为更形象得地描绘出突发公共事件的发展趋势，本文以2020年初大规模爆发的新型冠状病毒肺炎疫情为例，选取了全国2020年1月20日至4月20日的相关统计数据进行分析，如图1所示，数据来源于国家卫健委官方网站和湖北卫健委官方网站。从图1的疫情大致走势中能看出，一二月份是新冠肺炎疫情的主要传播期，确诊病例以及疑似病例数量庞大，为实现最大限度的应急救援，对该阶段进行应急物资需求预测更为有意义；而到三四月份，感染人数不再大幅新增，这意味着此时疫情已经得到了强有力地管控，不再大规模传播，直至结束。

图1. 新冠肺炎疫情发展趋势

突发公共卫生事件背景下，疫区内应急物资的及时供给是实现快速应急救援的基础，而做好应急物资保障工作的基础则是对应急物资的需求量进行准确预测。然而在大规模的传染病疫情爆发前期，疫情的传染源、传染概率、传播路径等等均难以在短时间内形成定论，疫区内居民尚未形成较强的防范意识，因而往往造成大面积的人员感染，并持续扩散，是开展应急救援工作最为艰难的时期。这个时期的应急物资具有动态紧迫性特点，直接对应急物资需求量进行预测因此受限。基于此，本文选择间接预测，在疫情的主要传播期内，结合新冠病毒感染特征修正传统的传染病动力学模型，描述疫情的传播和扩散情况，并通过修正后的SEIRD传染病动力学模型对疫区各类人群的人数进行大体把控，并在此基础上构建应急物资动态需求模型，进而科学地预测出突发公共事件下疫区对应急物资的需求。

本文选择了经典的SEIR模型作为基础模型，该模型从1998年起就被很多学者广泛运用于传染病疫情预测中 [ 18 ] [ 19 ] ，已经具备了较为成熟的框架体系及理论模型。SEIR模型主要将人群划分为四类：易感人群S (susceptible)、潜伏人群E (exposed)、感染人群I (infected)、恢复人群R (removed)四类人群。一般来说，易感人群对新型冠状肺炎病毒不具备免疫能力，容易被感染。易感染者若接触到感染者，则进入潜伏期，成为潜伏者；潜伏者是指接触或者携带了感染源但暂未发病的群体，一旦出现明显的发病症状，则确诊为感染者；感染者接受治疗后被成功治愈，成为恢复者，并得到了抗体，不会再度发展为感染者，也就不会对其他人群造成病毒的传播。从图2中可以看出S、E、I、R这四类人群的转换过程。感染人群以α₁的概率将易感人群转化为潜伏人群，经过一段时间的潜伏期之后潜伏人群以 的概率转化为感染人群，这类人群在感染期内始终保持传染性，经过治疗后以γ的概率康复，并对该病毒具有免疫能力，短期内不会再被感染。SEIR模型适用于带有潜伏期的传染病预测，而本文是以2020年初大规模爆发的新型冠状病毒肺炎疫情为例，根据中国疾病预防控制中心发布的《2019新型冠状病毒疫情进展及风险评估》可知，新型冠状病毒的潜伏期为3~7天，最长不超过14天，因此选用该模型作为突发公共卫生事件下应急物资需求预测的基本模型较为合适。

图2. SEIR模型示意图

传染病动力学模型能够很好地描述传染病疫情的传播路径，在多种传染病发展趋势预测中均表现出了良好的拟合预测能力。然而，任何一种预测方法都不能完美地进行所有预测分析，需得综合考虑预测对象的特点、模型的适用条件以及局限性等等，并基于此在现有的预测模型上进行一定的修正与完善，才能更加贴合实际，以满足当前的研究需要。因此，本文针对大规模爆发的Covid-19疫情，首先分析其传播特征以及相关风险，然后据此在经典的SEIR模型上做出一定的修正，使其更加贴合疫情的传播和扩散情况。

经国家卫健委专家鉴定，新型冠状肺炎病毒在传播过程中存在以下两个特征：

1) 根据中国疾病预防控制中心发布的《2019新型冠状病毒疫情进展及风险评估》可知，新型冠状病毒的潜伏期为3~7天，最长不超过14天，潜伏期较长，且该病毒在潜伏期和感染期均具有一定的传染性；

2) 相较于一般的传染病，在这场大规模爆发的新型冠状病毒肺炎疫情中的死亡人数更多，负面影响更大。

基于以上，本文结合新型冠状病毒肺炎疫情的发病特点及传播机制对经典的SEID传染病动力学模型做出如下改进 [ 20 ] ：

1) 考虑到在疫情传播过程中潜伏者也具有一定的传染性，引入潜伏人群传染率α₂对模型进行修正；

2) 考虑到新型冠状病毒存在一定的致死率，故在经典的SEIR模型中增加死亡人群D (dead)仓室，改进为SEIRD模型。

修正后的SEIRD传染病动力学模型即如图3所示，从图中可以清晰地看出突发公共卫生事件爆发后S、E、I、R、D这5类人群的转换过程。

图3. 修正后的SEIRD传染病动力学模型示意图

由于突发公共卫生事件以及疫情防控的复杂性，本文参考相关的文献资料，并结合新型冠状病毒肺炎疫情在传播过程中的实际情况，对修正后的传染病SEIRD传染病动力学模型中做出了如下假设：

1) 新型冠状病毒肺炎疫情爆发之后，政府采取了强有力的防控措施控制人口流动，尤其是湖北省各个城市之间的人口流动限制更为严格，因此本文不考虑各疫区之间的人口流动对应急物资需求预测结果的影响 [ 21 ] 。为简化计算，假定研究区域处于封闭状态，即无新进入的易感者，也无易感者流出；

2) 新型冠状肺炎病毒的感染率高且传播范围广，因此本文假定疫区人群对新型冠状病毒普遍易感，对普通人群和易感人群不做进一步的区分；

3) 潜伏人群只能由易感人群转化而来，感染人群只能由潜伏人群转化而来，恢复人群只能由感染人群转化而来，死亡人群只能由感染人群转化而来；

4) 人口自然出生率和自然死亡率这两个因素在短时间内不会对研究区域内的人口结构产生影响，因此假定本文修正后的SEIRD传染病动力学模型不受这两个因素的干扰 [ 21 ] 。

基于以上对模型进行的相关改进及假设，对修正后的SEIRD传染病动力学模型的参数设置如表1所示。本文拟定疫区主要包括易感人群S、潜伏人群E、感染人群I、恢复人群R、死亡人群D五类人群。感染者I与潜伏者E平均接触的易感人群S的人数为 n 1 、 n 2 ，分别以传染率 α 1 、 α 2 将易感者S转变为潜伏者E，潜伏者E又以确诊率 β 转化为感染者I，最终一部分感染者I以病死率 δ 死亡，另一部分感染者I以治愈率 γ 康复并且在短期内不再被感染。

表1. 修正后的SEIRD传染病动力学模型的参数设置

续表

根据上述研究假设及参数设置，新型冠状病毒肺炎疫情在t时刻的传播扩散情况可以描述为以下差分方程组：

{ S ( t ) = S ( t − 1 ) − n 1 α 1 I ( t − 1 ) S ( t − 1 ) / N − n 2 α 2 E ( t − 1 ) S ( t − 1 ) / N E ( t ) = E ( t − 1 ) + n 1 α 1 I ( t − 1 ) S ( t − 1 ) / N + n 2 α 2 E ( t − 1 ) S ( t − 1 ) / N − β E ( t − 1 ) I ( t ) = I ( t − 1 ) + β E ( t − 1 ) − γ I ( t − 1 ) − δ I ( t − 1 ) R ( t ) = R ( t − 1 ) + γ I ( t − 1 ) D ( t ) = D ( t − 1 ) + δ I ( t − 1 ) N = S ( t ) + E ( t ) + I ( t ) + R ( t ) + D ( t ) (1)

其中，N为疫区总人口，本文已假定人口流动、出生率及死亡率对修正后的SEIRD传染病动力学模型不产生影响，因此疫区总人口为五种人群的数量之和，即表t时刻易感人群S、潜伏人群E、感染人群I、恢复人群R和死亡人群D的总人数。公式(1)表示，在t时刻，任一群体的人数等于该群体在 t − 1 时刻的人数以及在 t − 1 时刻进入该群体的人数之和，再减去在 t − 1 时刻离开该群体的人数。例如，在公式(1)中，在 时刻，区域内易感染者的人数 S ( t ) 等于 t − 1 时刻区域内已有的易感染者的人数 S ( t − 1 ) ，加上 t − 1 时刻新增易感染者的人数0，再减去 t − 1 时刻有易感者转化为潜伏者的人数。至此，可以得出在整个研究时段T中，疫区内各类人群的数量为：

S ( T ) = ∑ t ∈ T S ( t ) (2)

E ( T ) = ∑ t ∈ T E ( t ) (3)

I ( T ) = ∑ t ∈ T I ( t ) (4)

R ( T ) = ∑ t ∈ T R ( t ) (5)

D ( T ) = ∑ t ∈ T D ( t ) (6)

为科学合理地衡量所构建模型的预测精度，往往需要引入相应的评价指标进行精度分析。常用的模型预测效果评价指标主要有四种：平均绝对误差(MAE)、均方根误差(RMSE)、绝对百分误差(APE)、平均绝对百分误差(MAPE)。本文选用平均绝对百分误差(MAPE)和均方根误差(RMSE)对预测模型的有效性进行检验。

平均绝对百分误差(MAPE)表示单个误差与真实值之间的百分比值的平均值，它是评估预测精度的最常用指标之一，计算公式为：

MAPE = 1 T ∑ i = 1 T | x ( i ) − x ′ ( i ) x ( i ) | × 100 % (7)

平均绝对百分误差(MAPE)检验要求平均绝对百分误差值越小越好，使用平均绝对百分误差(MAPE)衡量模型预测效果通常遵循如表2所示的分级标准。预测模型只有通过有效性检验，预测结果才具有合理性与有效性。

表2. 模型预测精度MAPE等级

均方根误差(RMSE)表示预测值与真实值之间误差平方平均值的平方根，用于衡量预测值与真实值之间的偏差，要求均方根误差值越小越好，计算公式为：

RMSE = ∑ i = 1 T ( x ( i ) − x ′ ( i ) ) 2 T (8)

自2003年爆发的SARS危机以来，应急物资储备成为应急救援工作的重中之重。根据央广网相关报道，截止2023年7月25日，应急管理部已经在31个省(市、区)拥有126个中央级储备库，储备了955.2万件、总价值达37.3亿元的中央应急抢险救灾物资，可以随时调运地方做好相关的应急救援减灾工作。在新型冠状病毒肺炎疫情防控工作中，国家工信部发布了疫情防控重点保障物资清单，涵盖了各类应急物资的原材料、包装材料、生产设备等等，这些应急物资基本满足了突发公共卫生事件尤其是本次新型冠状病毒肺炎疫情的需求。

本文将应急物资分为两类，一类是非消耗物资，如呼吸机、心电监测仪等等，这类物资在一次供应之后能够被长久使用，不需要频繁供应；另一类是消耗物资，如药品、口罩等等，这类物资的需求在疫情防控过程中是接连不断的，且由于人群的流动性和病毒的传染性，单位时间内疫区各类人群的数量是动态变化的，故而应急物资的需求也是动态变化的，再加之不同人群的需求也可能不同，因而这类物资的需求量往往难以预估且更为紧迫的。综合来看，在疫情发展过程中，针对消耗类应急物资来探讨更具有实际研究价值。因此，本文选择消耗物资来进行需求预测，并在前文相关人数预测的基础上构建应急物资动态需求预测模型。

考虑到信息滞缓以及运输延迟等原因，为充分保障应急物资的供应充足，防止货物紧缺，需根据服务水平系数和应急物资缺货率确定应急物资运输的提前期 [ 22 ] ，以备不时之需。由于应急救援工作的首要目标是最大限度地降低损失，故提前期产生的成本可暂时忽略。根据上述对应急物资的分类及相关分析，本文对应急物资动态需求模型的参数设置如表3所示：

表3. 应急物资动态需求模型的参数设置

基于上述应急物资分类及相关参数设置，本文建立的应急物资动态需求预测模型如下，该式表明t时刻疫区内应急物资的需求量。

D ( t ) = ( q × I ( t ) + q ′ × ( S ( t ) + E ( t ) + R ( t ) ) ) × L ¯ + Z 1 − ∂ × σ D ( t ) × L ¯ (9)

其中， σ D ( t ) 为t时刻疫区内应急物资的需求标准差，计算公式如下：

σ D ( t ) = ∑ h = 1 t ( D ( h ) − D ¯ ( t ) ) 2 t (10)

D ¯ ( t ) 为t时刻疫区内应急物资的需求均值，计算公式如下：

D ¯ ( t ) = 1 t ∑ h = 1 t D ( h ) (11)

根据以上所构建的应急物资动态需求预测模型，可更加及时精准地预测出疫情区域内消耗类物资的需求情况，同时物资分配中心可以根据预测出的需求量及各个物资供应点特点，制定更加完备的应急物资供应方案，以增强应急物资供应的及时性和准确性。

本文以2020年初大规模爆发的新型冠状病毒肺炎疫情为案例背景，以武汉市为研究区域，运用修正后的SEIRD传染病动力学模型对疫区内各类人群的人数变化进行动态预测，并据此进行应急物资需求预测。由于某些数据未公布或者灾害情况下无法收集，因此我们采取实际数据和部分仿真数据相结合的方式来进行相关数据设置。

根据《武汉统计年鉴》可知2019年年末全市常住人口1121.20万人，故在此设定N = 11,212,000。感染者将易感者转化为潜伏者的传染率可以根据新冠疫情期间的相关数据计算得到 α 1 ≈ 0.048 [ 23 ] 。潜伏者的确诊率β可以设定为疫情潜伏周期的倒数 [ 19 ] ，根据中国疾病预防控制中心发布的《2019新型冠状病毒疫情进展及风险评估》可知，新型冠状病毒的潜伏期为3~7天，最长不超过14天，因此可假定病毒的潜伏周期为7天，则潜伏者的确诊率 β = 1 / 7 ≈ 0.143 。

基于以上，可探究在无干预措施的情况下新型冠状病毒肺炎疫情在武汉市的传播扩散情况。其他相关数据设定为：S = 11211999，E = 0，I = 1，R = 0，D = 0，n₁= 10，n₂= 10，α₂= 0.025，γ = 0.2，δ = 0.005。从图4中可以看出，在不采取任何防控措施的情况下，1121.2万的人群基数随意流动，在第一例病例出现后，第75天潜伏者数量达到峰值为3,668,033人，第79天感染者数量达到峰值为2,259,957人，最终死亡人数为269,705人。

图4. 无干预状态下新型冠状病毒肺炎疫情传播扩散图

结合武汉市疫情传播的实际情况可知，第一例确诊病例于2019年12月8日被发现，期间时隔46天，即于2020年1月23日采取“封城”措施。采取强制封控措施限制人口流动之后，感染者及潜伏者所能接触到的易感者数量降低，需得设置新的的参数值，以便更加贴合实际的疫情发展趋势。假设感染者平均接触易感者的人数n₁= 2，潜伏者平均接触易感者的人数n₂= 3。治愈率γ病死率δ可以通过收集受灾地区疫情爆发以来各周期的感染人数、恢复人数和死亡人数，通过曲线拟合处理计算得出。由于2月12日湖北省报告的13,332例临床诊断病例被纳入确诊病例统计中，以至于感染者人数骤增。为保证数据拟合的精度，本文选取2020年1月23日至2月11日的疫情通报相关数据进行拟合得出γ = 0.0886，δ = 0.0226，数据来源于国家卫健委官方网站和湖北卫健委官方网站。在疫情相关封控措施的干预下，疫区内潜伏人数、感染人群以及死亡人群的数量变化拟合结果即如图5所示。

由于在2020年2月13日之前，相关官方网站上并没有对武汉市新型冠状病毒肺炎疫情情况的通报，故本文取2月13日至2月22日这十天之间的预测数据与实际数据进行对比，数据来源于国家卫健委官方网站。由于未考虑医疗水平的提升对感染者的治愈作用，也未能考虑新型冠状病毒在变异过程中毒性有所降低，导致治愈人群及死亡人群的预测结果与实际值有一定的出入，故本文仅做感染人群数量的实际值与预测值的对比，对比结果见表4所示。

图5. 干预状态下疫区内各类人群变化

表4. 感染人群数量的实际值与预测值对比

由表4可知，绝对误差序列为：(2.77%, 0.40%, 0.76%, 2.10%, 3.07%, 4.03%, 2.66%, 0.61%, 1.49%, 3.12%)，则平均绝对百分误差MAPE值为2.10%，远远小于10%。根据平均绝对百分误差检验精度等级可知，该预测模型的拟合精度较高，表明该模型有效可行，平均预测精度为97.90%。此外，均方根误差RMSE值为2.41%，相对较小，说明预测值与实际值之间的误差不大，亦表明模型有效可行。感染者人数实际值与预测值对比如图6所示，预测结果与实际基本吻合。

根据公式(9)~(11)所构建的应急物资动态需求预测模型，对日常消耗应急物资进行动态需求预测。以口罩为例，一次性医用外科口罩防护效期一般是四小时，故感染人群对口罩人均需求可设定为6只/天。考虑“居家隔离”的疫情防控政策，非感染人群对口罩的需求量相对较少，可设定为2只/天。假定两次应急物资的配送时间间隔为1天， Z 1 − ∂ 表示应急物资缺货率在0.05以下时的服务水平系数1.65。将以上数据代入应急物资动态预测模型D(t)中，预测结果见表5。

图6. 感染者人数实际值与预测值对比

表5. 应急物资动态需求预测结果