蚁狮算法模拟了随机游走的蚂蚁在搜索过程中探索未知搜索空间的关键行为。在该算法中，每只蚂蚁在搜索空间内随机选择一个起点，并根据特定的概率规则确定下一步的移动方向。在随机游走过程中，蚂蚁会根据自己的经验和信息素不断调整自己的移动方向，直到找到最佳解决方案或达到搜索时间的上限。蚁狮算法利用蚂蚁的随机游走，有效避免了局域最优解的困点，提高了搜索效率，在各种优化问题中取得了较为理想的结果。

在蚁狮算法中，蚂蚁随机游走 [ 9 ] 是通过一个基本的统计函数实现的，该函数表示为：

X ( t ) = [ 0 , s s u m ( 2 γ ( t 1 ) − 1 ) , ⋯ s s u m ( 2 γ ( t n ) − 1 ) ] ， (1)

其中， X ( t ) 为随机游走的步数集合； t 为随机游走的步数； s s u m 为计算累加和； γ ( t ) 是定义的一个随机函数，公式如下：

γ ( t ) = { 1 , r a n d > 0.5 0 , r a n d ≤ 0.5 ， (2)

其中， r a n d 是在[0, 1]间取的随机数。

而在蚁狮优化算法中，由于蚁狮设置陷阱，限制了蚂蚁随机游走的范围，故对公式(1)进行了修改，以满足行走范围的局限性 [ 9 ] 。修改后的公式如下：

X i t = ( X i t − a i ) ( d i t − c i t ) ( b i − a i ) + c i t ， (3)

其中， X i t 为蚂蚁在第 t 次迭代中第 i 维的位置； a i 和 b i 分别指第 i 维中随机游走的最小值和最大值； c i t 和 d i t 为第 t 次迭代时在第 i 维中随机游走的最小值和最大值。

因蚂蚁游走的路线会受到蚁狮位置和陷阱尺寸的影响，故参数 c i t 和 d i t 的值根据特定的规则确定 [ 9 ] 。

c i t = A n t l i o n j t + c t andd i t = A n t l i o n j t + d t ， (4)

其中， c t 和 d t 分别是第 t 次迭代中最小和最大的向量； A n t l i o n j t 是在第 t 次迭代中第 j 只蚁狮的位置。

当蚂蚁掉进陷阱后，蚁狮会向沙坑边缘抛掷沙子，并把蚂蚁的向下拖拽，导致蚂蚁随机游走的范围会迅速缩小。我们采用如下方程模拟这种现象：

c i t = c t I , d i t = d t I and I = 10 ω t T ， (5)

其中，变量 I 表示比例系数； T 表示允许的最大迭代次数； ω 是一个参数，其值由 t 的大小决定。 ω 和 t 之间的关系如表1所示。

表1. 参数 ω 的值

当表1中的迭代次数增加时，蚂蚁随机游走的半径减小，保证了ALO算法的收敛性。

每次迭代后，算法都会选择适应度最高的蚁狮作为精英蚁狮，之后蚂蚁会通过轮盘赌策略选择一只蚁狮，并围绕该蚁狮进行随机游走。蚂蚁的位置由下述公式确定 [ 9 ] 。

A n t i t = R A t ( m ) + R E t ( m ) 2 ， (6)

其中， A n t i t 是指第 i 个蚂蚁在第 t 次迭代中的位置； R A t ( m ) 表示在 t 次迭代中，蚂蚁跟据轮盘赌策略选中蚁狮后，围绕其走 m 步时得出的值；类似地， R E t ( m ) 表示在第t次迭代中，蚂蚁围绕精英蚁狮走 m 步得出的值；变量 m 取自蚂蚁在随机游走期间所走步数范围内的任意值。

然而，由于轮盘赌策略是根据蚁狮的适应度为其分配概率，这可能会导致更多的蚂蚁围绕较高适应度的蚁狮进行游走，让算法有陷入局部最优的危险。

蚁狮优化算法将这两种策略相结合，对解空间进行更为有效地探索与开发，以求找到可能的最佳解。

ALO算法的具体步骤如下：

1) 初始化数据：设置两个种群的参数，包括个体数、维度和迭代次数，并在指定范围内初始化蚁狮和蚂蚁的位置，计算它们各自的适应度。

2) 确定精英蚁狮：选择初始化后蚁狮种群中适应度最好的蚁狮作为精英蚁狮。

3) 轮盘选择：使用轮盘赌策略为每只蚂蚁选择一只蚁狮，根据选中蚁狮的位置更新蚂蚁的参数值，并让蚂蚁围绕所选蚁狮随机游走，更新蚂蚁位置。

4) 计算适应度：计算蚁狮和蚂蚁的适应度值，根据蚂蚁的位置和适应度更新蚁狮位置，两个种群中适应度最好的成为新精英蚁狮。

5) 判断是否终止：检查是否满足算法终止条件。如果满足，输出结果，返回精英蚁狮的位置及其适应度值，并结束迭代；否则，返回步骤3。

下面我们将介绍如何实现蚂蚁的随机游走。

在现实捕猎的过程中，蚂蚁落入陷阱后会尽最大努力远离蚁狮并爬出陷阱。同许多其他动物相似，蚂蚁在垂直方向上移动的同时，本能地会在水平方向上进行游走，从而形成曲线状的运动轨迹。为了实现对这一现象的模拟，我们将蚂蚁的随机游走和曲线位移进行结合，使用正弦和余弦函数对其逃脱策略进行建模。

下面，我们将详细描述这个过程，并用数学公式来展现蚂蚁挣扎逃脱的过程。首先，由于蚂蚁具有二维视觉感知，故它们逃跑的方向是随机的。我们用 γ 2 ∈ ( 0 , 360 ∘ ) 来表示蚂蚁的逃跑方向。一般来说，当蚂蚁被陷阱困住后，会有两种挣扎逃脱的方式。一种方法是在逃跑时逐渐增加力量，直到达到极限，再慢慢耗尽；另一种方法则是在最初进行最有力的挣扎，然后逐渐削弱。我们可以分别用 sin ( γ ) 和 cos ( γ ) 来表示这两种方式。至于具体选择哪种方法，我们通过使用随机变量 γ 3 ，采用概率的形式来模拟蚂蚁选择方式的随机性。此外，由于蚂蚁在逐渐陷入困境的过程中，逃跑的力量会逐渐减弱，我们可以在逃避规则里乘上一个衰减系数，用 γ 1 = a − a ∗ ( t / T ) 来表示，此处 a 代表初始强度， t 代表当前迭代次数， T 代表迭代总数。考虑到不同的蚂蚁可能有着不同的斗争强度，我们在公式的末尾乘一个随机参数 D = | γ 4 ∗ A n t i t − A n t i t | ， γ 4 为一个随机数， A n t i t 表示蚂蚁 i 在第 t 次迭代中的状态。以上为蚂蚁挣扎逃避过程的描述，具体的参数设置和算法实现可能会根据实际的应用与问题而有所不同。

在下文中，我们将使用公式(7)至(10)来描述蚂蚁逃跑的过程。这种方法对蚂蚁的逃跑行为进行了更为真实的模拟，可以让蚂蚁的探索范围更广泛，从而降低陷入局部最优的风险。

A nt i t + 1 = { A n t i t + γ 1 ∗ sin γ 2 ∗ D γ 3 < 0.5 A n t i t + γ 1 ∗ cos γ 2 ∗ D γ 3 ≥ 0.5 ， (7)

D = { | γ 4 ∗ A n t i t − A n t i t | | i = 1 , 2 , ⋯ , n } ， (8)

γ 1 = a − a ∗ ( t T ) ， (9)

γ 2 ∈ ( 0 ° , 360 ° ) ， (10)

其中，γ₁~γ₄为参数， γ 1 会随着迭代次数的变化而变化， γ 3 和 γ 4 为0到1之间均匀分布的随机数； a 为常数，实验中取值为1。

值得注意的是，正弦余弦策略可以直接应用于算法设计 [ 12 ] [ 13 ] ，对此我们将其作为搜索方向来模拟蚂蚁的曲线运动。

改进的算法包括以下步骤：

1) 初始化数据：在规定的范围内设置参数，如蚁狮和蚂蚁的数量、维度和迭代次数。随机为蚁狮和蚂蚁分配位置，并计算它们各自的适应度值。

2) 确定精英蚁狮：从初始种群中选择适应度最高的蚁狮作为精英蚁狮。

3) 轮盘选择：使用轮盘赌策略为每只蚂蚁选择一只蚁狮，并根据蚁狮的位置更新参数值。蚂蚁围绕所选蚁狮进行随机游走，更新位置。

4) 引入正弦余弦策略：跟据公式(7)更新蚂蚁位置。

5) 计算适应度：计算蚂蚁和蚁狮的适应度值，并依据蚂蚁的位置和适应度更新蚁狮位置，选择所有个体中适应度最好的成为新精英蚁狮。

6) 判断是否终止：判断是否满足算法的终止条件。如果满足，输出结果，返回精英蚁狮位置及其适应度值，并结束迭代；否则，返回步骤3。

在本节中，我们比较了四种蚁狮优化算法在CEC2005和CEC2017部分测试函数上的性能。这四种算法分别为：新提出的具有逃跑机制的蚁狮优化算法(ALO-E)，结合柯西分布的蚁狮优化算法(CALO) [ 14 ] ，自适应蚁狮优化算法(PSALO) [ 15 ] 和经典蚁狮优化算法(ALO)。我们通过评估这些算法对测试函数的求解结果来分析它们的有效性。实验的运行平台为PyCharm Community Edition 2022.3.3，操作系统为Windows 10，内存大小为16 G，CPU为i5-1035G1。

两组测试函数如表2和表3所示。

表2. 部分CEC2017测试函数

表3. 部分CEC2005测试函数

在本节实验中，我们设置的参数如下：两个种群的大小均为20，最大迭代次数为10000。为了确保实验的准确性，我们对每个算法进行了20次独立运行，并计算每个基准函数的平均值和标准差。实验结果如表4所示。

表4. 求解测试函数结果对比

下面，我们对四种算法在求解上述23个函数时取得最佳均值和标准差的次数进行统计分析，如图1所示。其中，ALO-E算法的求解大部分最优且最为稳定，表明了具有逃跑机制的蚁狮算法的有效性。

图1. 最佳结果次数的统计分析

为了更好地展示ALO-E算法的优越性，我们给出了ALO-E、CALO、PSALO和ALO算法在1000次迭代下求解上述部分测试函数结果的收敛图，如图2所示。

图2. 部分测试函数收敛结果

为了提高K-Means聚类中质心更新的效率，我们将ALO-E算法应用到该过程中，即在初始化质心之后，采用ALO-E算法来获得新的质心。

以下是改进聚类算法的主要步骤：

1) 随机选取k个质心。

2) 计算每个数据点和每个质心之间的欧式距离，并根据该距离将样本分配到相应的聚类。

3) 运用改进的蚁狮算法更新质心。

4) 判断是否已达到最大迭代次数。如果达到，则结束迭代并输出聚类结果；否则，返回步骤3。

为了证明改进聚类算法的有效性和优越性，我们将ALO-E算法结合K-Means (Kmeans-ALO-E)与传统的K-Means算法、粒子群优化算法结合K-Means (Kmeans-PSO) [ 17 ] 进行了比较分析。本次实验从UCI中选择了四个数据集：Iris、Wine、Seeds和Thyroid，具体信息如表5所示。

表5. 四个数据集的信息

为了对算法性能进行评估，我们使用了三个评估指标：召回率(recall)、准确度(precision)和F1精度，计算公式如下：

r e c a l l = T P P ， (11)

p r e c i s i o n = T P T P + F P ， (12)

F 1 = 2 ∗ p r e c i s i o n ∗ r e c a l l p r e c i s i o m + r e c a l l 。 (13)

表6至表9为三个聚类算法应用在上述四个数据集的结果，展示了每种算法对数据点进行分组的准确性和有效性。我们可以看到，Kmeans-PSO在四个数据集上的三个评估指标绝大部分优于传统方法；而Kmeans-ALO-E算法的评估指标明显优于传统方法，且略优于Kmeans-PSO。由此我们可以得出，本文所提出的Kmeans-ALO-E算法为数据聚类提供了一种稳健有效的替代方案。

表6. Iris数据集上三种聚类算法的结果

表7. Wine数据集上三种聚类算法的结果

表8. Seeds数据集上三种聚类算法的结果

表9. Thyroid数据集上三种聚类算法的结果

为了更直观地展现Kmeans-ALO-E算法的聚类性能，我们绘制了该算法在四个数据集上的聚类情况，如图3和图4所示。

图3. Kmeans-ALO-E算法在Iris和Wine数据集上的聚类

图4. Kmeans-ALO-E算法在Thyroid和Seeds数据集上的聚类