本文建立三维稳态热力学模型，求解以固定拉速作用下结晶器的稳态传热方程、相应的力学平衡方程以及受力所产生的移位。保证计算结果精度的前提下，充分利用对称模型，取结晶器1/4模型进行网格划分，网格尺寸为3.5 mm。

为了更有效地解决这个问题，我们在建立数学模型之前提出以下假设：结晶器具有对称性，以四分之一结晶器为研究对象；结晶器铜板，冷却水及铸坯之间的传热为稳态；铜的物理性质固定，不随温度变化；不考虑螺栓对结晶器温度影响；结晶器铜管为非线性材料，本模型只考虑弹塑性变形。

结晶器物性参数见 表1 。

由于冷却水在水槽的流动速度较快，所以采用迪塔斯–贝尔特方程(Dittus-Boelter)对对换热系数进行求解：

$h_w=0.023\frac{{\lambda }_W}{D_W}{\left(\frac{{\rho }_W{u}_W{D}_W}{{\mu }_W}\right)}^{0.8}{\left(\frac{c_W{\mu }_W}{{\lambda }_W}\right)}^{0.4}$(1)

式中：D_W为水力直径，m；U_W为冷却水流速，m/s；ρ_W为冷却水密度，kg/m；μ_W为冷却水黏度，Pa；λ_W为冷却水导热系数；c_W为冷却水比热，J/Kg/C；q为铸坯表面热流密度，J/Kg/C；q为铸坯表面热流密度，w/m²；D为系数；n为学数。

在现阶段连铸过程中铸坯和结晶器表面上的换热采用第二类给定热流密度和第三类给定传热系数边界条件热流密度也是分析结晶器热工作状态的重要指标，本文采取Savage提出的方程基础上具体系数来求解热流密度即：

$q=k\left(A_0-B_0\sqrt{\frac{z}{v_c}}\right)\left[1-D{\left(\frac{z}{H}\right)}^n{\left(\frac{x}{L}\right)}^2\right]$(2)

$k=\frac{\bar{q}}{A_0\left[1-\frac{D}{12\left(n+1\right)}\right]}-B_0\sqrt{\frac{H}{v_c}}\left[\frac{2}{3}-\frac{D}{12\left(n+1.5\right)}\right]$(3)

式中：A₀、B₀、k为不同设备和浇注情况下测出的常数；l_Z为结晶器内任意一点到弯月面距离，m²；v为拉坯速度，m/s。

对于不同设备和浇注情况下的常数A₀、B₀进行求解，具体的步骤如下：

$A_0=\frac{T_S-T_W}{R_1+R_3+R_4+R_C+1/h_w}$(4)

式中：T_S为钢种固相线温度，℃；T_W为结晶器出口冷却水温度，℃；R₁为铜管和保护渣间热阻，m²∙˚C/W；R₃为保护渣膜热阻，m²∙˚C/W；R₄为坯壳同保护渣膜之间的热阻，m²∙˚C/W；R_C为结晶器铜管热阻，m²∙˚C/W；h_w为结晶器铜管冷面同冷却水之间的传热系数，m²∙˚C/W。

$B_0=\left(L_{a}hA-c_{W}W{\rho }_W\Delta T\right)\frac{3v^{1/2}}{2L_a{h}^{3/2}}$(5)

式中：W为冷却水流量，t/h； $\Delta T$为冷却水温差，℃。

在连铸生产过程中，铜板会因为内部温度的显著升高而产生巨大的热应力，这种热应力有可能导致铜板发生塑性变形。铜板的应力公式 [11] 。

${\delta }_{ij}={\delta }_{ij}{}^E+{\delta }_{ij}^T+{\delta }_{ij}^P$(6)

式中： ${\delta }_{ij}{}^E$为弹性应变、 ${\delta }_{ij}^T$为热应变、 ${\delta }_{ij}^P$为塑性应变，对热塑性采用Miss屈服准则进行分析。

钢水静压力：

$P=\rho gh$(7)

其中，ρ为钢水密度，等于7.85 g/cm³；g为重力加速度。

1) 宽面：

从角部位置到距角部10 mm处，钢水静压力为0；高度由10 mm~30 mm处，钢水静压力由0~0.7 P呈线性变化；从距角部30 mm处到铸坯宽边中心，钢水静压力恒定为0.7 P。

2) 窄面：

从角部到距角部10 mm处，钢水静压力为0；从距角部10 mm处到铸坯窄边中心，钢水静压力由0~0.2 P呈线性变化。

本文截取结晶器的四分之一，对3种水槽宽度(5 mm、10 mm、20 mm)、2种倒角结构(半径20 mm、34 mm)、2种水槽结构(矩形、弧形)、深度均为20 mm的结晶器，进行数值分析、求解。

图中(a)的其倒角半径为20 mm、水槽宽为20 mm和10 mm。图中(b)的倒角半径为20 mm、水槽中弧形半径为10 mm和5 mm。图中(c)的倒角半径34 mm、水槽中弧形半径为10 mm和5 mm。结晶器几何尺寸及工艺参数如 表2 所示：

水槽和倒角结构作为保证连铸坯高质、高效的关键，其优化调整会对铜板传热均匀性产生直接影响 [12] [13] [14] 。本文将模拟三种结晶器工作稳定后的温度分布情况进行对比分析。 图1 为铜板宽面和窄面的温度分布图。其中 图3(a) 、 图3(d) 为小倒角矩形水槽构型， 图3(b) 、 图3(e) 为小倒角弧形水槽构型， 图3(c) 、 图3(f) 为大倒角弧形水槽构型。

图3(a) 、 图3(b) 为矩形水槽改为弧形水槽改变前后结晶器温度图。对比 图3(a) 、 图3(b) 发现，水槽结构的改变对宽窄面中心最高温度影响较小，改变前后宽面最高温度均为213℃左右，相差1%，平均温度矩形水槽高约1℃。

图3(b) 、 图3(c) 为倒角半径由20 mm改为34 mm结晶器温度图。增大倒角半径，宽面中心温度略微降低，均温相较趋于一条水平直线。对比图中弯月面区域铜板最高温度下降7℃~10℃，纵向温度变化率沿y轴降低，差值减小，温度分布均匀性显著提高。弧形水槽下的宽、窄面结晶器铜板温度，温度波动较小，差值均在5℃~8℃左右，整体温度梯度较低，冷却效果最佳。

图3. 结晶器温度分布图

角部是铸坯最先开始收缩的区域，也是收缩量最大区域，其温度分布不均匀会造成铸坯角部等效应力增大，造成铸坯凝固是产生裂纹。 图4 为结晶器构型角部的温度场分布图。其中 图4(a) 、 图4(b) 、 图4(c) 分别对应上述温度场的角部温度分布图。

从图中可以看出，结晶器两侧的宽面和窄面沿x轴向中间区域温度降低，且温度变化量直接影响铸坯质量。对比 图4(a) 、 图4(b) 发现，改变为弧形水槽后，角部中心平均温度下降8℃左右，且0 mm线变化过快，使 图4(b) 中角部区域温度变化较大，容易造成铸坯产生横向裂纹。对比3张图可以发现， 图4(a) 、 图4(b) 矩形水槽结构结晶器整体温度梯度高于 图3 弧形水槽结构结晶器，且角部温度变化率较大倒角半径高约30%，而随着倒角半径的增大角部最高温度面积增大，横向或纵向温度梯度变化幅度减小，整体均匀性增加。

综上所述，弧形水槽的更改及倒角度数增大能够有效减少因铸坯受热不均匀出现裂纹的情况，整体温度波动幅度降低，角部温度分布更加均匀。采用上述优化，结晶器铜板温度场分布更加均匀，冷却效果得到明显增强。

根据文献分析 [15] [16] [17] ，结晶器弯月面区域温度最高，铜板所受热应力最大，造成铜板发生变形，使冷却均匀性相对下降。 图5 为弯月面区域应力及所产生应变程度图。其中截面为结晶器铜板0.7 m的总应力应变(钢铁静压力及热应力)分布图，(a)~(f)分别对应上文中(a)~(f)温度场下的应力应变图。(a)、(b)、(c)对应单位10⁹Mpa，(d)、(e)、(f)对应单位10³MPa。

图5. 应力分布图

对比 图5(a) 、 图5(b) 和 图5(c) 可以看出大倒角半径结晶器截面整体应力应变分层且逐渐降低，相对于其余两类，整体均匀性显著增加，所受集中应力区域较少。大倒角截面最大截面应力相较于小倒角下降20%~30%，且水槽结构不同下降程度也不相同。 图5(c) 的倒角区域应力变化小，而其余两种倒角应力变化率(从倒角角部到中心)分别为90%、89.3%，变化率均大于85%，倒角中心所受集中应力强。在 图5(d) 、 图5(e) 中铜板倒角中心变形量小，距离冷面越近，应变越大，受到不锈钢背板的约束力增大，造成结晶器发生严重形变。

对比 图5(b) 、 图5(c) 发现水槽结构的改变会影响截面整体应力均匀性，且降低了最大应力值。 图5(b) 中应力最大出现在水槽根部，而 图5(c) 中水槽周围应力下降35%，且对比发现两水槽间应力最低区域面积缩小，呈“块状”分布，应力梯度降低10%。在 图5(d) 、 图5(e) 中水槽周围应变程度大，而水槽根部冷却水的强冷作用使冷面温度变化梯度急剧增大，造成较大热应力，造成铜板温度不均匀从而使铸坯质量降低。

综上所述，采用大倒角及弧形水槽能降低结晶器铜板整体应力应变，降低铜板内部应力差。角部、倒角、水槽的应力分布均得到极大优化。

图6 为y = −0.02 mm直线上3个不同模型因连铸过程中结晶器受力使水槽根部特征节点发生位移的结果图。其中modle 1、modle 2、modle 3分别对应几何模型中a、b、c。

在 图6 中可以看出，模型1和模型2位移整体特征呈现出先下降然后平缓的趋势，角部位移最大，表明角部位置受到的热应力影响较大，更容易造成铸坯角部裂纹的产生，靠近宽面中心区域位移最小，宽面中心区域受到的热应力影响也较小，受热均匀。模型3可以看到位移整体呈现幅度微小的上升趋势，变化率在1%左右，且角部位移最小，更加稳定。

对比3种模型可以看出，模型3结晶器受力发生形变位移最小，容易固定，且水槽根部节点位移小，表明所受热应力小，冷却效果更显著。因此，采用上述优化可以有效提高结晶器结构的稳定性，减少热应力对结晶器形变的影响。