2016年，Jianzhi Sang等人基于国际上流行的量子图像表示方法NEQR [ 22 ] (novel enhanced quantum representation)提出了一种新的彩色数字图像量子表示方法(NCQI) [ 23 ] 。在量子计算机中，NCQI表示一幅 2 n × 2 n 的图像可以写成

| I 〉 = 1 2 n ∑ i = 0 2 2 n − 1 | c i 〉 ⊗ | i 〉 (1)

其中， | c i 〉 表示相应像素点的颜色信息，用二进制序列表示，用其定义如下：

| c i 〉 = | R q − 1 ⋯ R 0 G q − 1 ⋯ G 0 B q − 1 ⋯ B 0 〉 (2)

R j , G j , B j ∈ { 0 , 1 } ， j = 0 , 1 , ⋯ , q − 1 (3)

| R q − 1 ⋯ R 0 〉 表示RGB图像的像素中R通道的颜色值， | G q − 1 ⋯ G 0 〉 表示G通道的颜色值， | B q − 1 ⋯ B 0 〉 表示B通道的颜色值。

| i 〉 表示相应像素点的位置信息，它表示为

| i 〉 = | y 〉 | x 〉 = | y n − 1 y n − 2 ⋯ y 0 〉 | x n − 1 x n − 2 ⋯ x 0 〉 (4)

x k , y k ∈ { 0 ， 1 } ， k = 0 , 1 , ⋯ , n − 1 (5)

量子漫步是经典随机游走地量子版本，在经典物理世界中，并不存在真正的随机。虽然其假设粒子或个体的每一步移动都是独立的随机事件，但在实际应用中，粒子或个体的运动可能会受到各种因素的影响，如环境因素、个体间的相互作用等。像“抛硬币”或计算机的随机数都是伪随机，即它们的结果在某种程度上是可预测的。为实现真正的随机游走，需要一个不可预测的随机变量。而量子力学通过其独特的态叠加性质，为我们提供了一种产生真正随机数的途径，即将量子力学引入到经典随机游走中，从而得到量子漫步这一量子计算的通用模型 [ 24 ] [ 25 ] ，实现了严格意义上的随机游走。量子漫步在量子图像领域中扮演着至关重要的角色，它通过利用量子漫步的特性，为图像处理提供了一种全新的方式 [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] 。量子漫步不仅能够在量子图像中实现高效的特征提取和识别，还有助于优化图像分割、增强图像质量，甚至为图像加密和隐藏提供了新的可能性，从而极大地拓展了量子计算在图像处理领域的应用潜力。

离散量子漫步主要由以下几个部分构成：

位置空间(Position Space)：在离散量子漫步中，位置空间是由一系列离散的点或节点构成的，每个点代表漫步者可能的位置。这通常可以表示为一个希尔伯特空间，其基态对应于不同的位置。而条件位移算子 S 的结构取决于量子漫步正在行走的图。例如，等式2-1给出了在不受限制的线上进行的离散量子漫步的条件位移算子：

S ^ = ∑ x ( | x + 1 , 0 〉 〈 x , 0 | + | x − 1 , 1 〉 〈 x , 1 | ) (6)

硬币空间(Coin Space)：除了位置空间外，离散量子漫步还引入了一个额外的硬币空间。这个空间用于描述漫步者下一步可能的移动方向。在最简单的模型中，硬币可以是一个二态系统，表示向左或向右移动。二维硬币算子 C 的一般矩阵表示由等式7给出：

C = ( ρ 1 − ρ e i ω 1 − ρ e i ω − ρ e i ( ω + ϕ ) ) ， 0 ≤ ρ ≤ 1 ， 0 ≤ ω ， ϕ ≤ π (7)

漫步者的态(Walker's State)：漫步者的态是位置空间和硬币空间的张量积。这意味着漫步者的状态同时包括了它的位置信息和移动方向的信息。

演化算子(Evolution Operator)：离散量子漫步的演化是通过一个么正算子来实现的。如等式8所示。

U ^ = S ^ ( C ^ ⊗ I ^ ) (8)

其中， U ^ 代表演化算子； C ^ 代表硬币算子，负责更新硬币的状态，即决定下一步的移动方向； S ^ 代表条件位移算子，根据硬币的状态来更新漫步者的位置。

测量(Measurement)：在量子漫步的某个时间点，我们可以对漫步者的状态进行测量，以确定它的确切位置或其他相关信息。

综上所述，离散量子漫步系统是通过结合位置空间、硬币空间、漫步者的态、演化算子和测量来构建的。

本文在方案 [ 27 ] 所提的加密方法基础上，提出了一种在NCQI模型下的图像置乱方法。该方法结合单粒子圆上量子漫步理论，将水印图像在嵌入前进行置乱，将其转化为无意义的图像，从而大幅提升了整体方案的安全性。本方法涉及到两个量子图像：一个是量子图像 | K 〉 ，它扮演CNOT门的控制角色，另一个是量子图像 | I 〉 ，即实际上要进行嵌入的水印图像，通过CNOT门的操作，将两个量子图像混合。具体的置乱方法如下。

在水印的提取过程中，需要用到载体图像 | C 〉 和嵌入水印后的载体图像 | C W 〉 和序列K。具体提取过程如下：

将经典的载体图像转换为NCQI模型下的量子图像 | C 〉 。

在载体图像 | C 〉 和嵌入水印后的载体图像 | C W 〉 之间执行异或运算，得到量子图像 | X ′ 〉 。

结合序列K和 | X ′ 〉 ，得到量子图像 | X 〉 。

提取出的水印图像恢复成原图像的操作就是置乱操作的逆操作，需要用到提取出的量子图像 | X 〉 和控制图像 | K 〉 。得到置乱前的水印图像 | I 〉 的过程可以描述为：

| I 〉 = C − n o t ( | K 〉 , | X 〉 ) 。 (20)

在本章中，对上述水印方案在经典计算机上进行了仿真实验，所有实验均在MATLAB R2014a进行实现，实验用到大小为 256 × 256 的图像 Lena、Pepper、Sugar和Tree。

图3. (a)~(d)为原始图像，(e)~(f)为置乱后的图像，(i)~(l)为恢复后的图像

图3给出了图像置乱打的仿真结果，下文进行了直方图分析，评估置乱的效果。

图像的直方图是一种统计图表，它直观地展示了图像中像素值的分布情况。在灰度图像中，直方图特别揭示了从0到255的色调值的分布情况。在彩色图像中，可以针对每个颜色通道分别计算直方图，或者首先将图像转换为灰度图像再计算直方图。直方图分析对于评估图像置乱的效果非常重要，因为它能够清晰地反映出图像中各个像素值的出现频率。好的置乱方法应该能够确保不同置乱图像的直方图具有高度的一致性，以此来抵御潜在的统计攻击。图4给出了原始图像Lena及置乱后图像的对比的直方图，图5、图6和图7则分别给出了sugar、tree和pepper置乱后图像的直方图。而这些图像在经过3.2节中提出置乱方法处理后，其直方图呈现出高度的一致性。这一结果充分证明了本章所提的量子图像置乱方法能够有效抵御直方图分析攻击，从而确保了图像数据的安全性。

图4. Lena图像的直方图

图5. 水印图像sugar置乱后直方图

图6. 水印图像tree置乱后直方图

图7. 水印图像pepper置乱后直方图

图8. 嵌入实验结果：(a) 水印图像，(b) 载体图像，(c) 嵌入水印后的载体图像

在仿真实验中，本章以Lena、Pepper、Sugar和Tree四个图像作为载体，进行了水印嵌入的测试。视觉质量是评估水印算法的重要指标，而峰值信噪比(RGB-PSNR)经常用于评估水印图像的视觉质量 [ 30 ] [ 31 ] ，其表示如下。

P S N R R G B = ( P S N R R + P S N R G + P S N R B ) / 3 , (21)

P S N R X = 10 log 10 M A X 2 M S E = 20 log 10 M A X I M S E , X ∈ { R , G , B } (22)

图8以Lena图为例，清晰地展示了嵌入水印前后的Lena图像。通过对比，可以观察到，载体图像在视觉上并未出现显著的变化，这充分证明了本章所提出的嵌入方案在保持图像视觉质量方面具有较高的性能。表1详细列出了这四个载体图像在嵌入水印后的峰值信噪比(PSNR)值。这些数值数据提供了客观的嵌入效果评价，从而再次印证了本章所提出的水印嵌入方案不仅具有良好的视觉效果，同时也具备了高度的技术可行性。

表1. 仿真实验的实验结果