叶螨是一类植食性螨，主要取食重要农业植物(包括果树)的叶和果实，具有发育快，适应性强，抗药性强等特点，是世界五大害虫之一。1971年，在加利福尼亚的果园里发现植绥螨是叶螨的有效捕食者 [1] ； [2] 中也证明了一种捕食性螨可以控制欧洲的红叶螨。

很多研究者认为在更大的时间和空间尺度上，功能反应更加依赖于捕食者，比率依赖功能反应作为捕食者功能反应的一个重要形式 [3] ，很好地描述了捕食者之间相互干扰的影响。但它存在“低密度问题” [4] ，1975年，Beddington和DeAngelis各自独立提出了一个新的捕食者依赖的功能反应 [5] [6] ，后世称为Beddington-DeAngelis功能反应。该功能反应在保持了比率依赖功能反应的某些特性的同时避免了“低密度问题” [7] 。此外，由于Smith增长比常用的Logistic增长更能描述真实的生物生长 [8] [9] ，因此本文建立了一个食饵具有Smith增长且与捕食者之间的相互作用为Beddington-DeAngelis功能反应的食饵–捕食者模型。

陈等人提出了关于“半连续动力系统”的基本概念 [10] ；Meng和Jiao等人研究了具有状态反馈脉冲的SI传染病模型 [11] [12] 。

我们建立了一个具有Smith增长且食饵与捕食者之间的相互作用为Beddington-DeAngelis功能反应的食饵–捕食者模型，并对其进行了动力学分析；在第三部分，在原模型的基础上加入单边脉冲构成新的模型，进而证明新模型阶一周期解的存在性。

以Smith增长为食饵叶螨的内禀增长函数，其与捕食者之间相互作用为Beddington-DeAngelis型功能反应建立如下模型

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=\frac{x\left(a-bx\right)}{1\text{+}cx}-\frac{mxy}{\alpha +\beta x+\gamma y},\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}t}=\frac{kmxy}{\alpha +\beta x+\gamma y}-dy.\end{array}$(1)

其中m表示消耗率， $\alpha$为食饵的饱和常数， $\beta$捕食者的干扰， $\gamma$另一个饱和常数，k转化率，这里所有的参数都是正的。

垂直等倾线：

$x=0;y=\frac{\left(a-bx\right)\left(\alpha +\beta x\right)}{\left(1+cx\right)m-\left(a-bx\right)\gamma }.$

水平等倾线：

$y=0;y=\frac{\left(km-d\beta \right)x-d\alpha }{d\gamma }.$

因此边界平衡点有 $E_0\left(0,0\right)$， $E_1\left(\frac{a}{b},0\right)$。

定理1 当参数满足条件H1时，系统有唯一的正平衡点 $E_2\left(x^{*},y^{*}\right)$，其中 $x^{*},y^{*}$满足

$\{\begin{array}{l}\frac{a-b{x}^{*}}{1+c{x}^{*}}-\frac{m{y}^{*}}{\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}}=0,\\ \frac{km{x}^{*}}{\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}}-d=0.\end{array}$(2)

于是 $y^{*}=\frac{1}{\gamma }\left[\left(\frac{km}{d}-\beta \right)x^{*}-\alpha \right]$，这里满足 $km-d\beta >0$才有可能存在正平衡点，因此下述讨论均在条件 $km-d\beta >0$下进行。

$x^{*}$为方程 $\left(ckm-c\beta d+kb\gamma \right)x+\left(km-\beta d-c\alpha d-ka\gamma \right)x-\alpha d=0$的根。

令 $A_1=bk\gamma +c\left(km-d\beta \right)$， $A_2=km-d\beta -cd\alpha -ak\gamma$， $A_3=-d\alpha$，显然 $A_1>0$， $A_3<0$。

于是有 $A_2^2-4A_1{A}_2>0$，此时方程有两个根，其中有一个正根 $x^{*}=\frac{-A_2+\sqrt{A_2^2-4A_1{A}_3}}{2A_1}$，因此当 $\left(\frac{km}{d}-\beta \right)\frac{A_2-\sqrt{A_2^2-4A_1{A}_3}}{2A_1}+\alpha <0$(H1)时，系统有唯一的正平衡点 $E_2\left(x^{*},y^{*}\right)$。

定理2 平衡点E₀为鞍点；当 $\frac{akm}{b\alpha +a\beta }>d$时，平衡点E₁是鞍点，当 $\frac{akm}{b\alpha +a\beta }<d$时，平衡点E₁是稳定的结点。

证明 系统的Jacobi矩阵为

$\left(\begin{array}{cc}\frac{a-bx}{1+cx}-\frac{my}{\alpha +\beta x+\gamma y}+x\left[-\frac{b+ac}{{\left(1+cx\right)}^2}+\frac{\beta my}{{\left(\alpha +\beta x+\gamma y\right)}^2}\right]& -\frac{\left(\alpha +\beta x\right)mx}{{\left(\alpha +\beta x+\gamma y\right)}^2}\\ \frac{\left(\alpha +\gamma y\right)kmy}{{\left(\alpha +\beta x+\gamma y\right)}^2}& \frac{\left(\alpha +\beta x\right)kmx}{{\left(\alpha +\beta x+\gamma y\right)}^2}-d\end{array}\right)$

对于边界平衡点 $E_0\left(0,0\right)$，

$J\left(E_0\right)=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& -d\end{array}\right)$，

于是平衡点E₀为鞍点。

对于边界平衡点 $E_1\left(\frac{a}{b},0\right)$，

$J\left(E_1\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{\left(b+ac\right)\frac{a}{b}}{{\left(1+\frac{ac}{b}\right)}^2}& -\frac{m\frac{a}{b}}{\alpha +\beta \frac{a}{b}}\\ 0& \frac{km\frac{a}{b}}{\alpha +\beta \frac{a}{b}}-d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{ab}{b+ac}& -\frac{am}{b\alpha +a\beta }\\ 0& \frac{akm}{b\alpha +a\beta }-d\end{array}\right)$，

$D=-\frac{ab}{b+ac}\left(\frac{akm}{\alpha b+a\beta }-d\right)$， $T=-\frac{ab}{b+ac}+\frac{akm}{\alpha b+a\beta }-d$。

$\begin{array}{c}{T}^2-4D={\left(-\frac{ab}{b+ac}+\frac{akm}{\alpha b+a\beta }-d\right)}^2-4-\frac{ab}{b+ac}\left(\frac{akm}{\alpha b+a\beta }-d\right)\\ ={\left(\frac{ab}{b+ac}+\frac{akm}{\alpha b+a\beta }-d\right)}^2\end{array}$

于是有当 $\frac{akm}{b\alpha +a\beta }>d$时，平衡点E₁是鞍点；当 $\frac{akm}{b\alpha +a\beta }<d$时，平衡点E₁是稳定的结点。

定理3 当 $\frac{\left(b+ac\right)x^{*}}{{\left(1+c{x}^{*}\right)}^2}-\frac{m\left(\beta -k\gamma \right)x^{*}{y}^{*}}{{\left(\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}\right)}^2}>0$时，E₂是稳定的结点或焦点；当 $\frac{\left(b+ac\right)x^{*}}{{\left(1+c{x}^{*}\right)}^2}-\frac{m\left(\beta -k\gamma \right)x^{*}{y}^{*}}{{\left(\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}\right)}^2}<0$时，E₂是不稳定的结点或焦点。

证明 $E_2\left(x^{*},y^{*}\right)$的Jacobi矩阵为

$J\left(E_2\right)=\left(\begin{array}{cc}{x}^{*}\left[-\frac{b+ac}{{\left(1+c{x}^{*}\right)}^2}+\frac{\beta m{y}^{*}}{{\left(\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}\right)}^2}\right]& -\frac{m\left(\alpha +\beta x^{*}\right)x^{*}}{{\left(\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}\right)}^2}\\ \frac{km\left(\alpha +\gamma y^{*}\right)y^{*}}{{\left(\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}\right)}^2}& -\frac{km\gamma x^{*}{y}^{*}}{{\left(\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}\right)}^2}\end{array}\right)$，

于是

$D=\frac{km{x}^{*}{y}^{*}}{{\left(\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}\right)}^2}\left[\frac{\left(b+ac\right)\gamma x^{*}}{{\left(1+c{x}^{*}\right)}^2}+\frac{m\alpha }{\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}}\right]$，

$T=-\frac{\left(b+ac\right)x^{*}}{{\left(1+c{x}^{*}\right)}^2}+\frac{m\left(\beta -k\gamma \right)x^{*}{y}^{*}}{{\left(\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}\right)}^2}$，

$\begin{array}{c}{T}^2-4D=\frac{{\left(b+ac\right)}^2{x}^{*}{}^2}{{\left(1+c{x}^{*}\right)}^4}+\frac{m^2{\left(\beta -k\gamma \right)}^2{x}^{*}{}^2{y}^{*}{}^2}{{\left(\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}\right)}^4}-\frac{4k{m}^2\alpha x^{*}{y}^{*}}{{\left(\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}\right)}^3}\\ -\frac{2m\left(b+ac\right)\left(\beta +k\gamma \right)x^{*}{}^2{y}^{*}}{{\left(1+c{x}^{*}\right)}^2{\left(\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}\right)}^2}.\end{array}$

因此有

当 $\frac{\left(b+ac\right)x^{*}}{{\left(1+c{x}^{*}\right)}^2}-\frac{m\left(\beta -k\gamma \right)x^{*}{y}^{*}}{{\left(\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}\right)}^2}>0$时，E₂是稳定的结点或焦点；

当 $\frac{\left(b+ac\right)x^{*}}{{\left(1+c{x}^{*}\right)}^2}-\frac{m\left(\beta -k\gamma \right)x^{*}{y}^{*}}{{\left(\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}\right)}^2}<0$时，E₂是不稳定的结点或焦点。

接下来，我们只考虑 $k\gamma -\beta >0$的情况，此时E₂是稳定的结点或焦点(系统(1)的轨线图如 图1 所示)。

定理4 系统(1)是一致有界的。

证明 过 $E_1\left(\frac{a}{b},0\right)$点垂直于x-轴作直线 $l_1:x=x_1=\frac{a}{b}$，其交水平等倾线 $y=\frac{\left(km-d\beta \right)x-d\alpha }{d\gamma }$于点 $Q\left(\frac{a}{b},\frac{akm}{bd\gamma }-\frac{a\beta }{b\gamma }-\frac{\alpha }{\gamma }\right)$，过点Q作垂直于y-轴的直线 $l_2:y=y_1=\frac{akm}{bd\gamma }-\frac{a\beta }{b\gamma }-\frac{\alpha }{\gamma }$，与y-轴相交于点P，于是 $OPQ{E}_1$构成一个Bendixson环(如 图2 所示)。

对 $y>0$，有 ${\frac{\text{d}x}{\text{d}t}|}_{x=x_1}=-\frac{m{x}_{1}y}{\alpha +\beta x_1+\gamma y}<0$，于是轨线从 $l_1$的右端穿向 $l_1$的左端；

对 $0<x<\frac{a}{b}$，有

$\begin{array}{c}{\frac{\text{d}y}{\text{d}t}|}_{y=y_1}=y_1\left(\frac{kmx}{\alpha +\beta x+\gamma y_1}-d\right)\\ =y_1\frac{\left(km-d\beta \right)x-d\gamma y_1-d\alpha }{\alpha +\beta x+\gamma y_1}\\ \le \frac{y_1}{\alpha +\beta x+\gamma y_1}\left[\left(km-d\beta \right)\frac{a}{b}-d\gamma \left(\frac{akm}{bd\gamma }-\frac{a\beta }{b\gamma }-\frac{\alpha }{\gamma }\right)-d\alpha \right]\\ =0,\end{array}$

此时轨线从 $l_2$的上方穿到 $l_2$的下方。

此外 $x=0$， $y=0$是系统的轨线，因此系统在第一象限的一致有界性得证。

定理5 系统(1)的极限环不存在。

证明 定义Dulac函数 $D=\frac{1}{xy}$，则

$PD=\frac{a-bx}{\left(1+cx\right)y}-\frac{m}{\alpha +\beta x+\gamma y}$， $QD=\frac{km}{\alpha +\beta x+\gamma y}-\frac{d}{x}$，

于是有 $\frac{\partial \left(PD\right)}{\partial x}+\frac{\partial \left(QD\right)}{\partial y}=-\frac{b+ac}{{\left(1+cx\right)}^{2}y}-\frac{m\left(k\gamma -\beta \right)}{{\left(\alpha +\beta x+\gamma y\right)}^2}<0$，

根据BendixsonDulac定理知，系统(1)无极限环。

在系统(1)中，当 $x=h_1$时加入状态反馈脉冲控制，得到如下模型(3)

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=\frac{x\left(a-bx\right)}{1+cx}-\frac{mxy}{\alpha +\beta x+\gamma y}\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}t}=\frac{kmxy}{\alpha +\beta x+\gamma y}-dy\end{array}\}x>h_1,\\ \begin{array}{l}\Delta x=p{x}^{*}\\ \Delta y=-{\delta }_{1}y\end{array}\}x=h_1,0<y<\frac{m{h}_1\left(1+c{h}_1\right)-\left(a-b{h}_1\right)\left(\alpha +\beta h_1\right)}{\left(a-b{h}_1\right)\gamma }.\end{array}$(3)

水平等倾线交x-轴于点A，脉冲集M₁与垂直等倾线的交点为B，过B的轨线与相集N₁的第一个交点为C，第二个交点为D；相集N₁与水平等倾线远离x-轴的交点为F。脉冲映射 ${\phi }_1$将B映射到N₁上的B⁺处，若B⁺与C重合，则显然 $CDB{B}^{+}$构成一个阶一周期解，下面讨论两点不重合的情况。

定理6 当 $y_{B^{+}}>y_C$时，系统(3)存在阶一周期解。

证明 此时C点的后继函数为 $f\left(C\right)=y_{B^{+}}-y_C>0$；在N₁上F的上方取一点F₁，过F₁的轨线交M₁于点F₂，根据系统轨线的走势知 $y_{F_2}<y_{F_1}$， ${\phi }_1$将F₂映射到 $F_2^{+}$处，且有 $y_{F_2^{\text{+}}}=\left(1-{\delta }_1\right)y_{F_2}$，于是有 $y_{F_2^{+}}<y_{F_1}$，即F₁的后继函数 $f\left(F_1\right)=y_{F_2^{+}}-y_{F_1}<0$；因此根据后继函数的连续性得到在点C与F₁之间存在一点F₃使得其后继函数为零，阶一周期解的存在性得证(如 图3 所示)。

定理7 当 $y_{B^{+}}<y_C$时，系统(3)存在阶一周期解。

证明 过B⁺的轨线交M₁于B₁，由轨线的性质知B₁一定在B的上方，脉冲映射 ${\phi }_1$将B₁映射到 $B_1^{+}$，且有 $y_{B_1^{+}}=\left(1-{\delta }_1\right)y_{B_1}$，又因 $y_{B^{+}}=\left(1-{\delta }_1\right)y_B$，于是得到 $y_{B_1^{+}}>y_{B^{+}}$，即B⁺的后继函数 $f\left(B^{+}\right)=y_{B_1^{+}}-y_{B^{+}}>0$；后面的步骤与上述定理相同，因此系统存在阶一周期解(如 图4 所示)。

在系统(1)中，当 $x=h_2$时加入状态反馈脉冲控制，得到如下模型(4)

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=\frac{x\left(a-bx\right)}{1+cx}-\frac{mxy}{\alpha +\beta x+\gamma y}\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}t}=\frac{kmxy}{\alpha +\beta x+\gamma y}-dy\end{array}\}x<h_2,\\ \begin{array}{l}\Delta x=-q{x}^{*}\\ \Delta y={\delta }_{2}y\end{array}\}x=h_2,y>\frac{m{h}_1\left(1+c{h}_1\right)-\left(a-b{h}_1\right)\left(\alpha +\beta h_1\right)}{\left(a-b{h}_1\right)\gamma }.\end{array}$(4)

$y=\frac{\left(km-d\beta \right)x-d\alpha }{d\gamma }$交x-轴于点A，B为脉冲集M₂与 $y=\frac{\left(km-d\beta \right)x-d\alpha }{d\gamma }$的交点，过B的轨线与相

集N₂的第一个交点为C，第二个交点为D，脉冲函数 ${\phi }_2$将B映射到点B⁺。若 $y_{B^{+}}=y_D$或 $y_{B^{+}}=y_C$时，显然系统(4)存在阶一周期解，下面说明 $y_{B^{+}}<y_D$， $y_D<y_{B^{+}}<y_C$和 $y_{B^{+}}>y_C$三种情况。

定理8 当 $y_{B^{+}}<y_D$时，系统(4)存在周期解。

证明 过B⁺的轨线交脉冲集M₂于点B₁，由系统轨线的性质知B₁在的下方B，脉冲映射 ${\phi }_2$将其映射到相集N₂上的 $B_1^{+}$，显然 $B_1^{+}$也在B⁺的下方，于是有后继函数 $f\left(B^{+}\right)=y_{B_1^{+}}-y_{B^{+}}<0$；在N₂上取一点B₂满足 $0<y_{B_2}<\epsilon \left(\forall \epsilon >0\right)$，过B₂的轨线交M₂于点B₃且有 $y_{B_3}>y_{B_2}$， ${\phi }_2$将其映射到N₂上的点 $B_3^{+}$处，显然 $y_{B_3^{+}}>y_{B_2}$，于是有后继函数 $f\left(B_2\right)=y_{B_3^{+}}-y_{B_2}>0$；因此根据后继函数的连续性，在B⁺与B₂之间一定存在一点使得在该点处的后继函数为零，阶一周期解的存在行得证(如 图5 所示)。

定理9 当 $y_D<y_{B^{+}}<y_C$时，以C为研究点，与上述证明类似可以同样可以得到系统(4)存在阶一周期解。

定理10 当 $y_{B^{+}}>y_C$时，系统(4)存在阶一周期解。

证明 过B⁺的轨线与脉冲集M₂相交于点B₁，根据系统(4)的轨线走势知 $y_{B_1}<y_B$，接着脉冲映射 ${\phi }_2$将其映射到N₂上的 $B_1^{+}$，有 $y_{B_1^{+}}=\left(1+{\delta }_2\right)y_{B_1}$，而 $y_{B^{+}}=\left(1+{\delta }_2\right)y_B$，因此有 $f\left(B^{+}\right)=y_{B_1^{+}}-y_{B^{+}}<0$；在N₂上取一点B₂满足 $0<y_{B_2}<\epsilon \left(\forall \epsilon >0\right)$，过B₂的轨线交M₂于点B₃且有 $y_{B_3}>y_{B_2}$， ${\phi }_2$将其映射到N₂上的点 $B_3^{+}$处，显然 $y_{B_3^{+}}>y_{B_2}$，于是B₂的后继函数 $f\left(B_2\right)=y_{B_3^{+}}-y_{B_2}>0$。

因此由后继函数的连续性得到，在B⁺与B₂之间一定存在一点B₄，满足 $f\left(B_4\right)=0$，于是系统(4)阶一周期解的存在性得证(如 图6 所示)。

本文构建了一个食饵具有Smith增长且与捕食者之间的相互作用为Beddington-DeAngelis功能反应的模型来描述叶螨和捕植螨的这对食饵–捕食者关系，同时也通过加入状态反馈脉冲控制来人为干预它们，并证明了状态反馈脉冲控制系统阶一周期解的存在性，于是得到当食饵增加到一定规模时，捕杀叶螨，当食饵减小到一定规模时，收获捕植螨，以此使系统达到平衡状态。

^*通讯作者。