鲸鱼优化算法的核心思想是通过群体内个体之间的信息交流和随机游走来识别目标并进行包围。将群体中最优位置作为目标时，其他个体会围绕最优个体移动。通过式(1)来更新位置：

D = | C ⋅ X ∗ ( t ) − X ( t ) | (1)

X ( t + 1 ) = X ∗ ( t ) − A ⋅ D (2)

a = 2 − 2 t t max (3)

A = 2 a ⋅ r 1 − a (4)

C = 2 ⋅ r 2 (5)

其中，t为当前迭代次数； X ∗ 为猎物位置；X为当前位置；A和C为系数向量用来调节距离；r₁和r₂为[0, 1]之间的随机向量； t max 为最大迭代次数；a为收敛因子，随着迭代次数增加从2线性递减到0。

当鲸鱼发现猎物时，它们会吸入大量的水，下潜约12米，通过在猎物周围形成螺旋状气泡带，同时向水面游动的方式来捕食猎物。它们利用这种向上的螺旋运动，逐渐缩小包围圈，以捕获猎物。在鲸鱼优化算法中，利用收缩包围机制和螺旋更新位置来描述这一捕食行为。

X ( t + 1 ) = X ∗ ( t ) + D ′ ⋅ e b l ⋅ cos ( 2 π l ) (6)

其中，b用来定义对数螺旋的形状； D ′ = | X ∗ ( t ) − X ( t ) | 表示鲸鱼与当前全局最优个体之间的距离；l是[−1, 1]的随机数。

鲸鱼围绕着猎物收缩圈螺旋游动，在收缩包围和螺旋更新中选择相同概率更新鲸鱼的位置，其数学模型如式(7)所示：

X ( t + 1 ) = { X ∗ ( t ) − A ⋅ D ,                                         if   p < 0.5 X ∗ ( t ) + D ′ ⋅ e b l ⋅ cos ( 2 π l ) ,       if   p ≥ 0.5 (7)

其中，p是[0, 1]之间的随机数。

鲸鱼群通过根据彼此位置进行随机搜索，在收缩圈外游动，以扩大搜索范围并最终达到全局寻优的目的，数学模型如式(8)和式(9)所示：

D = | C ⋅ X r a n d − X | (8)

X ( t + 1 ) = X r a n d − A ⋅ D (9)

其中， X r a n d 是从当前种群中选择的一个随机位置向量。

鲸鱼优化算法在寻优过程中需要平衡其探索和开发能力，以取得更好的寻优结果。由式(3)、(4)可知，参数A的值随着收敛因子a的变化而不断变化，即寻优过程中，WOA的全局探索和局部开发能力的转换是通过调整收敛因子a来实现的。事实上，WOA的寻优过程极为复杂，控制参数a线性递减策略不能适应寻优过程的实际情况，可能会导致收敛精度不高或易陷入局部最优，在求解高维多峰函数优化问题时易陷入局部最优。基于上述考虑，本文提出一种指数衰减策略，其具体表达式为：

a = 2 − 2 ⋅ ( t t max ) 1 2 (10)

上式使得a的取值在迭代过程中呈指数下降，使得算法更加稳定和收敛。这有助于算法在搜索空间中进行平滑的变化，更稳定地调整搜索步长，避免因为参数变化过快而导致突然跳变或不连续的情况，降低不稳定性，也使得算法可以更好地覆盖整个搜索空间，具有更好的探索性。改进前后收敛因子a的变化曲线图如图1所示。

图1. 收敛因子a变化曲线对比

SCWOA算法流程如下：

步骤一：随机初始化一组鲸鱼群体，进入迭代循环，当迭代次数t小于最大迭代次数时，执行以下步骤。

步骤二：对当前位置进行边界检查，并计算适应度值，更新全局最优解和最优位置。

步骤三：生成随机数选择通过沙丘猫优化还是鲸鱼优化两种方式进行位置更新。

步骤四：进入沙丘猫算法阶段的概率为q，使用轮盘赌法选择随机角度，通过随机搜索对每个个体进行位置更新；

步骤五：进入鲸鱼优化算法阶段的概率为1 − q，计算参数A、C，通过生成的随机概率p选择更新方式来更新位置；

步骤六：迭代次数加1，重复步骤二到步骤五，直到达到最大迭代次数；

最终，输出最优适应度值、最优位置。

SCWOA算法的时间复杂度主要由沙丘猫优化和鲸鱼优化两部分组成，假设种群规模为N，问题维度为D，最大迭代次数为T，执行沙丘猫优化的概率为q，执行鲸鱼优化的概率为1 − q，则沙丘猫优化部分的时间复杂度为 O ( q ⋅ N ⋅ D ⋅ T ) ，鲸鱼优化部分的时间复杂度为 O ( ( 1 − q ) ⋅ N ⋅ D ⋅ T ) ，因此，SCWOA算法的时间复杂度为：

O ( SCWOA ) = O ( q ⋅ N ⋅ D ⋅ T ) + O ( ( 1 − q ) ⋅ N ⋅ D ⋅ T ) = O ( N ⋅ D ⋅ T ) (15)

WOA的算法时间复杂度为：

O ( WOA ) = O ( N ⋅ D ⋅ T ) (16)

此次仿真实验基于Windows10 (64 bit)操作系统，处理器Intel (R) Core (TM) i7-7500U CPU编程采用MATLAB R2021a软件。

为验证本文SCWOA的性能，引入13个基准测试函数进行实验(具体函数表达式见参考文献 [ 9 ] )，其中，F1~F7为单峰函数(其中F5在维度大于3时为多峰函数，F6为非连续函数)，F8~F13为多峰函数。实验中，算法种群规模为30，维度为30，最大迭代次数为500，独立运行30次后的Min (最小值)、Max (最大值)、Ave (平均最优值)和Std (标准差)为最终测试结果，其中，平均最优值体现算法的收敛速度和求解准确度，标准差体现算法的稳定性和健壮性，最大值与最小值体现可行解的质量。实验结果如表1所示。

表1. WOA与SCWOA的仿真函数测试结果

从测试函数在最小值、最大值、平均最优值、标准差四方面的优化效果来看，函数F1~F7中，除F6以外，SCWOA测得的四个值相较于WOA效果更优，在函数F8~F13中，F8的稳定性比WOA差一些，在复杂多模态函数F9、F11中取得理论最优值，在F10、F12、F13中均取得一定优化效果。

为验证自适应沙丘猫鲸鱼算法的收敛性分别选取表1中的五个函数——F2、F4、F5、F7、F12绘制收敛曲线来对比基本鲸鱼优化算法(收敛曲线图展示算法的收敛趋势变化)，横坐标为迭代次数，纵坐标表示函数最优值(等同于最小值)的对数，如图2~图7所示。

图2. F2的收敛曲线

图3. F4的收敛曲线

图4. F5的收敛曲线

图5. F7的收敛曲线

图6. F10的收敛曲线

图7. F12的收敛曲线

分析函数收敛图，F2迭代次数约为10时开始收敛，接着减缓收敛速度，直至迭代次数约450时已收敛，F4、F5、F7、F10分别持续收敛至约130、50、400、160代时便已收敛，收敛速度快的同时取得更高的收敛精度，F12前期收敛速度优于WOA，约在迭代次数为100时收敛。总体来看，SCWOA的收敛的速度与精度相较WOA更为显著。

为了验证改进算法的寻优性能，以本文提出的SCWOA对测试函数进行数值实验，并与其他一些方法——基于余弦控制因子和多项式变异的鲸鱼优化算法(CPWOA) [ 10 ] 、正余弦算法(SCA) [ 11 ] 、灰狼优化算法(GWO) [ 12 ] 进行对比。除WOA、SCWOA外，其余算法的实验数据取自原文献，实验中各智能算法的种群规模N为30，最大迭代次数Tmax为500，其他参数设置同原文献。各实验均独立运行30次，取30次实验的平均值(Ave)、标准差(Std)为统计结果。表2为具体实验结果(对比结果的最优值加粗表示)。

表2. 不同算法对13个测试函数的实验结果

从表2可以看出，SCWOA相较于CPWOA，除F3、F5、F12外，优化效果更为显著；相较于GWO、SCA与WOA，仅有函数F3、F6、F13优化效果略显逊色。

选取设计变量、列出目标函数、给定约束条件是构造优化设计问题数学模型的重要步骤。该问题的数学模型一般可以描述为如下约束非线性优化设计问题：

min     f ( X ) s .t .     g j ( X ) ≥ 0       j = 1 , 2 , ⋯ , q             h p ( X ) = 0       p = 1 , 2 , ⋯ , m             X i 1 ≤ X i ≤ X i u       i = 1 , 2 , ⋯ , n } (17)

其中，X为设计变量， X = ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n ) ， X ∈ R n ， f ( X ) 为目标函数；g_j为第j个不等式约束；h_p为第p个等式约束； X i 1 和 X i u 分别为设计变量的上下界。

群体智能优化算法求解约束优化问题时需要将约束问题转化为无约束优化问题进行求解。将约束优化问题转化为无约束优化问题的主要处理方法是罚函数法。该方法的基本思想是通过引入惩罚项并将其添加到目标函数中以构成惩罚函数，使得约束优化问题转化为一系列无约束极值子问题，然后按照无约束优化方法来求解这些子问题。该策略将对求解过程中违反约束条件的迭代点进行“惩罚”，进而迫使无约束子问题的极小值点趋向于满足约束条件。

罚函数的一般形式为：

F ( X ) = f ( X ) + λ ( h 2 ( X ) + [ min ( 0 , g ( X ) ) ] 2 ) (18)

其中， F ( X ) 为惩罚函数， f ( X ) 为优化问题的原始目标函数， λ 为惩罚因子； h 2 ( X ) 和 [ min ( 0 , g ( X ) ) ] 2 分别为与等式有关的惩罚项和与不等式有关的惩罚项。

利用SCWOA优化以下2个机械设计问题，通过计算机仿真来验证所提出算法的性能。实例参照文献 [ 13 ] 。为了体现比较的公平性，SCWOA与其他算法作对比时，实例1和实例2中SCWOA参数设置分别为：N = 30，T_max= 500。另外，因实例均受约束限制，SCWOA采用罚函数法处理约束越界。算法独立运行30次并取最优值，具体实验结果如表3、表4所示。