基于对实际业务的调研结果，本研究在长期鲁棒飞机检修计划问题中考虑了多个关键因素，包括各机型的检修参数规则、不同时间段的检修能力设定、飞机的日常运行情况，以及使用额外可用检修机库所涉及的成本等。由于长期飞机检修计划的主要目标是在最小化检修成本的同时最大化盈利，因此，本文制定了以下目标函数评价指标：

1) 最小化未使用的飞行小时：这一目标的优化有助于更有效地规划检修间隔，从而间接减少长期维护检查的次数，减少计划期间的停飞时间。这有助于最大程度地利用所有飞机，使其投入商业运营，从而提高盈利。

2) 最小化飞机违反维修约束引发停飞时间：由于飞机停飞会导致显著的商业损失，因此，重要的是确保飞机能够满足维修约束条件，以避免停飞。

3) 最小化额外机库使用数量：降低额外的检修工作分配给第三方外包企业或支付技工额外加班费用所带来的高额成本，本文的基本假设如下：① 一次C检连续占用同一个机库。② 最小步长为1个日历日。③ 不考虑机库位置影响。④ 飞行寿命到期时不允许继续飞行，增加额外机库进行检修。⑤ 仅考虑C检(D检可化为更高等级的C检进行规划)。

基于上述问题描述，本文提出了长期飞机检修计划的MILP (混合整数规划)模型。

数学模型的符号说明如下：

集合说明：

I ：飞机集合，下标为i；

J i ：飞机i的预计C检集合，下标为j；

T ：时间步长集合，下标为t；

P ：飞机运行参数集合，取值为 { F H , F C , D Y } ，分别代表飞行时间，起落循环以及日历日。

参数说明：

I i P ：飞机i的P类参数最大可允许积累阈值；

U i , t P ：飞机i的P类参数在时间点t的积累量(其中 P = D Y 时固定为1)；

d i , j ( t ) ：飞机i在t时刻进行j次C检时，考虑节假日休息后总共需要的天数；

L t ：t时刻可用机库数量；

C E ：使用额外机库的单位惩罚；

C C ：C检一次的固定成本；

M ：足够大的常数。

决策变量：

x i , j , t ：0~1变量，飞机i在时间t开始第j次C检则取1，否则为0；

y i , t P ：连续变量，飞机i在时间t的参数P的值；

Z i , j , t F H ：连续变量，若飞机i在时间t开始第j次C检则为 y i , t F H ，否则为0；

m i , t ：0~1变量，飞机i在时间t正在进行检修取1，否则为0；

E t ：整数变量，时间t使用的额外机库数量。

本文的数学模型如下：

min ∑ i ∈ I ∑ j ∈ J ∑ t ∈ T ( I i F H ⋅ x i , j , t − Z i , j , t F H + C C ⋅ x i , j , t ) + ∑ t ∈ T E t ⋅ C E (1)

Subject to：

Z i , j , t F H ≤ x i , j , t ⋅ I i F H ∀ i ∈ I , j ∈ J i , t ∈ T (2)

Z i , j , t F H ≤ y i , t F H ∀ i ∈ I , j ∈ J i , t ∈ T (3)

Z i , j , t F H ≥ ( x i , j , t − 1 ) ⋅ I i F H + y i , t F H ∀ i ∈ I , j ∈ J i , t ∈ T (4)

y i , t P ≤ I i P ∀ i ∈ I , t ∈ T , P ∈ { F H , F C , D Y } (5)

y i , t + 1 P ≥ y i , t P + U i , t P − M ⋅ m i , t ∀ i ∈ I , t ∈ [ 1 , T − 1 ] , P ∈ { F H , F C , D Y } (6)

y i , t + 1 P ≤ y i , t P + U i , t P ∀ i ∈ I , t ∈ [ 1 , T − 1 ] , P ∈ { F H , F C , D Y } (7)

y i , t + 1 P ≤ M ( 1 − m i , t ) ∀ i ∈ I , t ∈ [ 1 , T − 1 ] , P ∈ { F H , F C , D Y } (8)

∑ t ∈ [ t , t + d i , j ( t ) ) m i , t ≥ d i , j ( t ) ⋅ x i , j , t ∀ i ∈ I , j ∈ J i , t ∈ T (9)

m i , t ≤ ∑ j ∈ J ∑ t ∈ [ t − max i , j , t max i , j , t ( d i , j ( t ) ) , t ] x i , j , t ∀ i ∈ I , t ∈ T (10)

∑ i ∈ I m i , t ≤ L t + E t ∀ t ∈ T (11)

∑ t ∈ T ( x i , j + 1 , t ⋅ ( t − M ) ) ≥ ∑ t ∈ T ( x i , j , t ⋅ t ) − M ∀ i ∈ I , j ∈ [ 1 , J i − 1 ] (12)

∑ t ∈ T x i , j , t ≥ ∑ t ∈ T x i , j + 1 , t ∀ i ∈ I , j ∈ [ 1 , J i − 1 ] (13)

∑ t ∈ T x i , j , t ≤ 1 ∀ i ∈ I , j ∈ J i (14)

目标函数(1)最小化所有场景下惩罚函数。目标函数分三部分，由未使用的飞时、飞机总维修次数的成本以及额外机库使用成本组成。约束(2)至(4)引入辅助变量 Z i , j , t F H ，约束若飞机i在时间t开始第j次C检则其取值为 y i , t F H ，否则为0，方便计算目标函数中未使用的飞时部分。约束(5)为检修参数约束，同一飞机两次检修之间的飞时、飞行周期与工作日均不能超过规定值。约束(6)至(8)为参数更新约束，若当日进行本次检修，则飞时、飞行周期与工作日清零，若正在进行检修则当日不增加飞时、飞行周期与工作日计数。约束(9)至(11)为检修机库的占用约束，飞机在检修过程中停飞，且占用一个机库。约束(12)至(13)确定了检修应按次序进行规划。约束(14)限制每次检修仅安排一次。

本文采用了二维数组编码方式，其中每个飞机的开始检修时间直接表示为数组元素的值。如果在求解期限内不计划安排特定次数的检修，相关位置则用−1表示。举例来说，如果飞机1的编码为[15, 656, 1008, −1]，那么这代表飞机1将在第15天、第656天和第1008天分别进行3次C检修，而在求解过程中不会安排第四次检修。

适应值即为(1)式。在算法运行过程中，需要编写仿真程序来计算适应值。仿真程序通过逐日模拟飞机的使用情况和检修情况，对飞机使用参数进行实时更新。如果飞机的参数超出了事先设定的阈值，或者解中安排了该飞机的检修，那么在仿真中会对这架飞机进行检修，并记录浪费的飞行时间情况。仿真过程结束后，我们对各项统计数据进行汇总和求和，从而获得适应值。

使用随机ε-贪心算法逐个生成初始解，直到种群规模达到预设参数n_population。该算法基于仿真程序运行，输入扰动参数ε (如0.9)，每次生成范围在 [ ε , 1 ] 之间的随机数α。在时间点t对所有飞机依次判断，若检测到 y i , t F C + U i , t F C ≥ I i F C × α (FH与DY同理)，即可认为若在该时间点不安排检修，在下个时间点之前飞机有较大概率超出参数，将有停飞风险。因此，在这种情况下安排该飞机进行检修。

选择过程分为两个部分。第一步按照种群适应值降序进行排序，取n_Best个最优的个体直接进入下一代。第二步使用k-tournament选择方式，例如k取3，即每次从上一代种群中随机抽取3只个体，适应值最优者进入下一代的父代池，直至新生成的父代池与种群数量相同。

使用均匀交叉算子，输入交叉率λ_crossover，将父代池中的个体两两配对。在 ( 1 − λ crossover ) 的概率下维持父代解不变，直接遗传给下一代；在λ_crossover的概率下二者均匀打乱，生成两个新子代。均匀交叉的示例如图1所示，父代1和父代2按照飞机为单位相互分配，每架飞机均有相同的概率分配给两个子代。

图1. 均匀交叉示例

变异过程结合了邻域搜索算法的Destroy & Repair算子，即基于现有规划，将部分飞机的检修计划删除，再利用一定的规则重新修复，可以定向在当前解的邻域内进行探索。

Destroy算子共有3种，目标均是将机队分为S_remove和S_fix两部分，S_fix中飞机的求解计划固定，而S_remove中的飞机求解计划将会被完全删除，并在repair步骤中修复。1) 随机删除。随机删除一部分飞机的所有检修规划。2) 较差删除。将不同飞机浪费飞时进行降序排列，删除浪费飞时较多的若干架飞机的所有检修规划。3) Shaw-removal删除。首先随机选择一架飞机，将其检修计划中的时间向量 t 0 全部取出，对于检修时间与 t 0 中的任意一项差距在nWidth以内的飞机也会进入到S_remove中。三种算子各自侧重不同，随机删除注重邻域搜索的随机性；较差删除尝试解决该求解框架下部分飞机计划的调优问题；而Shaw-removal删除则会将耦合起来的飞机检修计划完全拆解并重新进行计算，有助于跳出局部最优解。

Repair算子共有2种，分别为基于飞机优先级的回溯搜索与基于日期的贪心并行修复。

基于飞机优先级的回溯搜索修复步骤如下：

Step 1. 将S_remove中的飞机随机排序，确认修复优先级。

Step 2. 对于优先级最高的飞机i：固定S_fix中飞机的修复方案，直到S_remove为空，算法结束。

Step 3. 针对飞机i，运行参数ε设置为1的ε-贪心算法，直至寻找到需要检修的时间 t 0 ，若规划时间结束，将飞机i从S_remove中取出，放置到S_fix中，回到步骤2。

Step 4. 在 [ t 0 − t search , t 0 ] 的时间范围邻域内(t_search为时间邻域大小)，逐个尝试，找到不额外增加机库使用数量且浪费飞时最少的安排检修时间t_opt，回到步骤3。

基于日期的贪心并行修复步骤如下：

Step 1. 固定S_fix中飞机的修复方案。

Step 2. 针对S_remove运行参数ε设置为1的ε-贪心算法，每个时间步长t检查S_remove中飞机的参数情况，若超出阈值直接安排检修。

终止条件设置为算法达到最大迭代次数It_max，或者超过It_noImprove次迭代后最优解仍然不变。

本文选取的实验数据来自Deng等人公布的欧洲一家航空公司的实际数据集 [ 11 ] ，包括2个在为期3年内，分别有40、45架飞机的实例。数据集包括飞机数据，即飞机型号、初始使用参数、各月平均飞时统计、C检进度情况、飞机参数C检间隔要求，也包括检修数据，即节假日/周末安排(不安排检修)、各项C检历史耗时情况等。通过限制机队规模以及可用检修机位数量，设置了16组时间步长为1周的小算例以及8组时间步长为1天的大算例。

由于停飞或临时调用第三方服务商的检修机库会导致较高的经济成本，因此在目标函数中，C_E设置为较高的10⁴， C C 作为正常的检修操作，成本较低，设置为100。

对本文提出的MILP模型的直接求解采用C++编程和调用Gurobi9.5.2求解器实现，并在一台搭载了AMD Ryzen 7 5800H的8核16线程处理器和Window 11操作系统的电脑上进行实验，求解器其余设置均为默认。在步长为一周的小算例下，限制最长计算时间为600秒，在步长为1天的大算例下，限制最长计算时间为7200秒。

对本文提出的启发式算法，采用C++编程在同一台机器上进行编程实现。算法采用单线程运行，每个算例运行3次取最优值。种群大小n_population设置为50；ε-贪心算法中ε取0.9；选择过程中n_Best取4，k取3；交叉率λ_crossover取0.6；每架飞机变异概率为0.1，等概率使用不同Destroy & Repair算子相结合；最大迭代次数It_max取100；提前终止条件为It_noImprove次迭代后最优解未发生改变。

小算例的实验结果如表1所示。其中GA-NS代表结合邻域搜索的遗传算法。表格的前三列包含了算例的基本信息，具体涵盖规划周期、机队规模以及可用机库数等。计算信息包括计算时间，最优目标函数以及求解结果与求解器提供的bound的百分比差距gap。实验数据显示，在以周为单位的小算例下，Gurobi求解器与GA-NS在绝大多数算例下可以求出最优解。但随着需要规划的机组数量提升，求解器的求解时间迅速增加，在算例4中无法在600 s的时间内求出最优解，同样，由于算例4的机库数量设置较少，GA-NS算法也只能求出次优解。而在当前的参数设置下，GA-NS可以在一分钟内解决小算例的优化求解问题，但在极端算例情况下只能求出次优解。

表1. 小算例实验结果

大算例的实验结果如表2所示。在大算例下Gurobi的求解时间迅速增加，在3个30个及以上的机队规模算例求解过程中，无法在2小时内求出可行解。而当前参数下GA-NS算法求解所有算例时均可在2分钟内收敛，某些极端算例情况下的gap较大是由于Gurobi求解器的计算限制，并没有在2小时内求出可行下界，从而导致gap数值较大。数值实验结果证明了GA算法在计算效率与求解质量上的优势。

表2. 大算例实验结果