半循环可分组设计在组合编码中有着广泛的应用。根据半循环可分组设计的定义，给出型为t^r，区组长度为5的半循环可分组设计存在的必要条件。再利用循环差阵、t-正则的循环填充及两种递归构造法，得到了型为t^r，区组长度为5的半循环可分组设计存在的若干充分条件。

半循环可分组设计，循环差阵，循环填充，递归构造

Jun Du¹, Yuemei Huang^1,2*

¹College of Mathematics Science, Inner Mongolia Normal University, Hohhot Inner Mongolia

²Inner Mongolia Center for Applied Mathematics, Hohhot Inner Mongolia

Received: Nov. 27^th, 2023; accepted: Dec. 14^th, 2023; published: Jan. 31^st, 2024

Semi-cyclic group divisible design has many applications in combinatorial coding. The necessary condition of semi-cyclic group divisible design of type t^rwith block size 5 was obtained from the definition. In addition, several spectrums of semi-cyclic group divisible design with block size 5 were obtained by employing cyclic difference matrix, t-regular cyclic packing with the aid of two recursive constructions.

Keywords:Semi-Cyclic Group Divisible Design, Cyclic Difference Matrix, Cyclic Packing, Recursive Construction

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设 r , t 和k都是正整数， I r = { 0 , 1 , 2 , ⋯ , r − 1 } 且 Z t 表示模t剩余类加群。令 B * 是点集 X = I r × Z t 的k元子集族(基区组集)。对 I r 中任意两个整数x和y及 B * 中的k-子集B定义

则 Δ x y B * = ∪ B ∈ B * Δ x y B ，其中减法模t计算。 Δ x y B * 中的差称为 B * 的 ( x , y ) 差。若当 x ≠ y 时， Δ x y B * = Z t ，

否则 Δ x y B * = ∅ ，则称 ( X , G , B * ) 是 X = I r × Z t 上，组集为 的一个型为t^r的半循环可分组设计(semi-cyclic group divisible design)，简记为k-SCGDD。

例1 令 X = I 5 × Z 7 ， G = { { x } × Z 7 : x ∈ I 5 } ，则下列7个区组构成型为7⁵的5-SCGDD的基区组：

{ ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , ( 3 , 0 ) , ( 4 , 0 ) } , { ( 0 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 4 ) , ( 4 , 0 ) } ,

{ ( 0 , 2 ) , ( 1 , 4 ) , ( 2 , 6 ) , ( 3 , 1 ) , ( 4 , 0 ) } , { ( 0 , 3 ) , ( 1 , 6 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 5 ) , ( 4 , 0 ) } ,

{ ( 0 , 4 ) , ( 1 , 1 ) , ( 2 , 5 ) , ( 3 , 2 ) , ( 4 , 0 ) } , { ( 0 , 5 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 3 , 6 ) , ( 4 , 0 ) } ,

{ ( 0 , 6 ) , ( 1 , 5 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 3 ) , ( 4 , 0 ) } ,

通过对以上七个基区组的每个元素的第二分量加1并模7运算就可以得到型为7⁵的5-SCGDD的所有区组。

半循环可分组设计的定义由Yin J. [ 1 ] 提出。半循环可分组设计在其它设计和光正交码的构造中有重要的应用，因此它的存在性和组合构造问题被进行了系统地研究。Gallant R. P.等 [ 2 ] 解决了3-SCGDD存在的充要条件。Wang J. [ 3 ] 和Wang K. [ 4 ] 等给出型为 m n 的k-SCGDD的递归构造方法，并解决了4-SCGDD

的存在问题。近期，Wang L.等 [ 5 ] 给出当p为奇素数，t为正整数时，型为 ( p r ) ( p + 1 2 ) t 的 p + 1 2 -SCGDD的存在条件。

目前关于5-SCGDD还没有独立的研究结果，因此本文对5-SCGDD的存在谱和构造问题进行了研究。首先从半循环可分组设计的定义出发，给出了型为t^r的5-SCGDD存在的必要条件，再借助循环差阵和t-正则循环填充设计及递归构造方法得到了型为t^r的5-SCGDD存在的部分充分条件，所得结果丰富了半循环可分组设计的研究内容。

半循环可分组设计的结构与循环差阵、循环填充及平衡不完全区组设计等设计有密切联系，下面给出相关设计的定义。

设 k , t 是正整数。一个循环差阵(CDM)是一个 k × t 阶矩阵 A = ( a i j ) ， a i j ∈ Z t ，且任意两行都满足 { a m j − a n j ( mod t ) : 0 ≤ j ≤ t − 1 } = Z t ，其中 0 ≤ m ， n ≤ k − 1 ， m ≠ n ，记作 ( k , t ) -CDM。

令 v = r t ， X = Z r t ， A 是X的s个k元子集(基区组)的集合。若 Δ A = { b − a ( mod v ) : A i ∈ A , a , b ∈ A i , a ≠ b , 1 ≤ i ≤ s } 包含 Z r t 中的每个非零元至多一次，则 ( X , A ) 称为一个循环填充设计，记作CP ( k , 1 ; r t ) 。特别地，若 Z r t \ Δ A 可构成 Z r t 的一个阶为t的加法子群，则CP ( k , 1 ; r t ) 又记作t-正则CP ( k , 1 ; r t ) 。在文献 [ 6 ] 中，t-正则CP ( k , 1 ; v ) 也被称作差族，简记为 ( v , t , k , 1 ) -DF。

设 v , k , λ 是正整数。一个平衡不完全区组设计，记作BIBD ( k , λ ; v ) (或B ( k , λ ; v ) )，是一个二元组 ( X , B ) ，需满足条件：1) | X | = v ；2) 对任意的 B ∈ B ，都有 | B | = k ；3) X中任意两个不同的元素都恰好包含在λ个区组B中。

半循环可分组设计与以上几个设计之间的关系有如下几个结论。

引理1 [ 3 ] 型为t^k的k-SCGDD与 ( k , t ) -CDM等价。

引理2 [ 3 ] 若t-正则CP ( k , 1 ; r t ) 存在，则存在型为t^r的k-SCGDD。

以下是与半循环可分组设计有关的两个递归构造法。

构造法1 [ 3 ] 若型为t^r和型为m^k的k-SCGDD都存在，则存在型为 ( t m ) r 的k-SCGDD。

构造法2 [ 3 ] 若B ( k , 1 ; v ) 和型为t^k的k-SCGDD存在，则存在型为t^v的k-SCGDD。

以上两种构造方法具有一定的普适性，有助于我们得到更多类型的半循环可分组设计。

文献 [ 7 ] - [ 13 ] 中给出关于B ( 5 , 1 ; v ) 、 ( 5 , t ) -CDM和t-正则CP ( 5 , 1 ; r t ) 的存在条件如下：

引理3 [ 7 ] 当 v ≡ 1 , 5 ( mod 20 ) 且 v ≥ 5 时，B ( 5 , 1 ; v ) 存在。

引理4 [ 8 ] 当t是奇数， t ≠ 3 且 gcd ( t , 27 ) ≠ 9 时， ( 5 , t ) -CDM存在；当 t = 9 p ， p ∈ { 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 27 , 29 , 31 , 109 } 时， ( 5 , t ) -CDM也存在。

引理5 [ 9 ] 当 k ≥ 3 ，t为偶数时， ( k , t ) -CDM不存在； ( 4 , 9 ) -CDM也不存在。

推论1 ( 5 , 9 ) -CDM不存在。

证明：设A是一个 ( k , t ) -CDM。由循环差阵的定义，移除A 任意一行得到一个 ( k − 1 , t ) -CDM；因此，若 ( k − 1 , t ) -CDM不存在，则 ( k , t ) -CDM也不存在。由引理5可知， ( 4 , 9 ) -CDM不存在，故 ( 5 , 9 ) -CDM也不存在。

引理6 [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] 设 t , r 是正整数，则对下列参数，t-正则CP ( 5 , 1 ; r t ) 存在：

1) 当 t = 5 , 15 或45， r ≡ 1 ( mod 4 ) 是素数且 r > 5 ；

2)当 ( t , r ) ∈ { ( 2 , 41 ) , ( 2 , 61 ) , ( 3 , 41 ) , ( 3 , 61 ) , ( 5 , 25 ) , ( 8 , 16 ) , ( 10 , 9 ) , ( 10 , 13 ) , ( 10 , 17 ) , ( 12 , 16 ) , ( 15 , 9 ) , ( 20 , 11 ) , ( 25 , 9 ) } ；

3) 当 t = 4 或20， r ≡ 1 ( mod 10 ) 是素数且 r ≠ 11 ；

4) 当 t = 8 或12， r ≡ 11 ( mod 20 ) 是素数；

5) 当 t = 60 ，r是素数且 r > 5 。

下面给出利用循环差阵、t-正则循环填充以及递归构造法构造半循环可分组设计的具体例子。

例2 型为5⁵的5-SCGDD存在。

证：一个(5,5)-CDM如矩阵A所示：

A = [ 0 2 4 3 1 0 4 3 1 2 0 3 1 2 4 0 1 2 4 3 0 0 0 0 0 ] .

可以验证，当 0 ≤ m ， n ≤ 4 ， m ≠ n 时，任意两行都满足 { a m j − a n j ( mod 5 ) : 0 ≤ j ≤ 4 } = Z 5 ，符合循环差阵的定义。令 I 5 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } ， B j = { ( 0 , a 0 j ) , ( 1 , a 1 j ) , ( 2 , a 2 j ) , ( 3 , a 3 j ) , ( 4 , a 4 j ) } ，其中 j = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ，则 B * = { B 0 , B 1 , B 2 , B 3 , B 4 } 构成点集 X = I 5 × Z 5 上，组集为 的型为5⁵的5-SCGDD的基区组集。

例3 若存在10-正则CP ( 5 , 1 ; 9 × 10 ) ，则存在型为10⁹的5-SCGDD。

证明：文献 [ 10 ] 给出一个10-正则CP ( 5 , 1 ; 9 × 10 ) 的基区组集 A = { A 1 , A 2 , A 3 , A 4 } ，其中四个区组为 A 1 = { 0 , 1 , 3 , 8 , 58 } ， A 2 = { 0 , 4 , 21 , 51 , 70 } ， A 3 = { 0 , 6 , 16 , 29 , 44 } ， A 4 = { 0 , 11 , 25 , 37 , 59 } 。

对于任意的 A = { a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 } ∈ A ，令 a l = m l + 9 n l ， 0 ≤ m l ≤ 8 ， 1 ≤ l ≤ 5 ，则得到对应的二元组 B A = { ( m 1 , n 1 ) , ( m 2 , n 2 ) , ( m 3 , n 3 ) , ( m 4 , n 4 ) , ( m 5 , n 5 ) } 。定义 A j   = { a 1   + j , a 2   + j , a 3   + j , a 4   + j , a 5   + j } 为A的平移，

j = 0 , 1 , ⋯ , 8 。对 的四个区组及它们的平移做上述转换，则 B = { B A i j | i = 1 , 2 , 3 , 4 ; j = 0 , 1 , ⋯ , 8 } 构成点集

X = I 9 × Z 10 上，组集为 G = { { x } × Z 10 : x ∈ I 9 } 的型为10⁹的5-SCGDD的基区组集。

例4 若型为7⁵和型为5⁵的5-SCGDD都存在，则型为35⁵的5-SCGDD也存在。

证明：设型为7⁵的5-SCGDD的点集 X = I 5 × Z 7 ，组集 G = { { x } × Z 7 : x ∈ I 5 } ，基区组集 B * = { B i | i = 1 , ⋯ , 7 } 。对任意 B = { ( a 0 , b 0 ) , ( a 1 , b 1 ) , ( a 2 , b 2 ) , ( a 3 , b 3 ) , ( a 4 , b 4 ) } ∈ B * ，由例2，存在点集 I 5 × Z 5 上，组集为 ，基区组集 C * = { C i | i = 1 , ⋯ , 5 } 的型为5⁵的5-SCGDD。利用构造1，对任意的 C ∈ C * ， C = { ( c 0 , d 0 ) , ( c 1 , d 1 ) , ( c 2 , d 2 ) , ( c 3 , d 3 ) , ( c 4 , d 4 ) } ，做

D B = { ( a c 0 , b c 0 + 7 d 0 ) , ( a c 1 , b c 1 + 7 d 1 ) , ( a c 2 , b c 2 + 7 d 2 ) , ( a c 3 , b c 3 + 7 d 3 ) , ( a c 4 , b c 4 + 7 d 4 ) } .

再令 D B 表示这些 D B 构成的集合，其中 { ( c 0 , d 0 ) , ( c 1 , d 1 ) , ( c 2 , d 2 ) , ( c 3 , d 3 ) , ( c 4 , d 4 ) } 取遍 C * 中的5个基区组，则 D * = ∪ B ∈ B * D B 构成点集 X = I 5 × Z 35 上，组集 的型为35⁵的5-SCGDD的基区组集。

这一小节将讨论型为t^r的5-SCGDD的存在条件。

定理1 型为t^r的5-SCGDD存在的必要条件是 r ≥ 5 ， ( r − 1 ) t ≡ 0 ( mod 4 ) 且 r ( r − 1 ) t ≡ 0 ( mod 20 ) 。

证明：设 ( X , G , B * ) 是一个型为t^r的5-SCGDD。由可分组设计的定义，区组中的每个点取自不同的组，故 r ≥ 5 ；而包含点集中任意一个点x的区组个数为 r x = t ( r − 1 ) 4 ，又 r x 为正整数，所以 ( r − 1 ) t ≡ 0 ( mod 4 ) 。因为共有rt个点，所有的区组个数为 b = t 2 r ( r − 1 ) 20 ，而每个区组轨道的长为t，所以基区组的个数为 b ∗ = t r ( r − 1 ) 20 ，因此 r ( r − 1 ) t ≡ 0 ( mod 20 ) 。

定理2 若t是奇数且 t ≠ 3 , 9 或9p，其中p是素数， p ≥ 37 且 p ≠ 109 时，型为t⁵的5-SCGDD存在。当 t ∈ { 3 , 9 } 或为偶数时，型为t⁵的5-SCGDD不存在。

证明：当 t = 3 时， ( 5 , 3 ) -CDM不存在，由引理1，型为3⁵的5-SCGDD不存在；由引理1、5和推论1，当 t = 9 或t是偶数时，型为t⁵的5-SCGDD不存在；当t是奇数且 gcd ( t , 27 ) ≠ 9 以及 t = 9 p ，p为素数， 3 ≤ p ≤ 31 或 p = 109 时，由引理1、4可知，型为t⁵的5-SCGDD存在。下面只需考虑 t = 9 p 1 p 2 ⋯ p m ， m ≥ 2 ，其中 p i ≥ 5 ， 1 ≤ i ≤ m 是素数的情况。由引理1、4，存在型为 ( 3 p 1 ) 5 的5-SCGDD和型为 ( 3 p 2 p 3 ⋯ p m ) 5 的5-SCGDD，再由构造法1，型为 ( 9 p 1 p 2 ⋯ p m ) 5 的5-SCGDD存在。综上，结论得证。

定理3 当t为奇数， t ≠ 3 , 9 或9p， p ≥ 37 为素数且 p ≠ 109 ， r ≡ 1 , 5 ( mod 20 ) ， r > 5 时，型为t^r的5-SCGDD存在。

证明：由引理3，当 r ≡ 1 , 5 ( mod 20 ) 且 r ≥ 5 时，B ( 5 , 1 ; r ) 存在；又由定理2，当t是奇数， t ≠ 3 , 9 或9p， p ≥ 37 是素数且 p ≠ 109 时，型为t⁵的5-SCGDD存在；再利用构造法2，结论得证。

由引理2、6及定理3易得下面结论。

推论2 当 t , r 满足下列条件之一时，型为t^r的5-SCGDD存在：

1) ( t , r ) ∈ { ( 3 , 41 ) , ( 3 , 61 ) , ( 15 , 9 ) , ( 25 , 9 ) } ；

2) t = 5 , 15 或45， r ≡ 9 , 13 , 17 ( mod 20 ) 是素数。

推论3 当 m , q 为奇数， m , q ≠ 3 , 9 或9p， p ≥ 37 为素数且 p ≠ 109 ，t和r取值为以下情况时，型为 ( t m ) r 的5-SCGDD存在：

1) t = 2 ， r = 41 , 61 且 m ≠ 5 q ；

2) t = 4 ， r ≡ 1 ( mod 10 ) 是素数且 r ≠ 11 ， m ≠ 5 q ；

3) t = 8 ， r ≡ 11 ( mod 20 ) 是素数或 r = 16 ；

4) t = 10 ， r = 9 , 13 , 17 , 41 , 61 ；

5) t = 12 ， r ≡ 11 ( mod 20 ) 是素数或 r = 16 ， m ≠ 1 3 q , 5 3 q 和5q；

6) t = 20 ， r ≡ 1 ( mod 10 ) 是素数， m ≠ 3 q ；

7) t = 60 ， r > 5 是素数。

证明：利用构造法1，结合引理2、6和定理2，结论得证。

本文先确定了型为t^r的区组长度为5的半循环可分组设计存在的必要条件，再根据已知的辅助设计，如循环差阵，t-正则循环填充的部分存在条件及两个递归构造方法，给出型为t^r的5-SCGDD存在的若干充分条件，即得到了此半循环可分组设计的无穷类，所得结果对半循环可分组设计及带有AM-OPPTS/PW限制的光正交码的研究工作有一定的理论参考价值。

国家自然科学基金青年基金项目(11401326)；无穷维哈密顿系统及其算法应用教育部重点实验室开放课题(2023KFZR03)；内蒙古自治区高等学校科学研究项目(NJZY19021，NJZY22599，NJZY22600)。

杜 珺,黄月梅. 型为t^r的5-半循环可分组设计Semi-Cyclic Group Divisible Design of Type t^rwith Block Size 5[J]. 理论数学, 2024, 14(01): 335-340. https://doi.org/10.12677/PM.2024.141034