若函数 f ( t ) 在 ( − ∞ , + ∞ ) 上满足傅里叶积分定理的条件，则函数

F ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − j ω t d t

为 f ( t ) 的傅里叶变换，而称函数

f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( ω ) e j ω t d ω

为 F ( ω ) 的傅里叶变换。

(1) 微分形式的Gronwall不等式 [ 5 ]

设 η ( t ) 是 [ 0 , T ] 上的非负、绝对连续的函数，且对几乎处处的t满足微分不等式

η ′ ( t ) ≤ φ ( t ) η ( t ) + ψ ( t ) ,

这里 φ ( t ) 和 ψ ( t ) 是 [ 0 , T ] 上非负、可积的函数，那么对所有的 0 ≤ t ≤ T 有

η ( t ) ≤ e ∫ 0 t φ ( s ) d s [ η ( 0 ) + ∫ 0 t φ ( s ) d s ] .

(2) 积分形式的Gronwall不等式

设 ξ ( t ) 是 [ 0 , T ] 上的非负、绝对连续的函数，且对几乎处处的t和常数 C 1 , C 2 ≥ 0 满足积分不等式

ξ ( t ) ≤ C 1 ∫ 0 t ξ ( s ) d s + C 2 ,

那么对几乎处处的 0 ≤ t ≤ T 有

ξ ( t ) ≤ C 2 ( 1 + C 1 t e C 1 t ) .

性质1. 线性性质

若 f i ( x ) ∈ L 1 ( − ∞ , + ∞ ) ， a i ( i = 1 , 2 ) 为任意常数，则

( a 1 f 1 + a 2 f 2 ) ∧ = a 1 f ^ 1 + a 2 f ^ 2 .

性质2. 微商性质

用 C ( − ∞ , ∞ ) 表示 ( − ∞ , ∞ ) 上连续函数的全体构成的线性空间。若

则

( d f d x ) ∧ = i λ f ^ ( ξ ) .

推论1. 若 f ( x ) , f ′ ( x ) , ⋯ , f ( m ) ( x ) ∈ C ( − ∞ , ∞ ) ∩ L 1 ( − ∞ , ∞ ) ，则

( d m f d x m ) ∧ = ( i λ ) m f ^ ( ξ ) ( m ≥ 1 ) .

性质3. 乘多项式性质

若 f ( x ) , x f ( x ) ∈ L 1 ( − ∞ , ∞ ) ，则

( x f ( x ) ) ^ = i d d λ f ^ ( λ ) .

推论2. f ( x ) , x f ( x ) , ⋯ , x m f ( x ) ∈ L 1 ( − ∞ , ∞ ) ，则

( x m f ( x ) ) ^ = i m d m d λ m f ^ ( λ ) ( m ≥ 1 ) .

以上的性质及推论的证明参见文献 [ 5 ] 。

我们考虑线性化的Navier-Stokes-Poisson方程：

{ ρ t + d i v m = 0 , m t + ∇ ρ − μ Δ m − λ ∇ d i v m + 2 ∇ ( − Δ ) − 1 ρ = 0 ， ( ρ , m ) ( x , 0 ) = ( ρ 0 , m 0 ) ( x ) , x ∈ R 3 . (1)

方程(1)的傅里叶变换 G ^ ( ξ , t ) 的格林矩阵为

G ^ ( ξ , t ) = ( λ 1 e λ 2 t − λ 2 e λ 1 t λ 1 − λ 2 − i ( e λ 1 t − e λ 2 t λ 1 − λ 2 ) ξ t − i ( e λ 1 t − e λ 2 t λ 1 − λ 2 ) ξ e − μ | ξ | 2 t ( I − ξ ξ t | ξ | 2 ) + ξ ξ t | ξ | 2 λ 1 e λ 1 t − λ 2 e λ 2 t λ 1 − λ 2 ) + e λ 1 t − e λ 2 t λ 1 − λ 2 ( 0 0 − i ξ 1 2 | ξ | 2 0 ) , (2)

其特征值为

λ 1 ， 2 = − 1 2 ( μ + λ ) | ξ | 2 ± 1 2 ( μ + λ ) 2 | ξ | 4 − 4 ( | ξ | 2 + 2 ) , (3)

| ξ | ≠ 0 , 2 / ( μ + λ ) ，且 λ 1 + ( μ + λ ) | ξ | 2 = − λ 2 ， λ 2 + ( μ + λ ) | ξ | 2 = − λ 1 ， λ 1 λ 2 = | ξ | 2 + 2 。

证明：设初始数据 ( ρ 0 , m 0 ) ，将算子 Σ j ∂ ∂ x j 应用于(1)的第二个式子，且令 D = d i v m ，结合 ρ t = − d i v m ，有 Δ D = Δ d i v m = − Δ ρ t ，得到

D t + Δ ρ = ( μ + λ ) Δ D + 2 ρ , (4)

首先结合(1)的第一个式子有 ( μ + λ ) Δ D = ( μ + λ ) Δ d i v m = − ( μ + λ ) Δ ρ t ，得到：

ρ t t = − D t = Δ ρ + ( μ + λ ) Δ ρ t − 2 ρ , (5)

即：

ρ t t − Δ ρ − ( μ + λ ) Δ ρ t + 2 ρ = 0. (6)

对(6)与 ρ t = − d i v m 应用傅里叶变换性质及推论有：

{ ρ ^ t t + ( μ + λ ) | ξ | 2 ρ ^ t + | ξ | 2 ρ ^ t + 2 ρ ^ = 0 , ρ ^ ( ξ , 0 ) = ρ ^ 0 ( ξ ) , ρ ^ t ( ξ , 0 ) = − i ξ ⋅ m ^ 0 ( ξ ) . (7)

因为 λ 1 ( ξ ) , λ 2 ( ξ ) 是其相应的根，所以可求其通解

ρ ^ ( ξ , t ) = A ( ξ ) e λ 2 ( ξ ) t + B ( ξ ) e λ 1 ( ξ ) t , (8)

因此，当 λ 1 ≠ λ 2 时，有

{ ρ ^ ( ξ , 0 ) = A ( ξ ) + B ( ξ ) = ρ ^ 0 ( ξ ) , ρ ^ t ( ξ , 0 ) = λ 2 ( ξ ) A ( ξ ) + λ 1 ( ξ ) B ( ξ ) = − i ξ ⋅ m ^ 0 ( ξ ) , (9)

由 ( 9 ) 1 × λ 2 − ( 9 ) 2 、 ( 9 ) 1 × λ 1 − ( 9 ) 2 得到

A ( ξ ) = λ 1 ρ ^ 0 + i ξ ⋅ m ^ 0 λ 1 − λ 2 , B ( ξ ) = − i ξ ⋅ m ^ 0 − λ 2 ρ ^ 0 λ 1 − λ 2 , (10)

将(10)带回(8)整理有

ρ ^ = ( λ 1 e λ 2 t − λ − e λ 1 t λ 1 − λ 2 ) ρ ^ 0 ( ξ ) − i ( e λ 1 t − e λ 2 t λ 1 − λ 2 ) ξ ⋅ m ^ 0 ( ξ ) . (11)

其次，为了计算 m ^ ，对(1)的第二个式子直接运用傅里叶变换的性质及推论，有

m ^ t + μ | ξ | 2 m ^ + λ ξ ξ ⊤ m ^ + i ξ ρ ^ + 2 i ξ | ξ | 2 ρ ^ = 0 ,

即

m ^ t = ( − μ | ξ | 2 − λ ξ ξ ⊤ ) m ^ − i ξ ( 1 + 2 i | ξ | − 2 ) ρ ^ , (12)

之后我们引入平行于 ξ 的分量 a = ξ ⋅ m ^ | ξ | 和正交于 ξ 的分量b，再将其单位化有

m ^ ( ξ , t ) = a ( ξ , t ) ξ | ξ | + b ( ξ , t ) . (13)

对(13)求导，结合(12)得

a t ( ξ , t ) + b t ( ξ , t ) | ξ | ξ = − ( μ + λ ) | ξ | 2 a − i ( 1 + 2 | ξ | − 2 ) | ξ | ρ ^ − μ | ξ | 2 b ⋅ | ξ | ξ ,

即

{ a t = − ( μ + λ ) | ξ | 2 a − i ( 1 + 2 | ξ | − 2 ) | ξ | ρ ^ , b t = − μ | ξ | 2 b , (14)

由(13)知 b 0 = m ^ 0 − a 0 ξ | ξ | = m ^ 0 ( I − ξ ⋅ ξ t | ξ | 2 ) 。

对(14)应用Gronwall不等式可得

b ( ξ , t ) = e − μ | ξ | 2 t ( I − ξ ξ t | ξ | 2 ) m ^ 0 , (15)

a ( ξ , t ) = e − ( μ + λ ) | ξ | 2 t [ a ( ξ , 0 ) − i ( 1 + 2 | ξ | − 2 ) | ξ | ∫ 0 t e ( μ + λ ) | ξ | 2 s ρ ^ ( ξ , s ) d s ] , (16)

将(11)带入(16)，再结合 λ 1 + ( μ + λ ) | ξ | 2 = − λ 2 ， λ 2 + ( μ + λ ) | ξ | 2 = − λ 1 ， λ 1 λ 2 = | ξ | 2 ， b ⋅ ξ = 0 有

a ( ξ , t ) = e − ( μ + λ ) | ξ | 2 t [ a ( ξ , 0 ) − i ( 1 + 2 | ξ | − 2 ) | ξ | ∫ 0 t e ( μ + λ ) | ξ | 2 t [ λ 1 e λ 2 t − λ 2 e λ 1 t λ 1 − λ 2 ρ ^ 0 ( ξ ) − i ( e λ 1 t − e λ 2 t λ 1 − λ 2 ) ξ ⋅ m ^ 0 ( ξ ) ] d t ] = e − ( μ + λ ) | ξ | 2 t a ( ξ , 0 ) − i ( 1 + 2 | ξ | − 2 ) | ξ | e − ( μ + λ ) | ξ | 2 t ∫ 0 t λ 1 e − λ 1 t − λ 2 e − λ 2 t λ 1 − λ 2 ρ ^ 0 ( ξ ) − i e − λ 2 t − e − λ 1 t λ 1 − λ 2 ξ ⋅ m ^ 0 ( ξ ) d t = e − ( μ + λ ) | ξ | 2 t a ( ξ , 0 ) − i ( 1 + 2 | ξ | − 2 ) | ξ | − e − λ 2 t + e − λ 1 t λ 1 − λ 2 ρ ^ 0 − i − λ 2 − 1 e λ 1 t − ( − λ 1 − 1 ) e λ 2 t λ 1 − λ 2 ⋅ i ( 1 + 2 | ξ | − 2 ) | ξ | ⋅ ξ ⋅ m ^ 0 ( ξ )     + i ( 1 + 2 | ξ | − 2 ) | ξ | ⋅ i ⋅ 1 λ 1 λ 2 ξ ⋅ m ^ 0 ( ξ ) ⋅ e − ( μ + λ ) | ξ | 2 t = − i ( 1 + 2 | ξ | − 2 ) | ξ | e λ 1 t − e λ 2 t λ 1 − λ 2 ρ ^ 0 + λ 1 e λ 1 t − λ 2 e λ 2 t λ 1 − λ 2 ⋅ ξ ⋅ m ^ 0 | ξ | ,

因此

a ( ξ , t ) = − i ( 1 + 2 | ξ | − 2 ) | ξ | e λ 1 t − e λ 2 t λ 1 − λ 2 ρ ^ 0 + λ 1 e λ 1 t − λ 2 e λ 2 t λ 1 − λ 2 ⋅ ξ ⋅ m ^ 0 | ξ | , (17)

最后将(17)、(15)带回(13)得到最终结果：

m ^ ( ξ , t ) = [ − i ( 1 + 2 | ξ | − 2 ) ⋅ e λ 1 t − e λ 2 t λ 1 − λ 2 ⋅ ρ ^ 0 | ξ | + λ 1 e λ 1 t − λ 2 e λ 2 t λ 1 − λ 2 ⋅ ξ ⋅ m ^ 0 | ξ | ] ξ | ξ | + e − μ | ξ | 2 t ( I − ξ ξ t | ξ | 2 ) m ^ 0 = ( − i ⋅ e λ 1 t − e λ 2 t λ 1 − λ 2 − 2 i | ξ | − 2 ⋅ ξ ⋅ e λ 1 t − e λ 2 t λ 1 − λ 2 ) ρ ^ 0 + [ λ 1 e λ 1 t − λ 2 e λ 2 t λ 1 − λ 2 ⋅ ξ ξ t | ξ | 2 + e − μ | ξ | 2 t ( I − ξ ξ t | ξ | 2 ) ] m ^ 0 ,

得证

G ^ ( ξ , t ) = ( λ 1 e λ 2 t − λ 2 e λ 1 t λ 1 − λ 2 − i ( e λ 1 t − e λ 2 t λ 1 − λ 2 ) ξ t − i ( e λ 1 t − e λ 2 t λ 1 − λ 2 ) ξ e − μ | ξ | 2 t ( I − ξ ξ t | ξ | 2 ) + ξ ξ t | ξ | 2 λ 1 e λ 1 t − λ 2 e λ 2 t λ 1 − λ 2 ) + e λ 1 t − e λ 2 t λ 1 − λ 2 ( 0 0 − i ξ 1 2 | ξ | 2 0 ) .

求出格林矩阵的傅里叶变换后，就可以得到其半群的表达式，即傅里叶变换的精确表达式，为了能够建立NSP方程中 L 2 时间衰减率，需要对半群分别进行低频和高频的分析，所以我们必须掌握求傅里叶空间中格林函数的公式和对其元素的渐近分析的方法。

我们考虑线性化Navier-Stokes-Korteweg的方程：

{ ρ t + d i v m = 0 , m t − μ   Δ m − ( μ + ν ) ∇ d i v m + ∇ ρ − κ   ∇ Δ ρ = 0 , ( ρ , m ) ( x , 0 ) = ( ρ 0 , m 0 ) ( x ) , x ∈ R 3 . (18)

方程(18)的傅里叶变换 G ^ ( ξ , t ) 的格林矩阵为

G ^ ( ξ , t ) = ( λ 1 e λ 2 t − λ 2 e λ 1 t λ 1 − λ 2 − i ξ t ( e λ 1 t − e λ 2 t ) λ 1 − λ 2 − i ξ ( 1 + κ | ξ | 2 ) ( e λ 1 t − e λ 2 t ) λ 1 − λ 2 e − μ | ξ | 2 t ( I − ξ ξ t | ξ | 2 ) + ξ ξ t | ξ | 2 λ 1 e λ 1 t − λ 2 e λ 2 t λ 1 − λ 2 ) ,

其中

λ 1 ， 2 = − 1 2 ( 2 μ + ν ) | ξ | 2 ± 1 2 i 4 ( 1 + κ | ξ | 2 ) | ξ | 2 − ( 2 μ + ν ) 2 | ξ | 4 ,

同样， | ξ | ≠ 0 , 2 / ( 2 μ + ν ) ，且

λ 1 + ( 2 μ + ν ) | ξ | 2 = − λ 2 ,   λ 2 + ( 2 μ + ν ) | ξ | 2 = − λ 1 ,   λ 1 λ 2 = ( 1 + κ | ξ | 2 ) | ξ | 2

证明：与上述矩阵分析方法相同，将算子 Σ j ∂ ∂ x j 应用于(18)的第二个式子，得到

D t + Δ ρ = ( 2 μ + ν ) Δ D + κ Δ 2 ρ , (19)

其中 D = d i v m ，由(18)的第一个式子有 ( 2 μ + ν ) Δ D = ( 2 μ + ν ) Δ d i v m = − ( 2 μ + ν ) Δ ρ t ，得到：

ρ t t − Δ ρ − ( 2 μ + ν ) Δ ρ t + κ Δ 2 ρ = 0 , (20)

由性质及推论有：

{ ρ ^ t t + ( 2 μ + ν ) | ξ | 2 ρ ^ t + | ξ | 2 ρ ^ + κ | ξ | 4 ρ ^ = 0 , ρ ^ ( ξ , 0 ) = ρ ^ 0 ( ξ ) , ρ ^ t ( ξ , 0 ) = − i ξ ⋅ m ^ 0 ( ξ ) . (21)

λ 1 ( ξ ) , λ 2 ( ξ ) 是其相应的根，所以其通解可写为：

ρ ^ ( ξ , t ) = A ( ξ ) e λ 2 ( ξ ) t + B ( ξ ) e λ 1 ( ξ ) t , (22)

当 λ 1 ( ξ ) ≠ λ 2 ( ξ ) 时，有

{ ρ ^ ( ξ , 0 ) = A ( ξ ) + B ( ξ ) = ρ ^ 0 ( ξ ) , ρ ^ t ( ξ , 0 ) = λ 2 ( ξ ) A ( ξ ) + λ 1 ( ξ ) B ( ξ ) = − i ξ ⋅ m ^ 0 ( ξ ) , (23)

因此

A ( ξ ) = λ 1 ρ ^ 0 + i ξ ⋅ m ^ 0 λ 1 − λ 2 , B ( ξ ) = − i ξ ⋅ m ^ 0 − λ 2 ρ ^ 0 λ 1 − λ 2 , (24)

将(24)带入(22)有

ρ ^ = λ 1 e λ 2 t − λ − e λ 1 t λ 1 − λ 2 ρ ^ 0 ( ξ ) − i e λ 1 t − e λ 2 t λ 1 − λ 2 ξ ⋅ m ^ 0 ( ξ ) . (25)

同(12)，为了计算 m ^ ，对(18)的第二个式子进行傅里叶变换，有

m ^ t = ( − μ | ξ | 2 I − ( μ + ν ) ξ ξ t ) m ^ − i ξ ( 1 + κ | ξ | 2 ) ρ ^ , (26)

同样，我们引入平行于 ξ 的分量 a = ξ ⋅ m ^ | ξ | 和正交于 ξ 的分量b，再将其单位化有

m ^ ( ξ , t ) = a ( ξ , t ) ξ | ξ | + b ( ξ , t ) . (27)

对(27)求导结合(26)有

{ a t = − ( 2 μ + ν ) | ξ | 2 a − i ξ ( 1 + κ | ξ | 2 ) ρ ^ , b t = − μ | ξ | 2 b , (28)

对(28)应用Gronwall不等式得到

b ( ξ , t ) = e − μ | ξ | 2 t ( I − ξ ξ t | ξ | 2 ) m ^ 0 , (29)

a ( ξ , t ) = e − ( 2 μ + ν ) | ξ | 2 t [ a ( ξ , 0 ) − i ( 1 + κ | ξ | 2 ) | ξ | ∫ 0 t e ( 2 μ + ν ) | ξ | 2 s ρ ^ ( ξ , s ) d s ] , (30)

将(25)带入(30)，且 λ 1 + ( 2 μ + ν ) | ξ | 2 = − λ 2 ， λ 2 + ( 2 μ + ν ) | ξ | 2 = − λ 1 ， λ 1 λ 2 = ( 1 + κ | ξ | 2 ) | ξ | 2 有：

a ( ξ , t ) = − i ( 1 + κ | ξ | 2 ) | ξ | e λ 1 t − e λ 2 t λ 1 − λ 2 ρ ^ 0 + λ 1 e λ 1 t − λ 2 e λ 2 t λ 1 − λ 2 ⋅ ξ ⋅ m ^ 0 | ξ | , (31)

最后将(31)、(29)带回(27)有

m ^ ( ξ , t ) = [ − i ( 1 + κ | ξ | 2 ) ⋅ e λ 1 t − e λ 2 t λ 1 − λ 2 ⋅ ρ ^ 0 | ξ | + λ 1 e λ 1 t − λ 2 e λ 2 t λ 1 − λ 2 ⋅ ξ ⋅ m ^ 0 | ξ | ] ξ | ξ | + e − μ | ξ | 2 t ( I − ξ ξ t | ξ | 2 ) m ^ 0 = − i ( 1 + κ | ξ | 2 ) ( e λ 1 t − e λ 2 t ) λ 1 − λ 2 ρ ^ 0 + [ λ 1 e λ 1 t − λ 2 e λ 2 t λ 1 − λ 2 ⋅ ξ ξ t | ξ | 2 + e − μ | ξ | 2 t ( I − ξ ξ t | ξ | 2 ) ] m ^ 0 .

通过计算Navier-Stokes-Korteweg线性方程格林函数的傅里叶变换可得到 ρ 、m的表达式，为后面计算上、下界衰减估计做好准备。其应用事例参见文献 [ 6 ] 。