如图1所示，首先考虑一半无限长的薄壁圆柱壳，半径为α，径向坐标为r，极角为θ，轴向坐标为z。 u , v , w 分别对应管壁的轴向、周向和径向位移。根据Donnell-Mushtari壳理论 [ 18 ] ，圆柱壳径向位移响应为

图1. 圆柱形管道及坐标示意图

w ( z , θ ) = ∑ n ∞ ∑ m ∞ W n m cos ( n θ ) e − k n m z z (1)

W n m = [ L ] 33 − 1 ( 1 − μ 2 ) E h ( p n i − p n t ) (2)

[ L ] − 1 = [ − λ 2 − 1 − μ 2 a 2 n 2 + Ω 2 1 + μ 2 a λ n μ λ a 1 + μ 2 a λ n − ( 1 − μ 2 λ 2 + n 2 a 2 ) + Ω 2 n a 2 − μ λ a − n a 2 1 a 2 + l a 2 ( λ 2 + n 2 ) 2 − Ω 2 ] − 1 (3)

其中W_nm为径向振动位移的模态幅值， k n m r 和 k n m z 分别为径向波数和轴向波数，二者满足 ( k n m r ) 2 + ( k n m z ) 2 = k 2 。n代表周向模态数，对于每一阶周向模态，都对应了m阶径向模态。无量纲频率 Ω 2 = ω 2 ρ h a 2 / K ，截面回转半径 l = h 2 / 12 a 2 ，无量纲轴向波数 λ = k n m z a 。

在 r = a 处，管内径向声压和向外透射的声压为 [ 19 ]

p i = ∑ n ∞ ∑ m ∞ P n m i J n ( k n m r a ) cos ( n θ ) e − k n m z z (4)

p t = ∑ n ∞ ∑ m ∞ P n m t H n ( 2 ) ( k n m r a ) cos ( n θ ) e − k n m z z (5)

式中J_n表示宗量为 ( k n m r r ) 的n阶贝塞尔函数， H n ( 2 ) 表示宗量为 ( k n m r r ) 的n阶第二类汉克尔函数。 P n m r 和 P n m t 分别是管内、管外声压的模态幅值。

假设声源位于管口(z = 0)处，其表面的振动速度可以在柱坐标系下模态展开为 [ 20 ] [ 21 ]

u ( r , θ ) = ∑ n = 0 ∞ ∑ m = 0 ∞ V n m J n ( k n m r r ) cos ( n θ ) (6)

方程两边同乘 J n ( k n m r r ) cos ( n θ ) 并积分，可以定得系数为

V n m = 1 Λ n m ∫ 0 a ∫ 0 2 π u J n ( k n m r r ) cos ( n θ ) r d r d θ (7)

Λ n m = ∫ 0 a ∫ 0 2 π J n 2 ( k n m r r ) cos 2 ( n θ ) r d r d θ (8)

由轴向速度连续可以推出管外壁透射声压的模态幅值：

P n m t = V n m ρ 0 ω k n m z T 1 J n − T 2 J ′ n T 1 H n ( 2 ) (9)

T 1 = [ L ] 33 − 1 ( 1 − μ 2 ) E h cos ( n θ ) e − k n m z z (10)

T 2 = k n m r ρ 0 ω 2 (11)

其中，ρ₀为空气密度， J ′ n 表示 J n ( k n m r r ) 对 k n m r r 求导

因此管壁外侧径向质点速度为

v r t = j ρ 0 ω ∑ n ∞ ∑ m ∞ k n m r P n m t H n ( 2 ) ' ( k n m r r ) cos ( n θ ) e − j k z z (12)

考虑侧壁面积为S的有限长管道，透射声功率为

Π t = 1 2 ∫ Re { p t v r t ∗ } d S (13)

为了方便工业上对消声器侧壁传声影响的评估，将管道侧壁的传递损失定义为通过侧壁前后的声功率损失，即：

R = 10 log 10 ( Π i n Π t ) (14)

其中， Π i n 表示管道入口处声功率， Π t 表示管壁透射声功率。

接下来探究管道半径大小以及声源位置、点声源数量对侧向传递损失的影响。在此基础上，通过拟合给出消声器侧向传递损失的工程预测公式。

消声器的传递损失(TL)反映噪声通过消声器后的声能损失。不考虑消声器的侧壁声能泄漏时，可以定义传递损失为消声器入口处的入射声功率级与出口处的透射声功率级之差，即

T L = L X i n − L X o u t = 10 log 10 ( Π X i n Π X o u t ) (16)

其中， Π X i n 表示消声器入口处的声功率， Π X o u t 表示消声器出口处的声功率。

工程上，上述定义式虽然可以通过COMSOL等有限元仿真软件进行计算，但难以直接测量，常通过测量插入损失来代替。根据GB/T 4760-1995《声学–消声器测量方法》 [ 23 ] ，消声器插入损失的实验室测量方法是：在相同入射功率条件下，替换管出口的测量声功率级减去消声器出口的测量声功率级。即

I L = L T o u t − L X o u t = 10 log 10 ( Π T o u t Π X o u t ) (17)

其中，IL表示消声器的插入损失，单位dB。 L T o u t ， Π X o u t 分别为替换管和消声器出口端的声功率级，单位dB。替换管是指与待测消声器具有相同长度、相同通道截面和相同外壁材质厚度的空管道。由于替换管是空管，入口输入的声功率 Π T i n 等于出口输出的声功率 Π X o u t 。因此在不考虑侧壁漏声时，公式(16)定义的传递损失在数值上等于公式(17)定义的插入损失。

但实际测量中，当侧壁振动引起的二次噪声不能忽略时，公式(17)中测得的 Π X o u t 应该包含空气传声和结构传声的共同影响，即

Π X o u t = Π X o u t - a i r + Π X o u t - s t r u c t (1)

其中 Π X o u t - s t r u c t 为入射噪声沿消声器空气通道传播至出口的声功率，该部分可以通过COMSOL等常用的商业有限元软件计算。 Π X o u t - s t r u c t 为结构振动二次噪声辐射引起的声功率，包括消声器侧壁向管内辐射的声功率和消声器下游连接管道向管内辐射的声功率。

由于消声器测试装置下游管道复杂，没有固定的标准，管壁振动引起的二次声辐射功率难以直接评估，如果可以假设结构振动在出口处引起的辐射噪声与消声器侧壁透射的噪声相当，则问题变得相对简单。由于结构辐射的声功率与结构均方振速成正比，即

Π = ρ 0 c 0 σ v ¯ 2 S (19)

其中，ρ₀、c₀分别为空气的密度和声速，σ为结构声辐射系数， v ¯ 2 为均方振速，S为面积。假设替换管和下游连接管道的结构声辐射系数相等，则可以用公式(20)定义的均方振速级表示二者辐射噪声的差距。

L v ¯ 2 = 10 log 10 Π L Π T = 10 log 10 v L ¯ 2 S L v T ¯ 2 S T (20)

其中，下标L表示下游连接管道，下标T表示替换管。

利用COMSOL软件计算替换管以及下游连接管道侧壁处的振动速度。替换管的直径1.6 m，长度为3 m，壁厚1.5 mm，连接管道的直径1.6 m，长度依次取3 m、5 m、7 m，管壁厚度依次取1.5 mm、3 mm、4.5 mm，对比相同尺寸的替换管和连接管道侧壁的振动响应，同时探究连接管道尺寸对其侧壁振速的影响。两个管道通过法兰连接，管道两端简支约束，材料杨氏模量E取2e11 × (1 + 0.01j) Pa。在COMSOL软件中对管壁沿周向施加分布线力载荷模拟管口声源对管壁的作用力，假设声源的声辐射在3 m长替换管两端的衰减达到40 dB，则在衰减为20 dB的位置前施加1 Pa~0.1 Pa递减的分布力，如图5所示。计算得到的100~8000 Hz倍频程下替换管和连接管道侧壁的均方振速级如图6所示。

图5. 替换管与连接管道结构示意图

图6. 替换管和连接管道侧壁均方振速级对比(倍频程中心频率)

结果表明在替换管尺寸不变的情况下，公式(20)定义的均方振速级随着下游连接管道厚度的增大而增大，随管道长度增大而减小，并且差值小于2 dB。在环频1000 Hz附近，替换管和连接管道的振速差距略大，均方振速级最大约4 dB。上述计算表明，消声器侧壁辐射的倍频带声功率和下游连接管道侧壁向管内辐射的倍频带声功率差值在5 dB以内。由于空气通道插入损失的计算值和消声器插入损失的实测值的差值可在40 dB以上(参见图11)，说明消声器出口声功率远远小于结构传声的声功率。在这种情况下，以消声器侧壁辐射的声功率代替下游连接管道侧壁向管内辐射的声功率作为修正是合理的。即可以假设：

Π X o u t - s t r u c t ≈ Π X t (21)

因此插入损失的公式可以近似等效为：

I L = 10 log 10 ( Π T o u t Π X o u t - a i r + Π X t ) (22)

上式中侧壁透射的声功率 Π X t 可以通过公式(1)~公式(13)的方法计算，也可以结合公式(14)和简化的拟合公式(15)来计算。而空气通道出口处的声功率 Π X o u t - a i r 可以通过COMSOL等商业软件计算得到。

通过多物理场仿真软件COMSOL Multiphysics对消声器进行三维仿真，对于对称结构，可进行对称边界条件设置，即仅对一半的结构进行仿真计算，在不影响精度的前提下，极大提高计算效率。如图7(a)所示为采用二维轴对称模型建立的流体域。

对模型进行频域研究得到消声器入口和出口处的声压，如图8(a)，进而计算出入口和空气通道出口处的声功率 Π X i n 、 Π X o u t - a i r ，以及消声器空气通道的传递损失，如图8(b)所示，并通过公式(16)和(22)以及前面计算的 Π X t 得到考虑侧壁传声后的插入损失。

图8. 仿真结果和数据处理

实验依据GB/T 25516-2010《声学–管道消声器和风道末端单元的实验室测试方法》 [ 25 ] 标准进行。测试系统由扬声器单元、测试直管管道、变径管、替换管、消声器、传声器和混响室组成，如图9所示。测试管道长度11,000 mm，试件前方和后方的管道由复合钢板制成。混响室容积241 m³，表面积234 m²，温度17℃，气压101,300 Pa。

图9. 实验系统示意图

本测试系统以混响室作为声源的接收端，可以在无气流条件下对安装在测试管道中的消声器及替换管进行1/3倍频程声功率级的测量。扬声器单元发出的声源辐射经过消声器后进入混响室，混响室中的传感器测定相应的1/3倍频程声功率级数据，最后声源辐射通过混响室一端的管道排出。得到两种试件测得的1/3倍频程声功率级数据，两者的差值即为消声器的测量插入损失。

分别对四个结构和内部穿孔参数不相同的消声器进行了实验测试，其结构示意图见图10，详细参数见表1。

图10. 四种不同消声器结构示意图

表1. 消声器参数