用加权符号图 G = ( V , E , A ) 表示N个智能体所构成的通信拓扑， V = { v 1 , v 2 , ⋯ , v N } 和 E ⊆ V × V 分别表示节点集和边集。 A = [ a i j ] 是G的邻接矩阵，其中 ( v j , v i ) ∈ E ⇔ a j i ≠ 0 。对于图G，不考虑自环的情况，即 a i i = 0 ,   i = 1 , 2 , ⋯ , N 。如果网络中的任一条边 ( v i , v j ) 满足 a i j = a j i ，则称图G是无向图。如果存在一条边 ( v i , v j ) 满足 a i j ≠ a j i ，则称图G是有向图。在无向图G中，如果任何两个节点都存在一条路径，则称图G是连通的。在有向图G中，如果任何两个节点都存在一条有向路径，则称图G是强连通的。在有向图G中，如果有且只有一个节点到其他所有节点都存在一条有向路径，则称图G包含一棵有向生成树；如果图G的权值都是非负的，则称图G是正权值图。 L = [ l i j ] 表示图G的拉普拉斯矩阵，其中：

l i j = − a i j ,   ∀ j ≠ i , l i i = ∑ j = 1 , j ≠ i N | a i j |   ,   i = 1 , 2 , ⋯ , N .

在图G中，正权重表示两个智能体是合作关系，负权重表示两个智能体是竞争关系。如果图G存在互不相交的节点集 v i , v j ，使得：1) V 1 ∪ V 2 = V ， V 1 ∩ V 2 = ∅ ；2) 当 v i , v j ∈ V q ,   q ∈ { 1 , 2 } 时， ；当 时， a i j ≤ 0 。则称图G是结构平衡的，否则是结构不平衡的。

在本文中，设 ℝ , ℕ 分别是实数和自然数的集合，而 ℝ N × N 表示 N × N 阶实矩阵的集合； I N ∈ ℝ N × N 表示单位矩阵； 1 N ∈ ℝ N × 1 表示所有元素为1的列向量； diag ( x 1 , x 2 , ⋯ , x N ) 表示对角元素依次为 x 1 , x 2 , ⋯ , x N 的 N × N 阶对角矩阵； e A 表示方阵A的矩阵指数；对于任意给定具有实特征值的方阵A， λ min ( A ) 表示它的最小特征值；矩阵 A > 0 表示矩阵A是正定的； ⊗ 表示Kronecker积。

考虑由N个智能体构成的系统，假设图G是结构平衡的，不妨设 V 1 = { v 1 , v 2 , ⋯ , v m } ， V 2 = { v m + 1 , v m + 2 , ⋯ , v N } ，则邻接矩阵 A = [ a i j ] 可写成如下的分块矩阵：

A = ( A 11 A 12 A 21 A 22 ) ,

其中， A 11 ∈ ℝ m × m ， A 12 ∈ ℝ m × ( N − m ) ， A 21 ∈ ℝ ( N − m ) × m ， A 22 ∈ ℝ ( N − m ) × ( N − m ) ，且 A 11 和 A 22 是非负矩阵，而 − A 12 ≥ 0 和 − A 21 ≥ 0 是非负矩阵。

设第i个智能体的动力学模型为：

x ˙ i ( t ) = A x i ( t ) + B u i ( t ) , (1)

其中， x i ( t ) ∈ ℝ n 表示第i个智能体的状态， u i ( t ) ∈ ℝ m 表示第i个智能体的控制输入，研究以下的比例一致性协议：

u i ( t ) = c F ∑ j = 1 N | a i j | [ sgn ( a i j ) x j ( t ) ω j − x i ( t ) ω i ] , (2)

其中， c > 0 是耦合强度， F ∈ ℝ m × m 是反馈增益矩阵，且 ω i > 0 ,   i = 1 , 2 , ⋯ , N 。

定义1 如果多智能体系统(1)在任意给定的初始条件下满足以下条件：

lim t → ∞ ‖ x i ( t ) ω i − x j ( t ) ω j ‖ = 0 ，如果 v i , v j 属于相同的节点子集；

lim t → ∞ ‖ x i ( t ) ω i + x j ( t ) ω j ‖ = 0 ，如果 v i , v j 属于不同的节点子集，

则多智能体系统(1)达成了比例一致性。

于是系统(1)可以表示成以下向量形式：

x ˙ ( t ) = ( I N ⊗ A ) x ( t ) − c ( L Ω − 1 ⊗ B F ) x ( t ) , (3)

其中， Ω = diag ( ω 1 , ω 2 , ⋯ , ω N ) 。

引理1 [ 12 ] 若有向图G是结构平衡的，则存在矩阵D，使得 A ¯ = D A D 是非负矩阵，其中 D = diag ( d 1 , d 2 , ⋯ , d N ) ,   d i = ± 1 ,   i = 1 , 2 , ⋯ , N 。

定义 y i ( t ) = d i x i ( t ) 为第i个智能体 v i 的转换状态，则：

y ˙ ( t ) = ( I N ⊗ A ) y ( t ) − c ( L ¯ Ω − 1 ⊗ B F ) y ( t ) , (4)

其中， L ¯ = D L D 。

令 M = L ¯ Ω − 1 ，则有：

y ˙ ( t ) = ( I N ⊗ A ) y ( t ) − c ( M ⊗ B F ) y ( t ) , (5)

引理2 若正权值图G包含一棵有向生成树，则0是L的简单特征值，其他特征值的实部都大于0；若正权值图G是连通的，则0是L的简单特征值，其他特征值都大于0。

引理3 [ 17 ] 若 ( A , B ) 是可控的，其中 A ∈ ℝ n × n ,   B ∈ ℝ n × p ,   p ≤ n ，则任意 α ≥ 0 ，存在一个正定矩阵 Q ∈ ℝ n × n ，使得：

A Q + Q A T − 2 B B T + 2 α Q < 0. (6)

引理4 [ 11 ] 若正权值无向图G是连通的，则0是M的简单特征值，其他特征值全大于0。

引理5 若正权值有向图G包含一棵有向生成树，则0是M的简单特征值，其他特征值的实部全大于0。

证明 注意到 Ω ( Ω − 1 L ¯ ) Ω − 1 = L ¯ Ω − 1 ，故 Ω − 1 L ¯ 与M有相同的特征值。

首先考虑 L ¯ ，由引理2和盖尔圆盘定理知：

{ z ∈ ℂ   | | z − l i i ¯ | ≤ ∑ j = 1 , j ≠ i N | l i j ¯ | } = { z ∈ ℂ | | z − l i i ¯ | ≤ l i i ¯ } .

然后考虑 Ω − 1 L ¯ ，由盖尔圆盘定理，方阵 Ω − 1 L ¯ 的特征值处于以下圆盘之中。

{ z ∈ ℂ   | | z − l i i ¯ ω i | ≤ ∑ j = 1 , j ≠ i N | l i j ¯ w i | } = { z ∈ ℂ   | | z − l i i ¯ ω i | ≤ ∑ j = 1 , j ≠ i N | l i j ¯ | ω i } = { z ∈ ℂ | | z − l i i ¯ ω i | ≤ l i i ¯ ω i } .

因此， Ω − 1 L ¯ 除0以外的特征值的实部都大于0。

下证0是M的简单特征值。

由于图G包含一棵有向生成树，则 r a n k ( L ¯ ) = N − 1 。

而 Ω − 1 是可逆的，则 r a n k ( L ¯ ) = r a n k ( Ω − 1 L ¯ ) = r a n k ( M ) = N − 1 。

综上，0是M的简单特征值，其他特征值的实部全大于0。

本小节讨论无向网络下的比例一致性问题。

定理1 假设符号无向图G是连通的，则利用控制协议(2)，多智能体系统(1)实现比例一致性当且仅当以下 N − 1 个系统：

ε ˙ i ( t ) = ( A − c λ i B F ) ε i ( t ) (7)

是渐近稳定的，其中 ε i ( t ) ∈ ℝ n ， λ i ,   i = 2 , 3 , ⋯ , N 是矩阵M的非零特征值。

证明 定义一致性误差函数为：

r ( t ) = ( M ⊗ I n ) y ( t ) , (8)

其中， r ( t ) = [ r 1 T ( t ) , r 2 T ( t ) , ⋯ , r N T ( t ) ] T 。

首先证明系统(1)达到比例一致性当且仅当 r ( t ) → 0 ,   t → + ∞ 。

由于图G是连通的，则 ，故存在 z ( t ) ，使得 ( L ¯ ⊗ I n ) z ( t ) = 0 当且仅当 z 1 ( t ) = z 2 ( t ) = ⋯ = z N ( t ) ，即：

r ( t ) = 0 ⇔ ( L ¯ ⊗ I n ) ( Ω − 1 ⊗ I n ) y ( t ) = 0                         ⇔ y 1 ( t ) ω 1 = y 2 ( t ) ω 2 = ⋯ = y N ( t ) ω N . (9)

由 y i ( t ) 的定义， y 1 ( t ) ω 1 = y 2 ( t ) ω 2 = ⋯ = y N ( t ) ω N 等价于定义1的条件被满足。

因此，系统(1)达到比例一致性当且仅当 r ( t ) → 0 ,   t → + ∞ 。

下证 r ( t ) 趋于0当且仅当 N − 1 个系统(7)渐近稳定。

由式(5)可得：

r ˙ ( t ) = ( M ⊗ I n ) ( I N ⊗ A ) y ( t ) − c ( M ⊗ I n ) ( M ⊗ B F ) y ( t ) = ( I N ⊗ A ) r ( t ) − c ( M ⊗ B F ) r ( t ) . (10)

由引理4，存在可逆矩阵P， ξ 1 ( t ) ≡ 0 ，使得 P − 1 M P = J = ( 0 0 0 J 1 ) ，其中J是M的约当标准形， J 1 中对角线元素为M的非零特征值。

令 ξ ( t ) = ( P − 1 ⊗ I n ) r ( t ) ，则：

ξ ˙ ( t ) = ( P − 1 ⊗ I n ) ( I N ⊗ A ) r ( t ) − c ( P − 1 ⊗ I n ) ( M ⊗ B F ) ( P ⊗ I n ) ( P − 1 ⊗ I n ) r ( t ) = ( I N ⊗ A ) ξ ( t ) − c ( J ⊗ B F ) ξ ( t ) . (11)

记 ξ ( t ) = [ ξ 1 T ( t ) , ξ 2 T ( t ) , ⋯ , ξ N T ( t ) ] T ， ξ ^ ( t ) = [ ξ 2 T ( t ) , ξ 3 T ( t ) , ⋯ , ξ N T ( t ) ] T ，由于：

ξ ( t ) = ( P − 1 ⊗ I n ) r ( t ) = ( P − 1 ⊗ I n ) ( M ⊗ I n ) y ( t ) = ( P − 1 M P P − 1 ⊗ I n ) y ( t ) = [ ( 0 0 0 J 1 ) P − 1 ⊗ I n ] y ( t ) , (12)

则：

ξ 1 ( t ) ≡ 0. (13)

根据式(11)和(13)，可得：

ξ ^ ˙ ( t ) = ( I N ⊗ A − c J 1 ⊗ B F ) ξ ^ ( t ) . (14)

注意到系统(14)渐近稳定当且仅当 e A 1 ( t − t 0 ) 是Schur稳定的，其中 A 1 = I N ⊗ A − c J 1 ⊗ B F 。

由于 A 1 是分块对角阵或分块上三角阵，则 e A 1 ( t − t 0 ) 是Schur稳定的当且仅当 e A ¯ 1 ( t − t 0 ) 是Schur稳定的，其中 A ¯ 1 = I N ⊗ A − c   Ω ⊗ B F ， Ω = diag ( λ 2 , λ 3 , ⋯ , λ N ) 。

因此，系统(14)是渐近稳定的当且仅当 e A ¯ 1 ( t − t 0 ) 是Schur稳定的。即系统(14)是渐近稳定的当且仅当以下系统：

ξ ^ ˙ ( t ) = ( I N ⊗ A − c Ω ⊗ B F ) ξ ^ ( t ) (15)

是渐近稳定的。

由于 ξ ( t ) 趋于0当且仅当 r ( t ) 趋于0，则 r ( t ) 趋于0当且仅当系统(15)渐近稳定，即 r ( t ) 趋于0当且仅当系统(7)渐近稳定。

综上，多智能体系统(1)实现比例一致性当且仅当以下 N − 1 个系统：

ε ˙ i ( t ) = ( A − c λ i B F ) ε i ( t ) (16)

是渐近稳定，其中 ε i ( t ) ,   i = 2 , 3 , ⋯ , N 。

定理2 假设 ( A , B ) 是可控的，且符号无向图G是连通的。如果取 c > 1 λ 2 和 F = B T Q − 1 ，其中Q是引理3中的矩阵， λ 2 ≤ λ 3 ≤ ⋯ ≤ λ N 是矩阵M的非零特征值，那么对于任意初始状态，多智能体系统(1)实现比例一致性。

证明 构建以下Lyapunov函数：

V ( t ) = ∑ i = 1 N ε i T ( t ) Q − 1 ε i ( t ) , (17)

沿着式(16)对 V ( t ) 进行求导，可得：

V ˙ ( t ) = ∑ i = 1 N ε ˙ i T ( t ) Q − 1 ε i ( t ) + ∑ i = 1 N ε i T ( t ) Q − 1 ε ˙ i ( t ) = ∑ i = 1 N [ ( A − c λ i B F ) ε i ( t ) ] T Q − 1 ε i ( t ) + ∑ i = 1 N ε i T ( t ) Q − 1 ( A − c λ i B F ) ε i ( t ) = ∑ i = 1 N ε i T ( t ) [ ( A − c λ i B F ) T Q − 1 + Q − 1 ( A − c λ i B F ) ] ε i ( t ) = ∑ i = 1 N ε i T ( t ) ( A T Q − 1 + Q − 1 A − c λ i F T B T Q − 1 − c λ i Q − 1 B F ) ε i ( t ) . (18)

由于 F = B T Q − 1 ，式(18)可转化为：

V ˙ ( t ) = ∑ i = 1 N ε i T ( t ) ( A T Q − 1 + Q − 1 A − 2 c λ i Q − 1 B B T Q − 1 ) ε i ( t ) , (19)

再根据 c > 1 λ 2 ，则式(19)可得：

V ˙ ( t ) ≤ ∑ i = 1 N ε i T ( t ) ( A T Q − 1 + Q − 1 A − 2 Q − 1 B B T Q − 1 ) ε i ( t ) . (20)

根据引理3，可得：

A T Q − 1 + Q − 1 A − 2 Q − 1 B B T Q − 1 + 2 α Q − 1 < 0 , (21)

则式(20)，可得：

V ˙ ( t ) ≤ ∑ i = 1 N ε i T ( t ) ( − 2 α Q − 1 ) ε i ( t ) = − 2 α ∑ i = 1 N ε i T ( t ) Q − 1 ε i ( t ) ≤ 0. (22)

所以可得系统(16)渐近稳定。再根据定理1，可以得到系统(1)实现比例一致性。

本小节讨论有向网络下的比例一致性问题。相比于无向拓扑，有向拓扑的情形更为复杂。由引理5，若符号有向图G包含一棵有向生成树，则0是M的简单特征值，其他特征值的实部全大于0。设 λ 2 , λ 3 , ⋯ , λ N 是M的非零特征值，且设 R e ( λ 2 ) ≤ R e ( λ 3 ) ≤ ⋯ ≤ R e ( λ N ) 。

定理3 假设 ( A , B ) 是可控的，且符号有向图G包含一棵有向生成树，则利用控制协议(2)，多智能体系统(1)实现比例一致性当且仅当以下 N − 1 个系统：

是渐近稳定的，其中 ε i ( t ) ∈ ℝ n ， λ 2 , λ 3 , ⋯ , λ N 是M的非零特征值。

证明 令 η ∈ ℝ N 是矩阵 L ¯ 关于零特征值的左特征向量，且 η T 1 N = 1 。显然满足 η T M = 0 。

令 r i ( t ) = y i ( t ) ω i − ∑ j = 1 N η j y j ( t ) ω j ，其中 r ( t ) = [ r 1 T ( t ) , r 2 T ( t ) , ⋯ , r N T ( t ) ] T ，即向量形式为：

r ( t ) = [ ( I N − 1 N η T ) Ω − 1 ⊗ I n ] y ( t ) . (24)

首先证明系统(1)达到比例一致性当且仅当 r ( t ) → 0 ,   t → + ∞ 。

由于 η T 1 N = 1 ，则 r a n k ( 1 N η T ) = 1 ，使得 r a n k ( I N − 1 N η T ) = N − 1 。与定理1类似，由 y i ( t ) 的定义，可以得到系统(1)达到比例一致性当且仅当 r ( t ) → 0 ,   t → + ∞ 。

下证 r ( t ) 趋于0当且仅当 N − 1 个系统(23)渐近稳定。

根据式(5)，可得：

r ˙ ( t ) = [ ( I N − 1 N η T ) Ω − 1 ⊗ I n ] ( I N ⊗ A ) y ( t ) − c [ ( I N − 1 N η T ) Ω − 1 ⊗ I n ] ( M ⊗ B F ) y ( t ) = [ I N ⊗ A − c M ⊗ B F ] r ( t ) . (25)

由引理5，存在可逆矩阵T，使得 T − 1 M T = J = ( 0 0 0 U ) ，其中J是M的约当标准形，U中对角线元素是M的非零特征值，且令 T = ( ω , Q 1 ) ， T − 1 = ( η T Q 2 ) ， ω ∈ ℝ N × 1 。

令 ξ ( t ) = ( T − 1 ⊗ I n ) r ( t ) ，则：

ξ ˙ ( t ) = ( T − 1 ⊗ I n ) [ I N ⊗ A − c M ⊗ B F ] ( T ⊗ I n ) ( T − 1 ⊗ I n ) r ( t ) = [ I N ⊗ A − c J ⊗ B F ] ξ ( t ) . (26)

记 ξ ( t ) = [ ξ 1 T ( t ) , ξ 2 T ( t ) , ⋯ , ξ N T ( t ) ] T ， ξ ^ ( t ) = [ ξ 2 T ( t ) , ξ 3 T ( t ) , ⋯ , ξ N T ( t ) ] T 。由于：

ξ ( t ) = [ T − 1 ( I N − 1 N η T ) Ω − 1 ⊗ I n ] y ( t ) = { [ ( η T Q 2 ) ( I N − 1 N η T ) Ω − 1 ] ⊗ I n } y ( t ) ≜ { [ ( η T I N − η T 1 N η T Q ˜ ) Ω − 1 ] ⊗ I n } y ( t ) = [ ( 0 Q ˜   Ω − 1 ) ⊗ I n ] y ( t ) , (27)

则：

ξ 1 ( t ) ≡ 0. (28)

根据式(26)和(28)，可得：

ξ ^ ˙ ( t ) = ( I N ⊗ A − c U ⊗ B F ) ξ ^ ( t ) . (29)

与定理1类似，可以得到多智能体系统(1)实现比例一致性当且仅当以下 N − 1 个系统：

ε ˙ i ( t ) = ( A − c λ i B F ) ε i ( t ) (30)

是渐近稳定，其中 ε i ( t ) ,   i = 2 , 3 , ⋯ , N 。

定理4 假设 ( A , B ) 是可控的，且符号有向图G包含一棵有向生成树。如果取 c > 1 R e ( λ 2 ) 和 F = B T Q − 1 ，其中矩阵Q是引理3中的矩阵，那么对于任意初始状态，多智能体系统(1)实现比例一致性。

证明 构建以下Lyapunov函数：

V ( t ) = ∑ i = 1 N ε i H ( t ) Q − 1 ε i ( t ) , (31)

为了方便计算，设 λ i = x i + i y i ,   i = 2 , 3 , ⋯ , N ，其中 x i 和 y i 分别是 λ i 的实部和虚部。于是沿式(31)对 V ( t ) 进行求导，可得：

V ˙ ( t ) = ∑ i = 1 N ε ˙ i H ( t ) Q − 1 ε i ( t ) + ∑ i = 1 N ε i H ( t ) Q − 1 ε ˙ i ( t ) = ∑ i = 1 N ε i H ( t ) [ ( A − c λ i B F ) H Q − 1 + Q − 1 ( A − c λ i B F ) ] ε i ( t ) = ∑ i = 1 N ε i H ( t ) { [ A − c ( x i − i y i ) B F ] T Q − 1 + Q − 1 [ A − c ( x i + i y i ) B F ] } ε i ( t ) = ∑ i = 1 N ε i H ( t ) ( A T Q − 1 + Q − 1 A − c x i F T B T Q − 1 − c x i Q − 1 B F ) ε i ( t ) . (32)

由于 F = B T Q − 1 ，式(32)可转化为：

V ˙ ( t ) = ∑ i = 1 N ε i H ( t ) ( A T Q − 1 + Q − 1 A − 2 c x i Q − 1 B B T Q − 1 ) ε i ( t ) , (33)

再根据 c > 1 R e ( λ 2 ) ，则式(33)可得：

V ˙ ( t ) ≤ ∑ i = 1 N ε i H ( t ) ( A T Q − 1 + Q − 1 A − 2 Q − 1 B B T Q − 1 ) ε i ( t ) . (34)

根据引理3，可得：

A T Q − 1 + Q − 1 A − 2 Q − 1 B B T Q − 1 + 2 α Q − 1 < 0 , (35)

则由式(34)，可得：

V ˙ ( t ) ≤ ∑ i = 1 N ε i H ( t ) ( − 2 α Q − 1 ) ε i ( t ) = − 2 α ∑ i = 1 N ε i H ( t ) Q − 1 ε i ( t ) ≤ 0. (36)

所以可得系统(30)渐近稳定。再根据定理3，可以得到系统(1)实现比例一致性。