查阅附件资料可以得出不同放牧强度下SOC土壤有机碳及鲜重等影响因子是不同的，但一些基本变量，例平均气温等因子是固定不变的，因此在做土壤湿度的特征选择时会分成两部分对特征变量做Pearson相关分析：

(1) 基本气候变量：首先对基本气候变量做Pearson相关分析，得到了基本气候变量与土壤湿度的相关系数，如表2所示：

表2. 气候变量相关系数表

结合相关系数表2可知，相关系数大于0.4的变量与土壤湿度具有一定程度的相关性，因此结合气候变量与土壤湿度的相关系数图可以推断：最低气温极值、降水量等9个变量对土壤湿度具有一定影响，但是由于降水量、单日最大降水量和降水天数两两之间的相关系数高达80%，相关性较高，为避免变量间的耦合性带来的干扰，且降水量更能表现降水的特征，因此这三个降水相关的变量仅选择降水量，其余删除。

同理对剩余变量进行筛选，最终得出对土壤湿度有一定影响的基本气候变量为降水量、平均露点温度、平均最大持续风速共三个，如表3所示：

表3. 主要气候变量表

(2) 土壤、植被相关变量：

由于这类变量随着放牧强度的不同而变化，因此在进行特征选择时分成四个不同放牧强度(对照、轻度放牧强度、中度放牧强度和重度放牧强度)，表4为不同放牧强度下土壤、植被相关数据与湿度的相关系数表：

表4. 土壤、植被相关系数表

首先在表4里选取相关系数大于0.4的特征变量，分别得到不同放牧强度下土壤湿度的影响因素。其中在重度放牧强度的情况下，STC土壤全碳与土壤湿度的相关系数达到0.49，但与SOC土壤有机碳、全氮N、土壤C/N比和SOC土壤无机碳的相关性过高，同样为避免变量间自相关性过强带来的干扰，因此选择可以删掉。

至此，整理出不同放牧强度下选择后的变量与土壤湿度的相关系数图，如图1所示：

图1. 土壤湿度相关系数图(从左到右从上到下分别对应对照、轻度放牧、中度放牧和重度放牧这四种放牧强度)

综合上述，最终得到了不同放牧强度下影响土壤湿度的不同特征变量，得到图2：

图2. 土壤湿度的特征变量图

与土壤湿度模型不同，叶面积对植被生物数量可能存在一定的影响，因此在前面所有特征变量的基础上，本文在对植被生物数量模型进行特征选择时，增加了叶面积指数这一特征变量。对影响植被生物数量的三十多个特征变量做Pearson相关分析，得到与植被干重的相关系数表5 (以轻度放牧强度为例)：

表5. 植被干重相关系数表

与土壤湿度模型的特征选择同理，结合表5选择相关系数大于0.4的变量，且在变量间相关性过高的变量中仅保留最能体现这一特征的变量，经过筛选后得到不同放牧强度下的显著影响因子对植被干重的相关系数如图3。

图3. 植被生物数量相关系数图(从左到右从上到下分别对应对照、轻度放牧、中度放牧和重度放牧这四种放牧强度)

至此，得到了不同放牧强度下影响植被生物数量的特征变量(图4)：

图4. 植被生物数量的特征变量图

1997年德国计算机科学家Sepp Hochreiter和Schmidhuber首次提出长短时间记忆(LSTM)模型，是一种时间循环神经网络，为解决RNN的长序列训练过程中梯度消失问题演进而来的，能够处理具有长期依赖关系的时间序列数据，并进行准确的预测。在实际应用中，LSTM模型已经被广泛应用于各种时序预测任务 [ 5 ] ，如股票价格预测、交通流量预测、能源消耗预测等。LSTM引进三个门来保护和控制细胞状态：遗忘门 + 输入门 + 输出门，通过这三个精心设计的门来新增或删除信息。

首先，遗忘门决定当前状态应该保留或丢弃多少上一时刻的信息。将先前时刻和当前时刻输入的信息同时输入到sigmoid函数，得到的输出值在0~1之间，越靠近0表示越应该遗弃，越接近1表明越应该保留。计算公式为：

f t = σ ( W f ⋅ [ h t − 1 , x t ] + b f )

其中W，b分别为权重和偏置， σ 为sigmoid函数，表示每个部分有多少量可以通过。其次，输入门过滤新信息，确定什么样的新信息需要输入到细胞状态里。同样将先前状态和当前状态的信息输入进sigmoid函数里，调整输出值来确定哪些信息应该更新，0代表不重要，1代表重要。同时将值输入到tanh函数，将数值压缩至−1到1之间，最后将sigmoid输出值和tanh输出值进行相乘，决定哪些信息是重要的、需要保留的。计算公式为：

i t = σ ( W i ⋅ [ h t − 1 , x t ] + b i )

C ˜ t = tanh ( W C ⋅ [ h t − 1 , x t ] + b C )

C t = f t ∗ C t − 1 + i t ∗ C ˜ t

旧细胞通过遗忘门，待用信息通过输入门，两者相结合得到的结构来更新细胞状态。最后，输出门做出决策，确定当前时刻输出什么样的记忆信息，能够决定下一个状态(即隐藏状态)的值。前面两个门确定了隐藏状态需要携带的信息并当前输出，将新的单元状态和隐藏状态传递给下个时间步。计算公式为：

o t = σ ( W o ⋅ [ h t − 1 , x t ] + b o )

h t = o t ∗ tanh ( C t )

σ 决定要输入的部分，结合tanh将细胞状态变换后相乘，输出结果信息。

LSTM建立预测模型主要有以下几步：(1) 数据预处理：选取数据样本，进行数据标准化处理，对数据进行归一化处理有利于训练模型的损失(loss)迭代。将数据划分成训练集和测试集。(2) 预测模型：建立预测模型需要提前确定输入层、输出层的节点数和隐藏层的神经元等模型参数，将训练样本输入到模型中，进行深度学习和数据挖掘，训练得到预测模型。(3) 评价模型：为保证预测结果的准确性和预测误差波动的稳定性，需要对模型的预测值和真实值的拟合程度进行评价，通常采用平均绝对误差(MAE)等进行评估，误差越小，说明两者之间的离散程度越小，预测结果更可靠 [ 6 ] 。

在进行数据预处理和特征选择两步的处理后得到了土壤湿度的影响变量数据，分别将这些数据划分成训练集和测试集(其中80%为训练集，20%为测试集)，训练集的数据用于模型的学习训练，测试集的数据用于检验模型的准确性。

本文基于Python软件，求解出不同放牧强度对土壤湿度的LSTM预测模型，共四个。不同放牧强度下20%测试样本的测试结果如图5所示，可以看出LSTM模型预测的整体效果比较好，预测值和真实值的整体走向趋势一致，拟合程度较高。

图5. 土壤湿度的测值与真实值(从左到右从上到下分别对应对照、轻度放牧、中度放牧和重度放牧这四种放牧强度)

为了更加准确地对模型性能进行客观评价，我们需要对模型的预测值和真实值的拟合程度进行评价，本次问题选取了常见的平均绝对误差(MAE)和均方根误差(RMSE)两个指标从不同的角度对预测模型进行判断，其有着简单易懂、可靠等优点。MAE和RMSE的公式如下：

MAE = 1 n ∑ t = 1 n | f t − d t |

RMSE = ∑ t = 1 n ( f t − d t ) 2 n

对建立好的LSTM模型计算不同放牧强度下的MAE、RMSE误差值，通常情况下MAE、RMSE误差值越小，预测值和真实值之间的差异就越小，模型的预测精度就越高：

表6. 土壤湿度预测误差表

从表6可以看出这四个放牧强度下的土壤湿度LSTM预测模型的误差值均很小，预测效果较佳。

与土壤湿度相同，将选择后的植被生物数量影响因素数据带入上述步骤中去，可以得到不同放牧强度下植被生物数量的LSTM预测模型图6和预测误差值表7，从中可以看出植被生物数量LSTM时间预测模型的整体效果较佳，预测精度也较高。

图6. 植被生物数量的预测值与真实值(从左到右从上到下分别对应对照、轻度放牧、中度放牧和重度放牧这四种放牧强度)

表7. 植被生物数量预测误差表

差分自回归滑动平均模型(简称ARIMA模型) [ 7 ] ，是将自回归AR模型、移动平均MA模型和差分法相结合得到的一种时间序列预测方法，适用于解决经济学领域中众多实际问题，比如说非平稳时间序列。其原理是将非平稳时间序列转化为平稳序列，再将因变量的滞后值和随机误差项的滞后值等做回归。ARIMA(p,d,q)模型的一般形式为：

X t = φ 0 + φ 1 X t − 1 + φ 2 X t − 2 + ⋯ + φ p X t − p + ε t + θ 0 + θ 1 ε t − 1 + ⋯ + θ q ε t − q

其中 X t 为时间序列，p为自回归阶数，q为移动平均阶数， φ 1 , φ 2 , ⋯ , φ p 为自回归模型系数， ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε q 为移动平均模型系数， ε t 为白噪声序列，d为差分阶数。

ARIMA的建模过程分为以下：(1) 对数据绘制时间序列图，观察是否为平稳时间序列，若为非平稳时间序列，则不断进行差分直到转化为平稳数据序列。(2) 定阶过程：利用AIC信息和BIC信息进行判断，确定好模型的参数 p , q 。(3) 用搭建好的模型去预测未来时间下的结果。

本文前后分别介绍了LSTM和ARIMA两个非常常见的时间序列预测模型 [ 8 ] ，并作为本次题目的关键模型，在不同情况下分别使用。其主要区别为：(1) 模型结构：ARIMA是一种经典的统计模型，基于时间序列的自相关和移动平均性质建立模型。而LSTM是一种深度学习模型，它是一种循环神经网络的变体，具有记忆单元和门控机制，能够捕捉长期依赖关系。(2) 预测能力；由于LSTM具有记忆单元和门控机制，能够捕捉长期依赖关系，因此在处理具有较长时间依赖的序列数据时通常具有更好的预测能力。而ARIMA则适用于较短期的预测任务。

以平均最大持续风速为例，建立平均最大持续风速的ARIMA模型，剩下两个影响变量(降水量、平均露点温度)同理。

图8. 平均最大持续风速的时间序列图

观察图8可知由平均最大持续风速的往年数据非平稳时间序列，并且具有较强的季节性，因此需要每次间隔12个月做差分来消除季节性，同时还需要进行1阶差分，将数据转化成平稳时间序列，再根据自相关ACF函数图9和偏自相关函数PACF图10判断出我们需要做ARIMA模型。

图9. 自相关ACF函数图

图10. 偏自相关PACF函数图

为防止模型出现过拟合现象，需要用信息准则判断模型参数，从而选择更简单的模型。通常选用AIC、BIC信息两个准则：① 赤池信息准则： AIC = 2 K + 2 ln ( L ) ；② 贝叶斯信息准则： BIC = K ln ( n ) + 2 ln ( L ) ，其中L为似然函数， K , n 分别为参数和取样个数。

一般情况下信息越小，模型参数越好，因此根据信息准则表去选取AIC值和BIC值均最小的自回归阶数p和移动平均阶数q，最终选择的ARIMA模型为ARIMA(1,1,2) (如表8)。

表8. ARIMA信息表

将平均最大持续风速的往年数据输入建立好的ARIMA(1,1,2)模型中，就可以得到2022~2023年平均最大持续风速的值：如表9 (仅展示部分数据)。

表9. 平均最大持续风速预测值

多元线性回归是多元统计分析里极其重要的分析方法之一，在实际中，一个元素的的变化常常受到多个变量因素的影响，为解释这一现象，通常采用多元线性回归模型，来描述一个因变量与其他多个自变量之间的相关关系。一般来说，多元线性回归模型的表达式为：

y i = β 0 + β 1 x i 1 + β 2 x i 2 + ⋯ + β m x i m + ε i ( i = 1 , 2 , ⋯ , n )

其中， y i 为因变量，有m个自变量 x i m ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) ， β k ( k = 1 , 2 , ⋯ , m ) 为回归系数， ε i 为随机误差， ε i ~ N ( 0 , σ 2 ) 。写成矩阵形式： Y ^ = X β ^ + ε ^ 。在服从正态分布的假设下，如果 X T X 满秩，那么回归系数 β 的最小二乘估计是： β ^ = ( X T X ) − 1 X T Y 。因此Y的估计值 Y ^ = X β ^ ，从而得到残差 ε = Y − Y ^ = Y − X β ^ ，则随机误差方差 σ 2 的最小二乘估计为：

σ 2 = ε T ε n − p − 1

在求解多元线性回归模型时，我们是根据残差平方和达到最小来找到最合适的回归参数 β k ( k = 1 , 2 , ⋯ , m ) 。

(1) 假设年份为因变量，5个土壤化学相关变量为自变量，符号如表11所示：

表11. 土壤化学相关符号表

(2) 由于试验设计采取随机区分组形式，实验者每年在每个放牧小区将每个放牧强度都设置了3个重复，因此对每个放牧小区和放牧强度下的5个土壤化学相关变量都取平均值来替代。下面举例G12、LGI的平均值取法(表12) (红色部分代表所求平均值)：

表12. 平均值表

本题利用Matlab针对不同放牧强度及小区分别去求解年份与5个土壤化学相关变量的多元线性回归模型，由于有12种放牧小区，因此可以建立出12个多元线性回归模型。

基于模型计算得到多元线性回归方程为(以放牧小区G17、放牧强度NG为例)：

y = 1997.96 + 0.84 x 1 + 0.16 x 2 − 0.14 x 3 + 14.23 x 4 + 3.24 x 5

同理可得不同放牧强度下12个放牧小区的多元线性回归模型。为验证模型的拟合效果，利用 值和置信区间去检验每个多元线性回归模型的回归系数，发现P值几乎都远远大于0.05，在统计意义上说明做的多元线性回归模型拟合效果并不好，为此下一步会对多元线性回归模型进行优化。表13为四种不同放牧强度下随机选取的一个放牧小区的多元线性回归系数的P值和置信区间表(仅展示对照组的数据)：

表13. 对照组置信表

结合前人研究，现代的沙漠化过程主要受自然因素于人文因素的影响，其中自然因素又可以分为气象因素和地表因素两方面。本文首先选定气象因素中气温、风速、降水 [ 9 ] ；地表因素中的植被指数、地表水资源、地下水位，以及人文因素中的人口数量、牲畜数量 [ 10 ] 、社会经济水平共九个特征因子用以表征沙漠化程度。其中气象因素均以月平均数据表征，地表水资源和地下水位分别以地下10 cm、地下200 cm土壤湿度表征。人文特征分别以统计年鉴中牧区人口数量，牲畜数量以及牧区人均经营性收入数据表征 [ 11 ] 。

由于其中有4个指标因子的数据存在过多缺失值，直接删除。至此，基于统计年鉴表和附件数据得到5个沙漠化相关指标因子的值，如表16所示(仅展示部分数据)：

表16. 沙漠化相关指标因子值

为判断这9个因子的因子强度( Q i 取值范围为 [ 0 , 1 ] )，主要分为以下两步：

① 单位标准化：使得这5个指标因子的统计年鉴数据单位与因子分级标准表中的单位相统一，比如统计年鉴表里的风速单位为knots，需要统一为m/s。② 因子强度分级：针对因子强度的分级界定，本文参考文献 [ 12 ] 量化特征因子的强度。具体量化公式如下：

Q ( c ) = { 0                                         c ≤ c d o w n c − c d o w n c u p − c d o w n         c d o w n ≤ c ≤ c u p 1                                         c ≥ c u p

其中c为特征因子的实测值， c u p , c d o w n 分别为特征因子影响沙漠化的上下限取值。

本文参考联合国关于影响沙漠化特征因子的分级标准和相关文献，给出如表17：

表17. 因子上下限表

经过数据处理后可以得到这5个指标因子的因子强度表如表18 (仅展示部分数据)：

表18. 沙漠化相关指标的因子强度表

得到沙漠化指标因子的因子强度后，需要对因子强度计算因子权重系数。常见的权重计算方法有因子分析、主成分分析和层次分析等，但因子分析主要利用信息浓缩原理，且其“旋转”功能使得因子具有更强的解释意义，因此在计算因子权重系数上选取因子分析法。因子分析法最早由英国数学家斯皮尔曼提出的一种基于降维思想的统计分析方法，它通过研究变量之间的相关系数矩阵，基于数据信息浓缩原理利用最大方差法对载荷因子进行旋转得到因子模型，计算因子得分从而得到权重系数，图12为因子分析模型：

图12. 因子分析模型

因子分析的基本步骤主要分为以下4步：

(1) 首先将数据标准化处理，为消除数据间的量纲影响。(2) 使用方差最大化旋转对处理好的数据做因子分析。(3) 计算每个主因子得分和方差贡献率 e j ，计算公式为： F j = β 1 j x 1 + β 2 j x 2 + ⋯ + β n j x n ( j = 1 , 2 , ⋯ , m ) ，其中 F i 为主成分， x 1 , x 2 , ⋯ , x n 为各个指标因子， β 1 j , β 2 j , ⋯ , β n j 为各个指标因子在每个主成分里的系数得分。(4) 求出各个指标因子的权重，计算公式为： ω i = m ∑ j = 1 m β i j ∗ e j n ∑ i = 1 n m ∑ j = 1 m β i j ∗ e j 。

将这5个指标因子(植被指数、平均气温和降水量等)的因子强度做因子分析，可以得到因子权重系数表19：

表19. 沙漠化相关指标的因子权重系数表

得到因子强度和因子权重系数后，根据表达式中的 S Q i = W c i ∗ Q i ，可以计算出因子对沙漠化程度的贡献值总和如表20 (仅展示部分数据)：

表20. 沙漠化相关指标因子的贡献值表

由于缺少锡林郭勒盟沙漠化程度指数的数据，本文参考相关文献 [ 13 ] ，以绿植覆盖率表征沙漠化程度指数。

表21. 沙漠化程度及沙漠化程度指数划分标准表

表22. 沙漠化类型划分标准表

绿植覆盖率越高，沙漠化程度越小。对比表21和表22，本次问题将沙漠化程度指数选定为SM = 1− 绿植覆盖率，得到如表23 (仅展示部分数据)：

表23. 沙漠化相关数据表

已知SM和 S Q i 的值，结合公式 S M = η ∗ ∑ i = 1 n S Q i 对调节系数 η 进行线性拟合得到 η = 1.2722 。对拟合结果进行验证，发现P值(P = 0.0049)远远小于0.05，具有较高的统计学意义。求出 η 的值后最终得到沙漠化程度指数预测模型表达式为：

S M = 1.2722 ∑ i = 1 n S Q i = 1.2722 ∑ i = 1 n ( Q i ∗ W c i )

首先对数据进行处理(由于土壤容重为固定值1.39，因此数据部分将不对土壤容重进行处理)：(1) 土壤板结化程度：由于土壤板板结化程度越严重会导致土壤蒸发量越低，因此在计算过程中本文均用土壤蒸发量代替土壤板结化程度。然后对土壤蒸发量进行[0,0.6]归一化处理，得到土壤蒸发量系数，则土壤板结化程度 = 1 − 土壤蒸发量系数。(2) 土壤有机物含量 = SOC土壤有机碳 + SIC土壤无机碳。

表24为土壤板结化程度的相关变量数值(仅展示部分数据)：

表24. 土壤板结化程度的相关变量数值表

(3) 皮尔逊相关系数分析：

为验证选出来的相关变量与土壤板结化程度的确有一定程度上的关系，因此得到皮尔逊相关系数表25：

表25. 皮尔逊相关系数表

然后利用Matlab软件建立得到土壤容重、全氮x₁、10 cm土壤湿度x₂、土壤有机物x₃这4个变量对土壤板结化程度的多元线性回归模型： y = 1.1976 + 0.0181 x 1 − 0.0437 x 2 − 0.0094 x 3 。

得到多元线性回归模型后，再对模型的回归系数做验证，发现 值几乎都小于0.05，符合统计学意义上的相关性。同时得到模型的残差图13，发现拟合效果较佳，因此后续求解不同放牧强度下的土壤板结化程度都使用这个多元线性回归模型。

图13. 残差图

由于题目要求在土壤板结化的基础上给出放牧策略，因此针对这一问题，需要分别将不同放牧强度下的土壤容重、全氮x₁、10 cm土壤湿度x₂、土壤有机物x₃这4个变量的数据输入到土壤板结化程度的多元线性回归模型： y = 1.1976 + 0.0181 x 1 − 0.0437 x 2 − 0.0094 x 3 ，得到四种放牧强度下的土壤板结化程度表(表26)和数据图(仅展示部分数据)：

表26. 土壤板结化程度表

图14. 不同放牧强度下土壤板结化程度图(NG为对照，LG为轻度放牧，MG为中度放牧，HG为重度放牧)

观察图14可以知道在轻度放牧强度的情况下的土壤板结化程度最小(由于NG为对照组故不予计入在内)，因此基于沙漠化程度指数值和土壤板结化定性模型就可以得出当放牧策略为轻度放牧时，沙漠化程度指数与板结化程度最小。