2017年，Jarnicki等人提出如下猜想：如果图G是哈密尔顿连通的且不是K₂，那么它的Mycielski图也是哈密尔顿连通的。在这篇论文中，证明了该猜想在部分图上是正确的。本文的主要研究结果如下：刻画了特殊图类的Mycielski图 μ ( G ) 是哈密尔顿连通的。当图G满足最小度 δ ( G ) ≥ n 2 + 1 时， μ ( G ) 是哈密尔顿连通的。

Mycielski图，哈密尔顿连通，Mycielski因子

Yuanyuan Shen

Department of Basic Courses, Shaanxi Vocational & Technical College, Xi’an Shaanxi

Received: Jan. 22^nd, 2024; accepted: Mar. 20^th, 2024; published: Mar. 27^th, 2024

2017, Jarnicki and others conjectured that if G is Hamilton-connected and not K₂, then its Mycielski graph μ ( G ) is Hamilton-connected. In this paper, we confirm that the conjecture is true for part of graphs. Our main results are summarized as follows: We characterize special graph classes of μ ( G ) which are depicted to satisfy the characteristics of Hamiltonian connectivity. They are characterized as follows: Graph G satisfies δ ( G ) ≥ n 2 + 1 , μ ( G ) satisfies Hamiltonian connectivity.

Keywords:Mycielski Graphs, Hamilton-Connectedness, Mycielski Factor

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简单回忆哈密尔顿连通的定义：图G中，任意一对顶点 ( x , y ) 在G中都存在从x出发到y结束的哈密尔顿路。

在证明下述定理之前，首先我们定义Mycielski因子如下：

定义2.1 设图G是阶数为偶数的n阶连通图， v 1 ∈ V ( G ) 。称图G的连通生成子图为Mycielski因子当且仅当中有一条从 v 1 出发的路，该路包含个数为偶数的奇圈 C 1 , C 2 , ⋯ , C 2 n (可能n = 0)和含有一条偶长弦的偶圈 C 2 n + 1 (可能不存在)，这些圈由2s条边 e 1 , e 2 , ⋯ , e 2 s 连接， e i = v i ' v i + 1 ， i ∈ { 1 , 2 , ⋯ , 2 s } 使得 v i v i ' ∈ V ( C i ) ， i ∈ { 1 , 2 , ⋯ , 2 s + 1 } ，偶圈的弦连接 v 2 s + 1 ' 和 C 2 s + 1 上的一点使得该弦的距离为偶长。

定理2.2 设图G是哈密尔顿连通图，如果对任意的 v ∈ V ( G ) ，存在由v开始的Mycielski因子，则 μ ( G ) 是哈密尔顿连通的。

证明：设图G是哈密尔顿连通的。由定理1.7 (2)可知，图G的顶点数为奇数时 μ ( G ) 也是哈密尔顿连通。故只需考虑当图G的顶点数为偶数时的情形。令 V ( G ) = { v 1 , v 2 , v 3 , ⋯ , v 2 n } ,   n ≥ 2 ， V ( μ ( G ) ) = X ∪ Y ∪ z 。任取两点 u , v ∈ V ( μ ( G ) ) 分别讨论 u , v 在 X , Y , { z } 中不同位置时的情况，并证明。

(i) u ∈ X ,   v ∈ X 。

当 u = x 1 ,   v = x 2 n 时，由于图G是哈密尔顿连通的，因此在图G中存在一条路P，其中P的起点为 v 1 ，终点为 v 2 n ，故在 μ ( G ) 中存在一条哈密尔顿路 P ′ 。记作：

x 1 − y 2 − x 3 − ⋯ − y 2 n − z − y 1 − x 2 − y 3 − ⋯ − x 2 n ,

如图1所示。

图1. u到v的哈密尔顿路(1)

(ii) u ∈ Y ,   v ∈ Y 。

当 u = y 1 ,   v = y 2 n 时，由于图G是哈密尔顿连通的，因此在图G中存在一条路P，其中P的起点为 v 1 ，终点为 v 2 n ，故在 μ ( G ) 中存在一条哈密尔顿路 P ′ 。记作：

y 1 − x 2 − x 1 − ⋯ − x 2 n − 1 − x 2 n − y 2 n − 1 − x 2 n − 2 − ⋯ − y 3 − z − y 2 n ,

如图2所示。

图2. u到v的哈密尔顿路(2)

(iii) u ∈ X ,   v ∈ Y 。

当 u = x 1 ,   v = y 2 n 时，由于图G是哈密尔顿连通的，因此在图G中存在一条路P，其中P的起点为 v 1 ，终点为 v 2 n ，故在 μ ( G ) 中存在一条哈密尔顿路 P ′ 。记作：

x 1 − y 2 − x 3 − ⋯ − x 2 n − 1 − x 2 n − y 2 n − 1 − x 2 n − x 2 n − 1 − ⋯ − y 1 − z − y 2 n ,

如图3所示。

图3. u到v的哈密尔顿路(3)

(iv) u ∈ Y ,   v = z 。

当 u = y 1 时，由于图G是哈密尔顿连通的，因此在图G中存在一条路P，其中P的起点为 v 1 ，终点为 v 2 n ，故在 μ ( G ) 中存在一条哈密尔顿路 P ′ 。记作：

y 1 − x 2 − y 3 − ⋯ − x 2 n − x 1 − y 2 − ⋯ − y 2 n − z ,

如图4所示。

图4. u到v的哈密尔顿路(4)

(v) u ∈ X ,   v = z 。

令 u = x 1 ，图G中有一条从 v 1 出发的路，该路包含个数为偶数的奇圈 C 1 , C 2 , ⋯ , C 2 n (可能n = 0)这些圈由2s条边 e 1 , e 2 , ⋯ , e 2 s 连接，和含有一条偶长弦的偶圈 C 2 n + 1 (可能不存在)，偶长弦连接 v 2 s + 1 ' 和 C 2 s + 1 上的一点，若 S ≥ 1 ，对任意 i ∈ { 1 , 2 , ⋯ , 2 s } ，给 C i 的顶点顺时针排序为 u 1 u 2 ⋯ u 2 k + 1 。因此在 μ ( C i ) 中有如下的哈密尔顿路 P i ：

x 1 y 2 x 3 ⋯ x 2 k + 1 y 1 x 2 ⋯ y 2 k + 1 ，其中 u 1 = v i ,   u 2 k + 1 = v i ' ( i ∈ { 1 , 2 , 3 , ⋯ , 2 s } ) 。

令含有偶长弦的偶圈 C 2 n + 1 = w 1 w 2 w 3 ⋯ w 2 m ，其中偶长弦为 w 2 t w 2 m ，因为可以在 μ ( C 2 s + 1 ) 中找到如下哈密尔顿路 P 2 s + 1 ：

x 1 y 2 x 3 y 4 ⋯ y 2 m x 2 t y 2 t + 1 x 2 t + 2 ⋯ x 2 m y 1 x 2 y 3 ⋯ y 2 t − 1 , w 1 = v 2 s + 1 ,   w 2 m = v 2 s + 1 ' .

如此便可得到 μ ( G ) 中从 x 1 出发到z的哈密尔顿路：

( ∪ i = 1 2 s + 1 P i ) ∪ { v i v i ' : 1 ≤ i ≤ 2 s } ∪ { y 2 t − 1 z }

如此完成了证明 [ 3 ] [ 6 ] 。

定理2.3 设图G是阶数 n ≥ 3 的哈密尔顿连通图，如果 δ ( G ) ≥ n 2 + 1 ，则 μ ( G ) 是哈密尔顿连通的。

证明：因为图G是哈密尔顿连通的，故图G有哈密尔顿圈C。u是圈C上的一点，因为 d ( u ) ≥ n 2 + 1 ，所以圈C上有距离u为偶数的邻点。由定理2.2可得， μ ( G ) 也是哈密尔顿连通的。

沈源源. Mycielski图的哈密尔顿连通性Hamilton-Connectedness of Mycielski Graphs[J]. 理论数学, 2024, 14(03): 83-88. https://doi.org/10.12677/pm.2024.143087