高速磁浮列车通过隧道时所引起的空气流动是十分复杂的，由于流动的空气与隧道壁面、列车壁面之间存在摩擦、传热等不可逆因素，故隧道内的空气流动是可压缩并伴有边界层分离的复杂的三维非定常紊流流动。磁浮列车头部驶入隧道入口端瞬间，受到洞内空气流动空间限制产生初始压缩波，形成初期具有显著地三维特性，在传播一定距离后变成一维平面波 [14] 。隧道长度远大于隧道断面水力直径；列车长度也远大于列车与隧道所形成环状空间横截面的当量水力直径。隧道内的压力波是以近似声速传播，当把隧道空间和环状空间上的某一断面各点的压力均匀分布，即隧道内压力波动具有一维特性，可将列车通过隧道时，隧道内产生的空气流动看作一维可压缩非定常流动模型 [15] 。

在模拟隧道压力波的一维可压缩非定常不等熵流动模型时，需考虑对于模型建立过程中的实际影响因素及假设。利用质量守恒、动量定理和能量守恒定理，可以建立控制体的基本方程。

连续性方程：

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\rho \frac{\partial u}{\partial x}+u\frac{\partial \rho }{\partial x}+\rho \frac{u}{F}\frac{\text{d}F}{\text{d}x}=0$(1)

动量方程：

$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial x}+G=0$(2)

能量方程：

$\frac{\partial p}{\partial t}+u\frac{\partial p}{\partial x}-a^2\left(\frac{\partial \rho }{\partial t}+u\frac{\partial \rho }{\partial x}\right)=(\kappa -1)\rho (q-\xi +uG)$(3)

式中： $u$、 $p$、 $\kappa$和 $\rho$为隧道内空气流速、压力、比热比和密度； $a$为空气声速； $G$为空气与壁面的摩擦项； $q$为空气与壁面的传热项； $\xi$为空气与列车车壁的摩擦功； $t$为时间。 图1 表示了空气流动控制体。

上述方程描述了一维可压缩非定常不等熵流动模型，可采用广义黎曼变量特征线法求解，具体求解过程详见文献 [15] 。

根据列车与隧道两端口相对位置，将单列磁浮列车通过隧道的整个过程分为四个阶段。单列车通过隧道时列车在隧道内位置示意图如 图2 所示。

1) 第1阶段：列车进入隧道的初始阶段，从列车入口端到车尾端部驶入隧道入口端。

2) 第2阶段：列车在隧道内运行，尾部驶入隧道入口至头部驶出隧道出口端。

3) 第3阶段：列车驶出隧道时，车头部在隧道出口至车尾部驶离隧道出口端。

4) 第4阶段：列车驶出隧道后，当列车车尾部驶出隧道出口端，整个车外压力恢复至当地大气压。

针对于单列磁浮列车通过隧道时引发的隧道压力波问题，上述一维流动模型可模拟压力波动变化。为验证采用该方法的正确性与合理性，日本采用RTRI动模型试验装置，给出了试验列车和试验隧道参数，磁浮列车最高运行速度达到500 km/h [16] 。国内张芯茹 [17] 提取文献参数，用一维流动模型数值计算与动模型实验实测结果进行对比，发现其最大正、负压值误差分别为8.5%和1.8%，该结果满足工程实际需求。本文与中南大学动模型试验 [18] 的数据结果也进行了对比验证，其中动模型的比例尺1:20，隧道采用双轨型式。具体参数见 表1 。

图3 为中南大学动模型试验数据与一维数值计算结果的对比，其中动模型列车速度为618 km/h。从 图3 中可看出本文计算结果与试验结果的压力曲线吻合度良好，正、负压值误差分别在5%和12%以内。

为阐明单列磁浮列车通过隧道时的不同车厢车外压力波的变化特征，将车头鼻尖驶入隧道入口端的瞬间作为0时刻。 图4 给出了8节编组(200 m)单列磁浮列车以600 km/h速度通过净空面积100 m²，长5 km隧道时的头尾车车外压力时间历程曲线。 图4(a) 表示列车头尾端运行轨迹和波反射叠加图，图中黑色实、虚线分别表示列车头、尾部运行轨迹，用字母“N”和“T”代表；红色、绿色实线和虚线分别表示压缩波和膨胀波的传播轨迹，用字母“C”和“E”分别代表车头产生的压缩波和车尾产生的膨胀波。

由 图4 可知，当磁浮列车驶入隧道入口端时，由于空气向上流动和侧向流动的空间受到隧道壁面的限制，使列车所排开的空气受到压缩，导致列车前方空气压力突然升高，形成初始压缩波C_N。C_N以当地声速 $a$沿隧道长度方向向隧道出口端传播。当压缩波传播到隧道出口端时产生新的膨胀波E_N，产生一部分新的E_N向进口端方向传播，当EN传播到隧道进口端又反射出新的压缩波C_N1。同样列车尾部进入隧道时产生膨胀波E_T，E_T传播到隧道出口端时产生新的压缩波C_T。列车在隧道运行过程中，压缩波和膨胀波通过隧道前空间、环形空间和隧道后空间传播。当压力波在传播过程中遇到隧道端口等结构处流过面积的突然变化时，就会形成新的压缩波和膨胀波。两波在隧道内相互叠加形成压力波。当列车头部驶出隧道会产生压缩波(蓝色实线)，是观测点压力高于大气压。尾部驶出隧道后会产生出口膨胀波(蓝色虚线)，导致车厢外测点压力急剧下降，产生负压波动。

尾车车外压力于①时刻下降，主要是因为该时刻压力波动与膨胀波E_T相互作用的结果，列车头部于②时刻和尾车产生的膨胀波E_T相遇，使头车车外测点压力下降；③时刻的压力下降是受到头车产生的压缩波传播至洞口外反射回来的膨胀波作用的结果，此时头车车外压力达到最大负压−9.659 kPa；④、⑤和⑥时刻头、尾车车外压力下降均是受到不同程度的压缩波、膨胀波的作用。列车尾部进入隧道后，尾车车外压力始终处于负压状态。列车尾部于⑧时刻完全驶出隧道，车外压力逐渐上升到大气压水平。很明显，尾车车外最大负压值相比头车增加了3.39%。

结合 图4 对车外压力波形成机理及 图5 车外压力波动的时空演化过程分析，当单列磁浮列车通过隧道时，在隧道内运行过程中， 图4(b) 、 图4(c) 的绝大部分时间段内(①~⑧时刻)，各车厢中部测点压力均保持负压水平。列车驶入隧道入口端瞬间，隧道和列车壁面之间的摩擦效应使得车头前方流动的空气不断受到压缩从而形成车头前方正压区，压缩波大部分以当地声速向列车运行方向传播，极小部分绕过车身向隧道入口方向传播。车身驶入隧道入口的距离越大，正压区的压力就会越大。直到车尾完全驶入隧道后，车尾形成负压，隧道外空气开始补充到隧道内后，车外开始形成负压。列车完全驶离隧道，车外压力逐渐上升到大气压水平。

从以上分析可知，单列磁浮列车通过隧道时车外压力波动是由头、尾车产生的压缩波、膨胀波在隧道两端来回反射形成新的膨胀波和压缩波，波的相互叠加作用结果，其车外测点遇到压缩波后压力升高，遇到膨胀波后压力下降。

本节研究单列磁浮列车通过隧道工况下，隧道长度对列车车外最大正、负压值和最大压力峰峰值的影响变化特征，其中列车编组8节编组，长度200 m，列车横截面积11.95 m²，横截面周长18.132 m，隧道长度范围0.2~20 km，隧道净空面积100 m²为计算参数。

图6 给出了单列车以600 km/h速度通过隧道时，车外最大正、负压值和最大压力峰峰值随隧道长度的变化特性。便于分析，将“最大正、负压值和最大压力峰峰值”统称为压力最值。由图可知：在0.2~0.6 km隧道，头车车外最大正压值随隧道长度的增加而增大，0.8 km后基本保持不变且为1.063 kPa；尾车车外最大正压值在0.2~0.4 km隧道内是先增大后减小，在0.26 km隧道处达到最大值，0.5 km后随隧道长度的变化而基本保持不变且为0.069 kPa。随着隧道长度增加，头尾车车外最大负压值和最大压力峰峰值先增大后减小。 表2 所示为单列车通过隧道时基于头尾车车外压力最值的最不利隧道长度分布。

从以上分析得知，在选取的隧道长度范围内，车外压力最值出现的位置即为最恶劣情况，因此本小节为了得到更合理的最不利隧道长度，还需取较小的隧道长度来进行试算最终得到。

根据EN14067-5(2021) [19] 和参考文献 [20] 中所给出的最不利隧道长度计算公式。最不利隧道长度计算公式如式(4)和式(5)。

单列车通过隧道情形：

头车最大正压值：

$L_{\text{TU,crit}}=\frac{L_{\text{TR}}\left(1+M\right)}{2M\left(1-M\right)}$(4)

尾车最大负压值：

$L_{\text{TU,crit}}=\frac{L_{\text{TR}}\left(1+M\right)}{4M^2}$(5)

式中： $c$为当地声速； $L_{\text{TR}}$为列车长度； $M$( $v_{\text{TR}}/c$)为马赫数。

根据 表2 单列车通过隧道时，基于头尾车车外压力最值的最不利隧道长度，再结合以上计算公式给出了 表3 。通过对比发现，单列车通过隧道时基于头车最大正压值和尾车最大负压值的最不利隧道长度和解析式计算的最不利隧道长度误差较小，误差在3.83%以内。由此说明，310 m和620 m可以称为最不利隧道长度，认为解析式计算结果较为合理。

本节基于上述得到的最不利隧道长度，研究单列磁浮列车通过最不利隧道长度及中长隧道时，列车车宽对车体压力波特征的变化特性。车宽分别为2.9 m、3.3 m和3.7 m，对应的列车横截面积分别为8.759 m²、9.888 m²和11.92 m²。净空面积100 m²时，阻塞比分别为0.088、0.099和0.120。

图7 给出了不同车宽单列车以600 km/h速度通过净空面积100 m²，最不利长度310 m、596 m、620 m和1500 m中长隧道时，头尾车车外压力时间历程曲线。由图可知：不同车宽列车通过相同隧道，出现车外最大正负压值的时间相同；随着车宽由2.9 m增加至3.7 m (宽车体)，车外测点压力波动幅值逐渐增强；最不利隧道长度596 m和620 m，头尾车车外压力变化规律基本相同；在最不利隧道长度310 m，尾车大概在2.49 s恢复至大气压水平，然后压力上升并达到最值，最后列车出隧道后产生的膨胀波又逐渐下降至趋于水平。

图8 、 图9 和 图10 分别给出了单列车通过不同长度隧道时，头尾车车外最大正、负压值和最大压力峰峰值随列车车宽的变化特性。由图可知：

1) 通过相同长度隧道，头尾车车外压力最值(最大正、负压值和最大压力峰峰值)随列车车宽的增加而增大。车宽2.9 m、3.3 m和3.7 m列车通过最不利隧道长度310 m的隧道时，尾车车外最大正压值达到最大值，分别为1.595 kPa、1.629 kPa和1.713 kPa；但是在596 m、620 m和1500 m隧道，相同车宽尾车车外最大正压值相同。

2) 对于车外最大正压值而言：车宽由2.9 m增加到3.7 m，在最不利隧道长度310 m时，头尾车分别增加了42.87%和7.39%；在最不利隧道长度596 m时，头尾车分别增加了43.67%和40.74%；在最不利隧道长度620 m时，头尾车分别增加了44.07%和40.74%；在1500 m隧道时，头尾车分别增加了43.66%和40.74%。

3) 对于车外最大负压值而言：车宽由2.9 m增加到3.7 m，在最不利隧道长度310 m时，头尾车分别增加了37.26%和36.51%；在最不利隧道长度596 m时，头尾车分别增加了36.46%和33.07%；在最不利隧道长度620 m时，头尾车分别增加了36.75%和33.33%；在1500 m隧道时，头尾车分别增加了36.21%和33.09%。

4) 对于车外最大压力峰峰值而言：车宽由2.9 m增加3.7 m，在最不利隧道长度310 m时，头尾车分别增加了37.78%和31.73%；在最不利隧道长度596 m时，头尾车分别增加了37.07%和33.12%；在最不利隧道长度620 m时，头尾车分别增加了37.37%和33.37%；在1500 m隧道时，头尾车分别增加了36.85%和33.14%。

从上述分析可以得到，单列车通过最不利隧道长度和中长隧道时，随着车宽的增加，对头车车外测点压力的影响程度明显要大于尾车车外测点的压力。