在2017年，学者Li等 [ 9 ] 率先引入了时变滤波经验模态分解的概念，对原先的EMD方法进行了调整和优化。这项技术创新地利用了时变滤波器，有效地解决了模态混叠的困扰，同时也保持了序列的时变性。不仅如此，时变滤波经验模态分解还采用了瞬时幅度和瞬时频率，以此自行调整局部截止频率，以达到对输入序列进行时变滤波的效果，在进一步划分出局部高频和局部低频成分后，产生了固有模态函数(Intrinsic Mode Function, IMFs)。

TVF-EMD方法的计算步骤为：

1) 利用Hilbert变换计算时间序列的瞬时幅值 A ( t ) 和瞬时频率 φ ′ 1 ( t ) ；

A ( t ) = X ( t ) 2 + X ^ ( t ) 2 φ ′ ( t ) = d ( arctan [ X ^ ( t ) / X ( t ) ] ) / d t

本式中： X ^ ( t ) 为时间序列 X ( t ) 的Hilbert变换。

2) 确定瞬时幅值 A ( t ) 的局部极大值序列和局部极小值序列，分别表示为 A ( { t max } ) 和 A ( { t min } ) ；

3) 对 A ( { t max } ) 进行插值得到 β 1 ( t ) ，以同样的方法对 A ( { t min } ) 进行插值得到 β 2 ( t ) ，计算瞬时均值 a 1 ( t ) 和瞬时包络 a 2 ( t ) ：

a 1 ( t ) = β 1 ( t ) + β 2 ( t ) 2 a 2 ( t ) = β 1 ( t ) − β 2 ( t ) 2

4) 分别对 A 2 ( { t min } ) φ ′ ( { t min } ) 和 A 2 ( { t max } ) φ ′ ( { t max } ) 进行插值，得到 η 1 ( t ) 和 η 2 ( t ) ，并计算瞬时频率分量 φ ′ 1 ( t ) 和 φ ′ 2 ( t ) ；

5) 计算局部截止频率 φ ′ b i s ：

φ ′ b i s = φ ′ 1 ( t ) + φ ′ 2 ( t ) 2

6) 为解决间歇问题，重新对局部截止频率 φ ′ b i s 进行调整；

7) 计算信号 h ( t ) = cos [ ∫ φ ′ b i s ( t ) d t ] ，并将 h ( t ) 的极值点作为构造时变滤波器的节点，采用样条插值对时间序列 X ( t ) 进行逼近；

8) 计算停止准则 θ ( t ) ，如果 θ ( t ) ≤ ξ ，则可确定 X ( t ) 为一个IMF，不满足则令 θ ( t ) 重复执行(1)~(8)；

分解后得到的所有模态分量 X i ( t ) ，将全部的分量相加得到的值则为原时间序列 X ( t ) 的值。

粒子群优化(PSO)策略根据鸟儿觅食的行为获得启示，常用于处理最优化问题。在PSO结构中，各个粒子象征着在解空间内移动的点，其速度各不相同。每个粒子都会根据与目标函数相匹配的适应度有不同的解，适应度函数是根据最优化目标设定的，可测量解的优劣。粒子们会追随现在最优的粒子在解空间里搜寻，通过不断的迭代最后找出最优解。

排列熵(PE)算法是一种基于信息论的度量方法。通过相邻值的比较，分析了时间序列数据的复杂性。PE 算法计算如下：

首先，假设时间序列 X ( t ) ( t = 1 , 2 , ⋯ , T ) ，并重构其相空间：

x ( t ) = { x t , x t + τ , ⋅ ⋅ ⋅ , x t + ( m − 1 ) τ } , t = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , T − ( M − 1 ) τ

然后，按升序重新排列 x ( t ) 中的元素：

x ( t ) = { x t + ( j 1 − 1 ) τ , x t + ( j 2 − 1 ) τ , ⋅ ⋅ ⋅ , x t + ( j m − 1 ) τ } , x t + ( j 1 − 1 ) τ ≤ x t + ( j 2 − 1 ) τ ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤ x t + ( j m − 1 ) τ

每个可能的排列都表示为 w = { j 1 , j 2 , ⋯ , j m } ，m维序列存在m！不同的排列。每个排列的概率是 P 1 , P 2 , ⋯ , P g 。根据信息熵，置换熵的归一化可以定义为：

PE = PE ( m ) ln [ m ! ] = − ∑ 1 m ! p g ln p g ln [ m ! ]

PE的值介于[0, 1]之间，表示时间序列的复杂性。PE值越接近1，时间序列的复杂度越高；PE值越接近0，时间序列的复杂度越低。由于ARIMA模型对时间序列的平滑性要求较高，本文采用不同的置换熵值进行实验分析，然后确定置换熵的阈值为0.2，大于0.2的是非平稳高频序列，小于0.2的是平稳低频序列。

长短期记忆网络(LSTM)，作为递归神经网络(RNN)的升级版本，引入了一种更佳的计算方法。它的模型能够自动提取时间序列数据中的特征，获取长距离关联信息，并有效避免在RNN训练过程中，梯度爆炸和梯度消失等问题的出现。LSTM与RNN的主要不同之处，是在其门架构中增加了单元状态，这能记录历史数据状态信息。图1对LSTM模型的构造进行了展示，其核心由输入门、忘记门以及输出门构成。此外，Tanh激活函数控制输入的更新， C t − 1 和 C t 分别是 t − 1 和 t 时间的细胞状态， H t − 1 和 H t 分别是 t − 1 和 t 时间的隐藏细胞状态。

图1. 长短期记忆网络

自回归差分移动平均(ARIMA)是分析预测变量的未来值与历史值之间的线性函数关系的一种方法。ARIMA(P, D, Q)模型首先检验时间序列的平稳性，如果平稳性不满足，则对时间序列进行d阶差分将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后对平稳时间序列建立自回归移动平均模型(ARMA(p, q))。ARMA方程为：

y t = α 1 y t − 1 + α 2 y t − 2 + ⋯ + α p y t − p + ε 1 − θ 1 ε t − 1 − θ 2 ε t − 2 − ⋯ − θ q ε t − q

参数设置是执行TVF-EMD分解的关键环节，尤其是，宽带阈值ξ和B样条级数n对分解效果有巨大影响，因此，如何选择这两个参数成为了问题的关键点。一般这两个参数都是根据经验，人为选定，但本文利用PSO算法对这两个参数进行优化，粒子群优化算法是一类经典的集体智能优化方法，它通过连续调整粒子的速率和位点，同时保留了个体最优与全局最优，经过持续的循环，实现最优解的获得。

当用PSO算法来优化TVF-EMD分解的最优参数组合时，必须设定一个目标函数。信噪比可以很有效地揭示信号分解降噪效果，它的数值体现了降噪的效能，所以本文选择信噪比作为PSO算法的目标函数。

具体步骤如下。首先用TVF-EMD对时间序列数据进行分解与处理，如果重构出来的信噪比高，这就意味着降噪效果优秀；反之，如果信噪比较低，则降噪效果差。接着选取一组参数作为PSO算法的起点，当第i个粒子位于某个位置，便计算该位置下，通过TVF-EMD分解和重构后的降噪数据信噪比，把信噪比最大的标记为局部最佳值，其对应的重构数据被视为最优重构数据。然而，这只是局部的最优值，为了在风速时间序列数据中找到降噪表现最卓越的重构数据，目标函数被设为信噪比最大的情形，并对参数配置进行优化。最后，携带优化后的参数配置进行TVF-EMD分解，预估出信噪比最大的重构数据，从而获得预测结果。

算法步骤如下：

1) 初始化PSO算法的各项参数并将信噪比作为目标函数；

2) 初始化粒子种群，随机产生一定数量的最佳影响参数组合[ξ, n]作为粒子的初始位置，随机初始化粒子的速度；

3) 在不同粒子位置条件下对信号进行TVF-EMD分解，计算每个粒子位置相应的信噪比；

4) 对比信噪比大小，并更新个体局部极值和全局极值；

5) 更新粒子的速度和位置；

6) 循环迭代，转至步骤(3)，直至迭代次数达到最大设定值，并输出最大信噪比及粒子的位置；

7) 利用获得的参数组合[ξ, n]对信号进行TVF-EMD分解；

8) 对信噪比最大的IMF分量进行预测，得出最终预测值。

由于风速数据存在着明显的非线性和非稳定特性，本文首先使用了PSO-TVF-EMD算法对这些数据进行初步处理，并将风速序列分解为不同频率的子序列。接下来，运用PE算法计算出各子序列的排列熵，并根据其复杂度选择出高频和低频子序列。对高频子序列，利用了LSTM进行精确预测，而对于低频子序列，采用了ARIMA用以准确预测。收集到高频和低频子序列预测数据后，将二者预测结果进行了结合，以此获得了最终的风速时间序列预测值。

步骤如下：

利用PSO-TVF-EMD方法将原始风速序列分解为n个模态分量。

利用PE算法计算n个序列分量的置换熵，并根据时间序列的复杂性将模态分量分为高频部分和低频部分。

LSTM用于预测高频序列，ARIMA用于预测低频序列。

通过加入高频序列和低频序列的预测结果，得到风速的预测值。

风速预测框图如图2所示。

图2. 结构框图

本文所使用的数据来自于湖北省武汉市的气象台，这些数据的收集周期是在2021至2022年的某个时间段，每小时收集一次。共计有5000个数据点，从中挑选样本进行研究，其中风速数据的具体情况如图3所示。基于9:1的比例，本文从前4501个数据点中选择了训练样本，其余499个数据点被用作测试样本。如图3所示，风速数据展现出明显的非线性和不稳定性，增大了预测难度。然而，经过TVF-EMD分解处理，风速可以被拆为易于预测的时间子序列。此时，可以得到26个自高频到低频的模态函数。为了量化子序列频率的高低，用PE算法计算了序列的排列熵值。对ARIMA模型来说，排列熵值越小，其时间复杂度越低，预测精度也越高。其中，IMF1到IMF13被视为高频序列，用于在LSTM网络模型中做预测，IMF13到IMF26则被认为是低频序列，用于在ARIMA模型中做预测。

图3. 原始数据

本文运用了三种测量指标，即RMSE (均方根误差)、MAE (平均绝对误差)和皮尔逊相关系数，来衡量与实际风速的差异及不同模型对于风速预测的准确度。这些指标的计算公式如下：

RMSE ( X , h ) = 1 m ∑ i = 1 m ( h ( x i ) − y i ) 2

MSE = 1 m ∑ i = 1 m ( y i − y ^ i ) 2

r x y = ∑ Z x Z y N

为了验证PSO-TVF-EMD-LSTM-ARIMA模型预测的效果，选择与LSTM、EMD-LSTM、EMD-ARIMA和TVF-EMD-LSTM这4种模型进行对比，这些模型均采用与目标模型相同的参数及变量设置。

由图4可以看出：① 单一的模型预测效果较差，只能显示序列的大概趋势，预测值误差较大。② 同一个预测模型采用不同方法对数据进行预处理，其预测精度都会有显著的差别。TVF-EMD-LSTM模型预测精度从图中可以看出明显比EMD-LSTM模型要高。③ PSO-TVF-EMD-LSTM-ARIMA模型预测精度最高，说明在数据的预处理上，PSO-TVF-EMD模型有效的缓解了EMD存在的模态混叠问题和噪声问题，更适合处理非线性非平稳的序列，并且能取得较好的预测结果。

本文采用三个评价标准来测试目标模型预测的精度，其中RMSE与MAE的数值越小，且r系数越接近于1，说明此模型的结果误差越小，精度越高。各个模型的误差评价指标的具体值如表1所示。由此可知：① LSTM模型各项误差指标最大，随着采用EMD和TVF-EMD方法后，各模型的MAE、RMSE明显变小，如图5所示。RMSE上，本文模型相对LSTM、EMD-ARIMA、EMD-LSTM、TVF-EMD-LSTM分别提升了50.14%、26.44%、35.42%、12.60%。MAE上，分别提升了67.33%、54.62%、31.01%、15.74%。皮尔逊相关系数也更接近于1，因此，PSO-TVF-EMD-LSTM-ARIMA模型的预测精度更高。② 风速时间序列中普遍含有噪声，并且具有非平稳性和多频性，如果直接预测会使得LSTM模型的预测会产生较大的误差。而EMD分解则会存在模态混叠的问题，高频序列可能会与低频序列混杂，对预测结果影响较大。TVF-EMD就很好地解决了EMD的模态混叠和噪声问题，有效地提高了模型的预测精度，但是它对参数有较高的要求，所以本文使用PSO对参数进行优化来提升模型的处理结果，从结果中可以发现，PSO-TVF-EMD具有较好的分解效果，它优化了模型参数，解决了EMD存在的模态混叠和噪声的问题，使PSO-TVF-EMD-LSTM-ARIM模型预测结果最好。因此，PSO-TVF-EMD-LSTM-ARIM模型在风速预测上具有较好的效果，适用于预测非平稳、非线性、复杂多频的风速时间序列。

图4. 各模型的预测结果

图5. 评价指标

表1. 各模型的误差评价