本文对带有PT对称势三阶五阶幂律非线性薛定谔方程提出了关于参数和势函数反演的两类反问题。对于参数反演问题，我们分别采用PINNs (Physics Informed Neural Networks)和传统的结合有限差分法与优化算法求解的方法进行比较。计算结果显示，在求解反问题时，传统方法每步参数优化需要数值求解非线性薛定谔方程，计算量较大。而PINNs的方法无需重复求解薛定谔方程，计算效率更高。对于PT对称势函数反演问题，通过在PINNs中嵌入自适应基函数，从而反演得到PT对称势。数值实验显示PINNs在算法计算反问题效率上优于传统微分数值求解和优化相结合的方法。

PT对称势，非线性薛定谔方程，PINNs，参数优化，反问题

Kun Zhang

School of Science, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou Zhejiang

Received: Dec. 1^st, 2023; accepted: Mar. 22^nd, 2024; published: Mar. 29^th, 2024

This paper proposes two types of inverse problems about parameter and potential function inversion for the third-order and fifth-order power-law nonlinear Schrödinger equation with PT-symmetric potential. For the parameter inversion problem, PINNs are used respectively, compared with the traditional method that combines the finite difference and optimization algorithms to solve the problem. The calculation results show that when solving the inverse problem, the traditional method needs to numerically solve the nonlinear Schrödinger equation for each step of parameter optimization, which requires a large amount of calculation. The PINNs method does not require repeatedly solving the Schrödinger equation, and the calculation efficiency is higher. For the inversion problem of the PT-symmetric potential function, the PT-symmetric potential is inverted by embedding adaptive basis functions in PINNs. Numerical experiments show that PINNs are superior to traditional methods that combine differential numerical solving and optimization in algorithmic calculation of inverse problems.

Keywords:PT-Symmetric, Nonlinear Schrödinger Equation, PINNs, Parameter Inversion, Inverse Problems

Copyright © 2024 by author(s) and beplay安卓登录

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

为了解释光学系统中某些处于平衡状态的不寻常现象，例如方向依赖性、非局域非线性效应和光学相位变换点，Bender和Boettcher [ 1 ] 在1998年提出了PT对称势非线性薛定谔方程(Nonlinear Schrödinger Equation, NLSE)的两类反问题对称性的概念。将PT对称势NLSE的两类反问题对称势引入非线性薛定谔方程，可以描述光子在介质中传播时由于光的非线性效应而产生的光孤子的演化现象。光孤子是一种特殊的光波现象，具有保持形状和能量的稳定性，在光电信息处理、光存储、光计算等领域具有重要的应用。通过控制和操纵光孤子的产生、传播和相互作用，可以实现信息传输、信号处理和光学计算等功能，这在现代光学中具有重要意义 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] 。

从20世纪80年代开始，学者们开展了非线性薛定谔方程(NLSE)的反问题研究，旨在通过已知的输入波场来推断NLSE中的非线性系数和势函数。这项研究为新型光学器件的设计提供了理论基础。在NLSE中，色散系数和非线性项系数的反演可以揭示光子的非线性传输过程，而势函数的反演可以提供量子系统实际的势阱形状信息，影响整个量子系统的性质和动力学行为。目前，对NLSE的反问题研究主要集中在数值理论和方程参数优化两个方面。在数值理论方面，Hogan等 [ 7 ] 通过分析NLSE的小幅度波束解，采用变分法确定解的非线性相位，从而实现了对三次非线性项参数的反演。Murphy [ 8 ] 提出了一种基于散射变分原理的方法来研究NLSE中衍射色散系数的反演问题，为理解NLSE的散射映射与未知系数之间的关系提供了新思路。在方程参数优化方面，S. A. Avdonin等 [ 9 ] 通过NLSE的波动系数演化数据，构建了最小二乘优化问题，以恢复NLSE中的势函数V(x)。Baudouin L.等 [ 10 ] 通过分析求解方法，推导出变分公式，并在严格的理论证明中表明其在特定条件下具有唯一的稳定解，并用于研究NLSE中势函数的确定问题。然而，上述关于NLSE反问题的研究都是从理论分析的角度展开的，并没有给出对应这一反问题的数值求解算法。因此，开发更有效的数值求解算法对于光学领域中的NLSE反问题至关重要。

近年来，新兴的神经网络方法为NLSE的正问题和反问题求解提供了新的途径 [ 11 ] 。例如，Raiss等 [ 12 ] 提出了基于神经网络的物理约束神经网络方法(Physics-Informed Neural Networks, PINNs)。PINNs的核心思想是利用神经网络来逼近NLSE的解，并将物理方程作为附加的约束条件，从而在单一训练过程中同时求解方程和估计参数。这种方法的优点在于避免了传统数值方法中的重复求解方程的步骤，从而提高计算效率。另外，Zhou等 [ 13 ] 使用深度神经网络解决了非线性薛定谔方程及其逆问题，来确定PT对称调谐势下的系统参数。Song等 [ 14 ] 则利用PINNs将PT势函数的先验信息引入损失函数中，以获得同时满足先验和给定数据信息的势函数。然而，如果没有势函数的先验信息，目前尚不清楚这种方法是否仍然有效，还需要进一步验证。需要指出的是，尽管已有研究对具有PT对称势的反问题进行了探索，但现有的数值求解方法的普适性仍然不够强，计算效率也相对较低，这两个方面仍有改进的空间。特别是对于复杂的PT势函数反演问题，在没有先验信息的情况下求解依然存在困难。

在具有PT对称势的NLSE方程中，涉及色散系数、衍射系数以及相应的势函数。其中，色散系数是影响光纤通信质量的一个主要因素，光纤色散会导致脉冲展宽，造成光信号畸变，影响传输距离的长短。衍射系数则是刻画非线性光学效应中介质的非线性偏振率，它决定了光波在传播时对自身产生的影响效应，使光波的包络发生聚焦或散焦。因此，研究色散系数和衍射系数平衡规律，以及具有良好性质的PT对称势，有助于理解光孤子在非线性光学系统中的稳定性。

本文则对带有PT对称势的NLSE提出了两类反问题。其中，第一类问题是色散系数和衍射系数的反演问题：通过已知的输入数据和势函数来推断，推断NLSE中的色散系数和非线性系数。第二类问题则是PT对称势函数的反演问题：通过部分测量数据和给定色散系数和衍射系数，恢复NLSE中的势函数，即量子系统中的势阱形状信息。这两类反问题的研究对于我们更好地理解带有PT对称势的NLSE中的非线性现象和光传播系统的性质具有重要意义。同时，它们也为光学器件设计和量子光学领域的进展提供了理论基础。进一步，在第一种有关反射系数和衍射系数的反问题的求解中，我们应用PINNs深度学习方法和经典粒子群算法(PSO)结合有限差分数值求解的方法分别进行求解，以期比较这两种算法对于这类反问题求解的计算效率。而对于第二种有关势函数的反问题中，我们提出一种带有自适应基函数的PINNs算法，以期通过在自适应基函数中引入sigmod和tanh函数来提高PINNs算法的计算精度。值得注意的是这种带有自适应基函数的PINNs算法不需要指定势函数的形式，也不需要提供先验信息，即可求解满足给定条件的势函数。

本文结构如下。在第2节中对带有PT对称势的三次和五次幂律NLSE分别提出两类反问题。第3节我们给出了两类反问题对应的损失函数，提出利用物理信息神经网络(PINNs)深度学习方法来求解所提出的两类反问题。第4节中给出数值实验。第5节中我们对本文的主要工作和贡献进行总结。

在本章中，我们先通过具有PT对称势NLSE正问题来构建两类反问题。

为了方便对散射–衍射系数反问题(3)和势函数反问题(4)进行求解，我们先根据NLSE方程(1)来构建一个新的函数。将复波函数u分解为实部p和虚部q，让 u ( x , z ) = p ( x , z ) + i q ( x , z ) ，其中 p ( x , z ) 和 q ( x , z ) 都是实值函数。引入一个隐函数 u ^ ( x , z ) ，定义函数 F ( x , z ) 如下：

F ( x , z ) : = i ∂ u ^ ∂ z + β 1 ∂ 2 u ^ ∂ x 2 + γ 3 | u ^ | 2 u ^ + γ 5 | u ^ | 4 u ^ + v ( x ) u ^ , (5)

其中，隐函数 ( p ^ ， q ^ 分别表述实部和虚部)。又令 F ( x , z ) = i F p ( x , z ) − F q ( x , z ) ( )满足：

针对NLSE的均方误差损失函数

由于 u ( x i , z i ) 满足薛定谔方程，即 F p ( x j , z j ) = 0 ， F q ( x j , z j ) = 0 。进一步考虑到部分样本点 ( x i , z i ) 位于边界上，记这些点为 ，因为(1)是周期性边界条件，则有 ψ ^ ( − L , z B j ) − ψ ^ ( L , z B j ) = 0 。即构造损失函数如下：

TL = TL I R + TL E + TL B (6)

其中

TL I R = 1 N ∑ j = 1 N ( | p ^ ( x j , z j ) − p ( x j , z j ) | 2 + | q ^ ( x j , z j ) − q ( x j , z j ) | 2 ) , TL E = 1 N ∑ j = 1 N ( | F p ( x j , z j ) | 2 + | F q ( x j , z j ) | 2 ) , TL B = 1 N B ∑ j = 1 N B | ψ ^ ( − L , z B j ) − ψ ^ ( L , z B j ) | 2               = 1 N B ∑ j = 1 N B ( | p ^ ( − L , z B j ) − p ^ ( L , z B j ) | 2 + | q ^ ( − L , z B j ) − q ^ ( L , z B j ) | 2 )

表示 F ( x , z ) 上时空区域内被采样N个点； { ψ ^ ( ± L , z B j ) } j = 1 N B 表示采样点中N_B边界数据采样点；内部残差项 TL I R 计算内部点的损失， F ( x , z ) 方程偏差项 TL E 计算方程误差，边界条件偏差项 TL B 计算边界点的损失。

将原来(3)和(4)提出的反问题，转化为求解损失函数TL的最小值。得(3)对应的反问题

min β , γ 3 , γ 5 ∑ i = 1 N [ u ( x i , z i ) − u i ] 2 ⇔ min β , γ 3 , γ 5 ( TL I R + TL E + TL B ) (7)

(4)对应的反问题

min ϑ ∑ i = 1 N [ u ( x i , z i , ϑ ) − u i ] 2 ⇔ min ϑ ( TL I R + TL E + TL B ) (8)

通过最小化损失函数(7)，求出NLSE方程的参数 θ = { β 1 , γ 3 , γ 5 } ；通过最小化损失函数(8)，求出NLSE方程的PT对称势函数 。当 L O S S < ε (其中 是误差容限)时，输出预测值 θ 或 ϑ ( x ) (见图1)，利用PINNs反演NLSE中PT对称势的参数的主要步骤如表1所示。

图1. PINNs深度学习框架用于PT对称势场的反问题

表1. PINNs方法学习(5)中的 θ 或PT对称势 ϑ ( x )

假设(1)的参数 ， γ 3 = 1 和 ，以及PT对称势选择

V ( x ) = 0.7 ∗ sech 2 ( x ) + 1.7161 ∗ sech 4 ( x ) ,     W ( x ) = 0.3 ∗ sech ( x ) tanh ( x )

则式(1)的精确解为：

u ( x , z ) = 2 − 0.7 + 0.3 2 / 9 γ 3 sech ( x ) exp { i ( z + 0.3 3 arctan ( sinh x ) ) }

根据精确解，我们在区域 x ∈ [ − 2 , 2 ] ,   z ∈ [ 0 , 2 ] 内选取出测量数据。将解的实部和虚部分别表示为 ，其中 p ( x , z ) 和 q ( x , z ) 由两个大小为256 × 201矩阵表示。这些采样点的数据

存储在NLSE.mat文件中，以便导入到PINNs模型中。我们使用拉丁超立方体(LHS)采样策略生成模型训练所需的采样点数据，接下来以此为例子验证提出的两种反问题的求解方法。

在本文中，我们提出了带有PT对称势的NLSE的参数反演和势函数反演两类反问题，并采用PINNs方法求解。计算结果显示，PINNs具有较强的泛化能力，可以实现两类反问题的反演。

在对NLSE方程系数进行反演时，我们将PINNs方法和粒子群算法进行了比较。传统的PSO算法在每次更新参数时，都需要利用有限差分法重新求解一次NLSE方程，因此效率较低，计算速度慢。当需要反演的系数过多时，容易陷入局部最优解。而PINNs方法在求解反问题时比传统方法要快，因为它不需要反复计算NLSE方程的数值解，所需计算时间更短。PINNs还可以用于识别物理方程中的隐藏参数，以及分析不同参数之间的非线性依赖关系。

在反演具有PT对称性的势函数时，我们构造了带有自适应基函数的PINNs，该方法无需指定势函数的具体形式，也不依赖于任何先验模型。自适应基函数的选取使得PINNs能够在训练过程中自动调整基函数的形式，提高了反演PT势函数的精度和准确性，为光学领域中NLSE反问题研究提高了新的思路和方法。未来，我们还可以对PINNs算法进行存在性、唯一性、收敛性和稳定性分析，并利用PINNs算法求解更高维或更高阶的NLSE反问题。

张 坤. 带有PT对称势的非线性薛定谔方程的两类反问题Two Types of Inverse Problems of the Nonlinear Schr?dinger Equation with PT Symmetric Potentials[J]. 理论数学, 2024, 14(03): 117-134. https://doi.org/10.12677/pm.2024.143091

下面给出带有初边值条件的NLSE方程(1)的有限差分格式。

为了用差分格式求解(1)~(2)，将求解区域 [ − L , L ] × [ 0 , Z ] 作剖分，取正整数 M , N 。将 [ − L , L ] 作M等分，将 [ 0 , Z ] 作N等分。 h = 2 L / M ， τ = Z / N ； x p = x l + p h ， 0 ≤ p ≤ M ； z n = n τ ， 0 ≤ n ≤ N ； Ω h = { x p | 0 ≤ p ≤ M } ， Ω τ = { z j | 0 ≤ j ≤ N } ， Ω h τ = Ω h × Ω τ ，记 ， z j + 1 2 = 1 2 ( z j + z j + 1 ) ，令

记

设 υ ∈ V h ，引进如下记号：

δ x 2 υ p j = 1 h x 2 ( υ p − 1 j − 2 υ p j + υ p + 1 j ) .

记

S τ = { ω | ω = ( ω 0 , ω 1 , ⋯ , ω N ) 是   Ω τ     上 的 网 格 函 数 }

设 引进如下记号：

ω p j + 1 2 = 1 2 ( ω p j + 1 + ω p j ) ,   ω p j ¯ = 1 2 ( ω p j + 1 + ω p j ) , δ z ω p j + 1 2 = 1 τ ( ω p j + 1 − ω p j ) ,   Δ z ω p j = 1 2 τ ( ω p j + 1 − ω p j ) .

设 u = { u p j | 0 ≤ p ≤ M , 0 ≤ j ≤ N } 为 Ω h τ 上的网格函数，则 v = { u p j | 0 ≤ p ≤ M } 为 Ω h 上的网格函数， 为 上的网格函数。

在点 ( x p , z 1 2 ) 处考虑(1)，于是有

i u z ( x p , z 1 2 ) + β 1 u x x ( x p , z 1 2 + γ 3 | u ( x p , z 1 2 ) | 2 u ( x p , z 1 2 ) )   + γ 5 | u ( x p , z 1 2 ) | 4 u ( x p , z 1 2 ) + v p u ( x p , z 1 2 ) = 0,   p ∈ I M 0 (11)

由泰勒公式展开

∂ 2 ∂ x 2 u ( x p , z j + 1 2 ) = δ x 2 U ( x p , z j + 1 2 ) + O ( h 2 ) , p ∈ I M 0 , j ∈ T N 0 , (12)

∂ 2 ∂ x 2 u ( x p , z j + 1 2 ) = δ x 2 U ( x p , z j + 1 2 ) + O ( h 2 ) , p ∈ I M 0 , j ∈ T N 0 , (13)

由微分公式可得

i δ z U p 1 2 + β 1 δ x 2 U p 1 2 + ( γ 3 | u ¯ p | 2 + γ 5 | u ¯ p | 4 + v p ) U p 1 2 = R p 0 ,   p ∈ I M 0 (14)

其中

u ¯ p = u ( x p ,0 ) + τ 2 u z ( x p ,0 ) ,   p ∈ I M 0

u z ( x p , 0 ) 可以通过方程(1)结合初值条件(2)可求得。在点 ( x p , z j ) 处考虑(1)，有

i u z ( x p , z j ) + β 1 u x x ( x p , z j ) + γ 3 | u ( x p , z j ) | 2 u ( x p , z j )   + γ 5 | u ( x p , z j ) | 4 u ( x p , z j ) + v p u ( x p , z 1 2 ) = 0,   p ∈ I M 0 ,   j ∈ T N 0 (15)

将(12)和(13)代入(15)中，可得

i Δ z U p j + β 1 δ x 2 U p j ¯ + ( γ 3 | U p j | 2 + γ 5 | U p j | 4 + v p ) U p j ¯ = R p j ,   p ∈ I M 0 ,   j ∈ T N 0 (16)

| δ z R p j | ≤ C 2 ( h 2 + τ 2 ) ,   p ∈ I M 0 ,   2 ≤ j ≤ N − 2

由初边值条件(2)，并且忽略(14)和(16)小量项，对问题(1)~(2)建立如下线性差分格式

i δ z u p 1 2 + β 1 δ x 2 u p 1 2 + ( γ 3 | u ¯ p | 2 + γ 5 | u ¯ p | 4 + v p ) u p 1 2 = 0,   p ∈ I M 0 , i Δ z u p j + β 1 δ x 2 u p j ¯ + ( γ 3 | u p j | 2 + γ 5 | u p j | 4 + v p ) u p j ¯ = 0,   p ∈ I M 0 , j ∈ T N 0 , u p 0 = ϕ ( x p ) ,   p ∈ I M 0 , u 0 j = ψ ( 0, z j ) ,   u M x j = ψ ( M , z j ) ,   j ∈ T N (17)

首先根据初始和边界条件计算 u 1 的值，记

u k = ( u 0 k , u 1 k , ⋯ , u M − 1 k , u M k )

由初值条件可知第0层上的值 u 0 ，根据差分格式

i δ z U p 1 2 + β 1 δ x 2 U p 1 2 + ( γ 3 | u ¯ p | 2 + γ 5 | u ¯ p | 4 + v p ) U p 1 2 = 0,   p ∈ I M 0

则关于第1层值的差分格式为

在(18)中，将第1层写在方程左边，第0层写在方程右边，令

a = β 1 2 h 2 , b = i τ − β 1 h 2 + γ 3 2 | ϕ ( x p ) + τ 2 u z ( x p ,0 ) | 2 + γ 5 2 | ϕ ( x p ) + τ 2 u z ( x p ,0 ) | 4 + v p 2 , c = i 2 τ + β 1 h 2 − γ 3 2 | ϕ ( x p ) + τ 2 u z ( x p ,0 ) | 2 − γ 5 2 | ϕ ( x p ) + τ 2 u z ( x p ,0 ) | 4 − v p 2

可写成如下矩阵形式

( b a a b a ⋱ ⋱ ⋱ a b a a b ) × ( u 1 1 u 2 1 ⋮ u M − 2 1 u M − 1 1 ) + ( a u 0 1 0 ⋮ 0 a u M 1 ) = ( c − a − a c − a ⋱ ⋱ ⋱ − a c − a − a c ) × ( u 1 0 u 2 0 ⋮ u M − 2 0 u M − 1 0 ) + ( − a u 0 0 0 ⋮ 0 − a u M 0 ) ,

求解以上代数系统，可以得到关于u的第1层数值解 。其中 通过 结合初值条件可求得。

计算出 u 1 后，接下来我们建立u的三层格式。假设已确定出了第 层的值 u j − 1 , u j 。根据差分格式为

i Δ z u p j + β 1 δ x 2 u p j ¯ + γ 3 | u p j | 2 u p j ¯ + γ 5 | u p j | 4 u p j ¯ + v p u p j = 0, p ∈ I M 0 , j ∈ T N 0 ,

则关于第 j + 1 层值的差分格式为

令

f = β 1 2 h 2 , e = i 2 τ − β 1 h 2 + γ 3 2 | u p j | 2 + γ 5 2 | u p j | 4 + v p 2 , f = i 2 τ + β 1 h 2 − γ 3 2 | u p j | 2 − γ 5 2 | u p j | 4 − v p 2

将第 层写在方程左边， j + 1 层及j层写在方程右边，可写成如下矩阵形式

( e d d e d ⋱ ⋱ ⋱ d e d d e ) × ( u 1 j + 1 u 2 j + 1 ⋮ u M − 2 j + 1 u M − 1 j + 1 ) + ( d u 0 j + 1 0 ⋮ 0 d u M j + 1 ) = ( f − d − d f − d ⋱ ⋱ ⋱ − d f − d − d f ) × ( u 1 j − 1 u 2 j − 1 ⋮ u M − 2 j − 1 u M − 1 j − 1 ) + ( − d u 0 j − 1 0 ⋮ 0 − d u M j − 1 ) (19)

由此我们得到求解本文中NLSE方程的有限差分格式，格式中步长取值越小，数值解越精确。