作为供暖、通风和空调系统的一个重要设备，变风量空气处理系统 [ 19 ] 目前被广泛使用。在变风量空气处理系统中，使用加热和冷却盘管对送风进行加热、冷却和除湿。然后，供应空气通过管道系统输入到多个区域的空气处理终端。通过回风管，将多个房间的空气送回。送风和回风风扇用于促进管道系统中的空气循环。送风静压控制器、风门控制器、送风温度控制器和回风流量控制器用于保持合适的送风压力和温度以及充足的室外空气通风。通过一些合理的控制策略，送风静压、送风温度、回风流量差控制回路的设定值可以根据实际运行情况适时地重新设定。有缺陷的系统设计和不正确的工艺操作会导致控制器和传感器出现故障。根据部位和原因不同，典型故障有风门卡滞、传感器测量偏差和阀门泄漏等。然而，目前很难进行有效的空气处理系统故障检测，因为空气处理系统的批处理运行中存在时间动态行为 [ 8 ] 。此外，在连续几天内，空气处理系统的特点是不同批次运行之间的分批动态。因此，需要解决空气处理系统故障检测的两维时变动态问题。此外，在传统的故障检测模型中，通常应用不具有稀疏性的潜在变量来检测和检测空气处理系统故障，削弱了监控模型的故障敏感性和检测能力 [ 20 ] 。

慢特征分析的原理是产生相对于模型输入具有缓慢变化的输出。对于 x ( t ) = [ x 1 ( t ) , ⋯ , x m ( t ) ] T ，慢特征分析利用变换函数 g ( x ) = [ g 1 ( x ) , ⋯ , g J ( x ) ] T 以确保输出的 y ( t ) = [ y 1 ( t ) , ⋯ , y J ( t ) ] T 具有最慢的变化。其中， y j ( t ) = g j ( x ( t ) ) 。慢特征分析的目标函数表达式为：

min 〈 ( y ˙ j ( t ) ) 2 〉 (1)

s.t.

〈 y j ( t ) 〉 = 0 (2)

〈 y j 2 ( t ) 〉 = 1 (3)

∀ i ≠ j :     〈 y i ( t ) y j ( t ) 〉 = 0 (4)

其中， y j ( t ) 表示第j个慢速特征， y ˙ j ( t ) 表示 y j ( t ) 的导数，运算符 〈 ⋅ 〉 计算如下：

〈 f ( t ) 〉 = 1 t 1 − t 0 ∫ t 0 t 1 f ( t ) d t (5)

等式(1)保证输出变量具有最慢的变化，等式(2)被设计成确保输出变量具有零均值。等式(3)用于去除不变解，而等式(4)确保输出变量相互正交。 y 1 ( t ) 拥有最慢的变化， y 2 ( t ) 拥有第二慢的变化，依此类推。

在 g j ( ⋅ ) 是线性映射的情况下， y j ( t ) 被公式化为 y j ( t ) = w j T x ( t ) ，其中 w j 代表载荷向量。慢特征分析优化后被重写为：

min 〈 y ˙ j 2 ( t ) 〉 = min w j T 〈 x ˙ ( t ) x ˙ T ( t ) 〉 w j = min w j T A w j s . t .       〈 y j 2 ( t ) 〉 = w j T 〈 x ( t ) x T ( t ) 〉 w j = w j T B w j = 1 (6)

其中，A和B分别表示 x ˙ ( t ) 和 x ( t ) 的协方差。 x ˙ ( t ) 近似计算为 [ 9 ] ：

x ˙ ( t ) = d x ( t ) d t ≈ x ( t ) − x ( t − 1 ) ,     t = 2 , 3 , ⋯ , T (7)

所定义的慢特征分析模型的目标函数被进一步转换成特征值分解问题，表达示为：

A w j = λ j B w j (8)

为了消除变量之间无意义的耦合关系，进一步提高故障检测能力，我们将特征稀疏表示技术引入到动态慢特征分析模型中，提取稀疏慢特征信息。在目标函数中对负荷向量的元素施加惩罚，把无关紧要变量的系数收缩为零，把系数非零的变量确定为关键变量。因此，构造的稀疏动态慢特征分析算法可以生成一系列包含较少非零元素的稀疏负荷向量，以探索空气处理系统的潜在驱动力。

在构建的基于三维数据的动态慢特征分析的优化目标上施加额外的约束 ρ ‖ w ‖ 0 ，计算稀疏负荷向量。基于稀疏动态慢特征分析的目标函数构造如下：

J S T B D S F A = max w w T L ^ w − ρ ‖ w ‖ 0 s . t .       w T C w = 1 (17)

其中， L ^ = − L = − 1 I K l − 1 Δ T Δ T T ， ρ > 0 是用于调整负荷向量w_j稀疏度的松弛因子。

为了解决方程(17)中的优化是不连续和非凸问题，利用文献 [ 16 ] 中讨论的松弛技术将方程(17)转换成如下的连续凸优化问题：

max w w T L ^ w − ρ ε ∑ i = 1 J d log ( ε + | w i | ) s . t .       w T C w ≤ 1 (18)

其中， ρ ε = ρ / log ( 1 + ε − 1 ) ，w_i表示负载向量w的第i个元素。

选择一个参数 β ≥ max ( 0 ,   − λ min ( L ^ ) ) 满足 L ^ + β I J d ∈ S + J d ，等式(18)可以重新表述为：

min w β ‖ w ‖ 2 2 − w T ( L ^ + β I J d ) w + ρ ε ∑ i = 1 J d log ( ε + | w i | ) s . t .       w T C w ≤ 1 (19)

根据文献 [ 16 ] ，方程(19)的解可以通过计算下面的二次规划问题来计算。

w ( j + 1 ) = arg min w β ‖ w ‖ 2 2 − 2 w T ( L ^ + β I J d ) w ( j ) + ρ ε ∑ i = 1 J d | w i | | w i ( j ) + ε | s . t .       w j T C w j ≤ 1 (20)

其中，j代表迭代次数。

稀疏动态慢特征分析的第一个稀疏负荷向量可以由稀疏广义特征值算法直接计算。为了求解其它稀疏负荷向量，采用了正交投影收缩技术，基于先前的稀疏负荷向量对矩阵 L ^ 进行收缩 [ 17 ] 。

L ^ j + 1 = ( I − v j v j T ) L ^ j ( I − v j v j T ) v j + 1 = ( I − V j V j T ) w j ‖ ( I − V j V j T ) w j ‖ (21)

其中， w 1 , w 2 , ... , w j 表示通过对收缩矩阵执行稀疏广义特征值方法计算稀疏负荷向量。基于三维数据的动态慢特征分析模型的特征向量被确定为实施过程和稀疏广义特征值算法的初始解。

改进的稀疏动态慢特征分析模型生成了一组对应广义特征值 λ 1 < λ 2 < ⋯ < λ J d 的稀疏广义特征向量 A I K = [ w 1 , w 2 , ⋯ , w J d ] 。这些广义特征向量可以表征稀疏慢特征的变化趋势。保留太多稀疏的慢特征会将不必要的注意力集中在短期系统扰动上，导致基于稀疏动态慢特征分析的监控效果恶化。因此，为了保持空气处理系统的关键特征信息，我们只选择前p个重要的广义特征向量 A p = [ w 1 , w 2 , ⋯ , w p ] 来导出变化最慢的稀疏慢特征。通过计算稀疏慢特征的累积慢度贡献率 R p 来确定参数p [ 8 ] 。

R p = ∑ j = 1 p μ j / ∑ j = 1 J d μ j (22)

其中， μ j 定义为 μ j = 1 / λ j 。在改进的稀疏动态慢特征分析模型中，p值是根据95%的累积满度贡献率确定的。

给定新批次运行中的标准化测试样本 x t e ，首先使用自回归移动平均模型构建其时间滞后向量 x t e d 。然后计算稀疏慢特征 y t e = A p T x t e d ，依据扩展的测试样本 x t e d ，计算T²统计量衡量空气处理系统的主要变化趋势；计算SPE统计量捕获短期系统扰动。

T 2 = y t e T y t e = x t e d T A p A p T x t e d (23)

S P E = y t o t a l T y t o t a l − y t e T y t e = x t e d T A I K A I K T x t e d − x t e d T A p A p T x t e d (24)

其中， y t o t a l = A I K T x t e d 。

基于改进的稀疏动态慢特征分析模型的故障检测方案在ASHRAE研究项目RP-1312提供的空气处理系统数据集上进行了检验。该项目进行了一系列现场实验，以模拟服务于四个区域的空气处理系统的时变动态特性。因此，ASHRAE项目RP-1312可以提供多种故障模式和正常运行的实验数据集。关于项目RP-1312的更多细节可在文献 [ 21 ] 中找到。

表1. 正常数据集的介绍

表2. 空气处理系统故障模式的基本信息

包含空气处理系统变量、设定值、控制信号和致动器状态的16个关键变量被选为监控变量。为了处理空气处理系统在长期运行期间的分批动态，利用表1中给出的13个正常数据集N₁~N₁₃建立三维建模矩阵，这些正常运行批次是从十三个不同的运行日收集的。如表2所示，在本实验中采用了多种故障模式来评估所开发的故障检测方案的有效性。这些不同的故障模式包括冷却盘管阀卡滞、加热盘管阀泄漏和室外空气风门卡滞或泄漏。

原始正常和故障实验数据的采样间隔为1分钟，我们以3分钟的间隔对正常和故障实验数据进行重采样，以降低故障检测方法的计算复杂度。在数据重采样阶段，16个监测变量被添加了高斯测量噪声。为了评估构建的稀疏动态慢特征分析方法的故障检测效果，将相关故障批次数据集中的前120个正常样本与前360个故障样本组合成测试数据集。因此，表2所示的故障模式出现在测试数据集中的第121个样本。

将所提出改进的稀疏动态慢特征分析方法的有效性与稀疏主成分分析和稀疏慢特征分析进行对比。对于稀疏主成分分析和稀疏慢特征分析模型，仅使用一个在运行日存储的正常数据集来建立训练数据。对于改进的稀疏动态慢特征分析方法，自回归移动平均外生模型中使用的时滞d选择为2。在改进的稀疏动态慢特征分析模型、稀疏慢特征分析模型和稀疏主成分分析模型中，保留了占95%贡献的主成分，T²和SPE的控制限由99%的置信水平决定。

为了评估方法的故障检测效果，使用故障检测率和故障检测时间作为评价指标。故障检测率指数计算为检测到的故障数据点与实际故障数据点总数的比率。连续3个样本超出监测统计的控制极限后，发现故障。故障检测时间指数被定义为最早检测到的3个连续故障样本的第一个数量。故障检测时间越早，故障检测率越高，检测效果越好。

(1) 故障F5的故障检测结果

图2. 对于故障F5的三种方法的故障检测图

故障F5的改进稀疏动态慢特征分析、稀疏慢特征分析和稀疏主成分分析的监控图如图2所示。图2(a)中的稀疏主成分分析模型的故障检测结果揭示了T²和SPE统计分别在第130和第127样本检测到故障F5。然而，稀疏主成分分析模型的T²和SPE统计都具有最低的故障检测率，因为在第130次和第127次采样后，大量故障数据点低于其相应的控制极限。根据图2(b)，稀疏慢特征分析模型获得改进的监控结果，其中其统计T²在第241个样本警告故障F5，而其统计SPE在第124个样本检测故障F5。然而，稀疏慢特征分析模型的统计SPE仍然拥有相对较大的漏检测故障样本，因为许多故障数据点在第124个数据点之后下降到控制极限以下。与上述两种方法的故障检测图相比，所提出的改进稀疏动态慢特征分析模型显示了更好的监控结果。从图2(c)可以看出，其T²和SPE统计在第121个数据点同时发现故障F5，漏检故障数据点最少，表明改进的稀疏动态慢特征分析模型实现了最早和最好的故障检测效果。因此，在三种监测方法中，改进的稀疏动态慢特征分析模型是检测故障F5最有效的方法。

(2) 故障F10的故障检测结果

图3. 对于故障F10的三种方法的故障检测图

图3显示了故障F10的检测结果。如图3(a)所示，稀疏主成分分析模型获得了最差的故障检测图表，其中其T²统计在第237个样本处警告故障F10，而SPE统计在第121个样本处检测到故障F10。此外，稀疏主成分分析模型的T²和SPE统计都带来很低的故障检测率，因为在检测到故障后，许多故障数据点低于控制极限。相反，从图3(b)中，稀疏慢特征分析模型的T²和SPE统计分别在第121和第171个样本处警告故障F10。然而，由于大量真实故障数据点被错误地认为是正常数据点，它们仍然导致不好的故障检测结果。图3(c)中所示的改进稀疏动态慢特征分析模型的T²和SPE统计数据在第121个数据点同时发出F10故障警告，而没有遗漏检测到的故障数据点，这在三种检测方法中最早且最精确地对F10故障发出报警。仿真结果证明了改进的稀疏动态慢特征分析模型相对于其他两种模型具有良好的故障检测效果。

表3和表4评估了11个故障的改进稀疏动态慢特征分析模型、稀疏慢特征分析模型和稀疏主成分分析模型的检测结果，所有测试故障都是阶跃变化故障。因此，如表3所示，这三种方法具有在第121个样本引入后立即警告大多数测试故障的能力。更具体地说，稀疏主成分分析模型导致故障F1、F2、F6和F8~F11的一些故障检测延迟，而它没有故障检测延迟来警告其余故障。稀疏慢特征分析模型的T²统计量仅具有故障检测延迟以警告故障F3、F6和F8，而其SPE统计量具有时间延迟所以给出故障F2~F8、F10和F11的警报。相反，改进的稀疏动态慢特征分析模型实现了几乎没有故障检测延迟来警告这11个测试故障，这与稀疏慢特征分析模型和稀疏主成分分析模型相比更早的显示了故障检测效果。

然而，表4中列出这三种方法的故障检测率指数的不同值。由于无法处理空气处理系统的两维动态特性，稀疏慢特征分析模型和稀疏主成分分析模型在检测到故障后都错误地将真实故障数据点视为正常数据点。这导致T²和SPE统计数据的故障检测率较低。改进的稀疏动态慢特征分析模型的T²和SPE统计实现了几乎100%的故障检测率来检测11个测试故障，这是三种检测方法中最高的。这是因为改进的稀疏动态慢特征分析模型可以解决两维动态、执行空气处理系统的特征稀疏表示。表3和表4的结果也再次证明了改进的稀疏动态慢特征分析模型相对于其他两种方法的显著检测性能。

表3. 三种算法的故障检测时间比较

表4. 三种算法的故障检测率比较