动力吸振器分为有阻尼动力吸振器和无阻尼动力吸振器，结合研究对象，本文选择有阻尼动力吸振器。 图1 为有阻尼的动力吸振器模型示意图，原理是在主系统上附加一个由弹簧、阻尼以及质量块构成的子系统，即弹簧–质量–阻尼的子系统——通过改变质量、刚度以及阻尼使动力吸振器处于谐振状态，从而转移并衰减主系统的振动。有阻尼的动力吸振器系统的动力微分方程为：

$\left(\begin{array}{cc}{m}_1& 0\\ 0& m_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\ddot{x}}_1\\ {\ddot{x}}_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}c& -c\\ -c& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\stackrel{\dot{}}{x}}_1\\ {\stackrel{\dot{}}{x}}_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}{k}_1+k_2& -k_2\\ -k_2& k_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{F}_1{\text{e}}^{i\omega t}\\ 0\end{array}\right)$(1)

式中：m₁为主系统质量；m₂为动力吸振器质量；k₁为主系统刚度系数；k₂为动力吸振器刚度系数；F₁为激振力最大值；ω为激励圆频率；t为时间。

主系统在强迫振动时受到的简谐激励作用为：

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\left(t\right)\\ x_2\left(t\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\overline{x_1}\\ \overline{x_2}\end{array}\right){\text{e}}^{i\omega t}$(2)

稳态响应振幅为：

$\left(\begin{array}{c}\overline{x_1}\\ \overline{x_2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{k}_1+k_2-m_1{\omega }^2& -\left(k_2+ic\omega \right)\\ -\left(k_2+ic\omega \right)& k_2-m_2{\omega }^2+ic\omega \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{F}_0\\ 0\end{array}\right)=\frac{F_0}{\Delta \left(\omega \right)}\left(\begin{array}{c}{k}_2-m_2{\omega }^2+ic\omega \\ k_2+ic\omega \end{array}\right)$(3)

其中： $\Delta \left(\omega \right)=\left(k_1+k_2-m_2{\omega }^2+ic\omega \right)\times \left(k_2-m_2{\omega }^2+ic\omega \right)-{\left(k_2+ic\omega \right)}^2$。

引入主系统的静位移δ₁= F₁/k₁，主系统固有圆频率ω₁= (k₁/m₁)^1/2，动力吸振器固有圆频率ω_a= (k₂/m₂)^1/2，质量比μ = m₂/m₁，吸振器固有频率与主系统固有原频率之比α = ω_a/ω₁，调谐比r = ω/ω_a，吸振器阻尼比ξ = c/2m₂ω₁，将主系统振幅与静位移之比称为动力放大系数，即：

$A\left(r\right)=\frac{\overline{x_1}}{{\delta }_1}=\sqrt{\frac{{\left(r^2-{\alpha }^2\right)}^2+{\left(2\xi r\right)}^2}{{\left[\mu r^2{\alpha }^2-\left(r^2-1\right)\left(r^2-{\alpha }^2\right)\right]}^2+{\left(2\xi r\right)}^2{\left(r^2-1+\mu r^2\right)}^2}}$(4)

对于某一质量比μ，存在最优调谐比 [14] 为

$r_{opt}=\frac{{\omega }_a}{{\omega }_1}=\frac{1}{1+\mu }$(5)

最优阻尼比为

${\xi }_{opt}=\sqrt{\frac{3\mu }{8{\left(1+3\mu \right)}^3}}$(6)

最小动力放大系数为

$A\left(r\right)=\frac{\overline{x_1}}{{\delta }_1}=\sqrt{1+\frac{2}{\mu }}$(7)

首先，根据动力吸振器安装位置和吸振器尺寸，选择合适的质量比μ，确定动力吸振器的质量。由式(7)可知，μ越大，减振效果越好，但当μ的值过大时，会影响原结构的模态。因此，综合考虑，选取μ = 0.16。由于ABH梁结构的第二共振频率等于607 Hz，根据式(5)可以计算出动力吸振器的固有频率为523 Hz。

动力吸振器由质量块、伸缩弹簧以及丁基橡胶阻尼构成，通过调整吸振器质量块质量，使得吸振器系统的固有频率与ABH梁共振频率相近，从而能够转移和消散ABH梁共振能量，实现振动控制。通过对动力吸振器开展振动测试实验，验证设计频率的有效性。实验装置如 图2 所示。将动力吸振器固定在垂直振动试验台台面，在动力吸振器上方粘有轻型单向加速度传感器，用以检测其垂直z方向的加速度——传感器质量约为0.3 g，不足动力吸振器质量的3%，影响可以忽略。振动台施加z方向10~1000 Hz的加速度扫频激励，通过采集装置测得吸振器的频响函数，如 图3 所示。DVA的固有频率为542 Hz，与目标频率误差较小，满足设计要求。

ABH结构梁的尺寸和参数如 图4 及 表1 所示。ABH区域厚度的变化遵循 $h\left(x\right)=ϵx^m+h_0$，激励为振动台施加在固支端的加速度，大小为1 g，振动响应的监测点为距离固支端60 mm处的中心点处，记为点O。ABH结构所用材料为6061铝合金，弹簧所用材料为304不锈钢，阻尼为丁基橡胶阻尼。表格中ρ为材料密度，E为材料的杨氏模量，N_u为泊松比，h₀为ABH梁最薄处厚度，h₁为ABH结构梁最厚处厚度，b为ABH梁宽度，L_ABH为ABH特征长度，L_a为DVA附着长度，d_k代表弹簧外径，d代表弹簧线径，n代表弹簧有效圈数，m和k分别代表质量和刚度，下角标“d”代表阻尼，“s”代表弹簧。

图4. 嵌入ABH和DVA的梁模型。(a) 俯视图，(b) 正视图

振动实验包含三组：1) ABH结构梁(ABH)；2) ABH + DVA组合梁(ABH + DVA)；3) ABH-阻尼层组合梁(ABH + Damp)。其中，DVA中的阻尼材料和阻尼层中材料均为丁基橡胶阻尼，阻尼层的质量和DVA的质量一致。实验装置如 图5 所示。

实验结果如 图6 所示。结果表明，在ABH梁的第2阶共振频率附近，ABH + DVA组合梁的振动响应降低了约15 dB，相比于ABH + Damp，其振动响应降低了约7 dB；而在更高频率的第3阶共振频率附近，ABH + DVA的振动响应降低了约26 dB，相比于ABH + Damp，其振动响应高了0.1 dB。这表明，在DVA的设计频率附近，ABH + DVA的组合有着更好的减振效果，而在更高阶共振处，减振效果开始不如ABH + Damp。并且，在更高阶的DVA非目标共振频率处，ABH + DVA也能有不错的减振效果。产生这种现象的原因是在更高的非目标共振频率处，得益于ABH结构的能量聚焦性，使得DVA中的阻尼成分也能更加高效地耗散能量。

为验证实验准确性以及后续研究，本文在Hypermsh中依据实验情况建立有限元模型，并用Nastran进行计算分析：1) ABH结构梁；2) ABH + DVA；3) ABH + Damp。其中，ABH结构梁为单边固支约束，DVA的参数与实验一致，DVA与ABH结构的耦合形式采用面接触。ABH结构梁有限元模型采用六面体网格，结合ABH结构特点，网格最小尺寸选择0.5 mm，且在最薄处进行网格加密，保证最薄处至少存在两层网格，DVA采用CBUSH单元模拟。阻尼层附加在ABH结构梁上采用共节点实现，保证其自由度一样。

实验与仿真的对比结果如 图7 所示，在整个频率带内，两条频率响应曲线差别较小，共振峰处的固有频率误差均在10%以内；在800 Hz附近出现的小波峰为夹具干扰。总体来说，仿真和实验的整体响应趋势合理匹配，可以验证仿真的可行性。

为了进一步研究ABH + DVA的宽频减振效果，根据有限元模型，计算三种模型在宽频范围内的平均加速度响应值A_s，即在激励频率范围0~8000 Hz内梁结构上所有节点振幅的平均值，计算公式如下：

$A_S=20{\log }_{10}\left[\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left|a_i\right|}\right]$(8)

式中，a_i为第i个节点的加速度值，i = 1，2，3，…，n；n为仿真模型中节点的总个数。

图7. 实验与仿真对比。(a) ABH梁实验与仿真对比，(b) ABH + DVA组合梁实验与仿真对比，(c) ABH + Damp组合梁实验与仿真对比

宽频带内梁的平均加速度响应如 图8 所示。 表2 所示为前3阶共振频率处ABH + DVA及其参考结构的平均加速度响应值，可以看出，ABH + DVA在目标频率的共振峰处减振效果最好，并在其他高阶共振峰处也有减振效果，但减振幅值不如ABH + Damp。

为了进一步研究DVA对ABH + DVA组合梁的振动特性影响，基于有限元模型，针对ABH结构梁模型第一阶共振频率(326 Hz)，考虑了两个DVA关键的设计参数，即质量比和阻尼比进行分析。DVA参数根据式(5)以及式(6)确定，如 表3 所示，其中，不同阻尼比实验组中在相同质量比中最优阻尼比为0.2。

从 图9 可以看出来：1) 由于DVA的存在，目标共振峰变成两个小峰，质量比越大，两个峰的间隔越大，峰的高度越低，说明减振效果越好；在高阶非目标频率的共振频率处，随着质量比变大，减振效果更好，但是衰减的幅度随着频率升高逐渐减小；2) 在目标共振频率处，当阻尼比小于最佳阻尼比并趋向0时，目标频率处两个峰值不断增大，且频率高的峰值增大更快；当阻尼比大于最佳阻尼比时，共振峰峰值增大，且两个波峰的间距变小。

图9. DVA参数对振动特性的影响。(a) 不同质量比下ABH + DVA组合梁平均加速度响应，(b) 不同阻尼比下ABH + DVA组合梁平均加速度响应