工程领域中的振动 [1] 通常都是有害的 [2] [3] [4] ，因此，需要考虑设计减振结构来抑制振动。调谐质量减振器 [5] 利用弹簧，阻尼和集中质量吸收振动能量，具有简单和高可靠性的特点，是一种经典的被动减振器。

近年来研究人员对仿生结构 [6] 进行了大量研究。其中受到鸵鸟腿部结构启发，简化得到的X型仿生结构具有良好的低频减振性能 [7] 。Feng等 [8] 模拟人体行走肢体摆动提出了带有旋转单元和X型结构的隔振器，并研究了其抗振性能。Wei等 [9] 将能量采集系统与杠杆系统和X型支撑结构相结合，该结构具有可调的刚度和独特的非线性阻尼特性，有利于提高能量采集效率。该系统可以通过匹配激励频率和覆盖更宽的频段来调整和提高能量收集效率。常见的X型结构隔振系统的承载能力相对固定，如果出现超载，系统容易发生故障 [10] 。

2002年，Smith [11] 设计了惯容器。惯容器具有两个的连接端点，作用在端点上的力与两端点间的相对加速度成正比。惯容器与质量相似的是，在系统中都作为惯性元件提供惯性，不同之处在于质量元件只能提供自身质量等值的惯性，而惯容器可以凭借机械结构，可以提供自身质量几十甚至上百倍的惯性，且是可调节的。Chen等 [12] 介绍了剑桥大学工程系所制造的滚珠丝杠型惯容器已被应用于一级方程式赛车领域，其质量约为1千克，却能提供相当于60至240千克的惯性。基于传统的调谐质量阻尼器，惯容器为设计新型的，具有更高性能的减振器提供了思路。Lazar [13] 和Gonzalez-Buelga [14] 将传统调谐质量减振器的质量块替换成惯容器，提出了调谐惯容减振器。Zhang [15] 和Pan [16] 提出并研究了用于带有平行布局的粘性惯性的减振器。惯容器运用调谐系统隔振已非常广泛。

本文在X型结构框架的基础上，通过引入横向的调谐惯容阻尼器吸收系统振动能量。通过与传统X型结构进行对比，研究了新型组合减振器的减振性能，促进了X型结构与惯容器的工程实际应用。

系统的力学模型如 图1 所示。主结构等效为质量为m₁，线性弹簧刚度为k₁，阻尼为c₁的单自由度线性振子。调谐惯容减振器主要由线性弹簧k₂，线性阻尼c₂和惯容器m₂组成。X型结构由杆长为2l的长杆铰接而成，忽略铰接处的摩擦力，长杆初始装配角度为θ，含有四边形结构层的层数为n。系统外激励为基础位移谐波激励， $x_e=A\cos \left(\omega t\right)$，其中，A和ω分别为位移激励的幅值和频率。x₁和x₂分别为主系统结构和调谐惯容减振器的惯容器的位移。

X型结构初始状态为静力平衡状态，σ为连杆静平衡初始安装角度。在建模过程中，采用两个附加约束坐标x和 $\varphi$作为中间坐标，y为连接关节A的水平位移， $\varphi$为连杆的旋转角度。当x₁和x₂位移确定时，x和 $\varphi$可通过几何关系得出，根据连接接头A的水平和竖直位移可得出以下关系：

$l\cos \theta +x=l\cos \left(\sigma -\varphi \right),l\sin \theta -h=l\sin \left(\sigma -\varphi \right)$(1)

其中 $h=\left(x_1-x_e\right)/2n$。y和 $\varphi$可表示为：

$y=\sqrt{l^2-{\left(l\sin \theta +h\right)}^2}-l\cos \theta ,\varphi =\theta -\arctan \left(\frac{l\sin \theta +h}{\sqrt{l^2-{\left(l\sin \theta +h\right)}^2}}\right)$(2)

旋转角度受限制，其范围： $\theta -{90}^{\circ }<\varphi <\theta$。

由 图1 中几何位移关系，X型结构两端连接接头位移分别为y与−y，可得 $x_{\text{2}}=x_n+y$， $x_n=x_{\text{2}}-y$。弹簧与阻尼位移为2y − x₂。

该系统的动能为：

$T=\frac{1}{2}{m}_1{\stackrel{\dot{}}{x}}^2{}_1+\frac{1}{2}{m}_2{\stackrel{\dot{}}{x}}_2^2$(3)

该系统的势能为：

$V=\frac{1}{2}{k}_1{\left(x_1-x_e\right)}^2+\frac{1}{2}{k}_2{\left(2y-x_2\right)}^2$(4)

该系统忽略X型结构连接接头处的摩擦，得到非保守力做的功为：

$Q_1=-c_1\left({\stackrel{\dot{}}{x}}_1-{\stackrel{\dot{}}{x}}_e\right),Q_2=-c_2\left(2\stackrel{\dot{}}{y}-{\stackrel{\dot{}}{x}}_2\right)\frac{\text{d}\left(2y-x_2\right)}{\text{d}{x}_1}$(5)

将系统能量方程(3)、(4)、(5)带入拉格朗日方程可以得到：

$m_1{\ddot{x}}_1+k_1\left(x_1-x_e\right)+c_1\left({\stackrel{\dot{}}{x}}_1-{\stackrel{\dot{}}{x}}_e\right)+4k_{2}y\frac{\text{d}y}{\text{d}u}-2k_2{x}_2\frac{\text{d}y}{\text{d}u}+4c_2{\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}u}\right)}^2\stackrel{\dot{}}{u}=0$(6)

$m_2\left({\ddot{x}}_2+\ddot{y}\right)+k_2\left(x_2-2y\right)+c_2\left({\stackrel{\dot{}}{x}}_2-2\stackrel{\dot{}}{y}\right)=0$(7)

其中 $u=x_1-x_e$是相对位移。

用泰勒级数将方程(6)、(7)中的y项与 $4y\frac{\text{d}y}{\text{d}u}$， $\frac{\text{d}y}{\text{d}u}$和 $4{\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}u}\right)}^2$项分别展开，动力学方程可以写成：

$\begin{array}{l}{m}_1{\ddot{x}}_1+k_1\left(x_1-x_e\right)+c_1\left({\stackrel{\dot{}}{x}}_1-{\stackrel{\dot{}}{x}}_e\right)+k_2\left(q_0+q_{1}u+q_2{u}^2+q_3{u}^3\right)\\ -2k_2{x}_2\left(g_0+g_{1}u+g_2{u}^2+g_3{u}^3\right)+c_2\left(p_2{u}^2\stackrel{\dot{}}{u}+p_{1}u\stackrel{\dot{}}{u}+p_0\stackrel{\dot{}}{u}\right)=0\end{array}$(8)

$\begin{array}{l}{m}_2\left[{\ddot{x}}_2+w_1\ddot{u}+2w_2\left({\stackrel{\dot{}}{u}}^2+u\ddot{u}\right)+3w_3\left(2u{\stackrel{\dot{}}{u}}^2+u^2\ddot{u}\right)\right]\\ +k_2\left[x_2-2u\left(w_1+w_{2}u+w_3{u}^2\right)\right]+c_2\left[{\stackrel{\dot{}}{x}}_2-2\stackrel{\dot{}}{u}\left(w_1+2w_{2}u+3w_3{u}^2\right)\right]=0\end{array}$(9)

泰勒展开项分别为：

$\{\begin{array}{l}{q}_1=\frac{{\tan }^2\theta }{n^2},q_2=\frac{3}{4}\frac{\sin \theta }{n^{3}l{\cos }^4\theta },q_3=\frac{1}{8}\frac{5-4{\cos }^2\theta }{l^2{n}^4{\cos }^6\theta },g_0=\frac{\tan \theta }{2n},g_1=-\frac{{\sec }^3\theta }{4n^{2}l},\\ g_2=\frac{3}{16}\frac{\tan \theta \cdot {\sec }^4\theta }{l^2{n}^3},g_3=\frac{4{\cos }^2\theta -5}{32l^3{n}^4{\cos }^7\theta },p_0=\frac{{\tan }^2\theta }{n^2},p_1=\frac{\sin \theta }{n^{3}l{\cos }^4\theta },\\ p_2=\frac{1}{4}\frac{4-3{\cos }^2\theta }{l^2{n}^4{\cos }^6\theta },w_1=-\frac{\tan \theta }{2n},w_2=\frac{{\sec }^3\theta }{8n^{2}l},w_3=\frac{\tan \theta }{16n^3{l}^2{\cos }^4\theta }\end{array}$(10)

由方程(8)、(9)可知，虽然系统的弹簧和阻尼都是线性的，但等效刚度和阻尼特性却是非线性，非线性刚度可以通过结构参数来实现，非线性阻尼项是一个关于相对位移的函数，也由结构参数决定。

动力学方程写成无量纲形式可以得到：

$\begin{array}{l}{\ddot{u}}_1+u_1-f\cos \left(\gamma \tau \right)+{\zeta }_1\left[{\stackrel{\dot{}}{u}}_1+f\gamma \sin \left(\gamma \tau \right)\right]+\beta Q_1\left(\tau \right)-2\beta u_2{G}_1\left(\tau \right)\\ +{\zeta }_2\left[{\stackrel{\dot{}}{u}}_1+f\gamma \sin \left(\gamma \tau \right)\right]P_1\left(\tau \right)=0\end{array}$(11)

${\ddot{u}}_2+\beta \mu \left[u_2-2W\left(\tau \right)\right]+{\zeta }_2\mu \left[{\stackrel{\dot{}}{u}}_2-2\stackrel{\dot{}}{W}\left(\tau \right)\right]=0$(12)

其中

$\{\begin{array}{l}{Q}_1\left(\tau \right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{3}{\sum }}{q}_i{\left(u_1-f\cos \left(\gamma \tau \right)\right)}^i},G_1\left(\tau \right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{3}{\sum }}{g}_i{\left(u_1-f\cos \left(\gamma \tau \right)\right)}^i}\\ P_1\left(\tau \right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{2}{\sum }}{p}_i{\left(u_1-f\cos \left(\gamma \tau \right)\right)}^i},W_1\left(\tau \right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{3}{\sum }}{w}_i{\left(u_1-f\cos \left(\gamma \tau \right)\right)}^i}\end{array}$(13)

无量纲参数分别为：

$f=\frac{A}{l},\gamma =\frac{\omega }{{\omega }_0},\tau ={\omega }_{0}t,{\zeta }_1=\frac{c_1}{m_1{\omega }_0},{\zeta }_2=\frac{c_2}{m_1{\omega }_0},\beta =\frac{k_2}{m_1{\omega }_0^2},\mu =\frac{m_1}{m_2}$(14)

其中ω₀为无阻尼时主结构的固有频率。ζ₁是主结构阻尼的阻尼比。ζ₂是调谐惯容减振器的阻尼与主结构的临界阻尼的阻尼比。β表示调谐惯容减振器的线性弹性参数与主结构的线性弹性参数之比。μ是主系统的质量与参数惯容器惯性参数之比。此时无量纲动力学方程泰勒展开项系数分别为：

$\{\begin{array}{l}{q}_1=\frac{{\tan }^2\theta }{n^2},q_2=\frac{3}{4}\frac{\sin \theta }{n^3{\cos }^4\theta },q_3=\frac{1}{8}\frac{5-4{\cos }^2\theta }{n^4{\cos }^6\theta },g_0=\frac{\tan \theta }{2n},g_1=-\frac{{\sec }^3\theta }{4n^2},\\ g_2=\frac{3}{16}\frac{\tan \theta \cdot {\sec }^4\theta }{n^3},g_3=\frac{4{\cos }^2\theta -5}{32n^4{\cos }^7\theta },p_0=\frac{{\tan }^2\theta }{n^2},p_1=\frac{\sin \theta }{n^3{\cos }^4\theta },\\ p_2=\frac{1}{4}\frac{4-3{\cos }^2\theta }{n^4{\cos }^6\theta },w_1=-\frac{\tan \theta }{2n},w_2=\frac{{\sec }^3\theta }{8n^2},w_3=\frac{\tan \theta }{16n^3{\cos }^4\theta }\end{array}$(15)

未控系统(Uncontrolled)主结构幅频响应的最大幅值记为A_u，带有调谐惯容X型减振器系统主结构的幅频响应的最大幅值记为A_n，那么，系统的最大响应幅值减少百分比R_A为：

$R_{\text{A}}=\frac{A_{\text{u}}-A_{\text{n}}}{A_{\text{u}}}100\text{\%}$(21)

两种减振器的X型框架均采用 表1 的参数，改变的其他参数由 表2 列出，与传统X型结构进行数值计算仿真比较分析。在外加激励幅值f = 0.0167时，两种减振器的减振性能分别如 图3 所示。传统X型结构对系统振动幅值的减振百分比为22.91%。而组合减振器对振动幅值的减振百分比为91.05%，减振效果非常明显。由此可得，在相同的条件下，组合减振器比传统X型结构对系统振动幅值有着更加优秀的减振性能。此外，在激励幅值f = 0.0167情况下，传统X型结构的幅频响应曲线出现了跳跃的非线性现象。而引入了惯容调谐减振器的组合减振器十分稳定，说明组合减振器的稳定性更强。

本文将调谐惯容减振器引入X型结构框架，提出了调谐惯容X型减振器。调谐惯容X型减振器可以将线性刚度转化为非线性刚度，且不需要加入非线性元件。利用拉格朗日方程建立了系统的动力学方程。采用了谐波平衡法结合伪弧长延伸法求解系统动力学方程，得到了系统的幅频响应曲线。探究了调谐惯容X型减振器的减振性能，并讨论了参数对其减振性能的影响。

与传统X型结构减振器不同，调谐惯容X型减振器可以在原系统的固有频率附近形成一个反共振峰，实现更优异的减振效果。调谐惯容X型减振器的刚度、阻尼、惯性、四边形层数和装载角的变化都会引起系统两阶共振峰值的变化。然而，当其中的四个参数固定时，另一个参数存在一个最优值，使得系统的两阶共振峰值相等，达到最优减振效果。

感谢国家自然科学基金青年项目(NO.12002217)的资助。

^*通讯作者。