对n阶欧拉图G，考虑其对应的Q-道矩阵 W Q = ( e , Q e , Q 2 e , ⋯ , Q n − 1 e ) ，这里Q为图G的无符号拉普拉斯矩阵，e为n维全一列向量。本文给出当 W Q 的行列式满足 d e t ( W Q ) = ± 2 ⌊ 5 n − 5 2 ⌋ b ，其中b为奇数且不含平方因子时， W Q 的Smith标准型为 d i a g ( 1 , 2 2 , ⋯ , 2 2 ︸ ⌈ n + 1 2 ⌉ , 2 3 , 2 3 , ⋯ , 2 3 b ︸ ⌊ n − 1 2 ⌋ ) 。

无符号拉普拉斯矩阵，道矩阵，Smith标准型，欧拉图

Jingyuan Wei, Sicheng Lyu

College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai

Received: Jan. 20^th, 2024; accepted: Mar. 22^nd, 2024; published: Mar. 29^th, 2024

Let G be an Euler Graph with n vertices. The Q-walk matrix W Q of G is the matrix ( e , Q e , Q 2 e , ⋯ , Q n − 1 e ) , where Q is the Signless Laplacian matrix of G and e is the all-one vector. We show that determinant of W Q satisfies d e t ( W Q ) = ± 2 ⌊ 5 n − 5 2 ⌋ b , where b is odd and square-free, then the Smith normal form of W Q is d i a g ( 1 , 2 2 , ⋯ , 2 2 ︸ ⌈ n + 1 2 ⌉ , 2 3 , 2 3 , ⋯ , 2 3 b ︸ ⌊ n − 1 2 ⌋ ) .

Keywords:Signless Laplacian Matrix, Walk Matrix, Smith Normal Form, Euler Graphs

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图的谱包含了关于给定图的大量组合信息，可用于描述和分析各种复杂系统和结构，如网络、物理、生物等，因此长期以来一直是图谱理论中的一个有用工具。图谱领域中一个长期未解决的基本问题是：“哪些图是由它们的谱确定的？”事实表明，证明图是谱确定的比构造同谱图更具有挑战性。迄今为止，谱确定的许多证明都依赖于这些图的谱的一些特殊性质，因此不能推广到一般图上。关于这个问题的背景和一些已知的结果，可以参考文献 [ 1 ] [ 2 ] 。

当两个图同谱且补图也同谱时，则称它们为广义同谱图。当任何与G广义同谱的图都与G同构，则称图G是广义谱确定的。通过引入道矩阵(walk-matrix)这一重要工具，并研究其Smith标准型特征给出了判定一大类图广义谱确定的条件。其中图G的道矩阵定义为：

W = ( e , A e , A 2 e , ⋯ , A n − 1 e ) ,

其中e为n维全一列向量，A为图G对应的邻接矩阵 [ 2 ] 。

Smith标准型是整系数矩阵的一种对角化形式(具体详细求解可见文献 [ 3 ] )，根据文献 [ 4 ] ，它具有存在性和唯一性，且有如下定理。

定理1 [ 4 ] 设R为具有同一性的交换环，Smith标准型将有如下性质：

(1) 如果R上所有矩阵都有Smith标准型，那它则是Bézout环。

(2) 当且仅当R是Bézout环，R上所有对角矩阵都有Smith标准型。

定理2 [ 4 ] 令R为唯一因式分解域，其中任意两个元素都有最大公因数。假设A是R上的m × n矩阵M是的Smith标准型，其中A为主对角线为 ( α 1 , ⋯ , α m ) ，其余地方为0的矩阵。则当 1 ≤ k ≤ m 时， α 1 α 2 ⋯ α k 等于所有A的k × k子式的最大公因数。其中如果所有k × k子式都为0，则最大公因数亦为0。

由此可见Smith标准型在代数与图论中有重要意义与应用。

1736年欧拉解决了著名的哥尼斯堡七桥问题，并将其一般化，证明了如下定理：一个非空连通图当且仅当它的每个顶点的度数都是偶数时是欧拉图(Euler Graph) [ 5 ] 。

关于道矩阵的Smith标准型，由于欧拉图的特殊性质，文献 [ 6 ] 给出了欧拉图中道矩阵的Smith标准型在某些条件下与图的道矩阵的某些参数之间的关系，即定理3。

定理3 [ 6 ] 设图G为n阶欧拉图，W为图G对应的道矩阵，若 det ( W ) = ± 2 ⌊ 3 n − 3 2 ⌋ b ，b为奇数且无平方因子，则W的Smith标准型为：

S = diag( 1 , 2 , ⋯ , 2 ︸ ⌈ n + 1 2 ⌉ , 2 2 , 2 2 , ⋯ , 2 2 b ︸ ⌊ n − 1 2 ⌋ ) .

类似的，本文考虑图G对应的无符号拉普拉斯矩阵Q的Q-道矩阵，其定义如下：

W Q = ( e , Q e , Q 2 e , ⋯ , Q n − 1 e ) .

本文给出在某些条件下欧拉图的Q-道矩阵的Smith标准型与图的Q-道矩阵的某些参数之间存在关联，并给出如下定理。

定理4 设G为n阶欧拉图， W Q 为图G对应的Q-道矩阵，若 det ( W Q ) = ± 2 ⌊ 5 n − 5 2 ⌋ b ，b为奇数且无平方因子，则 W Q 的Smith标准型为：

S = diag( 1 , 2 2 , ⋯ , 2 2 ︸ ⌈ n + 1 2 ⌉ , 2 3 , 2 3 , ⋯ , 2 3 b ︸ ⌊ n − 1 2 ⌋ ) .

结合文献 [ 7 ] ，本结论可简化对Smith标准型的Dynkin拓展矩阵 D ˜ n 求解。还可结合文献 [ 8 ] ，让多维系统的缩减和多元多项式的约简的步骤更为简洁。

以下本文将主要围绕此定理进行证明。

为了叙述方便，给出如下定义：

Σ n = { G   为   n   阶 欧 拉 图 | det ( W Q ) = ± 2 ⌊ 5 n − 5 2 ⌋ b ,   b   为 奇 数 且 无 平 方 因 子 } .

其中n阶欧拉图是指n个顶点且具有欧拉回路的图，若为无向图，则各个顶点的度数皆为偶数；若为有向图，则各个顶点出度与入度相等。

设图G的度序列为d，令 d ^ : = d 2 = ( d ^ 1 , d ^ 2 , ⋯ , d ^ n ) T 。由在欧拉图中所有顶点的度都为偶数，易得 d ^ 为整数列向量。因此引入矩阵：

W ¯ Q : = ( e , Q e 4 , Q 2 e 4 , ⋯ , Q n − 1 e 4 ) .

由 Q e = ( A + D ) e = 2 d = 4 d ^ 可知 W ¯ Q 为整数矩阵。

定义5 [ 2 ] 对素数p，矩阵M在域F_p上的秩记为 r a n k p ( M ) 。

引理6 [ 2 ] 设M为对称阵，u为任意向量。则：

(1) u T u ≡ e T u ( mod 2 )

(2) u T M u ≡ ξ M T u ( mod 2 ) 。

其中 ξ M 为矩阵M的主对角元构成的列向量。

引理7 对任意的整数矩阵M，存在幺模矩阵U、V，使得 M = U   diag ( d 1 , d 2 , ⋯ , d n ) V ，其中 d i | d i + 1 ( i = 1 , 2 , ⋯ , n − 1 ) 。其中 d i 称为矩阵M的不变因子， diag ( d 1 , d 2 , ⋯ , d n ) 称为矩阵M的Smith标准型。

为证明定理4，首先提出以下引理并对其证明。

引理8 设图G为欧拉图，其对应的无符号拉普拉斯矩阵为Q，则 e T Q 2 e ≡ 0 ( mod 16 ) ，且对任意的整数 k ≥ 3 ，有 e T Q k e ≡ 0 ( mod 32 ) 。

证明：首先论证 e T Q 2 e ≡ 0 ( mod 16 ) 成立。由 Q e = ( A + D ) e = 2 d = 4 d ^ 可知 e T Q 2 e = ( Q e ) T ( Q e ) = 4 d T d = 16 d ^ T d ^ ≡ 0 ( mod 16 ) 。

其次，证明对任意的整数 k ≥ 3 ，有 e T Q k e ≡ 0 ( mod 32 ) 。

其中 e T Q k e = ( Q e ) T Q k − 2 ( Q e ) = 4 d T Q k − 2 d = 16 d ^ T Q k − 2 d ^ ，令 l = k − 2 ，则 e T Q k e = 16 d ^ T Q l d ^ ，只需论证对任意的整数 l ≥ 1 有 d ^ T Q l d ^ ≡ 0 ( mod 2 ) ，则引理得证。

再者，基于n的奇偶性进行分类讨论。

当n为偶数，则

d ^ T Q l d ^ = ( Q l 2 d ^ ) T ( Q l 2 d ^ ) ≡ d ^ T Q l 2 e = d ^ T Q l 2 − 1 ( Q e ) = 4 d ^ T Q l 2 − 1 d ^ ≡ 0 ( mod 4 ) ;

当n为奇数，则

d ^ T Q l d ^ = ( Q l − 1 2 d ^ ) T Q ( Q l − 1 2 d ^ ) ≡ ξ Q T ( Q l − 1 2 d ^ ) = d T ( Q l − 1 2 d ^ ) = 2 d ^ T ( Q l − 1 2 d ^ ) ≡ 0 ( mod 2 ) ,

综上所述， d ^ T Q l d ^ ≡ 0 ( mod 2 ) ，引理得证。

引理9 设G为欧拉图，其对应的无符号拉普拉斯矩阵为Q，则 e T Q e ≡ 0 ( mod 4 ) 。且当 e T Q e ≡ 0 ( mod 8 ) 时， e T Q 2 e ≡ 0 ( mod 32 ) ；当 e T Q e ≡ 4 ( mod 8 ) 时， e T Q 2 e ≡ 16 ( mod 32 ) 。

证明：基于 e T Q e 对8的余数进行分类讨论。

当 e T Q e = 4 e T d ^ ≡ 0 ( mod 8 ) ，则 e T d ^ ≡ 0 ( mod 2 ) 。

又由 d ^ T d ^ ≡ e T d ^ ( mod 2 ) 可得当 e T d ^ ≡ 0 ( mod 2 ) 时，有 e T Q 2 e = ( Q e ) T ( Q e ) = 16 d ^ T d ^ ≡ 16 e T d ^ ≡ 0 ( mod 32 ) 。

同理，当 e T Q e = 4 e T d ^ ≡ 4 ( mod 8 ) ，则 e T d ^ ≡ 1 ( mod 2 ) 。

再由 d ^ T d ^ ≡ e T d ^ ≡ 1 ( mod 2 ) 可得 e T Q 2 e = ( Q e ) T ( Q e ) = 16 d ^ T d ^ ≡ 16 e T d ^ ≡ 16 ( mod 32 ) 。综上，引理得证。

引理10 设图G为n阶欧拉图，则 rank 2 ( W ¯ Q ) ≤ ⌈ n + 1 2 ⌉ 。

证明：本定理基于n的奇偶性进行分类讨论。

当n为偶数，令 W 1 = ( 2 e , Q e 2 , Q 2 e 4 , ⋯ , Q n − 1 e 4 ) ，由引理8可得：

W ¯ Q T W ¯ 1 = ( 2 e T e e T Q e 2 e T Q 2 e 4 ⋯ e T Q n − 1 e 4 e T Q e 2 e T Q 2 e 8 e T Q 3 e 16 ⋯ e T Q n e 16 e T Q 2 e 2 e T Q 3 e 8 e T Q 4 e 16 ⋯ e T Q n + 1 e 16 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ e T Q n − 1 e 2 e T Q n e 8 e T Q n + 1 e 16 ⋯ e T Q 2 n − 2 e 16 ) ≡ ( 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 ) ( mod 2 )

由定义 W 1 是由 W ¯ Q 的前两列乘2得到的矩阵，因此 r a n k 2 ( W 1 ) ≥ r a n k 2 ( W ¯ Q ) − 2 ，再由 r a n k 2 ( W ¯ Q T ) + r a n k 2 ( W 1 ) ≤ r a n k 2 ( W ¯ Q T W 1 ) + n = n 及 r a n k 2 ( W ¯ Q ) = r a n k 2 ( W ¯ Q T ) 可得

r a n k 2 ( W ¯ Q ) ≤ n + 2 2 = ⌈ n + 1 2 ⌉ .

当n为奇数，基于 e T Q e 对8的余数再度进行分类讨论：

若 e T Q e ≡ 0 ( mod 8 ) ，由引理9可知 e T Q 2 e ≡ 0 ( mod 32 ) 。再由引理8可得：

W ¯ Q T W ¯ Q = ( e T e e T Q e 4 e T Q 2 e 4 ⋯ e T Q n − 1 e 4 e T Q e 4 e T Q 2 e 16 e T Q 3 e 16 ⋯ e T Q n e 16 e T Q 2 e 4 e T Q 3 e 16 e T Q 4 e 16 ⋯ e T Q n + 1 e 16 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ e T Q n − 1 e 4 e T Q n e 16 e T Q n + 1 e 16 ⋯ e T Q 2 n − 2 e 16 ) ≡ ( 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 ) ( mod 2 )

再由秩不等式可得 2 r a n k 2 ( W ¯ Q ) ≤ n + 1 ，即 r a n k 2 ( W ¯ Q ) ≤ n + 1 2 = ⌈ n + 1 2 ⌉ 。

若 e T Q e ≡ 4 ( mod 8 ) ，由引理9可知 e T Q 2 e ≡ 16 ( mod 32 ) 。再由引理8可得：

W ¯ Q T W ¯ Q = ( e T e e T Q e 4 e T Q 2 e 4 ⋯ e T Q n − 1 e 4 e T Q e 4 e T Q 2 e 16 e T Q 3 e 16 ⋯ e T Q n e 16 e T Q 2 e 4 e T Q 3 e 16 e T Q 4 e 16 ⋯ e T Q n + 1 e 16 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ e T Q n − 1 e 4 e T Q n e 16 e T Q n + 1 e 16 ⋯ e T Q 2 n − 2 e 16 ) ≡ ( 1 1 0 ⋯ 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 ) ( mod 2 )

同理，由秩不等式可得 2 r a n k 2 ( W ¯ Q ) ≤ n + 1 ，即 r a n k 2 ( W ¯ Q ) ≤ n + 1 2 = ⌈ n + 1 2 ⌉ 。综上所述，命题得证。

引理11 设图G为n阶欧拉图，则 2 ⌊ 5 n − 5 2 ⌋ | det ( W Q ) 。

证明：因为 r a n k 2 ( W ¯ Q ) ≤ ⌈ n + 1 2 ⌉ ，所以 W ¯ Q 对角线上的偶元素至少为 n − ⌈ n + 1 2 ⌉ = ⌊ n − 1 2 ⌋ 个，由此可得 2 ⌊ n − 1 2 ⌋ | det ( W ¯ Q ) 。再由 W ¯ Q 的定义可知 2 ⌊ 5 n − 5 2 ⌋ | det ( W Q ) 。

定理12 设图 G ∈ Σ n ，则 r a n k 2 ( W ¯ Q ) = ⌈ n + 1 2 ⌉ ，且 W ¯ Q 的Smith标准型为：

S = diag( 1 , 1 , ⋯ , 1 ︸ ⌈ n + 1 2 ⌉ , 2 , 2 , ⋯ , 2 b ︸ ⌊ n − 1 2 ⌋ ) .

证明：因 G ∈ Σ n ，所以 2 − ⌊ n − 1 2 ⌋ · det ( W ¯ Q ) 为奇数且无平方因子。设 det ( W ¯ Q ) = ± 2 ⌊ n − 1 2 ⌋ p 1 p 2 ⋯ p s ，其中 p i ( i = 1 , 2 , ⋯ , s ) 为互不相同的奇素数。

假设 W ¯ Q 的Smith标准型为 S = diag ( 1 , 1 , ⋯ , 1 , 2 l 1 , 2 l 2 , ⋯ , 2 l t b ) ，其中 l 1 ≤ l 2 ≤ ⋯ ≤ l t ， b = p 1 p 2 ⋯ p s 为奇数且无平方因子。

由引理10可知 r a n k 2 ( W ¯ Q ) ≤ ⌈ n + 1 2 ⌉ ，即 n − t ≤ ⌈ n + 1 2 ⌉ 。

因此有 t ≥ n − ⌈ n + 1 2 ⌉ = ⌊ n − 1 2 ⌋ 。

此外，由于 l 1 + l 2 + ⋯ + l t = ⌊ n − 1 2 ⌋ 且 det ( W ¯ Q ) = ± det ( S ) ，可得 l 1 = l 2 = ⋯ = l t = 1 及 t = ⌊ n − 1 2 ⌋ 。

命题得证。

以下将对定理4进行证明：

证明：由定义 W Q = ( e , Q e , Q 2 e , ⋯ , Q n - 1 e ) ， Q i e ≡ 0 ( mod 4 ) ， ( i = 1 , 2 , ⋯ , n − 1 ) ， G ∈ Σ n ，可得不失一般性设 W Q 的Smith标准型为 S = diag ( 1 , 2 2 + m 1 , 2 2 + m 2 , ⋯ , 2 2 + m n − 1 b ) ，其中b为奇数且无平方因子。

因此存在幺模矩阵U、V，使得 W Q = U   diag ( 1 , 2 2 + m 1 , 2 2 + m 2 , ⋯ , 2 2 + m n − 1 b ) V ，其中 1 ≤ m 1 ≤ m 2 ≤ ⋯ ≤ m n − 1 。即：

U − 1 W Q = ( U − 1 e , U − 1 Q e , U − 1 Q 2 e , ⋯ , U − 1 Q n − 1 e ) = diag ( 1 , 2 2 + m 1 , 2 2 + m 2 , ⋯ , 2 2 + m n − 1 b ) V = ( 1 0 0 4 Λ ) ( a α T β V 1 ) = ( a α T 4 Λ β 4 Λ V 1 )

其中， Λ = diag ( 2 m 1 , 2 m 2 , ⋯ , 2 m n − 1 b ) ， V = ( a α T β V 1 ) ，且a为一个整数， α 和 β 为 n − 1 维列向量， V 1 为 n − 1 阶方阵。

由 ( U − 1 e , U − 1 Q e , ⋯ , U − 1 Q n − 1 e ) = ( a α T 4 Λ β 4 Λ V 1 ) 可得：

( U − 1 e , U − 1 Q e 4 , ⋯ , U − 1 Q n − 1 e 4 ) = ( a α T 4 4 Λ β Λ V 1 ) ,

即：

W ¯ Q = U ( a α T 4 4 Λ β Λ V 1 ) = U ( 1 0 0 Λ ) ( a α T 4 4 β V 1 ) = U ( 1 0 0 Λ ) V ′ (1)

其中 V ′ : = ( a α T 4 4 β V 1 ) 为整数矩阵。

注意 det V ′ ≡ ( a α T 4 0 V 1 ) ≡ a det V 1 ( mod 4 ) ，此外有 det V ≡ ( a α T β V 1 ) ≡ ( a 0 β V 1 ) ≡ a det V 1 = ± 1 ( mod 4 ) 。

对(1)两边同时取行列式可得 det W ¯ Q = 2 ⌊ n − 1 2 ⌋ b = ± 2 ∑ i = 1 n − 1 m i b det V ′ 。由上式可知 det V ′ 为奇数，因此等式成立当且仅当 2 ⌊ n − 1 2 ⌋ = 2 ∑ i = 1 n − 1 m i 且 det V ′ = ± 1 ，即 V ′ 为幺模矩阵。

由引理7可知 ( 1 0 0 Λ ) 为 W ¯ Q 的Smith标准型。再由引理12可知：

Λ = diag( 1 , 1 , ⋯ , 1 ︸ ⌈ n + 1 2 ⌉ − 1 , 2 , 2 , ⋯ , 2 b ︸ ⌊ n − 1 2 ⌋ ) .

由上述等式及 W ¯ Q 的定义可知 W Q 的Smith标准型为 S = diag( 1 , 2 2 , ⋯ , 2 2 ︸ ⌈ n + 1 2 ⌉ , 2 3 , 2 3 , ⋯ , 2 3 b ︸ ⌊ n − 1 2 ⌋ ) ，定理4得证。

本文对极端条件下n阶欧拉图的无符号拉普拉斯矩阵的道矩阵 W Q 的Smith标准型进行刻画，并给出如下结论：

当 W Q 的行列式满足 det ( W Q ) = ± 2 ⌊ 5 n − 5 2 ⌋ b ，其中b为奇数且无平方因子时， W Q 的Smith标准型为 diag( 1 , 2 2 , ⋯ , 2 2 ︸ ⌈ n + 1 2 ⌉ , 2 3 , 2 3 , ⋯ , 2 3 b ︸ ⌊ n − 1 2 ⌋ ) 。

又因Smith标准型是图论中一个极为常用的工具，本结论可在相关领域中简化研究过程。例如，结合文献 [ 9 ] ，可更为快速计算非奇异整数矩阵的Smith标准型的乘子。

魏靖园,吕思澄. 有关欧拉图Q-道矩阵Smith标准型的性质研究Properties of the Smith Normal Form of the Q-Walk Matrix in Euler Graphs[J]. 理论数学, 2024, 14(03): 252-259. https://doi.org/10.12677/pm.2024.143103