Fock空间又称为Segal-Bargmann空间，是研究经典量子力学的一个非常重要的工具。近年来，将经典量子力学推广到四元数上引起了很多人的兴趣。在2004年，Alder证明了四元数量子场论可以被表述出来，参见文献 [1] 。从数学的角度来看，Fock空间可以看作是Hilbert空间的对称或反对称或全张量幂的直和的结果。2014年，Alpay，Colombo Sabadini和Salomon在文献 [2] 中定义并研究了切片超全纯背景下Fock空间，并证明了该空间与虚单位I的选取无关，并且是一个再生核Hilbert空间。超全纯的Fock空间为描述四元数量子场激发态提供了数学框架。

众所周知，Segal-Bargmann变换是从 $L^2$到Fock空间的一个酉变换，它将量子力学中的相干态与复分析中的整函数联系了起来，从而为处理相干态提供了一个更加优雅和便利的数学框架。Diki和Ghanmi在文献 [3] 中引入和研究了四元数Segal-Bargmann变换，并给出了该变换逆的显式表达式以及该变换与四元数Fourier变换之间的关系。文献 [3] 中也研究了四元数Segal-Bargmann变换的 $L^2$映射性质。对于经典Bargmann变换，文献 [4] 中已经研究了它的 $L^p\left(ℝ\right)$映射性质。而四元数Segal-Bargmann变换的 $L^p$映射尚未研究，本文将对此展开研究。具体来说，文章将详细地介绍和研究在 $p=2$的时候，该变换是否是从 $L^p\left(ℝ;ℍ\right)$到 ${ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$的有界算子。

本文将采用如下的结构安排：第二节中介绍了四元数和切片正则函数的理论，并且给出了四元数Segal-Bargmann变换的定义。第三节中利用定义证明了 $p=2$时，四元数Segal-Bargmann变换的 $L^p$映射性质，得到了该变换的有界性。第四节中给出了四元数Segal-Bargmann变换与Fourier变换之间的关系，并利用这个关系证明文章的主要结论。

文献 [4] 中研究了经典Bargmann变换的 $L^p\left(ℝ\right)$映射性质。本节致力于将该变换从复平面推广到四元数上。文献 [3] 中已经得到当 $p=2$时，四元数Segal-Bargmann变换 ${ℬ}_{\nu }$是从 $L^2\left(ℝ;ℍ\right)$到 ${ℱ}_{slice}^{2,\nu }\left(ℍ\right)$的等距映射。然而，当 $p\ne 2$时，该变换在 $L^p\left(ℝ;ℍ\right)$空间上有怎样的映射性质是一个值得考虑的问题。详细地说，当 $p\ne 2$时，该变换是否将 $L^p\left(ℝ;ℍ\right)$有界映射到 ${ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$上。接下来根据这个问题展开研究。

当 $1\le p\le \infty$时，对于 $L^p\left(ℝ;ℍ\right)$上的每一个函数 $\psi$，四元数Segal-Bargmann变换都是定义良好的，这一点与其他的积分变换不同。令 $q=u+v{I}_q\in {ℂ}_{I_q}$，其中 $u,v\in ℝ$， $I_q\in \mathbb{S}$，将其代入到等式(2)则很容易得出

${ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\left(q\right)={\left(\frac{\nu }{\pi }\right)}^{3/4}{\text{e}}^{\frac{\nu }{2}{\left|q\right|}^2}{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{\left(x-\sqrt{2}u\right)}^2+\nu v{I}_q\left(\sqrt{2}x-u\right)}\psi \left(x\right)\text{d}x}$(3)

通过等式(3)可以得到如下不等式

$\left|{ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\left(q\right)\right|\le {\left(\frac{\nu }{\pi }\right)}^{3/4}{\text{e}}^{\frac{\nu }{2}{\left|q\right|}^2}{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{\left(x-\sqrt{2}u\right)}^2}\left|\psi \left(x\right)\right|\text{d}x}$(4)

如果 $\psi \left(x\right)\in L^p\left(ℝ;ℍ\right)$，其中 $1<p<\infty$且 $1/p+1/p^{\prime }=1$。那么对 $\forall q\in ℍ$，根据不等式(4)和Hölder不等式有

$\begin{array}{l}\left|{ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\left(q\right)\right|\le {\left(\frac{\nu }{\pi }\right)}^{3/4}{\text{e}}^{\frac{\nu }{2}{\left|q\right|}^2}{\left[{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|\psi \left(x\right)\right|}^p\text{d}x}\right]}^{\frac{1}{p}}{\left[{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu p^{\prime }}{2}{\left(x-\sqrt{2}u\right)}^2}\text{d}x}\right]}^{\frac{1}{p^{\prime }}}\\ ={\left(\frac{\nu }{\pi }\right)}^{3/4}{\text{e}}^{\frac{\nu }{2}{\left|q\right|}^2}{\left[{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu p^{\prime }}{2}{x}^2}\text{d}x}\right]}^{\frac{1}{p^{\prime }}}{\Vert \psi \Vert }_p\\ ={\left(\frac{4\nu }{\pi }\right)}^{1/4}{\text{e}}^{\frac{\nu }{2}{\left|q\right|}^2}{\Vert \psi \Vert }_p\end{array}$

四元数值函数空间 $L^p\left(ℝ;ℍ\right)$不是自然有序的。换句话说，对于两个不同的 $0<p,p^{\prime }<\infty$，空间 $L^p\left(ℝ;ℍ\right)$和空间 $L^{p^{\prime }}\left(ℝ;ℍ\right)$之间不存在包含关系。这是研究许多积分变换的映射性质比较复杂的原因之一。

接下来根据上述问题给出本篇文章的主要结论：

定理3.1 当 $p\ne 2$时，四元数Segal-Bargmann变换 ${ℬ}_{\nu }$的 $L^p\left(ℝ\text{;}ℍ\right)$映射性质如下：

${ℬ}_{\nu }:\{\begin{array}{l}{L}^p\left(ℝ;ℍ\right)\to {ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)是有界映射,2<p\le \infty ,\\ L^p\left(ℝ;ℍ\right)\to {ℱ}_{slice}^{p^{\prime },\nu }\left(ℍ\right)是有界映射,1\le p<2其中1/p+1/p^{\prime }=1\end{array}$

并且，当 $2<p\le \infty$时，算子 ${ℬ}_{\nu }:L^p\left(ℝ;ℍ\right)\to {ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$是单射但不是满射；当 $1\le p<2$时，算子 ${ℬ}_{\nu }:L^p\left(ℝ;ℍ\right)\to {ℱ}_{slice}^{p^{\prime },\nu }\left(ℍ\right)$是单射但不是满射，其中 $1/p+1/p^{\prime }=1$。

证明 首先证明 $2<p\le \infty$时的情况。如果 $\psi \in L^{\infty }\left(ℝ;ℍ\right)$，对 $\forall q\in ℍ$我们通过(4)得到

$\begin{array}{l}\left|{ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\left(q\right)\right|\le {\left(\frac{\nu }{\pi }\right)}^{3/4}{\text{e}}^{\frac{\nu }{2}{\left|q\right|}^2}{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{\left(x-\sqrt{2}u\right)}^2}\text{d}x}{\Vert \psi \Vert }_{\infty }\\ ={\left(\frac{4\nu }{\pi }\right)}^{1/4}{\text{e}}^{\frac{\nu }{2}{\left|q\right|}^2}{\Vert \psi \Vert }_{\infty }\end{array}$

通过上式可得到 ${ℬ}_{\nu }$是从 $L^{\infty }\left(ℝ;ℍ\right)$到 ${ℱ}_{slice}^{\infty ,\nu }\left(ℍ\right)$的有界映射。

此外，我们知道该变换是从 $L^2\left(ℝ;ℍ\right)$到 ${ℱ}_{slice}^{2,\nu }\left(ℍ\right)$的酉算子。因此，通过内插定理得出，当 $2<p\le \infty$时， ${ℬ}_{\nu }$是从 $L^p\left(ℝ;ℍ\right)$到 ${ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$的有界映射。

对于 ${ℬ}_{\nu }$是单射但不是满射的证明，这里假设 ${ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)=0$，即

${\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{\left(x-\sqrt{2}u\right)}^2}\psi \left(x\right)\text{d}x}=0,q\in ℍ$

在积分内部对q进行微分，并设 $q=0$，得到

${\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{x}^2}{x}^k\psi \left(x\right)\text{d}x}=0,k\ge 0$

通过Hermite函数的性质得出 $\psi \left(x\right)=0$在 $ℝ$上几乎处处成立，从而得出 ${ℬ}_{\nu }$是单射。

下面取 $p_0\in \left(2,p\right)$，可以找到函数 $\psi \left(x\right)\in L^{p_0}\left(ℝ;ℍ\right)\backslash L^p\left(ℝ;ℍ\right)$，则有 ${ℬ}_{\nu }\psi \in {ℱ}_{slice}^{p_0,\nu }\left(ℍ\right)\subset {ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$。如果 ${ℬ}_{\nu }:L^p\left(ℝ;ℍ\right)\to {ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$是满射，则存在函数 $\varphi \in L^p\left(ℝ;ℍ\right)$，使得 ${ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)={ℬ}_{\nu }\left(\varphi \right)$，即 ${ℬ}_{\nu }\left(\psi -\varphi \right)=0$。通过上述可得 $\psi -\varphi =0$在 $L^p\left(ℝ;ℍ\right)$上几乎处处成立，这与 $\psi \left(x\right)\notin L^p\left(ℝ;ℍ\right)$矛盾，说明 ${ℬ}_{\nu }$不是满射。

接下来证明 $1\le p<2$时的情况。 $1\le p<2$的情况与 $2<p\le \infty$的情况大不相同。首先可以得到如下Hausdorff-Young型结果。如果 $\psi \left(x\right)\in L^1\left(ℝ;ℍ\right)$，对 $\forall q\in ℍ$我们根据(4)有

$\begin{array}{l}\left|{ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\left(q\right)\right|\le {\left(\frac{\nu }{\pi }\right)}^{3/4}{\text{e}}^{\frac{\nu }{2}{\left|q\right|}^2}{\displaystyle {\int }_{ℝ}\left|\psi \left(x\right)\right|\text{d}x}\\ ={\left(\frac{\nu }{\pi }\right)}^{3/4}{\text{e}}^{\frac{\nu }{2}{\left|q\right|}^2}{\Vert \psi \Vert }_1\end{array}$

通过上式可得到 ${ℬ}_{\nu }$是从 $L^1\left(ℝ;ℍ\right)$到 ${ℱ}_{slice}^{\infty ,\nu }\left(ℍ\right)$的有界映射。

众所周知，该变换是从 $L^2\left(ℝ;ℍ\right)$到 ${ℱ}_{slice}^{2,\nu }\left(ℍ\right)$的等距映射。同理，可以通过内插定理得出，当 $1\le p<2$时， ${ℬ}_{\nu }$是从 $L^p\left(ℝ;ℍ\right)$到 ${ℱ}_{slice}^{p^{\prime },\nu }\left(ℍ\right)$的有界映射，其中 $1/p+1/p^{\prime }=1$。

对于 ${ℬ}_{\nu }$是单射但不是满射，可以利用 $2<p\le \infty$情况的类似证明方法，因此这里省略证明细节，证毕。

当 $1\le p<2$时，四元数Segal-Bargmann变换还有如下性质：

定理3.2 当 $1\le p<2$时，有

(a) 存在函数 $\psi \left(x\right)\in L^p\left(ℝ;ℍ\right)$，使得 ${ℬ}_{\nu }\psi \notin {ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$。

(b) 不存在正整数 $C>0$，使得 ${\Vert {ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)}\le C{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}$。

(c) 不存在右线性子空间 $X\subset L^p\left(ℝ;ℍ\right)$，使得 ${\Vert {ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)}\le C{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}$，其中函数 $\psi \in X$，实数 $C>0$。

证明 存在函数 $\psi \left(x\right)\in L^p\left(ℝ;ℍ\right)\backslash L^2\left(ℝ;ℍ\right)$，则有 ${ℬ}_{\nu }\psi \in {ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)\subset {ℱ}_{slice}^{2,\nu }\left(ℍ\right)$，那么

${\Vert {ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{2,\nu }\left(ℍ\right)}=C{\Vert \psi \Vert }_{L^2\left(ℝ;ℍ\right)}<\infty$

这与 $\psi \left(x\right)\notin L^2\left(ℝ;ℍ\right)$矛盾。因此(a)成立，同时也说明了(b)成立。

对于(c)的证明利用反证法。对于 $\forall \psi \in X$且常数 $C>0$，如果存在右线性子空间 $X\subset L^p\left(ℝ;ℍ\right)$，使得 ${\Vert {ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)}\le C{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}$成立。那么固定函数 $\psi \in L^p\left(ℝ;ℍ\right)$，选择序列 $\left\{{\psi }_n\right\}\subset X$，使得当 $n\to \infty$时， ${\Vert {\psi }_n-\psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}\to 0$。由于X是右线性子空间，则有

${\Vert {ℬ}_{\nu }\left({\psi }_n\right)-{ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)}={\Vert {ℬ}_{\nu }\left({\psi }_n-\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)}\le C{\Vert {\psi }_n-\psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}$

因此 $\left\{{ℬ}_{\nu }\left({\psi }_n\right)\right\}$是 ${ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$的Cauchy序列。由于 ${ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$是Banach空间，存在函数 $\varphi \in {ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$使得当 $n\to \infty$时，有 ${\Vert {ℬ}_{\nu }\left({\psi }_n\right)-\varphi \Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)}\to 0$。特别地，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{ℬ}_{\nu }\left({\psi }_n\right)\left(q\right)=\varphi \left(q\right),q\in ℍ$

由于当 $n\to \infty$时，有

${\Vert {ℬ}_{\nu }\left({\psi }_n\right)\left(q\right)-{ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\left(q\right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)}\le C^{\prime }{\Vert {\psi }_n-\psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}{\text{e}}^{\frac{\nu {\left|q\right|}^2}{2}}\to 0,q\in ℍ$

其中 $C^{\prime }$是常数。因为 $\underset{n\to \infty }{\lim }{ℬ}_{\nu }\left({\psi }_n\right)\left(q\right)={ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\left(q\right)$， $q\in ℍ$。那么可以得到 ${ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)=\varphi \in {ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$，由于 $\psi$是任意的，得到该结果与(a)矛盾。这个矛盾也说明了(c)成立，证毕。

注3.3 定理3.2中(c)的证明采用了反证法，但是反证后的内容与复分析中的结论相矛盾 [5] 。由于四元数中包含了复数，该有界性在复分析中不成立，那么在四元数中也不成立，否则出现矛盾。

上述主要讨论了当 $1\le p\le \infty$时，四元数Segal-Bargmann变换的 $L^p\left(ℝ;ℍ\right)$映射性质。对此，我们很自然地想到在 $0<p<1$时，该变换的 $L^p\left(ℝ;ℍ\right)$映射性质。当 $0<p<1$时，没有合理的方法将 ${ℬ}_{\nu }$延拓到 $L^p\left(ℝ;ℍ\right)$。取任意有限区间 $\left(a,b\right)$很容易找到函数 $\psi \in L^p\left[a,b\right]\backslash L^1\left[a,b\right]$。那么，对任意区间 $\left(a,b\right)$存在函数 $\psi \in L^p\left[a,b\right]$使得积分变换

${\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{\left(x-\sqrt{2}q\right)}^2}\psi \left(x\right)\text{d}x},q\in ℍ$

没有良好定义。因此，当 $0<p<1$时，对于 $\psi \in L^p\left[a,b\right]$，我们不能给出 ${ℬ}_{\nu }$的积分定义。并且，定义在 $L^p\left(ℝ;ℍ\right)$上的四元数Segal-Bargmann变换是稠密的，从而给出下面的定理：

定理3.4 线性空间 $X_p=L^p\left(ℝ;ℍ\right)\cap L^1\left(ℝ;ℍ\right)$在 $L^p\left(ℝ;ℍ\right)$上是稠密的并且 ${ℬ}_{\nu }\psi$是定义良好的切片正则函数，其中 $\psi \in X_p$。当 $0<p<1$时不存在正整数C使得

${\Vert {ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)}\le C{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)},\psi \in X_p$(5)

证明 假设存在正常数C满足不等式(5)，则对 $\forall \psi \in X_p$有 ${ℬ}_{\nu }\psi \in {ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)\subset {ℱ}_{slice}^{2,\nu }\left(ℍ\right)$。由于 ${\Vert {ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{2,\nu }\left(ℍ\right)}={\Vert \psi \Vert }_{L^2\left(ℝ;ℍ\right)}<\infty$，这意味着 $L^p\left(ℝ;ℍ\right)\cap L^1\left(ℝ;ℍ\right)\subset L^2\left(ℝ;ℍ\right)$，这个结果显然错误，因此假设不成立，证毕。

注3.5 定理3.4中采用反证法，反证后的内容与复分析中 $0<p<1$的结论相矛盾 [4] ，该矛盾也直接说明该定理的内容成立。

第三节主要介绍了用定义证明四元数Segal-Bargmann变换的 $L^p$映射性质。本节将利用Segal-Bargmann变换与Fourier变换之间的关系证明 ${ℬ}_{\nu }$的 $L^p$映射性质。该节内容使用了Fourier变换的映射性质，避免了使用内插定理。

我们用 $ℱ$表示Fourier变换，用 $ℱ\left[\psi \left(x+\sqrt{2}u\right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{x}^2}\right]\left(v\right)$表示 $\psi \left(x+\sqrt{2}u\right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{x}^2}$的Fourier变换，其中 $q=u+vI$，则有

$\begin{array}{c}{ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\left(q\right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{\left|q\right|}^2}{\text{e}}^{-\nu Iuv}={\left(\frac{\nu }{\pi }\right)}^{3/4}{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{x}^2}{\text{e}}^{\sqrt{2}\nu Ixv}\psi \left(x+\sqrt{2}u\right)\text{d}x}\\ ={\left(\frac{\nu }{\pi }\right)}^{3/4}ℱ\left[\psi \left(x+\sqrt{2}u\right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{x}^2}\right]\left(v\right)\end{array}$(6)

下面是利用 ${ℬ}_{\nu }$与Fourier变换的关系对 $1\le p<2$情况的再次证明。

定理 4.1设 $1\le p<2$时， $1/p+1/p^{\prime }=1$且 $p_0<p^{\prime }$，则 ${ℬ}_{\nu }$是从 $L^p\left(ℝ;ℍ\right)$到 ${ℱ}_{slice}^{p^{\prime },\nu }\left(ℍ\right)$的有界映射但不是从 $L^p\left(ℝ;ℍ\right)$到 ${ℱ}_{slice}^{p_0,\nu }\left(ℍ\right)$的有界映射。

证 首先证明 ${ℬ}_{\nu }$是从 $L^p\left(ℝ;ℍ\right)$到 ${ℱ}_{slice}^{p^{\prime },\nu }\left(ℍ\right)$的有界映射。为了方便计算，设 $c={\left(\frac{v}{\pi }\right)}^{3/4}$。当 $1\le p<2$时，根据Fourier变换和Hausdorff-Young不等式得

$\begin{array}{c}{\Vert {ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p^{\prime },\nu }\left(ℍ\right)}^{p^{\prime }}={{\displaystyle {\int }_{{ℂ}_I}\left|{ℬ}_{\nu }\left(\psi \right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{\left|q\right|}^2}\right|}}^{p^{\prime }}\text{d}\lambda \left(q\right)\\ =c^{p^{\prime }}{\displaystyle {\int }_{ℝ}\text{d}u}{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|ℱ\left[\psi \left(x+\sqrt{2}u\right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{x}^2}\right]\left(v\right)\right|}^{p^{\prime }}\text{d}v}\\ \le c^{p^{\prime }}{{\displaystyle {\int }_{ℝ}\left[{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|\psi \left(v+\sqrt{2}u\right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{v}^2}\right|}^{{}^p}}\text{d}v\right]}}^{\frac{p^{\prime }}{p}}\text{d}u,\end{array}$(7)

改写 $p^{\prime }/p$为

$\frac{p^{\prime }}{p}=1+\frac{p^{\prime }-p}{p}$

代入不等式(7)得

$\begin{array}{c}{\Vert {ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p^{\prime },\nu }\left(ℍ\right)}^{p^{\prime }}\le c^{p^{\prime }}{\displaystyle {\int }_{ℝ}\left[{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|\psi \left(v+\sqrt{2}u\right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{v}^2}\right|}^p}\text{d}v\right]}{\left[{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|\psi \left(v+\sqrt{2}u\right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{v}^2}\right|}^p\text{d}v}\right]}^{\frac{p^{\prime }-p}{p}}\text{d}u\\ \le c^{p^{\prime }}{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}^{p-p^{\prime }}{\displaystyle {\int }_{ℝ}\text{d}u}{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|\psi \left(v+\sqrt{2}u\right)\right|}^p{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}p{v}^2}\text{d}v}\\ \le c^{p^{\prime }}{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}^{p-p^{\prime }}{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}p{v}^2}\text{d}}v{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|\psi \left(v+\sqrt{2}u\right)\right|}^p\text{d}u}\\ \le C{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}^{p^{\prime }},\end{array}$

其中

$C=c^{p^{\prime }}{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}p{v}^2}\text{d}}v$

当 $p=1$时，设函数 $\psi \left(x\right)\in L^1\left(ℝ;ℍ\right)$，对 $\forall u\in ℝ$有不等式

${\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|\psi \left(x+\sqrt{2}u\right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{x}^2}\right|}^p\text{d}}x\le {\displaystyle {\int }_{ℝ}\left|\psi \left(x\right)\right|}\text{d}x$

通过等式(6)和Hausdorff-Young不等式得

$\begin{array}{c}{\Vert {ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p^{\prime },\nu }\left(ℍ\right)}=\underset{q\in ℍ}{\sup }\left|{ℬ}_{\nu }\left[\psi \right]\left(q\right)\right|{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{\left|q\right|}^2}\\ \le c\underset{u\in ℝ}{\sup }{\Vert \psi \left(x+\sqrt{2}u\right)\Vert }_{L^1\left(ℝ;ℍ\right)}\\ \le c{\Vert \psi \Vert }_{L^1\left(ℝ;ℍ\right)}\end{array}$

因此证明了当 $1\le p<2$时， ${ℬ}_{\nu }$是从 $L^p\left(ℝ;ℍ\right)$到 ${ℱ}_{slice}^{p^{\prime },v}\left(ℍ\right)$的有界映射。

下面利用反证法证明在 $1\le p<2$时， ${ℬ}_{\nu }$不是从 $L^p\left(ℝ;ℍ\right)$到 ${ℱ}_{slice}^{p_0,v}\left(ℍ\right)$的有界映射。如果该变换是从 $L^p\left(ℝ;ℍ\right)$到 ${ℱ}_{slice}^{p_0,v}\left(ℍ\right)$的有界映射，则存在一个常数 $M>0$满足对 $\forall \psi \in L^p\left(ℝ;ℍ\right)$有 ${\Vert {ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p_0,v}\left(ℍ\right)}\le M{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}$。设 $X_p$是 $L^p\left(ℝ;ℍ\right)$中所有具有紧支集的函数组成的子集。对于 $\forall \psi \in X_p$，设 ${\psi }_r\left(x\right)=\psi \left(rx\right)$，其中 $r\in \left(1,\infty \right)$。由于 ${\psi }_r\left(x\right)\in X_p$，则

${\Vert {ℬ}_{\nu }\left[{\psi }_r\right]\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p_0,v}\left(ℍ\right)}^p\le M^p{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|\psi \left(rx\right)\right|}^p}\text{d}x=\frac{M^p}{r}{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}^p$(8)

对等式(3)进行变量变换，令 $x=t/r$得到

${\left|{ℬ}_{\nu }\left[{\psi }_r\right]\left(q\right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{\left|q\right|}^2}\right|}^{p_0}=\frac{c^{p_0}}{r^{p_0}}{\left|ℱ\left[\psi \left(t\right){\text{e}}^{-\frac{\nu t^2}{2r^2}+\sqrt{2}\nu \frac{t}{r}u}\right]\left(\frac{v}{r}\right)\right|}^{p_0}{\text{e}}^{-\nu p_0{u}^2}$

再进行一次简单的变量变换得到

${\Vert {ℬ}_{\nu }\left[{\psi }_r\right]\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p_0,v}\left(ℍ\right)}^{p_0}=\frac{c^{p_0}}{r^{p_0-1}}{{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\displaystyle {\int }_{ℝ}\left|ℱ\left[\psi \left(t\right){\text{e}}^{-\frac{\nu t^2}{2r^2}+\sqrt{2}\nu \frac{t}{r}u}\right]\left(v\right)\right|}}}^{p_0}{\text{e}}^{-\nu p_0{u}^2}\text{d}v\text{d}u$

结合不等式(8)使得

${\left[{{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\displaystyle {\int }_{ℝ}\left|ℱ\left[\psi \left(t\right){\text{e}}^{-\frac{\nu t^2}{2r^2}+\sqrt{2}\nu \frac{t}{r}u}\right]\left(v\right)\right|}}}^{p_0}{\text{e}}^{-\nu p_0{u}^2}\text{d}v\text{d}u\right]}^{\frac{1}{p_0}}\le N{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)},$(9)

其中正常数 $N=\frac{M}{c}{r}^{1-\frac{1}{p_0}-\frac{1}{p}}$。由于 $p_0<p^{\prime }$且 $r>1$，则对于常数 $C>0$有

${\left[{{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\displaystyle {\int }_{ℝ}\left|ℱ\left[\psi \left(t\right){\text{e}}^{-\nu u^2}\right]\left(v\right)\right|}}}^{p_0}\text{d}v\text{d}u\right]}^{\frac{1}{p_0}}=C{\Vert ℱ\left(\psi \right)\Vert }_{L^{p_0}\left(ℝ;ℍ\right)}$(10)

由于 $\psi$具有紧支集则

$\underset{r\to \infty }{\lim }ℱ\left[\psi \left(t\right){\text{e}}^{-\frac{\nu t^2}{2r^2}+\sqrt{2}\nu \frac{t}{r}u}\right]\left(v\right){\text{e}}^{-\nu u^2}=ℱ\left[\psi \right]\left(v\right){\text{e}}^{-\nu u^2}$

由不等式(9)和等式(10)以及Fatou引理得

$\begin{array}{c}{\Vert ℱ\left(\psi \right)\Vert }_{L^{p_0}\left(ℝ;ℍ\right)}\le C^{-1}\underset{r\to \infty }{\lim \inf }{\left[{{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\displaystyle {\int }_{ℝ}\left|ℱ\left[\psi \left(t\right){\text{e}}^{-\frac{\nu t^2}{2r^2}+\sqrt{2}\nu \frac{t}{r}u}\right]\left(v\right)\right|}}}^{p_0}{\text{e}}^{-\nu p_0{u}^2}\text{d}v\text{d}u\right]}^{\frac{1}{p_0}}\\ \le M^{\prime }{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)},\end{array}$

其中 $M^{\prime }$是正常数。通过Hausdorff-Young不等式发现这个结果和我们所熟知的Fourier变换的映射性质相矛盾。因此当 $1\le p<2$时， ${ℬ}_{\nu }$不是从 $L^p\left(ℝ;ℍ\right)$到 ${ℱ}_{slice}^{p_0,\nu }\left(ℍ\right)$的有界映射。

注4.2定理4.1中采用反证法，如果在 $1\le p<2$时，存在一个常数 $M>0$，满足对 $\forall \psi \in L^p\left(ℝ;ℍ\right)$有 ${\Vert {ℬ}_{\nu }\left({\psi }_r\right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p_0,\nu }\left(ℍ\right)}\le M{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}$。但这与复分析中的有界性相矛盾 [4] ，该矛盾也直接说明定理的内容成立。

本文主要研究了切片超全纯Bargmann-Fock空间中的四元数Segal-Bargmann变换的 $L^p$映射性质。具体来说，当 $2<p<\infty$时，该变换是从四元数值函数空间 $L^p\left(ℝ;ℍ\right)$到四元数Bargmann-Fock空间 ${ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$的有界算子并且是单射；当 $1\le p<2$时，该变换是从 $L^p\left(ℝ;ℍ\right)$到 ${ℱ}_{slice}^{p^{\prime },\nu }\left(ℍ\right)$的有界算子但不是 $L^p\left(ℝ;ℍ\right)$到 ${ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$的有界算子，其中 $1/p+1/p^{\prime }=1$。并且给出了两种不同证明办法。这些有界性为进一步研究四元数Segal-Bargmann变换的分析性质，建立熵测不准原理等打下了良好的基础。

天津市自然科学基金No. 22JCQNJC00470。