地平坐标系是一种以观测者所在位置为原点，并以观测者所在地的地平线为基础平面的坐标系统。基础平面将天球分为可见的上半球和不可见的下半球。天顶是上半球的最高点，天底是下半球的最低点。在基础平面上建立空间直角坐标系，其中X轴指向正东，Y轴指向正北，Z轴指向天顶。在地平坐标系中，太阳的位置可以由太阳高度角和太阳方位角来描述。太阳高度角是太阳与坐标系原点之间的连线与地平面之间的夹角，用 ${\alpha }_s$表示。太阳方位角是太阳与坐标系原点之间的连线在基础平面上的投影与Y轴正向之间的夹角，用 ${\gamma }_s$表示。太阳的视运动轨迹可以通过太阳高度角和太阳方位角这两个参数来描述。地平坐标系的示意图如 图1 所示。

由于太阳的直射点一年之内在 $\left[-{23}^{\circ }\text{26'},+{23}^{\circ }\text{26'}\right]$之间变化，导致地球上的任意一个位置的太阳高度角在一年的时间内会呈现规律性的变化。传统地理上对太阳高度角有一个通俗的计算方式：

$H_{直}-H_{某}=\left|W_{直}-W_{某}\right|$(1)

式(1)中，H为正午太阳高度，W为纬度，直是直射点。为了提升模型的精确度，本研究使用修正后的太阳高度角的计算方式：

$\sin {\alpha }_s=\cos \delta \cos \phi \cos \omega +\sin \delta \sin \omega$(2)

式(2)中 $\delta$为太阳赤纬角， $\omega$为太阳时角， $\phi$为当地纬度。本次研究选取位于东经98.5˚，北纬39.4˚的某定日镜场作为研究对象(以下简称该地)，绘制该地的绘制该地的太阳高度角和太阳轨迹图( 图2 )。

图2. 太阳高度角和太阳轨迹图

由于地球自转轴相对于轨道平面有约23.5˚角的倾斜，这导致不同位置接收到的太阳辐射角度不同，太阳赤纬角是指太阳与地球赤道面之间的夹角，它是由于地球的轴倾斜和公转运动而引起的。随着时间的变化，太阳赤纬角会周期性地在 $\left[-{23}^{\circ }\text{26'},+{23}^{\circ }\text{26'}\right]$之间变化。这意味着在一年的时间内，太阳的位置相对于地球赤道会有周期性的变化。地球的公转和自转导致太阳高度角随时间地点而变化，形成四季。北半球夏至时太阳高度角最大，冬至时最小。地球自转产生时区差异，纬度差异导致同一时间各地太阳高度角不同，两极变化最显著。 图3 分别绘制了该地春分、夏至、秋分、冬至四种特殊情况的太阳高度角变化曲线。

对于定日镜，其重要的一个指标是平面内各点的余弦效率 [10] 。余弦效率取决于入射光线与该点镜面法向量的夹角 $\theta$。根据光反射定律，此夹角必须满足：入射光线、反射光线和法向量共处一个平面内，法向量垂直于镜面。当定日镜、集热器和太阳恰在一条直线上时，这三个向量能完全重合， $\theta$为0。这时入射光线与法向量的夹角 $\theta$最小，余弦效率 $\cos \theta$取最大值1。所以，为了让每个反射点的余弦效率都达到最大，定日镜镜面结构必须设计成：任何入射光线在反射后，均能指向集热器中心，使三者共线。只有这样，定日镜每点的余弦效率才能达到理论最大值( 图4 )。

对于一个理想平面镜来说，镜面上的每一个反射点都拥有相同的镜面法向量，因此，镜面的余弦效率可以通过入射光线的单位法向量与反射光线的单位点积计算，计算公式如下：

${\eta }_{cos}=\cos \theta =i\cdot n$(3)

式子中由太阳在地平坐标系中的相对位置确定，表达方式为：

$i=\left[-\cos \left({\alpha }_s\right)\sin \left({\gamma }_s\right),-\cos \left({\alpha }_s\right)\left({\gamma }_s\right),-\sin \left({\alpha }_s\right)\right]$(4)

阴影挡光损失包括三部分 [11] ：① 塔对镜场造成的阴影损失。② 后排定日镜接收的太阳光被前方定日镜所阻挡被称为阴影损失。③ 后排定日镜在反射太阳光时被前方定日镜阻挡而未到达吸热器上被称为挡光损失。

1) 塔对镜场造成的阴影损失

由2.1分析得出，该地的太阳高度角一年之间在[27.1˚, 74.1˚]范围之间变换，吸收塔影子的方位和长度会随着时间的变换而发生改变，具体情况可以见下面3张图( 图5 )。

图5. 塔对镜场造成的阴影损失三种情况

这三张图片说明了吸收塔的影子长度对遮挡面积的影响，为了简化计算，本文假设塔的阴影面积定位一个规则的矩形，其宽和长分别为 $L_x$、 $L_y$阴影，当影子长度小于等于集热塔到最近的定日镜的距离 $d_{tower-heliostat}$时，塔的阴影对定日镜无影响，长度大于 $d_{tower-heliostat}$时，可利用阴影面积计算公式可以求出塔的阴影面积进而求出塔的有效阴影面积。

$S_{塔}=\{\begin{array}{l}0,l_y\le d_{tower-heliostat}\\ l_x{l}_y-d_{tower-heliostat}{l}_y,l_y>d_{tower-heliostat}\\ l_x=\frac{High{t}_{总}}{\tan {\alpha }_s}\cos {\gamma }_s\\ l_y=\frac{High{t}_{总}}{\tan {\alpha }_s}\sin {\gamma }_s\\ High{t}_{总}=High{t}_{塔}+High{t}_{集}\end{array}$(5)

2) 后排定日镜接收的太阳光被前方定日镜所阻挡的阴影损失

如 图6 所示，对于射向定日镜的平行光线，a、b均为入射光线，b光线直接到达定日镜平面，但a光线由于受到相邻定日镜的遮挡导致产生了阴影损失。对于这部分阴影损失的计算，本文基于光线追迹法的原理，设计了求出阴影损失的算法。

算法的基本原理是在给定太阳高度角和方位角的前提下，通过追迹数量足够多的光线在经过平面边界的各个点落入的位置，计算各个点的光线与当前定日镜有限区域相交的坐标进而求出此时的阴影面积。

为了计算方便，本文将介绍一种网点化算法并用于求出后文的定日镜平面内各个点的坐标表示( 图7 )，在计算之前本文将提出以下假设：

1) 假设太阳光为平行光束。

2) 假设镜面中心与镜面支撑点重合。

3) 假设阴影和遮挡只发生在目标定日镜周围的一定范围之内。

4) 假设定日镜矩形与地面最近的边与地面平行。

5) 已知所求定日镜平面的法向量 $n$

其具体的计算步骤如下：

1) 对于一个已知定日镜中心H₀坐标的定日镜，利用 $n$，求出定日镜平面方程，定日镜平面中与地面平行的向量 $l_x$，并求出与 $l_x$和 $n$垂直的向量 $l_y$；

2) 结合H₀的坐标，求出两条过定日镜中心的直线ab，cd；并利用两点之间的距离公式和定日镜的尺寸数据求出这四个点a、b、c、d的坐标；

4) 利用求出的四个交点的坐标和向量 $l_x$和 $l_y$，通过两点之间的距离方式求出四个顶点(a₁、b₁、c₁、d₁)的坐标；

5) 对直线a₁b₁，b₁c₁等分并求出每个等分点的坐标，接着同时向 $n$平移n次，每次移动距离为6/n，在此过程中对平移后的每条直线进行n等分并求出每个等分点的坐标，最终就可以得到定日镜平面内的 $n\times n$个点的坐标。

接着，计算任取两个相邻的定日镜A，B的遮挡阴影面积( 图8 )：

首先利用网点化算法求出A四条边上的4n个等分点的坐标，并利用此时入射光线的法线向量求出每个点对应的入射光线的直线，接着我们求出与B平面相交的交点，若这些交点落入边ab，cd直线上，利用数值仿真求出离顶点b，d最近的点的距离，此时定日镜 $S_{遮}$的遮挡阴影面积：

$S_{遮}=6\left(6-e\right)$(6)

3) 后排定日镜在反射太阳光时被前方定日镜阻挡的挡光损失

如 图9 ，对于射向定日镜的平行光线，m、n均为入射光线，反射b₁光线直接到达相邻定日镜平面，此时产生了挡光损失。对于这部分挡光损失的计算，本文基于光线追迹法的原理，设计了求出挡光损失的算法。

对于任取两个相邻的定日镜A、B：首先利用网点化算法求出A四条边上的 $n\times n$个等分点的坐标，并利用此时入射光线的法线向量和平面的法向量求出每个点对应的反射光线的直线，接着求出直线与B平面相交的交点，若这些交点落入边ab，cd直线上，则我们求出离顶点b，d最远的点的距离f，此时定日镜的遮挡阴影面积：

$S_{挡}=6f$(7)

最后，可以通过三个部分的结果求出：

${\eta }_{sb}=1-\left(S_{塔}+S_{遮}+S_{挡}\right)/S_{总}$(8)

定日镜场的截断效率 [12] 是指集热器接收到的太阳辐射能量与定日镜反射的太阳辐射能量之间的比例。它是一个衡量集热器接收能量效率的指标，反映了定日镜场设计中集热器的接收面积与定日镜反射面积之间的关系。

计算截断效率或者计算吸热器上的能留密度，即是累积计算许多光线在经过定日镜的反射后到达吸热器上时的落点坐标。统计追踪统计追迹反射光线和吸热器表面的交点数目 $N_j$，吸热器表面的能流密度 $F_{lux}$的计算公式如下：

$F_{lux}={\displaystyle \underset{}{\overset{N_j}{\sum }}\frac{I\left(t\right)\cdot S_{mir}\cdot \eta }{S_j\cdot N_{tr}}}$(9)

在式(9)中， $S_j$为吸热器表面计算区域的面积(其余参数均为常数)：

$S_j=2\pi r_{集}{h}_{集}$(10)

$N_{tr}$为总的光线追迹数(其余参数均为常数，具体值在后面给出)，对于这个参数，基于前面提到的网点化算法和光线追踪法进行求解( 图10 )。

对于任意一个定目镜A，利用网点化算法求出 $n\times n$个点的坐标(此时 $N_{tr}=n\times n$)，并结合入射光线向量和平面A的法向量求出每个点的反射直线，此时将直线方程和集热器表面方程进行联立求解，统计交点个数得到 $N_j$，最终带入方程计算 $F_{lux}$。

在塔式太阳能热发电站中，定日镜将太阳光聚焦并反射至吸热器的过程中，大气条件会对光束传播产生影响。大气中的分子和微粒可能会吸收或散射部分太阳光，导致能量损失，这一现象称为大气衰减效应。大气衰减率的计算较为复杂，它不仅与光束在大气中传播的距离有关，还受到当地环境因素如空气质量、气压和温湿度等的影响。Schmitz [13] 等等研究者针对大气能见度为40公里的情况，提出了一种计算效率的方法。

${\eta }_{at}=\{\begin{array}{l}0.99321-0.0001176d_{HR}+1.97\times {10}^{-8}\times d_{HR}^2\\ {\text{e}}^{-1.106\times {10}^{-4}}{d}_{HR}\end{array}$(11)

式(11)中 $d_{HR}$表示镜面中心到集热器中心的距离，即反射距离。

Campo布置方法是一种圆形定日镜场的布置方式，通过该方法可以生成灵活且规则的径向交错的密集型定日镜场。基于Campo布置方法规则 [14] ，第一行的半径R₁由第一行的定日镜数量 $Nhe{l}_1$计算得出，可设计镜场的布置。首先从第一布置区域第一行开始，将首环第一个定日镜放置在镜场正北方向，其余定日镜遵循不发生相互机械碰撞原则及水平旋转不触及地面原则进行周向均匀布置，第二行定日镜数目同第一行但与第一行定日镜交错放置，同时保证相邻两行定日镜的特征圆相切，依次类推遵循上述定日镜位置设计原则，最终呈现密集型圆形定日镜场。在该原则及Campo规则下，设定定日镜坐标为 $\left(x,y\right)$，定日镜特征圆直径为DM则定日镜坐标的计算如公式

$\{\begin{array}{l}{\left(x_1-x_2\right)}^2+{\left(y_1-y_2\right)}^2\ge L{H}^2\\ R_1=\left(DM\cdot Nhe{l}_1\right)/2\pi \\ \Delta \alpha z_1=2\arcsin \left[DM/\left(2R_1\right)\right]\end{array}$(12)

式(12)中的LH为定日镜的宽，或者为定日镜短的边( 图11 )。

定日镜场的清洁车通常用于定期清洁太阳能反射镜或光伏板，以保持其表面清洁，最大限度地提高光吸收效率( 图12 )。

定日镜每相邻两行之间的距离desp是清洗车辆工作行驶路径，该距离的大小决定了清洗车辆行驶的安全性和进行定日镜清洗工作效率的最大化。因为出于清洗车辆自身维护和其行驶的安全性的考量和相邻定日镜不发生相互机械碰撞及水平旋转不触及地面的客观要求，致使定日镜的对角线长度的变化约束着定日镜安全距离，即意味着定日镜安全距离的数值变化会影响定日镜坐标的变化。故定日镜的安全距离计算公式如下。

$DM=DH+desp$(13)

根据能量守恒定律，接收能量与接收面积成正比，所以定日镜面积越大，接收的太阳光能量就越多。因此对于定日镜，其重要的一项参数是定日镜的尺寸。定日镜的尺寸大小取决于定日镜的镜面长LW、镜面宽LH及定日镜对角线与定日镜宽的夹角。所以为了使定日镜接收能量尽量大，实现在达到镜场额定功率60 MW下单位镜面面积年平均输出热功率尽量大，该镜面面型必须为矩形且无误差。为满足该镜场能量要求，建立DH三角函数效率模型。

$\{\begin{array}{l}LW=DH\cos \beta \\ LH=DH\sin \beta \end{array}$(14)

因为定日镜镜面最大化的同时必须保证其水平轴旋转不触及地面以及定日镜制作惯例要求：镜宽不小于镜高，所以定日镜高度的确立时必须保证通过LH与两大约束条件范围内达到实现定日镜面最大化，接受太阳光能量最大化，即基于LH与的约束关系利用动态规划建立定日镜高度的计算：

$H_{mir}\le LH\le 2H_{mir}$(15)

利用动态规划建立定日镜高度的计算：

1) 划分：按照问题的特征，把问题分为若干阶段。注意：划分后的阶段一定是有序的或可排序的。

2) 确定状态和状态变量：将问题发展到各个阶段时所处的各种不同的客观情况表现出来。状态的选择要满足无后续性。

3) 确定决策并写出状态转移方程：状态转移就是根据上一阶段的决策和状态来导出本阶段的状态。根据相邻两个阶段状态之间的联系来确定决策方法和状态转移方程。

4) 边界条件：状态转移方程是一个递推式，因此需要找到递推终止的条件。

最小增量 $\Delta R_{\min }$：基于同区域邻行定量径向间距，同一区域内各行上定日镜数量相同，同时奇偶数行交错布置前连续行之间径向间距保持不变，则在当相邻行定日镜之间以最密集的方式排列时，每相邻行半径的增量在合理范围内变动，为达到定日镜场额定功率，该增量的最小增量 $\Delta R_{\min }$必须小于满足相邻行定日镜特征圆相切的直径DM在合理范围内变动，保证其在合理范围内变动的为首行以吸收塔为中心，半径为R₁的圆弧与两相切特征圆中心连接的直径距离h，故最小增量 $\Delta R_{\min }$计算公式如下

$\{\begin{array}{l}h=R_1-\sqrt{R_1^2-\left(D{M}^2/4\right)}\\ \Delta R_{\min }=DM\cdot \cos {30}^{\circ }-h\end{array}$(16)

由于上一部分最小增量 $\Delta R_{\min }$定义可知同一区域相邻两行之间的径向间距保持不变以及同一区域内各行上定日镜数量相同，这导致同一行上相邻定日镜之间的方位间距会随着行半径的增加逐渐增大，因此基于该径向间距定量和方位间距的特殊布置关系，推出在第n区域内所能允许布置的最大行数 $Nrow{s}_n$计算如公式。

$Nrow{s}_n=\frac{2^{n-1}\cdot R_1}{\Delta R_{\min }}\cong round\left[\frac{2^{n-1}\cdot DM\cdot Nhe{l}_1}{2\pi \left(DM\cdot \cos {30}^{\circ }-h\right)}\right]$(17)

首先在Campo布置方法中就已限定下一区域行半径相比上一区域行半径呈2倍指数增长：

$R_n=R_1\cdot 2^{n-1}$(18)

因此在同区域各行上的定日镜数量保持不变的同时同一行相邻定日镜之间的方位间距会随着行半径的增加而增大直至布置区域最后一行上两个相邻定日镜之间允许放置一个额外定日镜时开始依据第一个区域排布原理进行下一区域的布置，这也间接导致了下一区域内各行定日镜数量为上一区域内各行定日镜数量的两倍，故各区域每行定日镜数量 $Nhe{l}_n$数量的计算如公式：

$Nhe{l}_n=Nhe{l}_n\cdot 2^{n-1}$(19)

本次数据位于东经98.5˚，北纬39.4˚的某定日镜场作为研究对象，该地海拔3000 m，规划的吸收塔高度为80 m，集热器采用高8 m、直径7 m的圆柱形外表受光式集热器。吸收塔周围100 m范围内不安装定日镜，留出空地建造厂房，用于安装发电、储能、控制等设备。定日镜的形状为平面矩形，其上下两条边始终平行于地面，这两条边之间的距离称为镜面高度，镜面左右两条边之间的距离称为镜面宽度，通常镜面宽度不小于镜面高度。镜面边长在2 m至8 m之间，安装高度在2 m至6 m之间，安装高度必须保证镜面在绕水平转轴旋转时不会触及地面。由于维护及清洗车辆行驶的需要，要求相邻定日镜底座中心之间的距离比镜面宽度多5 m以上。

在实际的工程应用中，一个定日镜场的年发电量(或者称额定年平均输出热功率)是一定的。因此，本文选取“额定年平均输出热功率下单位镜面面积年平均输出热功率”作为评判的指标。在定日镜场同等输出热功率的情况下，单位镜面面积年平均输出热功率越高，则该定日镜的发电效率越高。本文在仿真时，具体定日镜场年发电量选取的数值为200,000度，即2,000,000 kW∙h。

吸收塔建于该圆形定日镜场中心，以吸收塔所在圆形区域中心为原点的镜场排布中，镜场位置的确立遵循不发生相互机械碰撞原则及水平旋转不触及地面原则，则定日镜位置坐标 $\left(x,y\right)$的计算受如下条件约束：

$\{\begin{array}{l}{100}^2\le x^2+y^2\le {300}^2\\ {\left(x_1-x_2\right)}^2+{\left(y_1-y_2\right)}^2\ge {\left(LH+5\right)}^2\end{array}$(20)

在此约束条件下利用动态规划计算出各区域各行定日镜位置坐标 $\left(x,y\right)$。定日镜面面型统一为矩形，根据前文所述的定日镜特征圆直径与安全距离的约束关系，求出定日镜的对角线长度，由计算公式求出

$DH=desp-DM$(21)

根据定日镜的对角线长度，利用在镜场设计需求要求：

$2\le LH\le 8$(22)

利用正余弦函数建立定日镜镜面镜长镜宽与夹角等式关系求出定日镜镜长与镜宽，以此求出定日镜尺寸。因为镜场设计排布要求镜面宽度在2到8 m之间同时定日镜的制作惯例要求镜宽不小于镜高以及遵循相邻定日镜不相互机械碰撞和其水平轴旋转不触地原则，建立定日镜镜高约束条件结合动态规划求得定日镜镜高最优解

$\{\begin{array}{l}{H}_{mir}\le LH\le 2H_{mir}\\ 2\le LH\le 8\end{array}$(23)

在定日镜场奇数偶数行交错布置定日镜且连续行之间径向间距保持不变的情况下，定日镜的数目与每一区域定日镜的行数密切相关。在基于定日镜最密集排布方式下的几何关系，每一区域各行定日镜的数量相同以及同一区域内相邻行之间的径向间距保持不变，依据这种特殊布置关系结合前文所提到的最小增量 $\Delta R_{\min }$求出第n区域内所能允许布置的最大行数 $Nrow{s}_n$。计算公式为( 图13 )

$Nrows=round\left[\frac{2^{n-1}\cdot DM\cdot Nhe{l}_1}{2\pi \left(DM\cdot \cos {30}^{\circ }-h\right)}\right]$(24)

根据求得区域内所能允许布置的定日镜最大行数，利用前文所提及的Campo布置规则限定下一区域行半径相比上一区域行半径呈2倍指数增长，计算出各区域内每行定日镜数量，故定日镜镜场定日镜数目得以求出，计算公式如下：

$Nhe{l}_n=Nhe{l}_1\cdot \frac{Nrow{s}_n\cdot \Delta R_{\min }}{R_1}$(25)

结合各式子：

$\{\begin{array}{l}{100}^2\le x^2+y^2\le {300}^2\\ {\left(x_1-x_2\right)}^2+{\left(y_1-y_2\right)}^2\ge {\left(LH+5\right)}^2\\ DM=DH+desp\\ 2\le LH\le 8\\ LW=DH\cos \beta \\ LH=DH\sin \beta \\ H_{mir}\le LH\le 2H_{mir}\\ Nrow{s}_n=round\left[\frac{2^{n-1}\cdot DM\cdot Nhe{l}_1}{2\pi \left(DM\cdot \cos {30}^{\circ }-h\right)}\right]\\ Nhe{l}_n=Nhe{l}_1\cdot \frac{Nrow{s}_n\cdot \Delta R_{\min }}{R_1}\end{array}$(26)

仿真得到的定日镜布置的结果如 图14 。

仿真得到的“单位镜面面积年平均输出热功率”为117.9788 kWh/m²。从 图14 定日镜布局仿真结果可以发现，在确保定日镜之间距离安全以及定日镜维护需求的前提下，Campo布置下的定日镜密集度较高，不同半径下的土地利用率是相同的。

图14. Campo布置的效果

设置其他参数与Campo布置相同的参数，布置方法采用传统的放射状栅格法布置，绘制得到的定日镜布置结果如 图15 所示。

仿真得到的“单位镜面面积年平均输出热功率”为97.8883 kWh/m²。从 图15 定日镜布局仿真结果可以发现，同样在确保定日镜之间距离安全以及定日镜维护需求的前提下，放射状栅格法布置下的定日镜会随着布局半径的增大而明显分散，土地利用率随着半径的增大而显著下降。

图15. 放射状栅格法布置的效果

由前面的仿真结果可以得到，在同等条件下，Campo布局相较于放射状栅格法提升了约20.09 kWh/m²的单位镜面面积年平均输出热功率，性能提升单位镜面面积年平均输出热功率提升了20.52% ( 图16 )。

对比两种布置方法的局部图，可以发现，Campo布局通过其更紧凑的镜面排列，有效减少了镜面间的遮挡和光损失，从而提高了系统的总体能量捕获效率( 表1 )。