文中基于提升小波系数，首先提出了一种生成标准正态随机数的新方法与多维Brown运动生成算法，且给出了1维，2维与3维情形的模拟。然后将小波系数应用于金融模型中，利用小波系数讨论了典范双因子Vasicek模型。最后给出了显式表达式和数值模拟。

分形整合过程，提升小波变换，Brown运动

Hangbin Cao¹, Xiaohui Zhou²

¹School of Mathematics Science, Xinjiang Normal University, Urumqi Xinjiang

²Zhejiang College, Shanghai University of Finance and Economics, Jinhua Zhejiang

Received: Jan. 31^st, 2024; accepted: Mar. 22^nd, 2024; published: Mar. 29^th, 2024

Based on the wavelet coefficients, a new method for generating standard normal random numbers and a new generation algorithm for multi-dimensional Brown motion are proposed in this paper. And some numerical simulations are given in one-dimensional, two-dimensional and three-dimensional cases. Then the wavelet coefficients are applied in the financial model. The canonical two-factor Vasicek model is discussed by wavelet coefficients. The explicit expressions and numerical simulation are given finally.

Keywords:Fractal Integration Process, Improve Wavelet Transform, Brown Motion

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在社会生产和学术研究领域，随机数应用范围广泛，如验证码生成、随机加密、信号处理、金融数据模拟 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] 等。金融模型中的随机性，如标的资产定价模型 [ 4 ] [ 5 ] 和金融衍生品定价模型 [ 5 ] [ 6 ] 等，常常采用Brown运动作为驱动。Brown运动的数值模拟需要大量正态分布随机数。传统正态随机数生成方法包括基于均匀分布的随机数、Hasting有理逼近方法(反函数方法)、一般变换生成方法和舍去接受法等。也有一些新的直接生成正态随机数的方法，如Xiaohui Zhou和Guiding Gu研究了一种基于小波去噪方法生成正态随机数的方法，并且探讨了在金融模型中的应用 [ 7 ] 。

随着小波分析的迅速发展，常见的构造小波方法有多分辨分析 [ 8 ] [ 9 ] ，提升方法 [ 10 ] 等。相对而言，提升方法构造小波具备方法灵活，算法简单，运算速度快，适合不等间隔采样等优点。在文献 [ 7 ] 的启发下，基于提升小波变换研究一种新的正态分布随机数生成方法也是一种自然的思路。该方法根据小波函数的衰减性，在各尺度空间生成具有衰减特性的正态随机数。该方法基于提升小波快速算法，提高了随机数生成速度、不可预测性和不可重现性。此外，我们还提出了Brown运动的生成算法。

d Y 1 ( t ) = − λ 1 Y 1 ( t ) d t + d W 1 ( t ) (4)

d Y 2 ( t ) = − λ 21 Y 1 ( t ) d t − λ 2 Y 2 ( t ) d t + d W 2 ( t ) (5)

其中 W 1 ( t ) 和 W 2 ( t ) 是互相独立的Brown运动， λ 1 , λ 2 > 0 ， λ 1 ≠ λ 2 ，则利率是两因子仿射函数

R ( t ) = δ 0 + δ 1 Y 1 ( t ) + δ 2 Y 2 ( t ) (6)

可以写出向量形式：

d Y ( t ) = − Λ Y ( t ) d t + d W ( t )

其中：

Y ( t ) = ( Y 1 ( t ) Y 2 ( t ) ) ,   Λ = ( λ 1 0 λ 21 λ 2 ) ,   W ( t ) = ( W 1 ( t ) W 2 ( t ) )

定义矩阵指数函数： e Λ t = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ( Λ t ) n ，其中 ( Λ t ) 0 = I 是 2 × 2 单位矩阵。

d ( e Λ t Y ( t ) ) = Λ e Λ t Y ( t ) d t + e Λ t d Y ( t ) = e Λ t d W ( t )

上式两边在 [ 0 , t ] 上积分

e Λ t Y ( t ) = Y ( 0 ) + ∫ 0 t e Λ s d W ( s )

则

Y ( t ) = e − Λ t Y ( 0 ) + ∫ 0 t e − Λ ( t − s ) d W ( s )

Y 1 ( t ) = e − λ 1 t Y ( 0 ) + ∫ 0 t e − λ 1 ( t − s ) d W 1 ( s )

Y 2 ( t ) = λ 21 λ 1 − λ 2 ( e − λ 1 t − e − λ 2 t ) Y 1 ( 0 ) + e − λ 2 t Y 2 ( 0 )   + λ 21 λ 1 − λ 2 ∫ 0 t ( e − λ 1 ( t − s ) − e − λ 2 ( t − s ) ) d W 1 ( s ) + ∫ 0 t e − λ 2 ( t − s ) d W 2 ( s )

则

E ( Y 1 ( t ) ) = e − λ 1 t Y ( 0 ) ,   V a r ( Y 1 ( t ) ) = 1 − e − 2 λ 1 t 2 λ 1

E ( Y 2 ( t ) ) = λ 21 λ 1 − λ 2 ( e − λ 1 t − e − λ 2 t ) Y 1 ( 0 ) + e − λ 2 t Y 2 ( 0 ) , V a r ( Y 2 ( t ) ) = λ 21 λ 1 − λ 2 ( 1 − e − 2 λ 1 t 2 λ 1 + 1 − e − 2 λ 2 t 2 λ 2 − 2 ( 1 − e − ( λ 1 + λ 2 ) t ) λ 1 + λ 2 ) + 1 − e − 2 λ 2 t 2 λ 2

E ( R ( t ) ) = δ 0 + δ 1 e − λ 1 t Y 1 ( 0 ) + δ 2 ( λ 21 λ 1 − λ 2 ( e − λ 1 t − e − λ 2 t ) Y 1 ( 0 ) + e − λ 2 t Y 2 ( 0 ) )

进一步，考虑离散化

Y 1 ( t i ) = e − λ 1 ( t i − t i − 1 ) Y ( t i − 1 ) + 1 − e − 2 λ 1 t 2 λ 1 ε 1 , i

Y 2 ( t i ) = ( e − λ 1 ( t i − t i − 1 ) − e − λ 2 ( t i − t i − 1 ) ) Y 1 ( t i − 1 ) + e − λ 2 ( t i − t i − 1 ) Y 2 ( t i − 1 )   + λ 21 λ 1 − λ 2 ( 1 − e − 2 λ 1 ( t i − t i − 1 ) 2 λ 1 + 1 − e − 2 λ 2 ( t i − t i − 1 ) 2 λ 2 − 2 ( 1 − e − ( λ 1 + λ 2 ) ( t i − t i − 1 ) ) λ 1 + λ 2 ) ε 1 , i + 1 − e − 2 λ 2 t 2 λ 2 ε 2 , i

其中 ε 1 , i ∼ N ( 0 , 1 ) 与 ε 2 , i ∼ N ( 0 , 1 ) 相互独立。

将小波系数引入模型可得，

Y 1 ( t i ) = e − λ 1 ( t i − t i − 1 ) Y ( t i − 1 ) + 1 − e − 2 λ 1 ( t i − t i − 1 ) 2 λ 1 ( σ ^ 2 j ) − 1 2 d j , i (7)

Y 2 ( t i ) = ( e − λ 1 ( t i − t i − 1 ) − e − λ 2 ( t i − t i − 1 ) ) Y 1 ( t i − 1 ) + e − λ 2 ( t i − t i − 1 ) Y 2 ( t i − 1 )   + λ 21 λ 1 − λ 2 ( 1 − e − 2 λ 1 ( t i − t i − 1 ) 2 λ 1 + 1 − e − 2 λ 2 ( t i − t i − 1 ) 2 λ 2 − 2 ( 1 − e − ( λ 1 + λ 2 ) ( t i − t i − 1 ) ) λ 1 + λ 2 ) ( σ ^ 2 j ) − 1 2 d j , i   + 1 − e − 2 λ 2 t 2 λ 2 ( σ ^ 2 j ′ ) − 1 2 d j ′ , i (8)

其中 d j , i 与 d j ′ , i 是不同尺度j与 j ′ 的小波系数， σ ^ 2 j 与 σ ^ 2 j ′ 是对应的小波方差估计。

将上述(7)和(8)代入(6)，则

R ( t i ) = δ 0 + δ 1 Y 1 ( t i ) + δ 2 Y 2 ( t i ) (9)

从而在小波系数的驱动下， R ( t 0 ) → R ( t 1 ) → ⋯ → R ( t N ) = R ( T ) 。

注：在模型中若 W 1 ( t ) 和 W 2 ( t ) 不是互相独立的，且相关系数为 ρ ，那么我们可以构造新的Brown运动 W 3 ，满足 W 2 ( t ) = ρ W 1 ( t ) + 1 − ρ 2 W 3 ( t ) ，此时 W 1 ( t ) 和 W 3 ( t ) 是互相独立的，引入模型重新计算即可。若 λ 1 = λ 2 ，则 Y 1 ( t ) 保持不变，而 Y 2 ( t ) 有所不同，此处省略。

假定(4)式，(5)式与(6)式中参数 λ 1 = 0.2 ,   λ 2 = 0.1 ,   λ 21 = 0.05 ,   δ 0 = 0.2 ,   δ 1 = 0.2 ,   δ 2 = 0.2 ，取因子 Y 1 ( t ) 初始值 Y 1 ( 0 ) = 0.1 ， Y 2 ( t ) 初始值 Y 2 ( 0 ) = 0.05 ，均匀的时间间隔 Δ t = t i − t i − 1 = 0.01 ，可以得到基于小波系数 d 1 , i 和 d 2 , i 的典范两因子Vasicek模型的模拟图示，如图5所示。图5中，实线表示在小波系数的驱动下 R ( t ) 的模拟曲线，虚线表示 R ( t ) 的均值回归曲线。

图5. 基于小波系数的典范两因子Vasicek模型模拟

小波系数应用于金融模型仿真中的优势主要体现：(1) 小波系数具有多分辨率的特性，这使得它能够在不同的频率和时间尺度上模拟金融数据。(2) 小波系数驱动的金融数据，可通过系数提取数据特征，如趋势、波动性和突变点等。这些特征可以用于金融市场的分类和预测。从而为投资决策提供更加可靠的依据。(3) 适应性和灵活性：小波系数具有良好的适应性和灵活性，可以根据不同的金融数据和问题进行调整和优化。通过选择合适的小波基函数和分解层数，可以更好地适应金融数据的特性，并提取出更加有用的信息。这对于捕捉金融市场的复杂动态和趋势非常重要，尤其是在处理具有非平稳性和突变性的金融数据时，小波分析能够提供更好的结果。

综上所述，小波系数在金融模型中的应用具有多分辨率分析、特征提取和分类以及适应性和灵活性等优势。这些优势使得小波分析在金融领域得到了广泛的应用，并取得了良好的效果。相关内容在文献 [ 2 ] [ 3 ] [ 7 ] [ 9 ] [ 13 ] [ 14 ] 中有着更加详细的讨论。

基于提升小波变换，文中提出了一种新的生成标准正态分布的随机数方法，进一步给出了多维Brown运动生成算法，从而基于小波系数给出了若干金融模型的新的表示与模拟图示。基本思想的关键是利用一个分形整合过程的小波变换生成正态分布的随机数序列，进一步标准化。这种生成算法的优点在于随机数序列的均值为0，与方差为1，保持随机性的同时增强了不可预测性与不可重现性。另外，根据小波系数的衰减性，这种方法生成了带有衰减特性的随机数，其衰减性与小波函数的消失矩和分形整合过程的参数有关。同时，根据不同尺度或者不同时间，这种方法可以生成高维的渐近独立正态随机数，而运算速度由小波变换的快速分解重构算法来确定。进一步，通过小波系数生成的Brown运动，我们讨论了含小波系数的典范双因子Vasicek模型的表达式。另外，学者们利用小波方法讨论金融数据的多尺度分析 [ 13 ] ，基于Haar小波、样条小波应用于期权定价 [ 14 ] ，投资组合分析等等。小波分析已经成为金融数学中新的独特的一种方法。它也为我们提供了新的思路，值得我们进一步做深入的探索。

曹航宾,周小辉. 基于提升小波变换的布朗运动的生成算法Generated Algorithm for Brown Motion Based on Lifting Wavelet Transform[J]. 理论数学, 2024, 14(03): 201-210. https://doi.org/10.12677/pm.2024.143099