磁流体动力学(简称MHD)主要研究等离子体等导流体在电磁场作用下的运动规律，其理论广泛应用于航空航天等工程领域中。与经典的MHD系统相比，Hall-MHD系统可以用于描述等离子体、恒星形成、太阳耀斑、中子星中的磁重联现象(见 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] )。但Hall效应项是一个包含未知函数二阶导数的非线性项，这让Hall-MHD系统比经典的MHD系统更加复杂。

近年来，学者们对Hall-MHD系统的适定性和正则性做了很多研究。值得一提的是，Chae-Degond-Liu [ 4 ] 建立了弱解的全局存在性和Sobolev空间 H s ( ℝ 3 ) ( s > 5 / 2 ) 的光滑解的局部适定性。随后，Chae-Wan-Wu [ 5 ] 证明了具有分数阶磁扩散的Hall-MHD方程的局部适性。Benvenutti-Ferreira [ 6 ] 证明了 H 2 强解的局部适定性。Dai [ 7 ] 改进了 H s ( ℝ n ) ( s > n / 2 ) 空间的局部适定性理论。更多大初值解的正则性准则，以及小初值解的全局适定性和渐近性在 [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] 中可以找到。最近，Li-Pan [ 13 ] 证明了一类无磁阻抗和热扩散率的三维轴对称MHD-Boussinesq系统，如果其磁场只包含水平旋度分量，则三维MHD-Boussinesq系统的轴对称强解可以光滑地延拓到可能的爆破时间 T * 之外，当且仅当速度的水平旋度分量满足Prodi-Serrin型准则：

∫ 0 T * ‖ u θ r s ( t , ⋅ ) ‖ L p q d t < ∞   ,       其 中 s ≥ 0 ,         3 p + 2 q ≤ 1 + s ,         3 1 + s < p ≤ ∞ .

本文旨在运用类似的方法，得出无磁阻抗速度有旋的Hall-MHD系统在 H m ( ℝ 3 ) ( m ≥ 3 ) 空间的解的正则性判别准则。我们希望通过探索这些问题，为现代偏微分方程理论注入新的思维和元素，同时加深我们对流体动力学中物理现象的理解，为流体力学、实验物理学等领域建立严格的理论数学基础。

本文考虑三维无磁阻抗的Hall-MHD系统：

{ ∂ t u + u ⋅ ∇ u + ∇ p − μ Δ u = 1 μ 0 h ⋅ ∇ h , ∂ t h + u ⋅ ∇ h + ν 0 ∇ × [ ( ∇ × h ) × h ] = h ⋅ ∇ u , ∇ ⋅ u = 0 , ∇ ⋅ h = 0 , (1.1)

它描述了在磁场洛伦兹力和霍尔效应的双重作用下，不可压缩磁流体的运动规律以及相应磁场的变化规律。

其中 u : ℝ 3 → ℝ 3 代表速度， h : ℝ 3 → ℝ 3 代表磁场， p : ℝ 3 → ℝ 代表压力。 μ , μ 0 , ν 0 > 0 分别表示恒定粘度、真空渗透率和霍尔效应的比值。不失一般性，我们在本文中假设 μ = μ 0 = ν 0 = 1 。

大部分的证明是在柱坐标 ( r , θ , z ) 中进行的。对于 x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ ℝ 3 ，令：

r = x 1 2 + x 2 2 ,         θ = arctan x 2 x 1 ,         z = x 3 .

当

{ u = u r ( t , r , z ) e r + u θ ( t , r , z ) e θ + u z ( t , r , z ) e z , h = h θ ( t , r , z ) e θ ,

满足系统(1.1)时，我们称解 ( u , h ) 为系统(1.1)的一个轴对称解。其中，基向量 e r , e θ , e z 为

e r = ( x 1 r , x 2 r , 0 ) ,         e θ = ( − x 2 r , x 1 r , 0 ) ,         e z = ( 0 , 0 , 1 ) .

则系统(1.1)可重写为：

{ ∂ t u r + ( u r ∂ r + u z ∂ z ) u r − u θ 2 r + ∂ r p = ( Δ − 1 r 2 ) u r − h θ 2 r , ∂ t u θ + ( u r ∂ r + u z ∂ z ) u θ + u r u θ r = ( Δ − 1 r 2 ) u θ , ∂ t u z + ( u r ∂ r + u z ∂ z ) u z + ∂ z p = Δ u z , ∂ t h θ + ( u r ∂ r + u z ∂ z ) h θ − 2 r h θ ∂ z h θ = h θ u r r , ∂ r u r + u r r + ∂ z u z = 0. (1.2)

轴对称速度 u 的涡度 w 为：

w = ∇ × u = − ∂ z u θ ⋅ e r + ( − ∂ r u z + ∂ z u r ) ⋅ e θ + ( u θ r + ∂ r u θ ) ⋅ e z ,

其中

w r = − ∂ z u θ ,   w θ = ∂ z u r − ∂ r u z ,   w z = ∂ r u θ + u θ r .

它们满足：

{ ∂ t w θ − u r r w θ + ( u z ∂ z + u r ∂ r ) w θ − 2 u θ r ∂ z u θ = − 1 r ∂ z ( h θ ) 2 + ( Δ − 1 r 2 ) w θ , ∂ t w r + ( u r ∂ r + u z ∂ z ) w r = ( w z ∂ z + w r ∂ r ) u r + ( Δ − 1 r 2 ) w r , ∂ t w z + ( u r ∂ r + u z ∂ z ) w z = Δ w z + ( w r ∂ r + w z ∂ z ) u z . (1.3)

下面定义四个在证明主要定理时用到的量：

H : = h θ r ,   Ω : = w θ r ,   J : = w r r ,   Γ = : r u θ .

直接计算可知，它们满足如下方程组：

{ ∂ t Ω + u ⋅ ∇ Ω = ∂ z u θ 2 r 2 − ∂ z H 2 + ( Δ + 2 r ∂ r ) Ω   , ∂ t J + ( u r ∂ r + u z ∂ z ) J = ( Δ + 2 r ∂ r ) J + ( w r ∂ r + w z ∂ z ) ( u r r ) , ∂ t H + ( u z ∂ z + u r ∂ r ) H = ∂ z H 2 , ∂ t Γ + ( u r ∂ r + u z ∂ z ) Γ = Δ Γ − 2 r ∂ r Γ . (1.4)

本文所使用的符号和约定如下： ≲ 等价于 C ≤ ，其中C是任意常数。我们用 C a , b , c , ⋯ 来表示一个与 a , b , c , ⋯ 相关的正常数。对于 l 1 , l 2 , l 3 ∈ ℕ ∪ { 0 } ，我们规定 ∇ L = ∂ x 1 l 1 ∂ x 2 l 2 ∂ x 3 l 3 ，其中 | L | = l 1 + l 2 + l 3 ，为一个多重指标。 L p 代表一般的带范数的勒贝格空间。 W k , p 表示经典的Sobolev空间， W ˙ k , p 表示一般的齐次Sobolev空间，它们对应的范数和半范数如下：

‖ f ‖ W k , p : = ∑ 0 ≤ | L | ≤ k ‖ ∇ L f ‖ L p , | f | W ˙ k , p : = ∑ | L | = k ‖ ∇ L f ‖ L p ,

其中， 1 ≤ p ≤ ∞ 且 k ∈ ℕ 。当 p = 2 时，我们分别用 H k 和 H ˙ k 来代表 W k , p 和 W ˙ k , p 。对于任意Banach空间X，如果 ‖ v ( t , ⋅ ) ‖ X ∈ L p ( 0 , T ) ，那么我们说 v : [ 0 , T ] × ℝ 3 → ℝ 属于Banach空间 L p ( 0 , T ; X ) 。

同时，将 L p ( 0 , T ; X ) 简记为 L T p X 。若一个函数f属于两个Banach空间 X 1 与 X 2 的交集，则将f的Yudovich-型范数表示为：

‖ f ‖ X 1 ∩ X 2 : = ‖ f ‖ X 1 + ‖ f ‖ X 2 .

本文的主要结论如下：

定理1.1对任意 0 < T * < ∞ ，令 ( u , h ) ∈ C ( [ 0 , T * ] ; H m ( ℝ 3 ) ) ( m ≥ 3 ) 为系统(1.1)的强解，假设初始值 ( u 0 , h 0 , h 0 ⋅ e θ r ) ∈ H m ( ℝ 3 ) 是轴对称的，且满足 ∇ ⋅ u 0 = 0 。如果

∫ 0 T * ‖ ∂ z h θ r ( t , ⋅ ) ‖ L ∞ d t + ∫ 0 T * ‖ u θ r s ( t , ⋅ ) ‖ L p q d t < ∞   ,

那么 ( u , h ) ( t , ⋅ ) 在 T * 时刻之前一直属于 H m ( ℝ 3 ) ， 3 p + 2 q ≤ 1 + s ， p > 3 1 + s 。

推论1.2对任意 0 < T * < ∞ ，令 ( u , h ) ∈ C ( [ 0 , T * ] ; H m ( ℝ 3 ) ) ( m ≥ 3 ) 为系统(1.1)的强解，假设初始值 ( u 0 , h 0 , h 0 ⋅ e θ r ) ∈ H m ( ℝ 3 ) 是轴对称的，且满足 ∇ ⋅ u 0 = 0 。如果

∫ 0 T * ‖ ∂ z h θ r ( t , ⋅ ) ‖ L ∞ d t + ∫ 0 T * ‖ ∇ × ( u θ e θ ) ‖ L p q d t < ∞   ,

那么 ( u , h ) ( t , ⋅ ) 在 T * 时刻之前一直属于 H m ( ℝ 3 ) ，其中 3 p + 2 q ≤ 2 ， p > 3 2 。

创新点：关于Hall-MHD系统的研究结果有很多，然而无磁阻抗的Hall-MHD系统研究结果几乎没有。其主要原因是：对于无磁阻抗的Hall-MHD系统，不能像处理有磁阻尼的Hall-MHD系统那样利用耗散项 − ν Δ h 控制高阶非线性霍尔效应项 ν 0 ∇ × [ ( ∇ × h ) × h ] 。即使是速度场 u ≡ 0 ，系统(1.4)也会在有限时间内爆破。为了解决这一困难，我们在之前研究无磁阻抗无旋系统的论文 [ 14 ] [ 15 ] 中，引入了磁场量相关量 H : = h θ / r 与速度场相关量 Ω : = w θ / r ，并对 ( H , Ω ) 所组成的系统进行能量估计。然而，对于无磁阻抗有旋的Hall-MHD系统，其初始速度的旋度分量不为0，从而 w r = − ∂ z u θ 与 w z = ∂ r u θ + u θ / r 也不为零，因此不能像无旋系统那样仅利用 ( H , Ω ) 的系统进行能量估计。为此，本文额外引入速度场相关量 J : = w r / r ，对 ( H , Ω , J ) 所组成的系统进行能量估计，最终给出系统(1.4)的解的正则性判别准则。

拓展的方向：本文给出了无磁阻抗的Hall-MHD系统在Sobolev空间 H m ( ℝ 3 ) ( m ≥ 3 ) 的正则性判别条件，但Hall-MHD系统在Sobolev空间 H m ( ℝ 3 ) ( m ≥ 3 ) 的全局适定性问题仍未解决。此外，无磁阻抗的Hall-MHD系统在更低阶的Sobolev空间中的正则性判别准则，也是我们需要考虑的问题。

接下来，将在第2节中介绍一些必要的引理，主要结果的证明将在第3节和第4节中进行。

下面的引理是 [ 13 ] 的引理3.1和 [ 15 ] 的引理3.1的直接推论：

引理3.1 (基本能量估计) 令 ( u , h ) 为系统(1.2)的一个光滑解，我们有：

1) 对任意 p ∈ [ 1 , ∞ ] ， t ∈ ℝ + ，

‖ H ( t , ⋅ ) ‖ L p = ‖ H 0 ‖ L p ; ‖ Γ ( t , ⋅ ) ‖ L p ≤ ‖ Γ 0 ‖ L p . (3.1)

2) 对于 u 0 , h 0 ∈ L 2 且 t ∈ ℝ + ，我们有

‖ ( u ( t , ⋅ ) , h ( t , ⋅ ) ) ‖ L 2 2 + ∫ 0 t ‖ ∇ u ( s , ⋅ ) ‖ L 2 2 d s ≤ C 0 ( 1 + t ) 2 , (3.2)

其中 C 0 只依赖于 ‖ ( u 0 , h 0 ) ‖ L 2 。

3.2 3.2定义 Ω : = w θ r ， J : = w r r 。令 ( u , h ) 为系统 的唯一局部轴对称解，初值 ( u 0 , h 0 ) ∈ H m ( ℝ 3 ) ( m ≥ 3 ) ，则下面 ( Ω , J ) 的 L t ∞ L 2 ∩ L t 2 H ˙ 1 估计成立：

sup 0 ≤ t ≤ T * ‖ ( Ω , J ) ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ∫ 0 T * ‖ ∇ ( Ω , J ) ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 < ∞ .

证明 我们从 Ω 开始估计，在方程(1.4)₁两边乘以 Ω ，并在 ℝ 3 上积分得到：

1 2 d d t ‖ Ω ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ‖ ∇ Ω ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 = − 1 2 ∫ ℝ 3 u ⋅ ∇ Ω 2 d x ︸ O 1 + ∫ ℝ 3 ∂ r Ω 2 r d x ︸ O 2 − ∫ ℝ 3 Ω ⋅ ∂ z H 2 d x ︸ O 3 + ∫ ℝ 3 ∂ z ( u θ ) 2 ⋅ Ω r 2 d x ︸ O 4 .

首先处理 O 1 ， O 2 和 O 3 。

O 1 = 1 2 ∫ ℝ 3 ∇ ⋅ u ⋅ Ω 2 d x = 0.

O 2 = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 ∞ ∫ ℝ ∂ r Ω 2 r ⋅ r d z d r = 2 π ∫ ℝ Ω 2 ( t , ∞ , z ) − Ω 2 ( t , 0 , z ) d z = − 2 π ∫ ℝ Ω 2 ( t , 0 , z ) ≤ 0.

最后一个等式是由 u 在边界上为0得到的。

O 3 = | ∫ ℝ 3 ∂ z Ω ⋅ H 2 | ≤ ‖ ∂ z Ω ( t , ⋅ ) ‖ L 2 ‖ H ( t , ⋅ ) ‖ L 4 2 ≤ 1 2 ‖ ∂ z Ω ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + 1 2 ‖ H ( t , ⋅ ) ‖ L 4 4 .

接下来估计 O 4 。

O 4 = ∫ ℝ 3 2 u θ ∂ z u θ r 2 Ω d x = − ∫ 2 u θ r ⋅ J ⋅ Ω d x ≤ 2 ∫ ℝ 3 | u θ r | 1 2 | J | d x ⋅ ∫ | u θ r | 1 2 | Ω | d x ≤ ∫ ℝ 3 | u θ r | | J | 2 d x + ∫ ℝ 3 | u θ r | | Ω | 2 d x ≜ O 41 + O 42 .

上面结果是由Cauchy-Schwartz不等式和Young不等式得到的。接下来，分别对 O 41 与 O 42 进行估计，从而得到 O 4 的估计。

O 41 = ∫ ℝ 3 | u θ | r s | J | 2 r 1 − s d x ≤ C ‖ u θ r s ‖ L p ‖ | J | 2 r 1 − s ‖ L p ′ .

这里我们运用了Hölder不等式，其中 p ′ = p p − 1 。

情形1： 0 ≤ s ≤ 1

利用引理2.1，我们有：

‖ | J ( t , ⋅ ) | 2 r 1 − s ‖ L p ′ = ( ∫ ℝ 3 | J | 2 p ′ r ( 1 − s ) p ′ d x ) 1 p ′ = ( ∫ ℝ 3 | J | 2 p ′ r ( 1 − s ) p ′ 2 p ′ ⋅ 2 p ′ ) 1 2 p ′ ⋅ 2 ≤ ( C ‖ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 1 2 + s 2 − 3 2 p ‖ ∇ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 1 2 − s 2 + 3 2 p ) 2 ,

其中， θ = ( 1 − s ) p ′ ， q * = 2 p ′ 。因此，通过Young不等式， O 41 可以估计如下。

当 p > 3 1 + s ：

O 41 ≤ C ‖ u θ r s ‖ L p ‖ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 1 + s − 3 p ‖ ∇ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 1 − s + 3 p ≤ C ‖ u θ r s ‖ L p 2 p p ( 1 + s ) − 3 ‖ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + 1 4 ‖ ∇ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 .

当 p = 3 1 + s ：

O 41 ≤ C s ‖ u θ r s ‖ L p ‖ ∇ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 .

类似地， O 42 可以估计如下：

O 42 ≤ { C s , p ‖ u θ r s ( t , ⋅ ) ‖ L p 2 p ( 1 + s ) p − 3 ‖ Ω ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + 1 4 ‖ ∇ Ω ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 , 当   p > 3 1 + s ; C s ‖ u θ r s ( t , ⋅ ) ‖ L p ‖ Ω ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 , 当   p = 3 1 + s . s

情形2： s > 1

当 p > 3 1 + s ：

O 41 = ∫ ℝ 3 | u θ r s | 2 s + 1 ⋅ ( r u θ ) s − 1 s + 1 ⋅ | J ( t , ⋅ ) | 2 d x ≤ ‖ Γ 0 ‖ L 2 p ( 1 + s ) ( 1 + s ) ( p − 2 ) + 2 s − 1 s + 1 ‖ u θ r s ‖ L p 2 s + 1 ‖ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 p ( 1 + s ) p ( 1 + s ) − 2 2 ≤ ‖ Γ 0 ‖ L 2 p ( 1 + s ) ( 1 + s ) ( p − 2 ) + 2 s − 1 s + 1 ‖ u θ r s ‖ L p 2 s + 1 ‖ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 1 − 3 p ( 1 + s ) ‖ ∇ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 3 p ( 1 + s ) ≤ C ‖ Γ 0 ‖ L ∞ , s , p ‖ u θ r s ‖ L p 2 p ( 1 + s ) p − 3 ‖ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + 1 4 ‖ ∇ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 .

这里，第一个不等式使用了Hölder不等式和引理3.1，第二个和第三个不等式分别使用引理2.1和Young不等式。

当 p = 3 1 + s ：

O 41 ≤ C s ‖ u θ r s ‖ L p ‖ ∇ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 .

类似地，我们得到 O 42 的估计。

当 p > 3 1 + s ：

O 42 ≤ C ‖ Γ 0 ‖ L ∞ , s , p ‖ u θ r s ‖ L p 2 p ( 1 + s ) p − 3 ‖ Ω ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + 1 4 ‖ ∇ Ω ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 .

当 p = 3 1 + s ：

O 42 ≤ C s ‖ u θ r s ‖ L p ‖ ∇ Ω ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 .

由此可得：

当 p > 3 1 + s ：

1 2 d d t ‖ Ω ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + 1 4 ‖ ∇ Ω ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 ≤ 1 2 ‖ H ( t , ⋅ ) ‖ L 4 4 + 1 4 ‖ ∇ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + C ‖ Γ 0 ‖ L ∞ , s , p ‖ u θ r s ‖ L p 2 p ( 1 + s ) p − 3 ( ‖ Ω ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ‖ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 ) .

那么，由引理3.1的方程(3.1)₁，推导出

d d t ‖ Ω ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + 1 2 ‖ ∇ Ω ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 ≤ C + 1 2 ‖ ∇ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + C ‖ Γ 0 ‖ L ∞ , s , p ‖ u θ r s ‖ L p 2 p ( 1 + s ) p − 3 ( ‖ Ω ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ‖ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 ) . (3.3)

当 p = 3 1 + s ：

1 2 d d t ‖ Ω ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ‖ ∇ Ω ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 ≤ 1 2 ‖ ∇ Ω ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + 1 2 ‖ H ( t , ⋅ ) ‖ L 4 4 + C ‖ Γ 0 ‖ L ∞ , s , p ‖ u θ r s ‖ L p ( ‖ ∇ Ω ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ‖ ∇ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 ) .

这等价于下面这个方程。

d d t ‖ Ω ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ‖ ∇ Ω ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 ≤ C ‖ Γ 0 ‖ L ∞ , s , p ( 1 + ‖ u θ r s ‖ L p ( ‖ ∇ Ω ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ‖ ∇ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 ) ) . (3.4)

接下来，处理J的方程。类似于 Ω 方程的处理，我们将方程(1.4)乘以J，并对 ℝ 3 积分，得到以下结果。

1 2 d d t ‖ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ‖ ∇ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 ≤ ∫ ℝ 3 ( ∇ × ( u θ ⋅ e θ ) ) ⋅ ∇ ( u r r ) ⋅ J d x = ∫ ℝ 3 u θ ⋅ e θ ⋅ ( ∇ J × ∇ u r r ) d x = ∫ ℝ 3 u θ ( ∂ r u r r ∂ z J − ∂ z u r r ∂ r J ) d x ≤ 1 2 ∫ ℝ 3 | u θ | 2 | ∇ u r r | 2 d x + 1 2 ‖ ∇ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 .

第一个不等式使用了下列计算结果。

∫ ℝ 3 u ⋅ ∇ J ⋅ J d x = 0   . ∫ ℝ 3 1 r ∂ r ( ∂ z u θ r ) 2 d x = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 ∞ ∫ ℝ ∂ r r ( ∂ z u θ r ) 2 d z d r ≤ 0   .

∫ ℝ 3 ( w r ∂ r + w z ∂ z ) ( u r r ) J d x = ∫ ℝ 3 ( ∇ × ( u θ ⋅ e θ ) ) ⋅ ∇ ( u r r ) ⋅ J d x .

所以我们得到了以下的不等式：

d d t ‖ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ‖ ∇ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 ≲ ∫ ℝ 3 | u θ | 2 | ∇ u r r | 2 d x .

然后用与估计 O 41 相同的方法对J的方程进行处理。

当 p > 3 1 + s ：

d d t ‖ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ‖ ∇ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 ≤ ‖ Γ 0 ‖ L ∞ 2 s s + 1 ∫ ℝ 3 | u θ r s | 2 s + 1 | ∇ u r r | 2 d x .

接下来，我们使用Hölder不等式和引理2.2得到以下估计。

d d t ‖ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ‖ ∇ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 ≤ ‖ Γ 0 ‖ L ∞ 2 s s + 1 ‖ u θ r s ‖ L p 2 s + 1 ‖ ∇ u r r ‖ L 2 2 − 6 p ( 1 + s ) ‖ ∇ u r r ‖ L 6 6 p ( 1 + s ) ≤ ‖ Γ 0 ‖ L ∞ 2 s s + 1 ‖ u θ r s ‖ L p 2 s + 1 ⋅ ‖ Ω ‖ L 2 2 − 6 p ( 1 + s ) ‖ ∇ Ω ‖ L 6 6 p ( 1 + s ) ≤ C ‖ Γ 0 ‖ L ∞ , s , p ‖ u θ r s ‖ L p 2 p ( 1 + s ) p − 3 ‖ Ω ‖ L 2 2 + 1 4 ‖ ∇ Ω ‖ L 2 2 . (3.5)

当 p = 3 1 + s ：

d d t ‖ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ‖ ∇ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 ≤ C ‖ Γ 0 ‖ L ∞ , s , p ‖ u θ r s ‖ L 3 1 + s 2 s + 1 ‖ ∇ Ω ‖ L 2 2 . (3.6)

结合(3.3)与(3.5)很容易得到：

当 p > 3 1 + s ：

d d t ( ‖ Ω ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ‖ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 ) + ( ‖ ∇ Ω ‖ L 2 2 + ‖ ∇ J ‖ L 2 2 ) ≤ C + C ‖ Γ 0 ‖ L ∞ , s , p ‖ u θ r s ‖ L p 2 p ( 1 + s ) p − 3 ( ‖ Ω ‖ L 2 2 + ‖ J ‖ L 2 2 ) .

对上述两个方程应用Gronwall不等式和定理1.1中的条件 ∫ 0 T * ‖ u θ r s ( t , ⋅ ) ‖ L p q d t < ∞ 得到：

‖ Ω ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ‖ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ∫ 0 t ‖ ∇ Ω ( k , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ‖ ∇ J ( k , ⋅ ) ‖ L 2 2 d k ≤ e C ‖ Γ 0 ‖ L ∞ , s , p ∫ 0 t ‖ u θ r s ( k , ⋅ ) ‖ L p 2 p ( 1 + s ) p − 3 d k ⋅ [ ∫ 0 t C d k + ‖ Ω 0 ‖ L 2 2 + ‖ J 0 ‖ L 2 2 ] < ∞ . (3.7)

同样，结合(3.4)和(3.6)，并用上述方法处理得到：

当 p = 3 1 + s ：

‖ Ω ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ‖ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ∫ 0 t ‖ ∇ Ω ( k , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ‖ ∇ J ( k , ⋅ ) ‖ L 2 2 d k ≤ e ∫ 0 t C d k [ C + C ‖ Γ 0 ‖ L ∞ , s , p ( 1 + ‖ u θ r s ( 0 , r , z ) ‖ L p ( ‖ ∇ Ω 0 ‖ L 2 2 + ‖ ∇ J 0 ‖ L 2 2 ) ) ] < ∞ . (3.8)

结合方程(3.7)和(3.8)，命题3.2得证。

与 [ 15 ] 中对推论3.3的证明一样，根据引理2.2，并利用如下插值不等式：

‖ u r r ( t , ⋅ ) ‖ L ∞ ≤ C ‖ u r r ( t , ⋅ ) ‖ L 6 1 / 2 ‖ ∇ u r r ( t , ⋅ ) ‖ L 6 1 / 2 ,

我们可以得到命题3.2的如下推论。

3.3 3.3在与命题3.2相同的假设下，对于任何 t ∈ ( 0 , T * ] ， u r r 满足：

∫ 0 t ‖ u r r ( s , ⋅ ) ‖ L ∞ d s < ∞ .

接下来，我们的目标是推导出 h θ 和 w θ 的 L T * ∞ L p 估计。我们有以下结果：

3.4 3.4在与定理1.1相同的假设下，我们对 h θ 和 w θ 的估计如下

‖ h θ ( t , ⋅ ) ‖ L p ≤ ‖ h 0 ‖ L p exp ( C ∫ 0 t [ ‖ u r r ( s , ⋅ ) ‖ L ∞ + ‖ ∂ z H ( s , ⋅ ) ‖ L ∞ ] d s ) < ∞ , sup 0 ≤ t ≤ T * ‖ w θ ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ∫ 0 T * ‖ ∇ w θ ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 d t + ∫ 0 T * ‖ w θ r ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 d t < ∞ . (3.9)

其中 C > 0 是一个通用常数。

证明 (3.9)₁的第一个不等式在 [ 15 ] 中有详细的证明过程，我们不在这里展开。然后利用推论3.3以及判别条件 ∫ 0 T * ‖ ∂ z h θ r ( t , ⋅ ) ‖ L ∞ d t < ∞ ，可以导出(3.9)₁的第二个不等式。

接下来，对(1.3)₁执行标准 L 2 内积，推导出

d d t ‖ w θ ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ‖ ∇ w θ ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ‖ w θ r ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 ≤ C ( ‖ u θ ( t , ⋅ ) ‖ L 2 ‖ ∇ u θ ( t , ⋅ ) ‖ L 2 ‖ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ‖ H ( t , ⋅ ) ‖ L ∞ 2 ‖ h θ ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 ) .

在 [ 0 , T * ] 上关于t积分，由 u θ 和 h θ 的 L T ∞ L 2 估计、 H 的 L T ∞ L ∞ 估计以及命题3.2中 ( Ω , J ) 的 L T ∞ L 2 估计推导出以下最终不等式

sup 0 ≤ t ≤ T * ‖ w θ ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ∫ 0 T * ‖ ∇ w θ ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 d t + ∫ 0 T * ‖ w θ r ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 d t ≲ sup 0 ≤ t ≤ T * ‖ u θ ( t , ⋅ ) ‖ L 2 sup 0 ≤ t ≤ T * ‖ J ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 ∫ 0 T * ‖ ∇ u θ ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 d t + ‖ H 0 ‖ L ∞ 2 T * sup 0 ≤ t ≤ T * ‖ h θ ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 < ∞ .

命题3.5 在与定理1.1相同的假设下，我们有 w 的 L T ∞ L 2 ∩ L T 2 H 1 估计。

证明 在方程(1.3)₂和(1.3)₃分别做 L 2 能量估计，并将得到的结果式子相加，再利用Gronwall不等式即可得到：

sup 0 ≤ t ≤ T * ‖ ( w r , w z ) ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ∫ 0 T * ( ‖ ( ∇ w r ( t , ⋅ ) , ∇ w z ( t , ⋅ ) ) ‖ + ‖ w r r ( t , ⋅ ) ‖ L 2 ) d t ≤ ‖ ( w r ( 0 , ⋅ ) , w z ( 0 , ⋅ ) ) ‖ L 2 2 exp ( C ∫ 0 T * ‖ b ( t , ⋅ ) ‖ L ∞ 2 d t ) . (3.10)

这里 b = u r e r + u z e z 。对于(3.10)右边指数函数的内部，可以利用Gagliardo-Nirenberg插值不等式、引理2.4和Hölder不等式，以及估计式(3.10)₂推导出：

∫ 0 T * ‖ ∇ b ( t , ⋅ ) ‖ L ∞ 2 d t ≤ C ∫ 0 T * ‖ ∇ b ( t , ⋅ ) ‖ L 2 ‖ ∇ 2 b ( t , ⋅ ) ‖ L 2 d t ≤ C ∫ 0 T * ‖ w θ ( t , ⋅ ) ‖ L 2 ( ‖ ∇ w θ ( t , ⋅ ) ‖ L 2 + ‖ w θ r ( t , ⋅ ) ‖ L 2 ) d t ≤ C ( ∫ 0 T * ‖ w θ ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 d s ) 1 / 2 ( ∫ 0 T * ( ‖ ∇ w θ ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ‖ w θ r ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 ) d t ) 1 / 2 < ∞ .

因此，我们有

sup 0 ≤ t ≤ T * ‖ ( w r , w z ) ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ∫ 0 T * ( ‖ ∇ ( w r , w z ) ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ‖ w r r ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 ) d t < ∞ . (3.11)

结合(3.9)₂和(3.11)得到我们的结论。

3.6 3.6 在与定理1.1相同的条件下，我们有 ∇ u 的 L T 1 L ∞ 估计。

首先回顾 w 的方程。

{ ∂ t w − Δ w = ∇ × ( u ⋅ ∇ u ) − ∇ × ( h ⋅ ∇ h ) , w ( 0 , x ) = ∇ × u 0 ( x ) .

为了简化证明过程，我们把 w 拆成三个部分：

w : = w 0 + w 1 + w 2 ,

其中， w 0 为初值为 ∇ × u 0 ( x ) 的线性抛物型方程的解：

{ ∂ t w 0 − Δ w 0 = 0 , w ( 0 , x ) = ∇ × w 0 ( x ) .

当 t > 0 时，我们只需要考虑 w 1 和 w 2 ，因为 w 0 已经满足证明所需的正则性。同时，具有齐次初始值的 w 1 和 w 2 分别满足

∂ t w 1 − Δ w 1 = − ∇ × ( h ⋅ ∇ h )

和

∂ t w 2 − Δ w 2 = ∇ × ( u ⋅ ∇ u ) .

直接计算可知：

h ⋅ ∇ h = − H h θ e r .

再由引理3.1中 H 的基本能量估计和命题3.4中 h θ 的估计，推导出

h ⋅ ∇ h ∈ L ∞ ( 0 , T * ; L 4 ( ℝ 3 ) ) ⊂ L 4 / 3 ( 0 , T * ; L p ( ℝ 3 ) ) .

因此通过应用引理2.6中热流的最大规律性， ∇ w 1 满足

∇ w 1 ∈ L 4 / 3 ( 0 , T * ; L 4 ( ℝ 3 ) ) .

对于 w 2 ，通过引理2.5中的在 L T 2 H 1 与 L T ∞ L 2 之间插值范数，得到

∇ u ∈ L 8 / 3 ( 0 , T * ; L 4 ( ℝ 3 ) ) .

根据引理2.3，我们有

‖ u ( t , ⋅ ) ‖ L ∞ ≲ ‖ ∇ u ( t , ⋅ ) ‖ L 4 6 / 7 ‖ u ( t , ⋅ ) ‖ L 2 1 / 7 .

接下来，考虑引理3.1中 u 的基本能量估计，可以得到

∫ 0 T * ‖ u ( t , ⋅ ) ‖ L ∞ 8 / 3 d t ≲ ‖ u ( t , ⋅ ) ‖ L ∞ ( 0 , T * ; L 2 ) 8 / 21 ∫ 0 T * ‖ ∇ u ( t , ⋅ ) ‖ L 4 16 / 7 d t ≲ ‖ u ( t , ⋅ ) ‖ L ∞ ( 0 , T * ; L 2 ) 8 / 21 ( ∫ 0 T * ‖ ∇ u ( t , ⋅ ) ‖ L 4 8 / 3 d t ) 6 / 7 T * 1 / 7 < ∞   .

我们有

u ⋅ ∇ u ∈ L 4 / 3 ( 0 , T * ; L 4 ( ℝ 3 ) ) .

根据引理2.6中的(2.1)，显然有

∇ w 2 ∈ L 4 / 3 ( 0 , T * ; L 4 ( ℝ 3 ) ) .

然后是 w 1 的估计和 w 2 的估计

w ∈ L 4 / 3 ( 0 , T * ; L 4 ( ℝ 3 ) ) . (3.12)

现在结合引理2.3和引理2.4得到

‖ ∇ u ( t , ⋅ ) ‖ L ∞ ≲ ‖ ∇ u ( t , ⋅ ) ‖ L 2 1 / 7 ‖ ∇ 2 u ( t , ⋅ ) ‖ L 4 6 / 7 ≲ ‖ w ( t , ⋅ ) ‖ L 2 1 / 7 ‖ ∇ w ( t , ⋅ ) ‖ L 4 6 / 7 .

利用(3.12)，即可得到命题3.6，因为：

∫ 0 T * ‖ ∇ u ( t , ⋅ ) ‖ L ∞ d t ≲ ‖ w ‖ L ∞ ( 0 , T * ; L 2 ) 1 / 7 ∫ 0 T * ‖ ∇ w ( t , ⋅ ) ‖ L 4 6 / 7 d t ≤ ‖ w ‖ L ∞ ( 0 , T * ; L 2 ) 1 / 7 ( ∫ 0 T * ‖ ∇ w ( t , ⋅ ) ‖ L 4 4 / 3 d t ) 14 / 9 T * 5 / 14 < ∞   .

3.7 3.7 与定理1.1相同的假设条件，则下列 ∇ h 与 ∇ H 的 L ∞ 估计在 t ≤ T * 上一致成立：

‖ ∇ h ( t , ⋅ ) ‖ L ∞ ≤ ‖ ∇ h 0 ‖ L ∞ exp ( C ∫ 0 t ( ‖ ∇ u ( s , ⋅ ) ‖ L ∞ + ‖ ∂ z H ( s , ⋅ ) ‖ L ∞ ) d s ) , ‖ ∇ H ( t , ⋅ ) ‖ L ∞ ≤ ‖ ∇ H 0 ‖ L ∞ exp ( C ∫ 0 t ( ‖ ∇ u ( s , ⋅ ) ‖ L ∞ + ‖ ∂ z H ( s , ⋅ ) ‖ L ∞ ) d s ) . (3.13)

其中 C > 0 是一个通用常数。

证明 首先，注意到

| ∇ h | ≃ | ∂ r h θ | + | ∂ z h θ | + | H | .

H 的 L T * ∞ L ∞ 估计已经在引理3.1中得到，因此我们只需要关注剩下的两项 ∂ r h θ 和 ∂ z h θ 。对方程(1.2)₄分别应用 ∇ ¯ = ( ∂ r , ∂ z ) ，然后对得到的两个结果方程分别执行 L p ( 2 ≤ p < ∞ ) 能量估计，得到：

‖ ∇ ¯ h θ ( t , ⋅ ) ‖ L p p ≤ C p ‖ ∇ ¯ h θ ( t , ⋅ ) ‖ L p p − 1 ( ‖ ∇ u ( t , ⋅ ) ‖ L ∞ + ‖ ∂ z H ( t , ⋅ ) ‖ L ∞ ) × ( ‖ ∇ ¯ h θ ( t , ⋅ ) ‖ L p + ‖ H ( t , ⋅ ) ‖ L p ) . (3.14)

在方程(3.14)两边同时除以 p ‖ ∇ ¯ h θ ( t , ⋅ ) ‖ L p p − 1 ，并注意到 d d t ‖ H ( t , ⋅ ) ‖ L p ≡ 0 ，我们有

d d t ‖ ∇ h ( t , ⋅ ) ‖ L p ≤ C ( ‖ ∇ u ( t , ⋅ ) ‖ L ∞ + ‖ ∂ z H ( t , ⋅ ) ‖ L ∞ ) ‖ ∇ h ( t , ⋅ ) ‖ L p .

由此，通过Gronwall不等式，我们有以下估计：

‖ ∇ h ( t , ⋅ ) ‖ L p ≤ ‖ ∇ h 0 ‖ L p exp ( C ∫ 0 t ( ‖ ∇ u ( s , ⋅ ) ‖ L ∞ + ‖ ∂ z H ( s , ⋅ ) ‖ L ∞ ) d s ) ,         ∀ t ∈ ( 0 , T * ] .

上面的常数C与 p ∈ [ 2 , ∞ ) 无关。令 p → ∞ ，我们得到(3.13)₁。

对方程(1.4)₃两边同时应用 ∂ r ，然后两边乘以 p ∂ r H | ∂ r H | p − 2 ，并在 ℝ 3 上积分，我们得到：

d d t ‖ ∂ r H ( t , ⋅ ) ‖ L p p ≤ 2 p ∫ ℝ 3 ∂ z H | ∂ r H | p d x + 2 p ∫ ℝ 3 H ∂ r ∂ z H ∂ r H | ∂ r H | p − 2 d x ︸ N H                                                   + C p ∫ ℝ 3 | ∇ u | | ∇ H | | ∂ r H | p − 1 d x ,         p ≥ 2. (3.15)

通过分部积分， N H 可以被估计如下：

N H = 2 ∫ ℝ 3 H ∂ z | ∂ r H | p d x = − 2 ∫ ℝ 3 ∂ z H | ∂ r H | p d x .

把上述结果代入方程(3.15)，然后应用Hölder不等式得到：

d d t ‖ ∂ r H ( t , ⋅ ) ‖ L p p ≲ p ( ‖ ∇ u ( s , ⋅ ) ‖ L ∞ + ‖ ∂ z H ( s , ⋅ ) ‖ L ∞ ) ‖ ∇ H ( t , ⋅ ) ‖ L p p . (3.16)

用同样的方法，对(1.4)₃两边关于z求导，并做执行 L p 估计，得到以下结果：

d d t ‖ ∂ z H ( t , ⋅ ) ‖ L p p ≲ p ( ‖ ∇ u ( s , ⋅ ) ‖ L ∞ + ‖ ∂ z H ( s , ⋅ ) ‖ L ∞ ) ‖ ∇ H ( t , ⋅ ) ‖ L p p . (3.17)

结合方程(3.16)和(3.17)，在不等式两边同时除以 p ‖ ∇ H ( t , ⋅ ) ‖ L p p − 1 ，我们可以得到：

d d t ‖ ∇ H ( t , ⋅ ) ‖ L p ≲ ( ‖ ∇ u ( s , ⋅ ) ‖ L ∞ + ‖ ∂ z H ( s , ⋅ ) ‖ L ∞ ) ‖ ∇ H ( t , ⋅ ) ‖ L p .

注意到上述估计与 p ≥ 2 是一致的。利用Gronwall不等式，令 p → ∞ ，即证引理。

最后，我们推导出了系统(1.1)的高阶估计。我们通过联合系统(1.1)和 H 的能量估计，从而克服缺乏磁场阻尼所产生的困难。具体证明可参见 [ 15 ] 3.7节。我们在这里仅给出证明关键步骤：

{ ∂ t u + u ⋅ ∇ u + ∇ p − Δ u = h ⋅ ∇ h , ∂ t h + u ⋅ ∇ h − h ⋅ ∇ u = 2 H ∂ z h , ∂ t H + u ⋅ ∇ H − 2 H ∂ z H = 0. (3.18)

对上面三个方程做 H ˙ m 能量估计，有

1 2 d d t ‖ ∇ m ( u , h , H ) ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ‖ ∇ m + 1 u ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 = − ∫ ℝ 3 [ ∇ m , u ⋅ ∇ ] u ∇ m u d x ︸ I 1 + ∫ ℝ 3 [ ∇ m , h ⋅ ∇ ] h ∇ m u d x ︸ I 2 − ∫ ℝ 3 [ ∇ m , u ⋅ ∇ ] h ∇ m h d x ︸ I 3 + ∫ ℝ 3 [ ∇ m , h ⋅ ∇ ] u ∇ m h d x ︸ I 4       + ∫ ℝ 3 [ ∇ m , u ⋅ ∇ ] H ∇ m H d x ︸ I 5 + 2 ∫ ℝ 3 ∇ m ( H ∂ z h ) ∇ m h d x ︸ I 6 + 2 ∫ ℝ 3 ∇ m ( H ∂ z H ) ∇ m H d x ︸ I 7 . (3.19)

利用引理2.7、Hölder不等式，对于 I j , j = 1 , ⋯ , 7 有

I j ≲ ‖ ∇ ( u , h ) ( t , ⋅ ) ‖ L ∞ ‖ ∇ m ( u , h ) ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 ,         ∀ j = 1 , 2 , 3 , 4   ;

I 5 ≲ ‖ ∇ ( u , H ) ( t , ⋅ ) ‖ L ∞ ‖ ∇ m ( u , H ) ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 ;

I 6 ≲ ‖ ∂ z H ( t , ⋅ ) ‖ L ∞ ‖ ∇ m h ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 + ‖ ∇ ( h , H ) ( t , ⋅ ) ‖ L ∞ ‖ ∇ m ( h , H ) ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 ;

I 7 = − ∫ ℝ 3 ∂ z H | ∇ m H | 2 d x + 2 ∫ ℝ 3 [ ∇ m , H ∂ z ] H ∇ m H d x ≲ ‖ ∇ H ( t , ⋅ ) ‖ L ∞ ‖ ∇ m H ( t , ⋅ ) ‖ L 2 2 .

将 I j , j = 1 , ⋯ , 7 代入方程(3.19)得到

d d t ‖ ( u , h , H ) ( t , ⋅ ) ‖ H ˙ m 2 ≤ C ‖ ∇ ( u , h , H ) ( t , ⋅ ) ‖ L ∞ ‖ ( u , h , H ) ( t , ⋅ ) ‖ H ˙ m 2 .

结合引理3.1的(3.1)和(3.2)，并应用插值得出对全Sobolev范数的估计如下：

d d t ‖ ( u , h , H ) ( t , ⋅ ) ‖ H m 2 ≤ C ‖ ∇ ( u , h , H ) ( t , ⋅ ) ‖ L ∞ ‖ ( u , h , H ) ( t , ⋅ ) ‖ H m 2 .

最后，由Gronwall不等式和命题3.6、命题3.7的结论，定理1.1得证。