振效果。