令系统(2)右端等于0，通过计算可知，如果条件(H1) $\beta >\max \left\{b\mu ,\left(\Lambda +\mu +2b\Lambda \right)\mu \right\}$成立，那么存在正平衡点 $E^{\ast }=\left(S^{\ast },I^{*},R^{\ast }\right)$，在该点处，谣言在传播过程中同时存在谣言易感者，谣言传播者和谣言恢复者，其中

$S^{*}=\frac{-B+\sqrt{B^2-4AC}}{2A},I^{*}=\frac{\Lambda -\mu S^{*}}{\beta S^{*}},R^{*}=\frac{a\Lambda -a\mu S^{\ast }}{\mu \beta S^{*}+\mu b\Lambda -\mu b{S}^{\ast }}+\frac{\gamma \Lambda -\gamma \mu S^{\ast }}{\mu \beta S^{\ast }},$

这里 $A=\beta \left(\beta -b\mu \right)$， $B=b\beta \Lambda -\beta \gamma +b\gamma \mu -\mu \beta +b{\mu }^2-a\beta$， $C=-b\Lambda \left(\gamma +\mu \right)$。

现在我们开始讨论在系统(2)中正平衡点 $E^{\ast }$的稳定性。

根据文献 [9] 可知，这里仅需考虑二维系统：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}S\left(t\right)}{\text{d}t}=\Lambda -\beta S\left(t\right)I\left(t\right)-\mu S\left(t\right),\\ \frac{\text{d}I\left(t\right)}{\text{d}t}=\beta S\left(t\right)I\left(t\right)-\frac{aI\left(t-\tau \right)}{1+bI\left(t-\tau \right)}-\gamma I\left(t\right)-\mu I\left(t\right).\end{array}$(3)

令 $X=S-S^{\ast }$， $Y=I-I^{*}$，将平衡点 $E^{\ast }$化为 $E_0=\left(0,0\right)$，此时系统(3)变为：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}X\left(t\right)}{\text{d}t}=\Lambda -\beta \left(X\left(t\right)+S^{\ast }\right)\left(Y\left(t\right)+I^{\ast }\right)-\mu \left(X\left(t\right)+S^{\ast }\right),\\ \frac{\text{d}Y\left(t\right)}{\text{d}t}=\beta \left(X\left(t\right)+S^{\ast }\right)\left(Y\left(t\right)+I^{\ast }\right)-\frac{a\left(Y\left(t-\tau \right)+I{}^{\ast }\right)}{1+b\left(Y\left(t-\tau \right)+I{}^{\ast }\right)}-\gamma \left(Y\left(t\right)+I^{\ast }\right)-\mu \left(Y\left(t\right)+I^{\ast }\right).\end{array}$

线性化上面的系统：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}X\left(t\right)}{\text{d}t}=a_{1}X\left(t\right)+a_{2}Y\left(t\right)+a_{3}Y\left(t-\tau \right),\\ \frac{\text{d}Y\left(t\right)}{\text{d}t}=a_{4}X\left(t\right)+a_{5}Y\left(t\right)+a_{6}Y\left(t-\tau \right),\end{array}$(4)

其中

$a_1=-\beta I^{\ast }-\mu ,a_2=-\beta S^{\ast },a_3=0,$

$a_4=\beta I^{\ast },a_5=\beta S^{\ast }-\gamma -\mu ,a_6=-\frac{a}{{\left(1+b{I}^{\ast }\right)}^2}.$

对于系统(4)，它在正平衡点的雅可比矩阵为：

$J=\left[\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ a_4& a_5+a_6{\text{e}}^{-\lambda \tau }\end{array}\right].$

则对应的特征方程为：

${\lambda }^2-\left(a_1+a_5\right)\lambda +a_1{a}_5-a_2{a}_4-\left(a_6\lambda -a_1{a}_6\right){\text{e}}^{-\lambda \tau }=0.$(5)

对于 $\tau$的不同情形，我们分为以下两种情况进行讨论。

情形1 $\tau =0$。此时特征方程(5)变为：

${\lambda }^2-\left(a_1+a_5+a_6\right)\lambda +a_1\left(a_5+a_6\right)-a_2{a}_4=0.$(6)

引理1 (Routh-Hurwitz定理)考虑多项式方程

${\lambda }^n+a_1{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_{n-1}\lambda +a_n=0.$

所有根具有负实部的充要条件是

${\Delta }_k=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_1& a_3& a_5& \cdots & a_{2k-1}\\ 1& a_2& a_4& \cdots & a_{2k-2}\\ 0& a_1& a_3& \cdots & a_{2k-3}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & a_k\end{array}\right|>0,k=1,2,\cdots ,n.$

其中 $j>n$时，补充定义 $a_j=0$。

根据引理1可知，当 $a_1+a_5+a_2<0$且 $a_1\left(a_5+a_6\right)-a_2{a}_4<0$时，特征方程(6)的根具有负实部，并根据稳定性的定义，有：

定理1 对于系统(3)，当 $\tau =0$时，若条件(H21) $a_1{a}_5-a_2{a}_4+a_1{a}_6>0$和条件(H22) $a_1+a_5+a_6<0$成立，则平衡点 $E^{\ast }$是局部渐近稳定的。

情形2 $\tau >0$，记 $A_1=-a_1-a_5$， $A_2=a_1{a}_5-a_2{a}_4$， $B_1=-a_6$， $B_2=a_1{a}_6$。则特征方程(6)变为：

${\lambda }^2+A_1\lambda +A_2+\left(B_1\lambda +B_2\right){\text{e}}^{-\lambda \tau }=0.$(7)

设 $\lambda =i\omega$为方程(7)的一个根，代入(7)可得

$-{\omega }^2+A_{1}i\omega +A_2+\left(B_{1}i\omega +B_2\right){\text{e}}^{-i\tau \omega }=0.$

利用欧拉公式，整理得

$-{\omega }^2+A_2+B_1\omega \sin \tau \omega +B_2\cos \tau \omega +i\left(A_1\omega +B_1\omega \cos \tau \omega -B_2\sin \tau \omega \right)=0.$

分离实部和虚部，有

$\{\begin{array}{l}-{\omega }^2+A_2+B_1\omega \sin \tau \omega +B_2\cos \tau \omega =0,\\ A_1\omega +B_1\omega \cos \tau \omega -B_2\sin \tau \omega =0.\end{array}$(8)

将上面两式平方相加得：

${\omega }^4+\left(A_1^2-2A_2-B_1^2\right){\omega }^2+A_2^2-B_2^2=0.$(9)

记 $A_{11}=A_1^2-2A_2-B_1^2$， $A_{12}=A_2^2-B_2^2$， $W={\omega }^2$。从而方程(9)变为：

$W^2+A_{11}W+A_{12}=0.$

引理2 对于方程 $W^2+A_{11}W+A_{12}=0$，有：

1) 当条件(H31) $A_{11}^2-4A_{12}<0$或(H32) $A_{11}>0$， $A_{12}>0$成立，那么方程没有正实根；

2) 当条件(H33) $\{\begin{array}{l}{A}_{11}<0\\ A_{11}^2-4A_{12}\ge 0\end{array}$或(H34) $A_{12}<0$成立，那么上述方程至少有一个正实根。

证明：根据一元二次方程的性质可得。

则满足条件(H33) $\{\begin{array}{l}{A}_{11}<0\\ A_{11}^2-4A_{12}\ge 0\end{array}$或条件(H34) $A_{12}<0$时，可设方程 $W^2+A_{11}W+A_{12}=0$的一个正实根为 ${\sigma }_0$。从而，方程(8)有一个正实根 ${\omega }_0=\sqrt{{\sigma }_0}$。

可以计算得到时滞的临界值：

${\tau }_k=\frac{1}{{\omega }_0}\left(\arccos \frac{\left(B_2-B_1{A}_1\right){\omega }_0^2-B_2{A}_2}{B_2^2+B_1^2{\omega }_0^2}+2k\pi \right),k=0,1,2,3,\cdots$

则当 $k=0$，即 $\tau ={\tau }_0$时，方程(8)有一对纯虚根 $\pm i{\omega }_0$。

下面考虑横截条件 ${\frac{\text{d}\left(\mathrm{Re}\lambda \right)}{\text{d}\tau }|}_{\lambda =i{\omega }_0}$的符号。

特征方程(7)两边对 $\tau$求导，有

$2\lambda \frac{\text{d}\lambda \left(\tau \right)}{\text{d}\tau }+A_1\frac{\text{d}\lambda \left(\tau \right)}{\text{d}\tau }+B_1\frac{\text{d}\lambda \left(\tau \right)}{\text{d}\tau }-{\text{e}}^{-\lambda \tau }\left(\tau \frac{\text{d}\lambda \left(\tau \right)}{\text{d}\tau }+\lambda \right)\left(B_1\lambda +B_2\right)=0$

所以，有

$\begin{array}{c}{\left(\frac{\text{d}\lambda \left(\tau \right)}{\text{d}\tau }\right)}^{-1}=\frac{2\lambda +A_1+B_1{\text{e}}^{-\lambda \tau }-\tau \left(B_1\lambda +B_2\right){\text{e}}^{-\lambda \tau }}{\lambda {\text{e}}^{-\lambda \tau }\left(B_1\lambda +B_2\right)}\\ =\frac{2{\text{e}}^{\lambda \tau }}{B_1\lambda +B_2}+\frac{A_1{\text{e}}^{\lambda \tau }+B_1}{\lambda \left(B_1\lambda +B_2\right)}-\frac{\tau }{\lambda }\end{array}$

那么当 $\tau ={\tau }_0$时，就有

$\begin{array}{c}\mathrm{Re}\left(\frac{2{\text{e}}^{{\lambda }_0{\tau }_0}}{B_1{\lambda }_0+B_2}\right)=\mathrm{Re}\left(\frac{2\left(\cos {\omega }_0{\tau }_0+i\sin {\omega }_0{\tau }_0\right)\left(B_2-i{\omega }_0{B}_1\right)}{B_2^2-B_1^2{\lambda }_0^2}\right)\\ =\frac{2\left(B_2\cos {\omega }_0{\tau }_0+B_1{\omega }_0\sin {\omega }_0{\tau }_0\right)}{B_2^2-B_1^2{\lambda }_0^2}\end{array}$

$\begin{array}{c}\mathrm{Re}\left(\frac{A_1{\text{e}}^{{\lambda }_0{\tau }_0}+B_1}{{\lambda }_0\left(B_1{\lambda }_0+B_2\right)}\right)=\mathrm{Re}\left(\frac{A_1\left(\cos {\omega }_0{\tau }_0+i\sin {\omega }_0{\tau }_0\right)+B_1}{{\lambda }_0\left(B_1{\lambda }_0+B_2\right)}\right)\\ =\mathrm{Re}\left(\frac{\left(A_1\cos {\omega }_0{\tau }_0+i{A}_1\sin {\omega }_0{\tau }_0+B_1\right)\left(B_2-i{B}_1{\omega }_0\right)}{{\lambda }_0\left(B_2^2-B_1^2{\lambda }_0^2\right)}\right)\\ =\frac{A_1{B}_1{\omega }_0\cos {\omega }_0{\tau }_0-A_1{B}_2\sin {\omega }_0{\tau }_0+B_1^2{\omega }_0}{-{\omega }_0\left(B_2^2-B_1^2{\lambda }_0^2\right)}\end{array}$

由(8)可得

$\begin{array}{c}{\frac{\text{d}\left(\mathrm{Re}\lambda \right)}{\text{d}\tau }|}_{\tau ={\tau }_0}=\frac{2\left(B_2\cos {\omega }_0{\tau }_0+B_1{\omega }_0\sin {\omega }_0{\tau }_0\right)}{B_2^2-B_1^2{\lambda }_0^2}-\frac{A_1{B}_1{\omega }_0\cos {\omega }_0{\tau }_0-A_1{B}_2\sin {\omega }_0{\tau }_0+B_1^2{\omega }_0}{{\omega }_0\left(B_2^2-B_1^2{\lambda }_0^2\right)}\\ =\frac{2\left({\omega }_0^2-A_2\right)-\left(A_1^2+B_1^2\right)}{B_2^2+B_1^2{\omega }_0^2}\\ =\frac{\left(2{\omega }_0^2-2A_2-A_1^2-B_1^2\right)\left(B_2^2+B_1^2{\omega }_0^2\right)}{{\left(B_2^2+B_1^2{\omega }_0^2\right)}^2}\end{array}$

整理可得

${\frac{\text{d}\left(\mathrm{Re}\lambda \right)}{\text{d}\tau }|}_{\lambda =i{\omega }_0}=\frac{C_1{\omega }_0^4+C_2{\omega }_0^2+C_3}{{\left(B_2^2+B_1^2{\omega }_0^2\right)}^2}$

其中

$\begin{array}{l}{C}_1=2B_1^2,\\ C_2=2B_2^2+A_1^2{B}_1^2-2A_2{B}_1^2-B_1^4,\\ C_3=-2A_2{B}_2^2+A_1^2{B}_2^2-B_1^2{B}_2^2.\end{array}$

不难发现，分母恒大于0。分子记为： $f\left({\omega }_0\right)=C_1{\omega }_0^4+C_2{\omega }_0^2+C_3$。而 ${\sigma }_0={\omega }_0^2$，则有

$f\left({\sigma }_0\right)=C_1{\sigma }_0^2+C_2{\sigma }_0+C_3.$

引理3 对于 $f\left({\sigma }_0\right)=C_1{\sigma }_0^2+C_2{\sigma }_0+C_3$，如果条件(H41) $C_2^2-4C_1{C}_3<0$或条件(H42) $C_2^2-4C_1{C}_3\ge 0$， $\frac{-C_2+\sqrt{C_2^2-4C_1{C}_3}}{2C_1}\le 0$成立，那么 $f\left({\sigma }_0\right)>0$。

证明：利用二次函数的性质可得。

所以若条件(H41) $C_2^2-4C_1{C}_3<0$或条件(H42) $C_2^2-4C_1{C}_3\ge 0$， $\frac{-C_2+\sqrt{C_2^2-4C_1{C}_3}}{2C_1}\le 0$，则 ${\frac{\text{d}\left(\mathrm{Re}\lambda \right)}{\text{d}\tau }|}_{\lambda =i{\omega }_0}>0$。

综上，结合定理1和引理2，3，我们可以得到下面的结论：

定理2 对于系统，当 $\tau >0$时假设条件(H1)和(H21)和(H22)成立，则有：

1) 当条件(H31)或条件(H32)成立，正平衡点 $E^{\ast }$是局部渐近稳定的；

2) 当条件(H33) (H41)或(H33) (H42)或(H34) (H41)或(H34) (H42)成立时，则当 $\tau \in \left[0,{\tau }_0\right)$时，正平衡点 $E^{\ast }$是局部渐近稳定的；当 $\tau \in \left({\tau }_0,+\infty \right)$时，正平衡点 $E^{\ast }$是不稳定的；当 $\tau ={\tau }_0$时，正平衡点 $E^{\ast }$在时滞临界值附近会产生Hopf分岔。