本文选取了九江市1961~2020年共60年的逐日降水资料(数据来源于中国气象数据网https://data.cma.cn/)，用Python和Excel统计得到年、季的降水量，按照季节划分法，以3~5月为春季，6~8月为夏季，9~11月秋季，12月至次年2月为冬季。

用 x i 表示样本量为n的某一气候变量，用 t i 表示x所对应的时间，建立 x i 与 t i 之间的一元线性回归方程 [ 5 ] ：

x i = a + b t i , i = 1 , 2 , ⋯ , n

回归系数b的符号表示气候变量x的趋势倾向。当 b > 0 时，说明随时间t的增加降水量呈上升趋势；当 b < 0 时，说明随时间t的增加降水量呈下降趋势。b的值越大，说明降水的变化趋势越明显。

Mann-Kendall检验法(简称“M-K检验法”)是气象学中常用的一种检验序列突变的方法，它能够帮助我们确定时间序列数据中的突变点及突变时间。其优势是无需遵循特定的分布，对少数异常值不敏感，且计算简单，尤其适用于类型变量和顺序变量 [ 6 ] 。

假设降水序列是随机且独立的，那么我们可以定义统计量

UF k = [ s k − E ( s k ) ] var ( s k ) , k = 1 , 2 , ⋯ , n

其中，

{ E ( s k ) = n ( n + 1 ) 4 var ( s k ) = n ( n + 1 ) ( 2 n + 5 ) 72

给定显著性水平 α ，若 UF k > 0 ，则表明时间序列呈上升趋势，小于0则为下降趋势；若 | UF k | > U α ，即曲线 UF k 超过显著性水平线，表明序列的上升或下降趋势显著；若 UF k 与 UB k 相交且交点在临界线内，那么交点对应的时刻就是突变开始的时刻，若两者有多个交点，则无法确定突变年份；若交点在临界线外，说明交点没有通过显著性检验，故该点不具有突变性。

滑动T检验判断样本是否发生突变的方法是通过检验两个样本的均值有无显著差异。它的基本思想是通过比较某一段气象序列的两个子序列的平均值之间有无显著差异来判断两个样本是否有显著差异。该方法是对可能的突变点进行检验，通过与M-K突变结合分析以确定在该点是否发生突变。如果两个子序列的均值超过了给定的显著性水平，就认为在该点发生了突变。

小波分析可以揭示序列的变化尺度，并能得到序列周期变化的时间点，反映序列在不同时间尺度上的变化趋势。它的基本思想是将原始信号分解成不同尺度上的小波基函数，以揭示信号在时间和频率上的局部特征。它不仅可以给出气候序列的变化尺度，还可以显现出变化的时间位置，对于气候预测十分有用。

对于一个特定的小波函数，小波变换的形式为

ω f ( a , b ) = | a | − 1 2 Δ t ∑ i = 1 n f ( i Δ t ) ψ ¯ ( i Δ t − b a )

小波方差为

var ( a ) = ∑ [ ω f ( a , b ) ] 2

其中， ω f ( a , b ) 是小波变换系数， a 是尺度因子， b 是时间因子， f ( t ) 是时间序列， ψ ( t ) 为小波函数。

通过小波系数实部等值线图，可以反映在不同时间尺度上时间序列发生的周期性变化 [ 7 ] 。小波方差随着时间尺度的变化图称为小波方差曲线图，它反映了信号能量随着时间尺度的变化，可以用来确定某个时间序列的主周期。

重标极差分析法是一种基于长期相关思想的时间序列分析方法。基于重标极差分析法的Hurst指数是定量描述时间序列信息长期依赖性的有效方法，其基本原理是：

对于时间序列 { x t } ，对于任意的正整数f，均值序列

x ¯ f = 1 f ∑ t = 1 f x t , f = 1 , 2 , ⋯ , n

累积离差

X ( t , f ) = ∑ u = 1 t ( x u − x ¯ f ) , 1 ≤ t ≤ f

极差为

R ( f ) = max 1 ≤ t ≤ f X ( t , f ) − min 1 ≤ t ≤ f X ( t , f ) , f = 1 , 2 , ⋯ , n

标准差为

S ( f ) = [ 1 f ∑ u = 1 f ( x u − x ¯ f ) 2 ] 1 2 , f = 1 , 2 , ⋯ , n

Hurst指数H为

R ( f ) S ( f ) = ( c f ) H

H的不同估值表示了降水时间序列过去与未来不同的趋势变化。当 H = 0.5 时，表示未来的降水量与过去无关；当 0 < H < 0.5 ，表示降水量的未来变化趋势与过去相反；当 0.5 < H < 1 ，表示降水量的未来变化趋势与过去一致。

图1是九江市年降水量的线性变化趋势，从图中可以看出，1961~2020年间，九江市降水量最大的年份为1998年，降水量为2157.4 mm，最小的年份为1978年，为936.86 mm，两者相差1220.54 mm。60年的年平均降水量为1535.54 mm。由5a滑动平均线可知，九江市1961~2020年间的降水大致可分为五个阶段，1960~1975年间降水量明显上升，1975~1980年间迅速下降，1980~2000年间呈缓慢上升趋势，2000~2010年间明显下降，2010~2020年间又逐渐上升。气候倾向率为32.86 mm/10a，年降水量整体呈上升趋势。

图1. 年降水量线性变化趋势

取显著性水平 α = 0.05 ，由M-K突变分析(图2)可知，UF曲线先上升后下降，再上升而后下降。在1960~1975年间和2000年左右UF曲线超过显著性水平，表明年降水上升趋势明显。UF曲线和UB曲线在临界线内存在多个交点，说明九江市降水复杂多变，单从M-K曲线中无法判断突变年份。此时，可以结合滑动T检验(图3)来判断突变年份。

由图3可知，当步长为5时，T统计量在1969、1978年和2012年超过了显著性水平，说明在这几个点可能出现突变(图3)。再结合M-K突变检验图，在这三个点，UF和UB线均在临界线内有交点。所以综合判断，在1961~2020年间，九江市在1969、1978年和2012年均出现过降水突变；其中，在1969和2012年时降水量骤增，1978年时降水量减少。

图2. 年降水量M-K突变检验

图3. 年降水量滑动T检验

对九江市年降水量进行小波分析得到降水序列方差分析图(图4)和实部等值线图(图5)。由图4可知九江市60a降水量在36a和20a的时间尺度上存在周期性，结合图5可以得到，降水变化的第一主周期是36a，在该尺度下，降水的周期变化约为23年，降水经历了3次“少–多”的变化。第二主周期是20a，降水周期变化从1960年持续到2020年，在该尺度下的降水周期约为14年。

图4. 年降水量方差分析

图5. 年降水量小波系数实部等值线图

图6展示了各季节降水量的线性变化趋势，从图6(a)中可以看出，在1961~2020年间，春季降水量最多的年份出现在2002年，降水量为852.98 mm，最少的年份为2011年，为243.53 mm，60年的年平均降水量为543.55 mm。由5a滑动平均线可知，从1960年到21世纪初，春季降水一直波动变化，升降趋势不明显；2000~2010年降水量逐渐下降，而后至2020年又波动上升；春季降水量气候倾向率为−1.02 mm/10a，降水量整体呈微弱下降趋势。

图6. 各季节降水量线性变化趋势

从图6(b)中可以看出，夏季降水量最多的年份出现在1998年，降水量为1063.55 mm；最少的年份为1968年，降水量为177.24 mm，60年的年平均降水量为560.45 mm。由5a滑动平均线可知，夏季降水倾向率为18.73 mm/10a，整体呈上升趋势。其中，从20世纪60年代至90年代，夏季降水量波动变化且有微弱上升；1990~2000年明显上升，而后几年又迅速下降；21世纪初至2020年，降水量逐步上升。

从图6(c)中可知，秋季降水量最多的年份出现在2005年，降水量为579.43 mm，最少的年份出现在2019年，降水量为62.74 mm，60年的年平均降水量为230.5 mm。由5a滑动平均线可知，秋季降水量一直呈明显的波动变化，气候倾向率为1.61 mm/10a，整体呈微弱上升趋势。

由图6(d)中可知，冬季降水量最多的年份出现在2019年，降水量为347.09 mm，最少的年份出现在1962年，降水量为63.85 mm，60年的年平均降水量为201.96 mm。由5a滑动平均线可知，冬季降水倾向率为11.71 mm/10a，整体呈明显上升趋势，但每个年代的变化幅度不大，说明冬季降水量缓慢增加。

图7和图8分别展示了九江市各季节降水量的M-K突变检验和滑动T检验结果。由图7(a)可知，九江市春季降水量呈波动变化趋势，1964年UF曲线超过0.05显著性水平线，说明此时降水下降趋势明显 [ 8 ] 。结合图8(a)可知，在2005和2016年处可能发生突变，但由于在M-K突变分析中，这两个点处无交点，所以春季降水量没有明显的突变点。

夏季降水量的UF和UB曲线有多个交点(图7(b))，其中，UF曲线在1998~1999年超过了显著性水平线，说明夏季降水量在此时有明显的上升趋势。结合图8(b)可知，夏季降水量可能在1969、1973和2000年发生突变，由于UF和UB曲线在1969年处有交点，所以可知夏季降水量在1969年发生突变，降水量明显上升。

秋季降水量的UF曲线先上升后下降，且在1973~1978，1982~1995年间超过了显著性水平线(图7(c))，说明在这两个时间段降水量呈上升趋势。在置信区间内，UF与UB曲线有多个交点，但结合图8(c)可知，两幅图中没有相同的突变年份。因此，九江市秋季降水量没有出现突变。

图7. 各季节降水量M-K突变检验

图8. 各季节降水量滑动T检验

冬季降水量的UF曲线呈现“增–减–增”的趋势，且曲线都在显著性水平内，表明冬季降水量无太大变化趋势(图7(d))。由于UF和UB曲线存在多个交点，所以结合图8(d)来看。由图中可以看出，冬季降水量在1977和1988年处超过了显著性水平线，而UF和UB曲线在1988年处存在交点。综上所述，冬季降水量在1988年发生突变，降水量突增。

对九江市各季节的降水量进行小波分析得到降水序列的周期分析图。由图9(a)可知，九江市60a春季降水量在36a，19a和5a的时间尺度上存在周期性。再由图10(a)可知，降水变化的第一主周期是36a，在该尺度下，降水的变化周期约为23年，降水经历了三个“少–多”的趋势，降水量最多的阶段在2014年左右，最少的年份在2008年。第二主周期是19a，降水周期变化大概集中在1995~2020年，在该尺度下的降水周期为12年；第三主周期是5a，在该尺度下的降水周期约为4年，降水变化周期短，整体的降水量变化不明显。

由图9(b)可知，九江市夏季降水量存在36a的显著周期变化。其中，36a为第一主周期，表现为3次明显的降水量“少–多”趋势变化(图10(b))，降水周期为23年。

图9. 各季节降水量方差分析

图10. 各季节降水量小波分析实部等值线图

由图9(c)可知，九江市秋季降水量存在17a的显著周期变化。17a为第一主周期，在该尺度下的降水变化周期为11年，持续时间为1960~2020年，存在5次“多–少”的降水量变化(图10(c))。

由图9(d)可知，九江市冬季降水量存在36a和26a的显著周期变化。其中，36a为第一主周期，该尺度下的降水变化周期为24年，表现为3次“少–多”降水量趋势交替(图10(d))；26a为第二主周期，该尺度下的降水变化周期为17年，持续时间约为1960~1995年，存在3次“少–多”的降水量变化，且第一次周期比第二次周期的降水量波动更明显。

为了对九江市未来的降水趋势进行预测，本节利用重标极差分析法计算得到九江市年降水量和各季节降水量的Hurst指数并进行拟合优度检验，见表1。由表1可知，年降水量和四季降水量的Hurst指数分别为0.283，0.216，0.307，0.334和0.285。经过对数据的拟合优度的检验，发现5个Hurst指数的R²分别为0.802，0.703，0.845，0.849，0.805，以上数据均大于0.7，绝大部分大于0.8，说明拟合效果较好。由于Hurst指数均小于0.5，所以年、季降水量均与当前降水量趋势呈相反趋势。其中，春季降水表现为降水增多趋势，年降水量及其他季节均表现为降水减少趋势 [ 9 ] 。

表1. 降水量Hurst指数及未来趋势