本文基于值分布理论和正规族理论以及高等代数相关知识及研究方法，将复射影空间的全纯曲线族与导曲线相结合，对全纯曲线族分担超平面的正规性进行了研究，得到了N = 4时全纯曲线的正规性。设 F 是从 D ⊂ ℂ 到 ℙ 4 ( ℂ ) 的一族全纯映射， H l = { x ∈ ℙ 4 ( ℂ ) : 〈 x , α l 〉 = 0 } ≠ H 0 = { x 0 = 0 } 是 ℙ 4 ( ℂ ) 上处于一般位置的超平面，其中 α l = ( a l 0 , a l 1 , a l 2 , a l 3 , a l 4 ) T ， l = 1 , 2 , ⋯ , 1 1 。假定对任意的 f ∈ F 满足条件： f ( z ) ∈ H l 当且仅当 ∇ f ∈ H l ， l = 1 , 2 , ⋯ , 1 1 ；若 f ( z ) ∈ H l 的并集，则有 | 〈 f ( z ) , H 0 〉 | / ‖ f ‖ ‖ H 0 ‖ 大于或等于 δ ， 0 < δ < 1 ， δ 是常数，则 F 在D上正规。

超平面，正规族，全纯曲线，分担值

Shuang Zhang

College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai

Received: Feb. 5^th, 2024; accepted: Mar. 22^nd, 2024; published: Mar. 29^th, 2024

This article is based on value distribution theory, normal family theory, and advanced algebra related knowledge and research methods. It combines the family of holomorphic curves in complex projective spaces with derivative curves to study the normality of holomorphic curve families sharing hyperplanes, and obtain the normality of holomorphic curves at N = 4. Let F be a family of holomorphic maps of a domain D ⊂ ℂ into ℙ 4 ( ℂ ) . Let H l = { x ∈ ℙ 4 ( ℂ ) : 〈 x , α l 〉 = 0 } ≠ H 0 = { x 0 = 0 } be hyperplanes in ℙ 4 ( ℂ ) located in general position, where α l = ( a l 0 , a l 1 , a l 2 , a l 3 , a l 4 ) T , l = 1 , 2 , ⋯ , 1 1 . Assume the following conditions hold for every f ∈ F : f ( z ) belongs to H l , if and only if ∇ f belongs to H l , l = 1 , 2 , ⋯ , 1 1 ; if f ( z ) belongs to the union set of H l , then | 〈 f ( z ) , H 0 〉 | / ‖ f ‖ ‖ H 0 ‖ is equal or greater than δ , 0 < δ < 1 where δ is a constant. Then F is normal on D.

Keywords:Hyperplane, Normal Family, Holomorphic Curve, Value Sharing

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上世纪20年代，芬兰数学家R. Nevanlinna建立了该世纪最为重要的数学理论之一，即复平面 ℂ 上的亚纯函数值分布理论，通常因纪念他而被称为Nevanlinna理论，该理论主要有两部分组成，即Nevanlinna第一及第二基本定理，前者由Possion-Jensen公式得到，而后者显著地推广了Picard小定理。该理论同时广泛地应用到其他的复分析领域，如亚纯函数的唯一性理论，正规族理论，复动力系统及复微分方程理论等。与此同时，鉴于Nevanlinna理论的美妙结果，很多杰出数学家创立并且不断完善发展了定义在特殊复流型上的全纯映射的高维值分布理论。至今为止，高维值分布理论依然是研究的热难点，已成为一个与分析、微分几何、代数几何和数论相关的重要理论。

正规族理论是复分析中的一个重要研究课题，它主要是对满足一些公共条件的函数族的列紧性进行研究。正规族理论的研究，不但具有重要的理论意义，而且也有重要的应用价值。它在复动力系统，复微分方程，亚纯函数模分布以及整函数唯一性等方向的研究中，都起到了重要的作用。

在20世纪20年代到80年代中，大部分学者研究正规定则采用的是Miranda的消去原始值的方法，但该方法需要有深厚的技巧，还导致证明某些正规定则的过程变得复杂。1975年，以色列数学家Zalcman从Marty正规定则出发给出了亚纯函数族不正规的充要条件，由此导出一个有趣的正规定则，被称为Zalcman引理。此后，我国数学家又将Zalcman引理与函数导数联系起来，发表了Zalcman-Pang引理 [ 1 ] ，进而去判断亚纯函数族的正规性。这种方法使正规族理论的研究进入一个新阶段，不仅简化了之前正规定则的证明，而且又建立了一系列新的正规定则。

目前，亚纯函数的正规族理论已取得重大进展。国内外许多学者借助于值分布理论的一些成果，对多复变全纯映射的正规族问题进行了研究。

陈智华和颜启明等 [ 2 ] 对2个非常值的全纯曲线在强分担超平面的条件下进行分析，得到了全纯曲线的唯一性定理。

定理1 f和g是从 ℂ 到 ℙ N ( ℂ ) 的2个非常数全纯曲线， 1 ≤ l ≤ q ， H l 是q个 ℙ N ( ℂ ) 上的超平面，且处于一般位置，并使得 f ( ℂ ) ⊆ H l ， g ( ℂ ) ⊆ H l ， f ( z ) 和 g ( z ) 分担 H l ， 1 ≤ l ≤ q 。如果 q ≥ 2 N + 3 ，则 f = g 。

杨刘、方彩云和庞学诚 [ 3 ] 利用广义的Zalcman引理，考虑了涉及分担超平面的全纯曲线的正规定则，得到了如下定理。

定理2 设 F ⊂ H ( D ; ℙ N ( ℂ ) ) 为从 D ⊂ ℂ 到 ℙ N ( ℂ ) 的全纯曲线族， H l 是 q ≥ 2 N + 1 个在 ℙ N ( ℂ ) 上的超平面，且处于一般位置， 1 ≤ l ≤ q 。若对于任意的 f , g ∈ F ， f ( z ) ∈ H l ⇔ g ( z ) ∈ H l ， z ∈ D ， 1 ≤ l ≤ q ，则 F 在D上正规。

随后，叶亚盛、庞学诚与杨刘 [ 4 ] 在此基础上对全纯曲线f及其导曲线 ∇ f 共同分担超平面的情形进行了分析，得到并证明了如下正规定则。

定理3 设 F 为区域 D ⊂ ℂ 映到 ℙ N ( ℂ ) 上的全纯曲线族， H 1 , H 2 , ⋯ , H 2 N + 1 是 ℙ N ( ℂ ) 上的超平面，且处于一般位置。若对于任意的 f ∈ F ，满足下列条件：

(i) 对所有的 l = 1 , 2 , ⋯ , 2 N + 1 ， f ( z ) 与 ∇ f ( z ) 在D上分担 H l ；

(ii) 若 f ( z ) ∈ ∪ l = 1 2 N + 1   H l ，则 | 〈 f ( z ) , H 0 〉 | ‖ f ‖ ⋅ ‖ H 0 ‖ ≥ δ ，这里 δ 为 0 < δ < 1 的常数， H 0 = { x 0 = 0 } ，

则 F 在D上正规。

这里的分担不仅要求 f − 1 ( H ) = ∇ f − 1 ( H ) ，而且要求在满足 f − 1 ( H ) = ∇ f − 1 ( H ) 的那些点上有 f ( z ) = ∇ f ( z ) 。

刘晓俊、庞学诚等 [ 5 ] 受到文献4中主要定理的证明过程中的启发，将定理3中“强分担”的条件进行减弱，并对超平面的第一系数做一定限制，得到了如下定理。

定理4 设 F 为从区域 D ⊂ ℂ 映到 ℙ N ( ℂ ) 上的一族全纯映射。

H l = { x ∈ ℙ N ( ℂ ) : 〈 x , α l 〉 = 0 } 是 ℙ N ( ℂ ) 上的超平面，且处于一般位置。其中， α l = ( a l 0 , ⋯ , a l N ) T 和 a l 0 ≠ 0 ,   l = 1 , 2 , ⋯ , 2 N + 1 。若对于任意的 f ∈ F ，满足下列条件：

(i) 若 f ( z ) ∈ H l ，则 ∇ f ∈ H l ,   l = 1 , 2 , ⋯ , 2 N + 1 ；

(ii) 若 f ( z ) ∈ ∪ l = 1 2 N + 1   H l ，则 | 〈 f ( z ) , H 0 〉 | ‖ f ‖ ⋅ ‖ H 0 ‖ ≥ δ ，其中 δ 是满足 0 < δ < 1 的常数， H 0 = { x 0 = 0 } 。

则 F 在D上正规。

问题 若去掉“超平面首项系数非零”这个限制条件，结论是否仍旧成立？

刘晓俊、庞学诚 [ 6 ] 去除了上述定理在 ℙ 2 ( ℂ ) 中“超平面第一系数非零个数的限制”的条件，证明了定理5。

定理5 设 F 为从区域 D ⊂ ℂ 映到 ℙ 2 ( ℂ ) 的一族全纯映射。

H l = { x ∈ ℙ 2 ( ℂ ) : 〈 x , α l 〉 = 0 } ≠ H 0 = { x 0 = 0 } 是 ℙ 2 ( ℂ ) 上的超平面，且处于一般位置。其中 α l = ( a l 0 , a l 1 , a l 2 ) T ,   l = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 。若对任意的 f ∈ F ，满足下列条件：

(i) 若 f ( z ) ∈ H l 当且仅当 ∇ f ∈ H l ,   l = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ；

(ii) 若 f ( z ) ∈ ∪ l = 1 5   H l ，则 | 〈 f ( z ) , H 0 〉 | ‖ f ‖ ⋅ ‖ H 0 ‖ ≥ δ ，其中 δ 是满足 0 < δ < 1 的常数。

则 F 在D上正规。

遗憾的是，定理5的证明方法不能推广至 N ≥ 3 的情况。随后，郑晓杰等 [ 7 ] 得到了N = 3时的定理6，并利用高等代数和值分布的理论证明了此定理。

定理6 设 F 是一族从区域 D ⊂ ℂ 映到 ℙ 3 ( ℂ ) 的全纯映射。

H l = { x ∈ ℙ 3 ( ℂ ) : 〈 x , α l 〉 = 0 } ≠ H 0 = { x 0 = 0 } 是 ℙ 3 ( ℂ ) 上的超平面，且处于一般位置，

其中 α l = ( a l 0 , a l 1 , a l 2 , a l 3 ) T ,   l = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 。若对任意的 f ∈ F ，满足下列条件：

(i) 若 f ( z ) ∈ H l 当且仅当 ∇ f ∈ H l ,   l = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ；

(ii) 若 f ( z ) ∈ ∪ l = 1 8   H l ，则 | 〈 f ( z ) , H 0 〉 | ‖ f ‖ ⋅ ‖ H 0 ‖ ≥ δ ，其中 δ 是满足 0 < δ < 1 的常数。

则 F 在D上正规。

上述定理研究的是N = 3时超平面处于一般位置的情形，随后范楚君等 [ 8 ] 在此基础上对N = 3时，超平面处于t次一般位置时全纯函数族的正规性进行了研究。本文继续研究N = 4时定理6所描述的问题，由定理4可知，此时需要2N + 1 = 9个首系非零的超平面，所需分担的超平面2N + 1个是不够的，因此应适当增加分担超平面的个数，研究分担2N + 3 = 11个超平面且7个首系非零的超平面，发现结论仍然成立，即定理7，此定理是对4维复射影空间全纯映射及其导曲线在分担11个超平面时的正规性进行了研究。

定理7 设 F 为从 D ⊂ ℂ 到 ℙ 4 ( ℂ ) 的一族全纯映射， H l = { x ∈ ℙ 4 ( ℂ ) : 〈 x , α l 〉 = 0 } ≠ H 0 = { x 0 = 0 } 是 ℙ 4 ( ℂ ) 上的超平面，且处于一般位置，其中 α l = ( a l 0 , a l 1 , a l 2 , a l 3 , a l 4 ) T ， l = 1 , 2 , ⋯ , 11 。假定对于任意的 f ∈ F 满足下列条件：

(i) 若 f ( z ) ∈ H l 当且仅当 ∇ f ∈ H l ,   l = 1 , 2 , ⋯ , 11 ；

(ii) 若 f ( z ) ∈ ∪ l = 1 11   H l ，则 | 〈 f ( z ) , H 0 〉 | ‖ f ‖ ⋅ ‖ H 0 ‖ ≥ δ ，其中 δ 是满足 0 < δ < 1 的常数。

则 F 在D上正规。

首先介绍N维复射影空间相关的一些定义和概念。

ℙ N ( ℂ ) = ℂ N + 1 \ { 0 } / ∼ 为N维复射影空间，对 x = ( x 0 , x 1 , ⋯ , x N ) , y = ( y 0 , y 1 , ⋯ , y N ) ， ℙ N ( ℂ ) = ℂ N + 1 \ { 0 } ， x ~ y 当且仅当存在 λ ∈ ℂ ，使得 ( x 0 , x 1 , ⋯ , x N ) = λ ( y 0 , y 1 , ⋯ , y N ) 。 ( x 0 , x 1 , ⋯ , x N ) 的等价类定义为 [ x 0 : x 1 : ⋯ : x N ] ， ℙ N ( ℂ ) = { x = [ x 0 : x 1 : ⋯ : x N ] : x = ( x 0 , x 1 , ⋯ , x N ) ∈ ℂ N + 1 \ { 0 } } 。 H 1 , H 2 , ⋯ , H q 为 ℙ N ( ℂ ) 上的超平面，它们定义 H l = { x ∈ ℙ N ( ℂ ) : 〈 x , α l 〉 = a l 0 x 0 + a l 1 x 1 + ⋯ + a l N x N = 0 } ，其中，非零向量 α l = ( a l 0 , a l 1 , ⋯ , a l N ) T ,   l = 1 , 2 , ⋯ , q 。

在 ℙ N ( ℂ ) 中可引入一个自然度量，即对于点 [ ω ] 和 [ ω ′ ] 之间的距离，采用 ℂ N + 1 中2个圆 γ 和 γ ′ 之间的欧式距离来表示，其中， γ 和 γ ′ 分别代表在球面 S 2 N + 1 上的这2个点(这里取 | ω | = | ω ′ | = 1 )。简单计算可得

ρ 2 ( [ ω ] , [ ω ′ ] ) = m i n θ , θ ′ | ω   e i θ − ω ′ e i θ ′ | 2 = m i n θ , θ ′ 2 { 1 − R e [ ( ω , ω ′ ) e i ( θ − θ ′ ) ] } = 2 ( 1 − | ( ω , ω ′ ) | ) .

对于一般的 ω , ω ′ ， ρ 2 ( [ ω ] , [ ω ′ ] ) = 2 ( 1 − | ( ω , ω ′ ) | | ω | | ω ′ | ) ，再假设 ω ′ = ω + d ω ，并舍去 | d ω | 的二阶以上的小量，得到相应的度量形式：

d s 2 = ( ω , ω ) ( d ω , d ω ) − ( ω , d ω ) ( d ω , ω ) ( ω , ω ) 2

称这个度量为富比尼–施图迪(Fubini-Study)度量，它是 ℂ ¯ = ℙ 1 ( ℂ ) 上的球面度量在高维复射影空间中的推广。特别的，当N = 1时，引进局部坐标 z = ω 1 ω 0 ，此时 d s 2 = | d z | 2 ( 1 + | z | 2 ) 2 。

定义1 设 H 1 , H 2 , ⋯ , H q ( q ≥ N + 1 ) 是 ℙ N ( ℂ ) 中的q个超平面，定义 D ( H 1 , ⋯ , H q ) = ∏ 1 ≤ l 1 < l 2 < ⋯ < l N + 1 ≤ q | d e t ( α l 1 T , ⋯ , α l N + 1 T ) | ，我们称超平面 H 1 , H 2 , ⋯ , H q 在 ℙ N ( ℂ ) 处于一般位置，若 D ( H 1 , ⋯ , H q ) > 0 。

其次，令 f : D → ℙ N ( ℂ ) 为全纯映射， U ⊂ D 是开集，对于任何全纯映射

f : U → ℂ N + 1 ，使得 ℙ ( f ( z ) ) ≡ f ( z ) ,   z ∈ U ，称f为在U上的一个代表，其中，

ℙ : ℂ N + 1 \ { 0 } → ℙ N ( ℂ ) 为标准商映射。

定义2 设 U ⊂ D 是开集，若 f 0 , f 1 , ⋯ , f N 在U内全纯且无公共零点，则称 f ˜ = ( f 0 , f 1 , ⋯ , f N ) 为f在U上的一个既约表示。

设 H l = { x ∈ ℙ N ( ℂ ) : 〈 x , α l 〉 = 0 } 是一个超平面，定义 ‖ H ‖ = ‖ α ‖ = max 0 ≤ i ≤ N | a i | 。本文只考虑满足 ‖ H ‖ = 1 的标准化超平面。

对于全纯映射f的既约表示 f ˜ ，定义全纯函数

〈 f ( z ) , H 〉 = 〈 f ˜ ( z ) , α 〉 = ∑ i = 0 N a i f i ( z )

再取

‖ f ‖ = ‖ f ˜ ( z ) ‖ = { ∑ i = 0 N | f i ( z ) | 2 } 1 / 2 .

根据文献 [ 4 ] 中定义的导曲线，可得如下定义。

定义3 设f是从D到 ℙ N ( ℂ ) 的全纯映射， f ˜ = ( f 0 , f 1 , ⋯ , f N ) 是f在D上的任意既约表示，其中 f μ ( z ) ≡ 0 ， μ ∈ { 1 , 2 , ⋯ , N } ，则有

∇ μ ( f ( z ) ) = [ W ( f μ , f 0 ) / d : ⋯ : W ( f μ , f μ − 1 ) / d : f μ 2 / d : W ( f μ , f μ + 1 ) / d : ⋯ : W ( f μ , f N ) / d ] 被称作f关于第 μ 个分量的全纯导曲线，其中 d ( z ) 为全纯函数，使得 f μ 2 / d 和 W ( f μ , f i ) / d 无公共零点， i = 0 , 1 , ⋯ , N ,   i ≠ μ 。

简单起见，将 ∇ μ f 记作 ∇ f ，显然， ∇ μ f 的定义与f的既约表示的选择无关。当N = 1时， ∇ 0 f 代表亚纯函数 f 1 f 0 的导数，即f的导函数 f ′ ，而 ∇ 1 f 代表亚纯函数 f 0 f 1 的导数，即 1 f 的导函数 ( 1 f ) ′ 。

导曲线是亚纯函数导数的推广，上述定义是推广至全纯函数导曲线的情形。借助于此将Schwick的一个涉及导数的正规定则推广至 ℙ N ( ℂ ) 的全纯曲线，且回到N = 1的特殊情形也是对Schwick先前结果的改进。本文中定理7全纯曲线及其导曲线共同分担超平面这一条件对后续证明过程中起着重要作用，可用来证明全纯曲线的导数不恒为0，从而利用引理1证明定理。

在证明定理7之前，先说明一些概念。

一般地，D是 ℂ 上一个区域， H 0 = { x 0 = 0 } 总是表示第一坐标超平面。 f n ( z ) ⇒ f ( z ) ,   z ∈ D 表示 { f n } 在D的紧致集上关于 ℙ N ( ℂ ) 上的Fubini-Study度量一致收敛于f。对于在D上的全纯曲线 f ( z ) ， f ( z ) 在点z处的球面导数定义为 f = | f ∧ f ′ | ‖ f ‖ 2 。

众所周知，Zalcman正规原理和Pang-Zalcman引理在正规族理论中起着核心作用。在我们给出主要定理证明之前，需要由Aladro等 [ 9 ] 对Zalcman引理进行推广得到的全纯映射族的Zalcman引理，这为证明正规定则提供了有利的条件。

引理1 [ 9 ] 设 F 是一族从 ℂ m 中的双曲区域 Ω 映到 ℙ N ( ℂ ) 的全纯映射，若 F 在 Ω 上不正规 ⇔ 存在子列 { f n } ⊂ F ，点列 { z n } ⊂ Ω 且 z n → z 0 ∈ Ω 和正数列 { ρ n } 满足 ρ n → 0 ，使得

g n ( ζ ) : = f n ( z n + ρ n ζ )

在 ℂ m 上内闭一致收敛于从 ℂ m 映射到 ℙ N ( ℂ ) 的非常数全纯映射g。

为了本文定理7的证明，还需引入如下的Hurwitz引理。

引理2 (Hurwitz引理) [ 4 ] 设域 D ⊂ ℂ 中的全纯函数序列 { f n ( z ) } 在D的任意一个紧子集上内闭一致收敛于非常值的函数 f ( z ) ∈ H ( D ) 。若 a ∈ ℂ 是任意一个复数， ∃ 点 z 0 ∈ D ，使得 f ( z 0 ) = a ，则对于每一个充分大的n，方程 f n ( z ) = a 在D内有根。此外，存在 z 0 的某邻域U，使得 f ( z ) − a 与 f n ( z ) − a 在U内零点的总数相同(计重数)。

引理3 [ 5 ] 设 g = [ g 0 : ⋯ : g N ] : ℂ → ℙ N ( ℂ ) 是一条全纯曲线且是有穷级的， g 0 ( ζ ) ≡ 0 ，其中 N ≥ 2 是一个整数。 H l = { x ∈ ℙ N ( ℂ ) : 〈 x , α l 〉 = 0 } 是 ℙ N ( ℂ ) 上的超平面且处于一般位置，其第一系数 a l 0 ≠ 0 ， l = 1 , 2 , ⋯ , 2 N + 1 。设 g ˜ ( ζ ) = ( g 0 , g 1 , ⋯ , g N ) ( ζ ) 是g的任意既约表示，令

G l = a l 0 + ∑ i = 1 N a l i g i ( ζ ) g 0 ( ζ ) ,   l = 1 , 2 , ⋯ , N + 1

若 G l ( ζ ) ≠ 0 且 G ′ l ( ζ ) ≠ 0 ,   ζ ∈ ℂ ，则g是线性退化的。

为了后续定理的证明，本文将Picard型定理推广至如下的引理4。

引理4 [ 10 ] 设 f : ℂ → ℙ N ( ℂ ) 是一个全纯映射， H 1 , ⋯ , H q ( q ≥ 2 N + 1 ) 是 ℙ N ( ℂ ) 上的超平面且处于一般位置。若对于每个 j ∈ { 1 , 2 , ⋯ , q } ， f ( ℂ ) ⊆ H j ，或者 f ( ℂ ) 恒落在 H j 中，则f是常数。

引理5 [ 10 ] 设 f 0 , f 1 , ⋯ , f n + 1 是整函数，且 f 0 , f 1 , ⋯ , f n ≡ 0 及

f 0 + f 1 + ⋯ + f n + 1 = 0

考虑划分

{ 0 , 1 , ⋯ , n + 1 } = I 1 ∪ I 2 ∪ ⋯ ∪ I k

使得i和j属于同一个类 I l ⇔ f i = c i j f j ， c i j 为某个非零常数，则有对于任意的 I l ，

∑ i ∈ I l f i = 0 .

引理6 [ 11 ] 若 f ( z ) 和 φ v ( z ) ( v = 1 , 2 , 3 ) 是有穷平面上的亚纯函数，使得

T ( r , φ v ) = ο { T ( r , f ) } ,     v = 1 , 2 , 3

则有

{ 1 − ο ( 1 ) } T ( r , f ) < ∑ v = 1 3 N ( r , 1 f − φ v ) + S ( r , f )

其中， S ( r , f ) = ο { T ( r , f ) } ,   r → ∞ 。

引理7 [ 12 ] 设 f ( z ) 为球面导数 f # ( z ) 有界的整函数，则 f ( z ) 的级至多为1。

假设 F 在D上不正规，则由引理1可知， ∃ z n → z 0 ∈ D ，正点列 ρ n → 0 和全纯映射 f n ∈ F ，使得 g n ( ζ ) = f n ( z n + ρ n ζ ) ⇒ g ( ζ ) ,   ζ ∈ ℂ ，其中g是 ℂ 上有穷级的非常值的全纯映射。

设 g ˜ ( ζ ) = ( g 0 , g 1 , g 2 , g 3 , g 4 ) ( ζ ) 是g的既约表示，由于 H l 处于一般位置， 1 ≤ l ≤ 11 。故不失一般性，我们假设 H 1 , H 2 , H 3 , H 4 , H 5 , H 6 , H 7 的第一系数不为0。

情形1：g是非线性退化的。

由于g不取 H 1 , H 2 , H 3 , H 4 , H 5 , H 6 , H 7 ，我们有 g 0 ≠ 0 ，

因此 G l ( ζ ) = a l 0 + a l 1 g 1 ( ζ ) g 0 ( ζ ) + a l 2 g 2 ( ζ ) g 0 ( ζ ) + a l 3 g 3 ( ζ ) g 0 ( ζ ) + a l 4 g 4 ( ζ ) g 0 ( ζ ) ≠ 0 ,   l = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 。

断言a： G ′ l ( ζ ) ≠ 0 ,   ζ ∈ ℂ 。

断言a的证明：

① 若 G ′ l ( ζ ) ≡ 0 ，则 G l ( ζ ) ≡ C 0 ，其中 C 0 是一个常数。

则 ( a l 0 − C 0 ) g 0 ( ζ ) + a l 1 g 1 ( ζ ) + a l 2 g 2 ( ζ ) + a l 3 g 3 ( ζ ) + a l 4 g 4 ( ζ ) ≡ 0 ，由于 a l 0 − C 0 , a l 1 , a l 2 , a l 3 , a l 4 不恒为0，则g为线性退化的，矛盾，故假设不成立，即 G ′ l ( ζ ) ≡ 0 。

② G ′ l ( ζ ) ≡ 0 ，但存在 ζ 0 ∈ ℂ 使得 G ′ l ( ζ 0 ) = 0 。

(i) g 0 ( ζ 0 ) ≠ 0 。

设 g ˜ n ( ζ ) = ( g n 0 , g n 1 , g n 2 , g n 3 , g n 4 ) ( ζ ) 是 g n ( ζ ) 在 U ( ζ 0 ) 的既约表示，则我们有

a l 1 ( g n 1 ( ζ ) g n 0 ( ζ ) ) ′ + a l 2 ( g n 2 ( ζ ) g n 0 ( ζ ) ) ′ + a l 3 ( g n 3 ( ζ ) g n 0 ( ζ ) ) ′ + a l 4 ( g n 4 ( ζ ) g n 0 ( ζ ) ) ′ + ρ n a l 0 在 U ( ζ 0 ) 上收敛于 a l 1 ( g 1 ( ζ ) g 0 ( ζ ) ) ′ + a l 2 ( g 2 ( ζ ) g 0 ( ζ ) ) ′ + a l 3 ( g 3 ( ζ ) g 0 ( ζ ) ) ′ + a l 4 ( g 4 ( ζ ) g 0 ( ζ ) ) ′ 。

由Hurwitz引理可知：存在 ζ n → ζ 0 使得 a l 1 ( g n 1 ( ζ ) g n 0 ( ζ ) ) ′ + a l 2 ( g n 2 ( ζ ) g n 0 ( ζ ) ) ′ + a l 3 ( g n 3 ( ζ ) g n 0 ( ζ ) ) ′ + a l 4 ( g n 4 ( ζ ) g n 0 ( ζ ) ) ′ + ρ n a l 0 | ζ = ζ n = 0 ，即

a l 1 ( f n 1 ( z ) f n 0 ( z ) ) ′ + a l 2 ( f n 2 ( z ) f n 0 ( z ) ) ′ + a l 3 ( f n 3 ( z ) f n 0 ( z ) ) ′ + a l 4 ( f n 4 ( z ) f n 0 ( z ) ) ′ + a l 0 | z = z n + ρ ζ n = 0 ，那么就有 ∇ f n | z n + ρ n ζ n ∈ H l ，由定理的条件(i)可知： f n | z = z n + ρ n ζ n ∈ H l ，即 g n ( ζ n ) ∈ H l ，令 n → ∞ ，我们有 g ( ζ 0 ) ∈ H l ,   l = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ，矛盾。

(ii) g 0 ( ζ 0 ) = 0

由g不取 H l ,   l = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ，我们有 ( a l 1 g 1 + a l 2 g 2 + a l 3 g 3 + a l 4 g 4 ) ( ζ 0 ) ≠ 0 ，则 ζ 0 为 G l ( ζ ) 的极点，这意味着 G ′ l ( ζ 0 ) ≠ 0 ，断言a得证。

故 G l ( ζ ) ≠ 0 和 G ′ l ( ζ ) ≠ 0 ,   l = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ,   ζ ∈ ℂ ，则由引理3可得：g是线性退化的矛盾。

情形2：g是线性退化的。

情形2.1： g 0 , g 1 , g 2 , g 3 是线性非退化的。

由于 G l ≡ 0 或者 G l ≠ 0 ,   l = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ，故由引理3可知，有 g 0 ≠ 0 和g是全纯的，则 G l 在 ℂ 上为全纯映射。

因为 ρ ( G l ) ≤ 1 ,   1 ≤ l ≤ 7 ，所以 G l = a l 0 + a l 1 g 1 g 0 + a l 2 g 2 g 0 + a l 3 g 3 g 0 + a l 4 g 4 g 0 = B l e A l ζ ,   1 ≤ l ≤ 7 ，特别地，当 G l ≡ 0 时， B l ≡ 0 。 ∀ j 1 , j 2 , j 3 , j 4 , j 5 ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } ，不失一般性，设 j 1 = 1 ,   j 2 = 2 ,   j 3 = 3 ,   j 4 = 4 ,   j 5 = 5 。

令 k 1 B 1 e A 1 ζ + k 2 B 2 e A 2 ζ + k 3 B 3 e A 3 ζ + k 4 B 4 e A 4 ζ + k 5 B 5 e A 5 ζ = 0 ，其中 k 1 , k 2 , k 3 , k 4 , k 5 为常数。

由于 g 0 , g 1 , g 2 , g 3 , g 4 线性退化，故 1 , g 1 g 0 , g 2 g 0 , g 3 g 0 , g 4 g 0 线性退化，故存在一个非零向量 ( b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 ) T 使得 ( 1 , g 1 g 0 , g 2 g 0 , g 3 g 0 , g 4 g 0 ) ( b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 ) T = 0 。

令 A = ( α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 ) = ( a 10 a 20 a 30 a 40 a 50 a 11 a 21 a 31 a 41 a 51 a 12 a 22 a 32 a 42 a 52 a 13 a 23 a 33 a 43 a 53 a 14 a 24 a 34 a 44 a 54 )

由于 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 线性无关，所以 | A | ≠ 0 ，即A可逆。

令 ( k 1 , k 2 , k 3 , k 4 , k 5 ) T = A − 1 ( b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 ) T ，

则 ( B 1 e A 1 ζ , B 2 e A 2 ζ , B 3 e A 3 ζ , B 4 e A 4 ζ , B 5 e A 5 ζ ) A − 1 ( b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 ) T = 0 ，

则 B 1 e A 1 ζ , B 2 e A 2 ζ , B 3 e A 3 ζ , B 4 e A 4 ζ , B 5 e A 5 ζ 线性退化。

断言b：存在单射 σ : { 1 , 2 , 3 , 4 } → { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } 使得 B σ ( 1 ) e A σ ( 1 ) ζ , B σ ( 2 ) e A σ ( 2 ) ζ , B σ ( 3 ) e A σ ( 3 ) ζ , B σ ( 4 ) e A σ ( 4 ) ζ 线性非退化。

因为 B 1 e A 1 ζ , B 2 e A 2 ζ , B 3 e A 3 ζ , B 4 e A 4 ζ , B 5 e A 5 ζ 线性退化，故不失一般性，可假设存在常数 l 1 , l 2 , l 3 , l 4 使得 B 5 e A 5 ζ = l 1 B 1 e A 1 ζ + l 2 B 2 e A 2 ζ + l 3 B 3 e A 3 ζ + l 4 B 4 e A 4 ζ ，此时假设 σ ( 1 ) = 1 ,   σ ( 2 ) = 2 ,   σ ( 3 ) = 3 ,   σ ( 4 ) = 4 ，则有 ( B 1 e A 1 ζ , B 2 e A 2 ζ , B 3 e A 3 ζ , B 4 e A 4 ζ , B 5 e A 5 ζ ) = ( 1 , g 1 g 0 , g 2 g 0 , g 3 g 0 , g 4 g 0 ) A ，

故 ( 1 , g 1 g 0 , g 2 g 0 , g 3 g 0 , g 4 g 0 ) = ( B 1 e A 1 ζ , B 2 e A 2 ζ , B 3 e A 3 ζ , B 4 e A 4 ζ , B 5 e A 5 ζ ) A − 1 ，

令 g j g 0 = ∑ i = 1 4 c i j B i e A i ζ ,   j = 0 , 1 , 2 , 3 ，其中 C = ( c 10 c 11 c 12 c 13 c 20 c 21 c 22 c 23 c 30 c 31 c 32 c 33 c 40 c 41 c 42 c 43 ) 。

下证C可逆：

若 r ( C ) ≤ 3 ，则意味着方程组 C ( x 0 x 1 x 2 x 3 ) = 0 有非零解，则存在不全为零的数 x 0 , x 1 , x 2 , x 3 使得 ( B 1 e A 1 ζ , B 2 e A 2 ζ , B 3 e A 3 ζ , B 4 e A 4 ζ ) C ( x 0 x 1 x 2 x 3 ) = 0 ，即 ( 1 , g 1 g 0 , g 2 g 0 , g 3 g 0 ) ( x 0 x 1 x 2 x 3 ) = 0 ，则 1 , g 1 g 0 , g 2 g 0 , g 3 g 0 线性退化矛盾，故C可逆。

断言b的证明：

若 B 1 e A 1 ζ , B 2 e A 2 ζ , B 3 e A 3 ζ , B 4 e A 4 ζ 线性退化，则存在不全为0的数 c 0 , c 1 , c 2 , c 3 使得 ( B 1 e A 1 ζ , B 2 e A 2 ζ , B 3 e A 3 ζ , B 4 e A 4 ζ ) ( c 0 c 1 c 2 c 3 ) = 0 ，即 ( 1 , g 1 g 0 , g 2 g 0 , g 3 g 0 ) C − 1 ( c 0 c 1 c 2 c 3 ) = 0 ，则 1 , g 1 g 0 , g 2 g 0 , g 3 g 0 线性退化矛盾，故假设不成立，即 B 1 e A 1 ζ , B 2 e A 2 ζ , B 3 e A 3 ζ , B 4 e A 4 ζ 线性非退化，这意味着 A 1 , A 2 , A 3 , A 4 互不相同。

因为 H l , 1 ≤ l ≤ 7 处于一般位置，所以 A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 , A 7 中任意5个存在4个不同。

若存在 l ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } 使得 B l = 0 ，不失一般性，令 B 7 = 0 ,   B i ≠ 0 ,   i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 。

由于 B 1 e A 1 ζ , B 2 e A 2 ζ , B 3 e A 3 ζ , B 4 e A 4 ζ , B 5 e A 5 ζ 线性退化，故不失一般性，令 A 5 = A 1 ，则在 B 1 e A 1 ζ , B 2 e A 2 ζ , B 3 e A 3 ζ , B 5 e A 5 ζ , B 7 e A 7 ζ 中不存在4个线性非退化矛盾，故假设不成立，即 B l ≠ 0 ,   l = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 。

因为 ∀ j 1 , j 2 , j 3 , j 4 , j 5 ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } ， B j 1 e A j 1 ζ , B j 2 e A j 2 ζ , B j 3 e A j 3 ζ , B j 4 e A j 4 ζ , B j 5 e A j 5 ζ 线性退化，这意味着在 A j 1 , A j 2 , A j 3 , A j 4 , A j 5 中存在两个相同，即 A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 , A 7 中任意5个存在2个相同。若 A 1 , A 2 , A 3 , A 4 互不相同，则 A 5 等于 A 1 , A 2 , A 3 , A 4 中一个，不妨设 A 5 = A 1 。类似的， A 6 等于 A 1 , A 2 , A 3 , A 4 中一个，不妨设 A 6 = A 2 ； A 7 等于 A 1 , A 2 , A 3 , A 4 中一个，不妨设 A 7 = A 3 ，因此在 A 1 , A 2 , A 3 , A 5 , A 6 中不可能存在4个不同，矛盾。故假设不成立，即 g 0 , g 1 , g 2 , g 3 线性退化。

情形2.2： g 0 , g 1 , g 2 线性非退化。

由情形2.1可知： ∀ j 1 , j 2 , j 3 , j 4 , j 5 ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } ，都有 B j 1 e A j 1 ζ , B j 2 e A j 2 ζ , B j 3 e A j 3 ζ , B j 4 e A j 4 ζ , B j 5 e A j 5 ζ 线性退化，不妨设 j 1 = 1 , j 2 = 2 , j 3 = 3 , j 4 = 4 , j 5 = 5 。

断言c： ∀ i 1 , i 2 , i 3 , i 4 ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } 使得 B i 1 e A i 1 ζ , B i 2 e A i 2 ζ , B i 3 e A i 3 ζ , B i 4 e A i 4 ζ 线性退化。

断言c的证明：不失一般性，不妨设 i 1 = 1 , i 2 = 2 , i 3 = 3 , i 4 = 4 ，即 B 1 e A 1 ζ , B 2 e A 2 ζ , B 3 e A 3 ζ , B 4 e A 4 ζ 线性退化。

由 G l = a l 0 + a l 1 g 1 g 0 + a l 2 g 2 g 0 + a l 3 g 3 g 0 + a l 4 g 4 g 0 = B l e A l ζ ,   1 ≤ l ≤ 7 知：

( B 1 e A 1 ζ , B 2 e A 2 ζ , B 3 e A 3 ζ , B 4 e A 4 ζ ) = ( 1 , g 1 g 0 , g 2 g 0 , g 3 g 0 , g 4 g 0 ) ( a 10 a 20 a 30 a 40 a 11 a 21 a 31 a 41 a 12 a 22 a 32 a 42 a 13 a 23 a 33 a 43 a 14 a 24 a 34 a 44 )

由于 g 0 , g 1 , g 2 , g 3 线性退化， g 0 , g 1 , g 2 线性非退化，故 r a n k { ( 1 , g 1 g 0 , g 2 g 0 , g 3 g 0 , g 4 g 0 ) } = 3 ，

因此有 r a n k { ( B 1 e A 1 ζ , B 2 e A 2 ζ , B 3 e A 3 ζ , B 4 e A 4 ζ ) } ≤ r a n k { ( 1 , g 1 g 0 , g 2 g 0 , g 3 g 0 , g 4 g 0 ) } = 3 < 4 ，

所以 B 1 e A 1 ζ , B 2 e A 2 ζ , B 3 e A 3 ζ , B 4 e A 4 ζ 线性退化。

断言d：存在单射 φ : { 1 , 2 , 3 } → { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } 使得 B φ ( 1 ) e A φ ( 1 ) ζ , B φ ( 2 ) e A φ ( 2 ) ζ , B φ ( 3 ) e A φ ( 3 ) ζ 线性非退化。

断言d的证明：由于 B 1 e A 1 ζ , B 2 e A 2 ζ , B 3 e A 3 ζ , B 4 e A 4 ζ , B 5 e A 5 ζ 线性退化，故不失一般性，可假设存在常数 l 1 , l 2 , l 3 , l 4 使得 B 5 e A 5 ζ = l 1 B 1 e A 1 ζ + l 2 B 2 e A 2 ζ + l 3 B 3 e A 3 ζ + l 4 B 4 e A 4 ζ 。

由于 B 1 e A 1 ζ , B 2 e A 2 ζ , B 3 e A 3 ζ , B 4 e A 4 ζ 线性退化，同理不失一般性，可假设存在常数 r 1 , r 2 , r 3 使得 B 4 e A 4 ζ = r 1 B 1 e A 1 ζ + r 2 B 2 e A 2 ζ + r 3 B 3 e A 3 ζ 。

不失一般性，不妨设 φ ( 1 ) = 1 ,   φ ( 2 ) = 2 ,   φ ( 3 ) = 3 ，

由情形2.1可知： ，

故令 g j g 0 = ∑ i = 1 3 m i j B i e A i ζ ,   j = 0 , 1 , 2 。

则 ( 1 , g 1 g 0 , g 2 g 0 ) = ( B 1 e A 1 ζ , B 2 e A 2 ζ , B 3 e A 3 ζ ) ( m 10 m 11 m 12 m 20 m 21 m 22 m 30 m 31 m 32 ) = ( B 1 e A 1 ζ , B 2 e A 2 ζ , B 3 e A 3 ζ ) M 。

下证M可逆，即 r ( M ) = 3 ：

若不然， r ( M ) ≤ 2 ，则方程组 M Y = 0 有非零解 ( y 0 y 1 y 2 ) ，即 M ( y 0 y 1 y 2 ) = 0 ，

故 ( 1 , g 1 g 0 , g 2 g 0 ) ( y 0 y 1 y 2 ) = ( B 1 e A 1 ζ , B 2 e A 2 ζ , B 3 e A 3 ζ ) M ( y 0 y 1 y 2 ) = 0 ，故 1 , g 1 g 0 , g 2 g 0 线性退化矛盾，故假设不成立，即 r ( M ) = 3 ，M可逆。故 ( B 1 e A 1 ζ , B 2 e A 2 ζ , B 3 e A 3 ζ ) = ( 1 , g 1 g 0 , g 2 g 0 ) M − 1 ，故 B 1 e A 1 ζ , B 2 e A 2 ζ , B 3 e A 3 ζ 线性退化，断言d得证，这意味着 A 1 , A 2 , A 3 互不相同。

与情形2.1类似可得： B l ≠ 0 ,   l = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 。

由于 ∀ { j 1 , j 2 , j 3 , j 4 , j 5 } → { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } 有 B j 1 e A j 1 ζ , B j 2 e A j 2 ζ , B j 3 e A j 3 ζ , B j 4 e A j 4 ζ , B j 5 e A j 5 ζ 线性退化， ∀ { i 1 , i 2 , i 3 , i 4 } → { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } ， B i 1 e A i 1 ζ , B i 2 e A i 2 ζ , B i 3 e A i 3 ζ , B i 4 e A i 4 ζ 线性退化，这意味着在 A j 1 , A j 2 , A j 3 , A j 4 , A j 5 中存在两个相同， A i 1 , A i 2 , A i 3 , A i 4 中存在两个相同，即 A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 , A 7 中任意5个存在2个相同，任意4个存在2个相同。

若 A 1 , A 2 , A 3 互不相同，则 A 4 等于 A 1 , A 2 , A 3 中的一个，不妨设 A 4 = A 1 ，则 A 5 只能等于 A 2 或 A 3 ，假设 A 5 = A 2 ，则 A 6 = A 3 ，而 A 7 也等于 A 1 , A 2 , A 3 中的一个，若 A 7 = A 1 ，则在 A 1 , A 2 , A 4 , A 5 , A 7 中不可能存在3个不同矛盾；若 A 7 = A 2 ，则在 A 1 , A 2 , A 4 , A 5 , A 7 中不可能存在3个不同矛盾；若 A 7 = A 3 ，则在 A 1 , A 2 , A 3 , A 6 , A 7 中不可能存在3个不同矛盾。

故假设不成立，即 g 0 , g 1 , g 2 线性退化，因此存在不全为0的数 p 0 , p 1 , p 2 使得 p 0 g 0 + p 1 g 1 + p 2 g 2 = 0 。

① p 2 ≠ 0 ，则 g 2 = − p 0 p 2 g 0 − p 1 p 2 g 1 ，并且 g 2 , g 3 , g 4 可被 g 0 , g 1 线性表出，因此存在常数 q 1 , q 2 ; s 1 , s 2 ; t 1 , t 2 使得 g 2 = q 1 g 0 + q 2 g 1 ,   g 3 = s 1 g 0 + s 2 g 1 ,   g 4 = t 1 g 0 + t 2 g 1 ，即

g 2 g 0 = q 1 + q 2 g 1 g 0 ,   g 3 g 0 = s 1 + s 2 g 1 g 0 ,   g 4 g 0 = t 1 + t 2 g 1 g 0 ，则

G l = a l 0 + a l 1 g 1 g 0 + a l 2 g 2 g 0 + a 13 g 3 g 0 + a l 4 g 4 g 0 = a l 0 + a l 1 g 1 g 0 + a l 2 ( q 1 + q 2 g 1 g 0 ) + a l 3 ( s 1 + s 2 g 1 g 0 ) + a l 4 ( t 1 + t 2 g 1 g 0 ) = ( a l 0 + a l 2 q 1 + a l 3 s 1 + a l 4 t 1 ) + ( a l 1 + a l 2 q 2 + a l 3 s 2 + a l 4 t 2 ) g 1 g 0

因为 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 线性无关，故 | A | ≠ 0 ，则方程组 a l 1 x 1 + a l 2 x 2 + a l 3 x 3 + a l 4 x 4 = 0 , 1 ≤ l ≤ 5 。

只有零解，故存在 l ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } 使得 a l 1 + a l 2 q 2 + a l 3 s 2 + a l 4 t 2 ≠ 0 。

若对于这样的l， G ′ l ≡ 0 ，即 ( g 1 g 0 ) ′ ≡ 0 ，它意味着 g 1 g 0 ≡ c 矛盾，故 G ′ l ≠ 0 和 ( g 1 g 0 ) ′ ≠ 0 。

若 a j 0 ≠ 0 ,   j = 8 , ⋯ , 11 ，则g不取 H j ，或 g ( ℂ ) ⊂ H j ,   j = 8 , ⋯ , 11 ，由引理4可得，g是常值曲线矛盾，故存在 a j 0 = 0 ,   j = 8 , ⋯ , 11 ，故不失一般性，假设 H 8 的首项系数为0，即 a 80 = 0 。

若 H 9 的首项系数仍不为0，即 a 90 ≠ 0 ，则有g不取 H 9 或者 g ( ℂ ) 恒落在 H 9 上。

若对于任意的 ζ ∈ ℂ ， 〈 g ˜ , α 8 〉 ≠ 0 或 ≡ 0 ，则由引理4可知，g为常数曲线矛盾，则存在 ζ 0 ∈ ℂ ，使得 〈 g ˜ , α 8 ( ζ 0 ) 〉 ≠ 0 且 〈 g ˜ , α 8 ( ζ ) 〉 ≡ 0 。

断言e： 〈 g ˜ , α 8 〉 的所有零点是重级的，且 G 8 的所有零点也是重级的。

断言e的证明：设 ζ 0 为 〈 g ˜ , α 8 〉 的所有零点，由于 α 8 = ( 0 , a 8 1 , a 8 2 , a 8 3 , a 8 4 ) T ，所以

〈 g ˜ , α 8 〉 ( ζ 0 ) = a 81 g 1 ( ζ 0 ) + a 82 g 2 ( ζ 0 ) + a 83 g 3 ( ζ 0 ) + a 84 g 4 ( ζ 0 ) = 0 ，

即 a 81 g 1 ( ζ 0 ) g 0 ( ζ 0 ) + a 82 g 2 ( ζ 0 ) g 0 ( ζ 0 ) + a 83 g 3 ( ζ 0 ) g 0 ( ζ 0 ) + a 84 g 4 ( ζ 0 ) g 0 ( ζ 0 ) = 0 ，

即 ( a 82 q 1 + a 83 s 1 + a 84 t 1 ) + ( a 81 + a 82 q 2 + a 83 s 2 + a 84 t 2 ) g 1 ( ζ 0 ) g 0 ( ζ 0 ) = 0 ，因此 G 8 ( ζ 0 ) = 0 ，故 ζ 0 也为 G 8 的零点，则存在序列 { ζ n } → ζ 0 使得， 〈 g ˜ n , α 8 〉 ( ζ n ) = 0 ，即 〈 f ˜ n , α 8 〉 ( z n + ρ n ζ n ) = 0 ，由定理条件(i)可知， 〈 ∇ f ˜ ′ n , α 8 〉 ( z n + ρ n ζ n ) = 0 ，所以 a 81 ( f n 1 f n 0 ) ′ + a 82 ( f n 2 f n 0 ) ′ + a 83 ( f n 3 f n 0 ) ′ + a 84 ( f n 4 f n 0 ) ′ | z n + ρ n ζ n = 0 ，

即 a 81 ( g n 1 g n 0 ) ′ + a 82 ( g n 2 g n 0 ) ′ + a 83 ( g n 3 g n 0 ) ′ + a 84 ( g n 4 g n 0 ) ′ | ζ n = 0 ，令 n → ∞ 得：

a 81 ( g 1 g 0 ) ′ + a 82 ( g 2 g 0 ) ′ + a 83 ( g 3 g 0 ) ′ + a 84 ( g 4 g 0 ) ′ | ζ 0 = 0 ，即 G ′ 8 ( ζ 0 ) = 0 ，所以 〈 g ˜ , α 8 〉 的所有零点是重级的，且 G 8 的所有零点也是重级的，断言e得证。

所以 ( a 81 + a 82 q 2 + a 83 s 2 + a 84 t 2 ) ( g 1 g 0 ) ′ | ζ 0 = 0 ，即 ( g 1 g 0 ) ′ ( ζ 0 ) = 0 ，故假设不成立，即 a 90 = 0 ，同理可得： a 10 , 0 = a 11 , 0 = 0 。

若对于任意的 ζ ∈ ℂ ， 〈 g ˜ , α l 〉 ≠ 0 或 ≡ 0 ， 8 ≤ l ≤ 11 ，则由引理4可知，g为常数曲线矛盾，则存在 ζ 0 ∈ ℂ ， 8 ≤ l ≤ 11 ，使得 〈 g ˜ , α l ( ζ 0 ) 〉 = 0 和 〈 g ˜ , α l ( ζ ) 〉 ≡ 0 ，所以 ( a l 1 + a l 2 q 2 + a l 3 s 2 + a t l 4 2 ) ( g 1 g 0 ) ′ | ζ 0 = 0 矛盾。

② p 2 = 0 ，则 p 0 , p 1 不全为0，那么 p 0 g 0 + p 1 g 1 + p 2 g 2 = 0 可化为 p 0 g 0 + p 1 g 1 = 0 。

(i) 若 p 0 ≠ 0 ，则 g 0 = − p 1 p 0 g 1 ，故 g 1 g 0 = − p 0 p 1 为常数矛盾；

(ii) 若 p 0 = 0 ，则 p 1 g 1 = 0 ，而 p 1 ≠ 0 ，故 g 1 ≡ 0 ，则 g 1 g 0 ≡ 0 矛盾。

因此 F 在D上正规。

本文主要是对N = 4时全纯映射及其导曲线分担超平面情况下的正规定则进行研究，得到在共同分担11个处于一般位置的超平面且限制7个超平面首系非零的情况下的正规定则。正规定则在讨论一些代数微分方程亚纯解的增长性方面具有十分重要的作用，同时可用来证明全纯函数的唯一性定理。

尽管本文已证明了渴望的正规定则，但在其它方面的应用还未呈现。因此，后续将继续在此定理的基础上，研究N = 4时超平面处于t次一般位置时全纯曲线的正规性。此外，还需继续寻找各个结论在实际中的应用。

张 爽. 全纯曲线族涉及导曲线与分担超平面的正规定则Normal Criteria for Holomorphic Curves Relating to Derived Curves and Shared Hyperplanes[J]. 理论数学, 2024, 14(03): 211-222. https://doi.org/10.12677/pm.2024.143100