在具有较高对称性的图中，正则Cayley图是一类特殊的对称图。称一个图Γ为2-正则图，如果Γ的全自同构群AutΓ作用在2-弧集上正则。本文给出了点稳定子为F₂₀的5度无核2-正则Cayley图在Cayley子集全为2阶元情况下的全部分类。

无核，2-正则，Cayley图

Xin Ru, Bo Ling^*

School of Mathematics and Computer Sciences, Yunnan Minzu University, Kunming Yunnan

Received: Jan. 19^th, 2024; accepted: Jan. 31^st, 2024; published: Feb. 29^th, 2024

Among graphs with higher symmetry, regular Cayley graphs are a special class of symmetric graphs. A graph Γ is called 2-regular if its full automorphism group AutΓ acts regularly on its 2-arcs. In this paper, it gives a complete classification of core-free pentavalent 2-regular Cayley graphs with the vertex stabilizer F₂₀, where all Cayley subsets are 2-order elements.

Keywords:Core-Free, 2-Regular, Cayley Graph

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为方便研究，本文假设所有的图都是有限、简单、连通和无向的。

设Γ是一个图， V Γ 、 E Γ 、 A r c Γ 和 Aut Γ 分别代表图的顶点集、边集、弧集和全自同构群， val Γ 表示图Γ的度数。

设 X ≤ Aut Γ ，s是一个正整数。一个图Γ被称为是 ( X , s ) -弧传递的，如果X传递作用在Γ的 s -弧集上，其中，s-弧是一个由 s + 1 个顶点组成的 ( s + 1 ) -数组，且对于 ∀ i ， v i − 1 ≠ v i + 1 ，满足 ( v i − 1 , v i ) ∈ E Γ 。称图Γ为s-弧正则图，如果它的全自同构群在其弧集上是正则的。

设G是有限群，其单位元素是1，一个图Γ被称为G的一个Cayley图，如果在G中有一个子集S，满足 1 ∉ S ，且 S = S − 1 ，使得

V Γ = G ， E Γ = { ( s , s g ) | g ∈ G , s ∈ S } ，

其中 S − 1 = { s − 1 | s ∈ S } 。我们用 Cay ( G , S ) 表示Cayley图Γ，Cayley图Γ的度数为 | S | ，另外，G可以被看作 Aut Γ 的一个正则子群，其中G右乘作用在 V Γ 上。为了方便，我们仍然用G代表这个正则子群，则Cayley图是点传递的；相反，一个点传递图Γ是群G的一个Cayley图，当且仅当 Aut Γ 包含同构于G的一个正则子群。一个Cayley图 Cay ( G , S ) 被称为G的一个正规Cayley图，如果G是 Aut ( Cay ( G , S ) ) 的一个正规子群；称 Cay ( G , S ) 是无核的，如果G在某些 X ≤ Aut ( Cay ( G , S ) ) 中是无核的，即 Core X ( G ) : = ∩ x ∈ X G X = 1 。

图的对称性研究一直都是群与图的一个热门话题，而Cayley图作为一种特殊的点传递图，因其构造简单、高度对称、品种多样，更是备受国内外学者的关注，有着丰富的研究成果，因此，正则Cayley图作为其中一类非常特殊的Cayley图，也得到了人们的广泛研究。对于一个图Γ，称图Γ为1-正则图，如果Γ的全自同构群 Aut Γ 作用在其弧集上正则。图论学者最初从3度1-正则图开始研究，文献 [ 1 ] 中R. Frucht构造出了第一个3度1-正则图的例子；Li和Lou等在文献 [ 2 ] 中证明了如果5度的 ( X , 1 ) -正则Cayley图不是正规或双正规的，则它在同构意义下是两个无核图中其中一个的正规覆盖；Ling和Lou在文献 [ 3 ] 中给出了连通无核5度1-传递Cayley图的完全分类；Li和Lou在文献 [ 4 ] 中给出了7度无核1-正则Cayley图的完全分类；另外，关于5度图的更多性质和分类结果可参见文献 [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] 。

本文主要针对Cayley子集全为2阶元的点稳定子为F₂₀的5度无核2-正则Cayley图进行研究和分类，得到以下主要结果：

定理1.1 设 Γ = Cay ( G , S ) 是无核5度2-正则Cayley图， ( Aut Γ ) 1 是1在 Aut Γ 中的稳定子，且同构于F₂₀，其中，Cayley子集全由2阶元组成，则下列之一成立：

1) Γ同构于表1中的一个图；

2) 存在一个 Aut Γ 的子群X，使得 G ≤ X ，且G在X中无核。进一步，G和X的结构见表2。

表1. 点稳定子为F₂₀的5度无核2-正则Cayley图

表2. 点稳定子为F₂₀的5度无核2-正则Cayley图的候选

设X是有限群，H是X的无核子群，对于一个元素 g ∈ X − H ，定义图 Γ = Cos ( X , H , g ) ，顶点集 [ X : H ] 是H在X中的右陪集，使得Hx和Hy相邻当且仅当 y x − 1 ∈ H g H ，则 X ≤ Aut Γ 在它的弧集上传递，其中X右乘作用在 [ X : H ] 上，这样的图叫做陪集图，且Γ连通当且仅当 ，Γ的度为 | H : H ∩ H g | 。另外，若有一个正则子群G，则 Γ = Cay ( G , G ∩ H g H ) 。

对于一个无核X-弧传递Cayley图 Γ = Cay ( G , S ) ，其中 G ≤ X ≤ Aut Γ ，设 v ∈ V Γ ， H = X v 是v在X中的稳定子群，假设 | H | = n ，考虑X在 [ X : G ] 上的右乘作用，则X是对称群 S n 的一个子群，在这个作用下，H是 S n 的一个正则子群，且G是X中 i ∈ { 1 , 2 , ⋯ , n } 的一个稳定子，不失一般性，我们可以假设G稳定1。由(文献 [ 10 ] ，命题3.2)，我们有以下结论：

引理2.1 设 Γ = Cay ( G , S ) 是一个无核X-弧传递Cayley图， G ≤ X ≤ Aut Γ ，设 v ∈ V Γ ， H = X v 是v在X中的稳定子群，假设 | H | = n ，则X是 S n 的一个子群，且H正则作用在 { 1 , 2 , ⋯ , n } 上。另外，若S包含一个对合 τ ，则 τ ∈ N S n ( H ∩ H τ ) − ( ∪ 1 ≠ K ⊲ H N S n ( K ) ) ， Γ ≅ Cos ( X , H , τ ) ， X = 〈 H , τ 〉 ， G = { σ ∈ X | 1 σ = 1 } ， S = { σ ∈ H τ H | 1 σ = 1 } 。

对于连通5度 ( X , s ) -传递图，由文献 [ 8 ] 和 [ 9 ] ，我们有以下引理：

引理2.2 设Γ是一个5度 ( X , s ) -传递图， X ≤ Aut Γ ，且 s ≥ 1 ，设 v ∈ V Γ ，F₂₀表示20阶的Frobenius群，则：

1) 如果 X v 是可解的，则 | X v | | 80 ，且 s ≤ 3 ，其中， ( X v , s ) 在表3中；

2) 如果 X v 是不可解的，则 | X v | | 2 9 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ，且 2 ≤ s ≤ 5 ，其中， ( X v , s ) 在表4中。

表3. 可解的点稳定子

表4. 不可解的点稳定子

设 Γ = Cay ( G , S ) 是无核5度2-正则Cayley图，因我们仅考虑无向图，则 S = S − 1 ，因此Cayley子集S中一定包含一个对合 τ ，由引理2.1可知，H是S₂₀的一个正则子群。我们可以假设 H = 〈 a , b 〉 ≅ F 20 ，其中 a = ( 113720 ) ( 215618 ) ( 3121016 ) ( 414919 ) ( 511817 ) ， b = ( 115819 ) ( 212717 ) ( 314620 ) ( 4111018 ) ( 513916 ) 。假设 P = 〈 a 〉 ，则 Cay ( G , S ) ≅ Cos ( X , H , τ ) ，其中 τ ∈ N S 20 ( P ) − ( ∪ 1 ≠ K ⊲ H N S 20 ( K ) ) ， X = 〈 H , τ 〉 ≤ S 20 ， G = { σ ∈ X | 1 σ = 1 } ， S = { σ ∈ H τ H | 1 σ = 1 } 。由Magma (文献 [ 11 ] )计算可得 τ 有846种选择，它们在 N S 20 ( H ) 中被分为159种共轭类。本文仅考虑Cayley子集S全为2阶元的情况，共有39种共轭类，它们的代表元如下：

τ 1 = ( 1117 ) ( 1216 ) ( 1320 ) ( 1419 ) ( 1518 ) ,

τ 2 = ( 26 ) ( 310 ) ( 49 ) ( 58 ) ( 1117 ) ( 1216 ) ( 1419 ) ( 1518 ) ,

τ 3 = ( 26 ) ( 310 ) ( 49 ) ( 58 ) ( 1320 ) ,

τ 4 = ( 2 6 ) ( 15 18 ) ,

τ 5 = ( 310 ) ( 49 ) ( 58 ) ( 1320 ) ( 1518 ) ,

τ 6 = ( 312 ) ( 414 ) ( 511 ) ( 817 ) ( 919 ) ( 1016 ) ( 1320 ) ( 1518 ) ,

τ 7 = ( 2 15 ) ( 4 9 ) ( 5 8 ) ( 618 ) ( 12 16 ) ( 13 20 ) ,

τ 8 = ( 2 18 ) ( 4 14 ) ( 5 11 ) ( 6 15 ) ( 8 17 ) ( 9 19 ) ( 12 16 ) ( 13 20 ) ,

τ 9 = ( 2 18 ) ( 3 16 ) ( 6 15 ) ( 10 12 ) ( 11 17 ) ( 13 20 ) ( 14 19 ) ,

τ 10 = ( 2 6 ) ( 4 19 ) ( 5 17 ) ( 8 11 ) ( 9 14 ) ( 12 16 ) ( 13 20 ) ,

τ 11 = ( 2 15 ) ( 3 16 ) ( 4 19 ) ( 5 11 ) ( 6 18 ) ( 8 17 ) ( 9 14 ) ( 10 12 ) ( 13 20 ) ,

τ 12 = ( 2 15 ) ( 3 12 ) ( 4 14 ) ( 5 11 ) ( 6 18 ) ( 8 17 ) ( 9 19 ) ( 10 16 ) ( 13 20 ) ,

τ 13 = ( 2 18 ) ( 3 16 ) ( 4 19 ) ( 5 17 ) ( 6 15 ) ( 8 11 ) ( 9 14 ) ( 10 12 ) ( 13 20 ) ,

τ 14 = ( 2 1 8 ) ( 6 15 ) ( 11 17 ) ( 12 16 ) ( 13 20 ) ( 14 19 ) ,

τ 15 = ( 2 1 5 ) ( 6 18 ) ( 11 17 ) ( 12 16 ) ( 13 20 ) ( 14 19 ) ,

τ 16 = ( 3 10 ) ( 4 9 ) ( 5 8 ) ( 11 17 ) ( 12 16 ) ( 14 19 ) ,

τ 17 = ( 2 6 ) ( 3 10 ) ( 12 16 ) ( 15 18 ) ,

τ 18 = ( 3 16 ) ( 4 19 ) ( 5 17 ) ( 8 11 ) ( 9 14 ) ( 10 12 ) ( 13 20 ) ( 15 18 ) ,

τ 19 = ( 4 14 ) ( 5 11 ) ( 8 17 ) ( 9 19 ) ( 12 16 ) ( 13 20 ) ( 15 18 ) ,

τ 20 = ( 2 6 ) ( 4 14 ) ( 5 11 ) ( 8 17 ) ( 9 19 ) ( 12 16 ) ( 13 20 ) ,

τ 21 = ( 2 15 ) ( 4 19 ) ( 5 17 ) ( 6 18 ) ( 8 11 ) ( 9 14 ) ( 12 16 ) ( 13 20 ) ,

τ 22 = ( 2 18 ) ( 3 12 ) ( 4 14 ) ( 5 11 ) ( 6 15 ) ( 8 17 ) ( 9 19 ) ( 10 16 ) ( 13 20 ) ,

τ 23 = ( 2 15 ) ( 3 16 ) ( 4 19 ) ( 5 17 ) ( 6 18 ) ( 8 11 ) ( 9 14 ) ( 10 12 ) ( 13 20 ) ,

τ 24 = ( 2 15 ) ( 3 10 ) ( 4 9 ) ( 5 8 ) ( 6 18 ) ( 13 20 ) ,

τ 25 = ( 2 6 ) ( 3 16 ) ( 4 19 ) ( 5 17 ) ( 8 11 ) ( 9 14 ) ( 10 12 ) ( 13 20 ) ,

τ 26 = ( 2 18 ) ( 3 10 ) ( 4 9 ) ( 5 8 ) ( 6 15 ) ( 13 20 ) ,

τ 27 = ( 2 18 ) ( 3 16 ) ( 4 14 ) ( 5 11 ) ( 6 15 ) ( 8 17 ) ( 9 19 ) ( 10 12 ) ( 13 20 ) ,

τ 28 = ( 3 16 ) ( 4 14 ) ( 5 11 ) ( 8 17 ) ( 9 19 ) ( 10 12 ) ( 13 20 ) ( 15 18 ) ,

τ 29 = ( 2 6 ) ( 3 12 ) ( 4 19 ) ( 5 17 ) ( 8 11 ) ( 9 14 ) ( 10 16 ) ( 13 20 ) ,

τ 30 = ( 2 6 ) ( 3 16 ) ( 4 14 ) ( 5 11 ) ( 8 17 ) ( 9 19 ) ( 10 12 ) ( 13 20 ) ,

τ 31 = ( 3 12 ) ( 4 19 ) ( 5 17 ) ( 8 11 ) ( 9 14 ) ( 10 16 ) ( 13 20 ) ( 15 18 ) ,

τ 32 = ( 3 12 ) ( 4 9 ) ( 5 8 ) ( 10 16 ) ( 13 20 ) ( 15 18 ) ,

τ 33 = ( 2 1 5 ) ( 3 10 ) ( 4 19 ) ( 5 17 ) ( 618 ) ( 8 11 ) ( 9 14 ) ( 13 20 ) ,

τ 34 = ( 2 15 ) ( 3 12 ) ( 4 9 ) ( 5 8 ) ( 6 18 ) ( 10 16 ) ( 13 20 ) ,

τ 35 = ( 2 6 ) ( 3 10 ) ( 4 1 9 ) ( 5 17 ) ( 8 11 ) ( 9 14 ) ( 13 20 ) ,

τ 36 = ( 2 15 ) ( 3 16 ) ( 6 18 ) ( 10 12 ) ( 11 17 ) ( 1320 ) ( 14 1 9 ) ,

τ 37 = ( 2 18 ) ( 3 12 ) ( 4 9 ) ( 5 8 ) ( 6 15 ) ( 10 16 ) ( 13 20 ) ,

τ 38 = ( 2 15 ) ( 3 16 ) ( 4 9 ) ( 5 8 ) ( 6 18 ) ( 10 12 ) ( 13 20 ) ,

τ 39 = ( 2 18 ) ( 3 12 ) ( 5 8 ) ( 6 15 ) ( 10 16 ) ( 13 20 ) ( 14 19 ) .

现在设 Ω = { 1 , 2 , ⋯ , 20 } ， X j = 〈 H , τ j 〉 ， Γ j = Cos ( X j , H , τ j ) ，其中 j = 1 , 2 , ⋯ , 39 。设 G j = { σ ∈ X j | 1 σ = 1 } ， S j = { σ ∈ H τ j H | 1 σ = 1 } 。注意到，H是 X j 的一个正则子群， G j 是 X j 作用在 Ω 上的1的点稳定子。由此， X j = G j H ，且 G j ∩ H = 1 ，则 G j 正则作用在 [ X j : H ] 上，进而得 Γ j = Cay ( G j , S j ) 。本文主要结论如下：

引理3.1对于 j = 1 , 2 , ⋯ , 11 ，如果 Γ j 是2-正则图，则：

1) j = 5 ， G 5 ≅ ℤ 2 8 : S 4 ， Aut Γ 5 ≅ ℤ 2 8 : ( ℤ 2 2 : S 5 ) ， S 5 = { τ 5 , a 5 , b 5 , c 5 , d 5 } ，且 Γ 5 ≅ Cay ( G 5 , S 5 ) ；

2) j = 7 , 11 ， G 7 ≅ G 11 ≅ ℤ 2 5 : ( Q 8 : S 4 ) ， Aut Γ 7 ≅ Aut Γ 11 ≅ ℤ 2 8 : ( ℤ 2 2 : S 5 ) ， S 7 = { τ 7 , a 7 , b 7 , c 7 , d 7 } ， S 11 = { τ 11 , a 11 , b 11 , c 11 , d 11 } ，且 Γ 7 ≅ Cay ( G 7 , S 7 ) ， Γ 11 ≅ Cay ( G 11 , S 11 ) 。

证明：首先，我们可由Magma分别计算出 Aut Γ j 和 G j 的阶和正规子群以及 S j 中的元素。

对于一个顶点 v ∈ V Γ j ， | ( Aut Γ 1 ) v | = 2880 ， | ( Aut Γ 2 ) v | = | ( Aut Γ 4 ) v | = | ( Aut Γ 6 ) v | = | ( Aut Γ 8 ) v | = | ( Aut Γ 9 ) v | = | ( Aut Γ 10 ) v | = 120 ，则由引理2.2，这些图都不是2-传递图，进而也不是2-正则图。另外， | ( Aut Γ 3 ) v | = 40 ， | ( Aut Γ 5 ) v | = | ( Aut Γ 7 ) v | = | ( Aut Γ 11 ) v | = 20 ，因此， Γ 3 也不是2-正则图， Γ 5 、 Γ 7 、 Γ 11 是2-正则图。下面分别对这三个2-正则图的结构进行分析：

当 j = 5 时，G₅有一个256阶的正规子群是初等交换群 ℤ 2 8 ，且它的补与S₄同构； Aut Γ 5 存在一个正规子群是初等交换群 ℤ 2 8 ，它的补的阶为480，将这个补群记为 C A 5 ，则 C A 5 中有一个正规子群是初等交换群 ℤ 2 2 ，且它的补与S₅同构。所以，我们得 G 5 ≅ ℤ 2 8 : S 4 ， Aut Γ 5 ≅ ℤ 2 8 : ( ℤ 2 2 : S 5 ) 。

当 j = 7 , 11 时， | G 7 | = | G 11 | = 2 11 ⋅ 3 ，G₇和G₁₁均有29个正规子群，且其中一个正规子群是初等交换群 ℤ 2 5 ，记 ℤ 2 5 在G₇和G₁₁中的补群分别为C₇和C₁₁，则C₇和C₁₁中均有一个正规子群与四元数群Q₈同构，且C₇和C₁₁在G₇和C₁₁中的补群同构于S₄，从而得 G 7 ≅ G 11 ≅ ℤ 2 5 : ( Q 8 : S 4 ) ；另外， Aut Γ 7 和 Aut Γ 11 的正规子群中均有一个是初等交换群 ℤ 2 8 ， ℤ 2 8 在 Aut Γ 7 和 Aut Γ 11 中的补群分别记为 C A 7 和 C A 11 ，则 C A 7 和 C A 11 中均有一个正规子群同构于 ℤ 2 2 ，且 ℤ 2 2 在 C A 7 和 C A 11 中的补群同构于S₅，从而得 Aut Γ 7 ≅ Aut Γ 11 ≅ ℤ 2 8 : ( ℤ 2 2 : S 5 ) ，引理得证。

引理3.2 对于 j = 12 , 13 , 14 , 15 ， G 12 ≅ G 13 ≅ G 14 ≅ G 15 ≅ ℤ 2 9 : S 9 ， X 12 ≅ X 13 ≅ X 14 ≅ X 15 ≅ ℤ 2 10 : S 10 ，且 S j = { τ j , a j , b j , c j , d j } ， Γ j ≅ Cay ( G j , S j ) 。

证明：首先由Magma可直接计算出Cayley子集 S j 中的元素以及 G j 的阶和正规子群。

当 j = 12 , 13 , 14 , 15 时， G j 的阶 | G j | = 2 16 ⋅ 3 4 ⋅ 5 ⋅ 7 ，初等交换群 ℤ 2 9 是它们中的一个正规子群，且 ℤ 2 9 在 G j 中的补群与S₉同构，进而可得 G j ≅ ℤ 2 9 : S 9 ；另外，因陪集图连通当且仅当 X = 〈 τ , H 〉 ，又 H = 〈 a , b 〉 ，则有 X j = 〈 a , b , τ j 〉 ，由此我们可以得到 X j 有9个正规子群，其中一个正规子群是初等交换群 ℤ 2 10 ，且 ℤ 2 10 在 X j 中的补群同构于S₁₀，最终有 X j ≅ ℤ 2 10 : S 10 ，引理得证。

引理3.3 对于 j = 16 , 17 ， G 16 ≅ G 17 ≅ ℤ 2 8 : ( A 5 : S 4 ) ， X 16 ≅ X 17 ≅ ℤ 2 8 : ( ( A 5 × A 5 ) : ( ℤ 2 × ℤ 4 ) ) ，且 S j = { τ j , a j , b j , c j , d j } ， Γ j ≅ Cay ( G j , S j ) 。

证明：假设 j = 16 , 17 ，由Magma可计算出Cayley子集S₁₆和S₁₇中的元素，且 | G 16 | = | G 17 | = 2 13 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ， | X 16 | = | X 17 | = 2 15 ⋅ 3 2 ⋅ 5 2 ，G₁₆和G₁₇中均有一个阶为256的正规子群是初等交换群 ℤ 2 8 ，它在G₁₆和G₁₇中的补群分别记为C₁₆和C₁₇，则C₁₆和C₁₇中的一个正规子群同构于A₅，且C₁₆和C₁₇分别在G₁₆和G₁₇中的补群与S₄同构，从而得 G 16 ≅ G 17 ≅ ℤ 2 8 : ( A 5 : S 4 ) 。

进一步地，因 X 16 = 〈 a , b , τ 16 〉 ， X 17 = 〈 a , b , τ 17 〉 ，我们可得X₁₆和X₁₇的阶，它们中均有一个阶为256的正规子群是初等交换群 ℤ 2 8 ，记 ℤ 2 8 在X₁₆和X₁₇中的补群分别记为CX₁₆和CX₁₇，且CX₁₆和CX₁₇中的一个阶为3600的正规子群只有两个阶为60且交为1的非平凡正规子群，因此这个正规子群同构于两个A₅的直积，且这个正规子群在CX₁₆和CX₁₇中的补群是交换群但并非初等交换群，且不同构于循环群 ℤ 8 ，所以该补群必与 ℤ 2 × ℤ 4 同构，从而得 X 16 ≅ X 17 ≅ ℤ 2 8 : ( ( A 5 × A 5 ) : ( ℤ 2 × ℤ 4 ) ) ，引理得证。

引理3.4 对于 j = 18 , 19 , 20 , 21 ， G j ≅ ℤ 2 8 : S 9 ， X j ≅ ( ℤ 2 9 : A 10 ) : ℤ 2 ，且 S j = { τ j , a j , b j , c j , d j } ， Γ j ≅ Cay ( G j , S j ) 。

证明：首先，我们可以由Magma直接计算出Cayley子集 S j 中的元素以及 G j 和 X j 的阶和正规子群。

当 j = 18 , 19 , 20 , 21 时， G j 有4个正规子群，其中一个正规子群是初等交换群 ℤ 2 8 ，且 ℤ 2 8 在 G j 中的补群与置换群S₉同构，因此 G j ≅ ℤ 2 8 : S 9 。另一方面， X j 有5个正规子群，它的阶为 | X j | = 2 17 ⋅ 3 4 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ，将 X j 中一个阶为 2 16 ⋅ 3 4 ⋅ 5 2 ⋅ 7 的正规子群记为 N j ，则 N j 中的一个正规子群是初等交换群 ℤ 2 9 ，且 ℤ 2 9 在 N j 中的补群与A₁₀同构，进而得 N j ≅ ℤ 2 9 : A 10 ，且 N j 在 X j 中的补群是2阶循环群，因此 X j ≅ ( ℤ 2 9 : A 10 ) : ℤ 2 ，引理得证。

引理3.5 对于 j = 22 , 23 , ⋯ , 39 ， G j ≅ A 19 : ℤ 2 ， X j ≅ A 20 : ℤ 2 ，且 S j = { τ j , a j , b j , c j , d j } ， Γ j ≅ Cay ( G j , S j ) 。

证明：首先，我们可以由Magma直接计算出 G j 和 X j 的阶 | G j | = 2 16 ⋅ 3 8 ⋅ 5 3 ⋅ 7 2 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19 ， | X j | = 2 18 ⋅ 3 8 ⋅ 5 4 ⋅ 7 2 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19 ，以及它们的3个正规子群。

当 j = 22 , 23 , ⋯ , 39 时， G j 有一个阶为 2 15 ⋅ 3 8 ⋅ 5 3 ⋅ 7 2 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19 的非平凡正规子群，将其记为 N G j ，则 N G j 只有2个正规子群，即单位元1和它本身，因此 N G j 是单群，同构于交错群A₁₉，且 N G j 在 G j 中的补群与2阶循环群 ℤ 2 同构，因此 G j ≅ A 19 : ℤ 2 ；同样地，我们将 X j 的非平凡正规子群记为 N X j ，则 N X j 也是单群，与交错群A₂₀同构，且 N X j 在 X j 中的补群同构于二阶循环群 ℤ 2 ，进而得 X j ≅ A 20 : ℤ 2 ，引理得证。

对于点稳定子为F₂₀的5度无核2-正则Cayley图Γ，其Cayley子集S中包含的对合 τ 在 N S 20 ( H ) 中共有159种共轭类，本文仅讨论Cayley子集S全为2阶元的情况，共轭类共有39种，其 Aut Γ 、X和G的结构描述在定理1.1中的表格中，在本文的研究基础上，我们之后可以继续研究Cayley子集不全为2阶元的情况，进而可以得到点稳定子为F₂₀的5度无核2-正则Cayley图的完全分类。通过研究和分析，本文证明了在同构意义下，Cayley子集S全为2阶元的点稳定子为F₂₀的5度无核2-正则Cayley图至多只有31个，综合引理3.1、引理3.2、引理3.3、引理3.4和引理3.5的证明，定理1.1得证。

茹 昕,凌 波. Cayley子集S全为2阶元的点稳定子为F₂₀的5度无核2-正则Cayley图Core-Free Pentavalent 2-Regular Cayley Graphs Whose Cayley Subsets S Are All 2-Order Elements with Vertex Stabilizer F₂₀[J]. 理论数学, 2024, 14(02): 599-605. https://doi.org/10.12677/PM.2024.142058