本文主要研究一个广义压力下二维退化双曲守恒方程组Goursat问题存在解且具有光滑性。考虑该问题为混合型方程的Goursat问题,首先引入该方程组的特征角,并且对该特征角进行限制,求出特征角的方向导数从而得到压力P的特征分解。通过特征分解得到解的不变三角形,由此得出解的边界值估计以及局部存在性。根据压力P的特征分解,利用连续性方法建立解的梯度估计,将局部解扩展到全局,从而证明半双曲片整体解的存在性。 In this paper, we study the existence of global smooth solutions for Goursat problem of two- dimensional degenerated hyperbolic conservation systems under generalized pressure. Considering this problem as a Goursat problem with mixed equations, the characteristic angles of the equations are introduced first, and the directional derivatives of these characteristic angles are obtained by limiting the characteristic decomposition of pressure P that is obtained. The invariant triangle of the solutions is obtained by the method of characteristic decomposition, and the boundary value estimation and local existence of the solution are obtained. According to the characteristic decomposition of the pressure, the gradient estimation of the solution is established by the continuity method, and the local solutions are extended to the global solutions, so as to prove the existence of the global solutions of the semi-hyperbolic plates.
本文主要研究一个广义压力下二维退化双曲守恒方程组Goursat问题存在解且具有光滑性。考虑该问题为混合型方程的Goursat问题,首先引入该方程组的特征角,并且对该特征角进行限制,求出特征角的方向导数从而得到压力P的特征分解。通过特征分解得到解的不变三角形,由此得出解的边界值估计以及局部存在性。根据压力P的特征分解,利用连续性方法建立解的梯度估计,将局部解扩展到全局,从而证明半双曲片整体解的存在性。
半双曲片,退化方程,特征分解,梯度估计,不变三角形,平面稀疏波
Jiamin Zhao, Liushi Chen
College of Science, Chang’an University, Chang’an Shaanxi
Received: Dec. 15th, 2023; accepted: Dec. 29th, 2023; published: Jan. 31st, 2024
In this paper, we study the existence of global smooth solutions for Goursat problem of two- dimensional degenerated hyperbolic conservation systems under generalized pressure. Considering this problem as a Goursat problem with mixed equations, the characteristic angles of the equations are introduced first, and the directional derivatives of these characteristic angles are obtained by limiting the characteristic decomposition of pressure P that is obtained. The invariant triangle of the solutions is obtained by the method of characteristic decomposition, and the boundary value estimation and local existence of the solution are obtained. According to the characteristic decomposition of the pressure, the gradient estimation of the solution is established by the continuity method, and the local solutions are extended to the global solutions, so as to prove the existence of the global solutions of the semi-hyperbolic plates.
Keywords:Semi-Hyperbolic Plates, Degenerated Equation, Characteristic Decomposition, Gradient Estimation, Invariant Triangle, Planar Rarefaction Wave
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对于偏微分方程组在航空航天、燃烧与爆破理论、大气物理等诸多方面的研究一直都是人们关注的重点,有着十分广泛的应用。而其自身在发展中也极大的丰富了数学研究的理论,充分推动了数学学科理论的发展。理想流体,即忽略流体中的粘性因素以及热传导因素,常在气体动力学的研究中出现。而描述理想流体进行运动的具体方程为包括质量守恒、能量守恒、动量守恒方程在内的欧拉方程。因此本文中所研究的退化双曲欧拉方程具有十分重要的物理意义,是研究流体力学的重要内容。黎曼问题作为双曲守恒律方程组的具有标度不变量的初值的柯西初值问题,是分片的具有常状态的初值问题,其初始状态的间断线汇聚在原点处成为几何奇异点。一般黎曼问题所取形式为有限个常状态,取该形式的意义在于可将该方程组进行自相似变换。针对欧拉方程二维黎曼问题的研究由 [
Song和Zheng [
本文主要研究一个二维欧拉方程组的整体光滑解的存在性。具体分为四个部分:第二节建立压力P的特征分解;第三节利用解的边界值估计得到局部解的存在性;第四节主要进行解的梯度估计;第五节利用先验估计结合三四节得到退化双曲方程组Goursat问题整体解的存在性。
我们首先引入以下二维可压缩欧拉系统
{ u t + P x = 0 , v t + P y = 0 , P t + e P ( u x + v y ) = 0. (1)
其中P为压力, ( u , v ) 为速度。将系统(1)进行自相似变换,令 ( ξ , η ) = ( x t , y t ) ,有
{ − ξ u ξ − η u η + P ξ = 0 , − ξ v ξ − η v η + P η = 0 , − ξ P ξ − η P η + e P ( u ξ + v η ) = 0. (2)
且(2)可简化为
( e P − ξ 2 ) P ξ ξ + ( e P − η 2 ) P η η − 2 ξ η P ξ η − 2 ( ξ P ξ + η P η ) + ( ξ P ξ + η P η ) 2 = 0. (3)
(3)的正负特征线定义为如下方程的特征曲线
Γ ± : Λ ± : = ξ η ± e P ( ξ 2 + η 2 − e P ) ξ 2 − e P ( = d η d ξ ) (4)
进一步地,类似于 [
tan α = Λ + , tan β = Λ − (5)
且引入 δ = α − β 2 , σ = α + β 2 。则有
{ tan σ = η ξ , sin δ = e P ξ 2 + η 2 . (6)
证:根据特征角概念(4),得到
tan α = ξ η + e P ( ξ 2 + η 2 − e P ) ξ 2 − e P , tan β = ξ η − e P ( ξ 2 + η 2 − e P ) ξ 2 − e P (7)
则有
{ ξ = e P cos σ sin δ , η = e P sin σ sin δ . (8)
即证明结论。
为了证明发生在两个连接不连续点以及两个稀疏波的相互作用的半双曲片,我们令 c 1 , c 4 , v 1 为三个实数且有 c 1 > c 4 > 0 。令 v 4 = 0 ,定义 η i ≜ v i + c i , i = 1 , 4 ,思考如下二维稀疏波 R 14 ( η ) :
{ η = e P , ( η 4 ≤ η ≤ η 1 ) v = ∫ P 4 P 1 1 e s d s , ( 0 < P 4 ≤ P ≤ P 1 ) u = u 1 = u 4 = 0. (9)
建立一个半双曲片区域:
在二维稀疏波 R 14 中,给出一个正特征线 A B ⌢ ,作切线的延长线BD变为恒定状态。其中 A , D 两点为声速点。同时给出严格凸的负特征线 B C ⌢ ,其中点C为声速点。该曲线三角形ABC为退化双曲区域,在该区域内求解, A C ⌢ 为声速线。
下面给出关于P的特征分解。根据 [
α ∈ [ π 2 , π ] , β ∈ [ − π 2 , 0 ] (10)
且给出方向导数
∂ ¯ + = cos α ∂ ξ + sin α ∂ η , ∂ ¯ − = cos β ∂ ξ + sin β ∂ η . (11)
将压力P代入以上方向导数公式,利用P的方向导数 ∂ ¯ ± P 表示出特征角 α , β 的一阶方向导数。
给出 α , β 以及 σ , δ 的一阶方向导数:
{ ∂ ¯ + α = 1 2 tan δ ∂ ¯ + P , ∂ ¯ − α = − 2 sin 2 δ e P + 1 2 tan δ ∂ ¯ − P , ∂ ¯ + β = 2 sin 2 δ e P − 1 2 tan δ ∂ ¯ + P , ∂ ¯ − β = − 1 2 tan δ ∂ ¯ − P , ∂ ¯ ± σ = ± sin 2 δ e P , ∂ ¯ ± δ = − sin 2 δ e P + 1 2 tan δ ∂ ¯ ± P . (12)
证:对(8)求导结合方向导数定义(11)可得
∂ ¯ + α = 2 sin 2 δ e P − ∂ ¯ + β . (13)
同理,根据以上方法可以得到
∂ ¯ − β = − 2 sin 2 δ e P − ∂ ¯ − α . (14)
对(8)求导后结合(13)有
∂ ¯ + β = 2 sin 2 δ e P − 1 2 tan δ ∂ ¯ + P . (15)
同理
∂ ¯ − α = − 2 sin 2 δ e P + 1 2 tan δ ∂ ¯ − P . (16)
得到(15)后,根据(13)中 ∂ ¯ + α , ∂ ¯ + β 之间的关系可得 ∂ ¯ + α , ∂ ¯ + P 的关系式:
∂ ¯ + α = 1 2 tan δ ∂ ¯ + P . (17)
同理可得
∂ ¯ − β = − 1 2 tan δ ∂ ¯ − P . (18)
根据流角,马赫角与特征角之间的关系,得到
∂ ¯ ± σ = ± sin 2 δ e P . (19)
∂ ¯ ± δ = − sin 2 δ e P + 1 2 tan δ ∂ ¯ ± P . (20)
计算压力P的二阶导数,得到P的特征分解如下:
{ ∂ ¯ − ∂ ¯ + P = ∂ ¯ + P [ − sin ( 2 δ ) e P + 1 4 cos 2 δ ∂ ¯ + P + ( 1 2 + 1 4 cos 2 δ ) ∂ ¯ − P ] , ∂ ¯ + ∂ ¯ − P = ∂ ¯ − P [ − sin ( 2 δ ) e P + 1 4 cos 2 δ ∂ ¯ − P + ( 1 2 + 1 4 cos 2 δ ) ∂ ¯ + P ] . (21)
证:首先根据方向导数定义可得
{ ∂ ¯ − ∂ ¯ + P = ( − sin α P ξ + cos α P η ) ∂ ¯ − α + cos α ∂ ¯ − P ξ + sin α ∂ ¯ − P η , ∂ ¯ + ∂ ¯ − P = ( − sin β P ξ + cos β P η ) ∂ ¯ − β + cos β ∂ ¯ + P ξ + sin β ∂ ¯ + P η . (22)
利用(11),结合(16)有
( − sin α P ξ + cos α P η ) ∂ ¯ − α = − tan δ e P ( 2 c o s 2 δ − 1 ) ∂ ¯ + P + tan δ e P ∂ ¯ − P + 1 4 2 cos 2 δ − 1 cos 2 δ ∂ ¯ + P ∂ ¯ − P − 1 4 1 cos 2 δ ( ∂ ¯ − P ) 2 (23)
且有
cos α ∂ ¯ − P ξ + sin α ∂ ¯ + P ξ = − tan δ e P ( ∂ ¯ + P + ∂ ¯ − P ) + 1 4 cos 2 δ ( ∂ ¯ + P + ∂ ¯ − P ) 2 . (24)
则
∂ ¯ − ∂ ¯ + P = ∂ ¯ + P [ − sin 2 δ e P + 1 4 cos 2 δ ∂ ¯ + P + ( 1 2 + 1 4 cos 2 δ ) ∂ ¯ − P ] . (25)
同理
∂ ¯ + ∂ ¯ − P = ∂ ¯ − P [ − sin 2 δ e P + 1 4 cos 2 δ ∂ ¯ − P + ( 1 2 + 1 4 cos 2 δ ) ∂ ¯ + P ] . (26)
由(6)可以得到 α , β 与 ξ , η , e P 之间的关系,根据 α , β 有解可知 ξ , η , e P 有解。令 M = 1 sin δ ,有
e P M 2 = ξ 2 + η 2 . (27)
且 ∂ ¯ 0 = − cos σ ∂ ξ − sin σ ∂ η 。因此,
{ e P M 2 = ξ 2 + η 2 , ∂ ¯ 0 ( e P M 2 ) = − 2 M e P . (28)
因此对方程组(2)及(10)的解可转化为 ( α , β ) 上的解。
以下做P特征分解的先验估计:首先给出边界 A B ⌢ , B C ⌢ 上的条件。在B点的位置靠近A点的范围内,圆弧 A B ⌢ 弧长不超过1/4圆。假设对于凸负特征线在点C处的倾斜角 β C 有 − π / 2 < β C < 0 。
且有如下边界值条件:
β | A B ⌢ = 0 , π 2 ≤ α | B C ⌢ ≤ π + β | C , β C ∈ ( − π 2 , 0 ) .
(P的二阶方程的齐次形式)
{ ∂ ¯ + ( − ∂ ¯ − P sin 2 δ ) = − 1 4 tan 2 δ ( − ∂ ¯ − P sin 2 δ ) 2 − 1 2 ( − ∂ ¯ − P sin 2 δ ) ∂ ¯ + P + ∂ ¯ + P 4 cos 2 δ ( − ∂ ¯ − P sin 2 δ ) , − ∂ ¯ − ( ∂ ¯ + P sin 2 δ ) = − 1 4 tan 2 δ ( ∂ ¯ + P sin 2 δ ) 2 − 1 2 ( ∂ ¯ + P sin 2 δ ) ( − ∂ ¯ − P ) + − ∂ ¯ − P 4 cos 2 δ ( ∂ ¯ + P sin 2 δ ) . (29)
根据 [
(不变三角形)对于任意 C 2 -解,有
α ≥ π 2 , β ≤ 0 , π 2 ≤ α − β ≤ π , ± ∂ ¯ ± α > 0 , ± ∂ ¯ ± β < 0. (30)
证:由方程组(3) (10)的局部解可1得存在 δ 0 ∈ ( π 4 , π 2 ) 使得在区域 D δ 0 中存在解。对于 ε → π 4 ,区域 D ε 中有 ∂ ¯ + α > 0 , ∂ ¯ − β > 0 。
由于
− ∂ ¯ − ∂ ¯ + β − tan δ 2 sin 2 δ ( ∂ ¯ + β ) 2 + ( − 3 sin 2 δ − 1 tan δ ) ∂ ¯ − β ∂ ¯ + β − tan δ cos 2 δ e P ∂ ¯ + β = − tan δ e P ∂ ¯ − β (31)
由于 ∂ ¯ + β | A B ⌢ = 0 ,结合(32)可得 ∂ ¯ + β < 0 。
根据(17)得 ∂ ¯ + P | A B ⌢ = 2 e P sin 2 δ > 0 。由于 ∂ ¯ − β | B C ⌢ > 0 ,结合(19)有 − ∂ ¯ − P | B C ⌢ = 2 tan δ ∂ ¯ − β | B C ⌢ > 0 。
则结合(18) (19) (20),在区域 D δ 0 中有
∂ ¯ + α > 0 , − ∂ ¯ − α > 0 , − ∂ ¯ − β < 0. (32)
在第四节当中,首先利用连续性方法得到关于压力P的 ∂ ¯ ± P 的一致边界,其次利用压力P的特征分解,给出其常微分方程形式,从而建立梯度估计。
( ∂ ¯ ± P 的一致边界)在半双曲片区域ABC中, ∂ ¯ ± P 的最大值是有界的,且
∂ ¯ + P > 0 , − ∂ ¯ − P > 0 , max A B C { ∂ ¯ + P , − ∂ ¯ − P } ≤ 2 max A B ⌢ , B C ⌢ { ∂ ¯ + P , − ∂ ¯ − P } . (33)
证:根据引理1结论 ∂ ¯ + P > 0 , − ∂ ¯ − P > 0 ,则可知证明(34)即证明
max A B C { ∂ ¯ + P sin 2 δ , − ∂ ¯ − P sin 2 δ } ≤ 2 max A B ⌢ , B C ⌢ { ∂ ¯ + P sin 2 δ , − ∂ ¯ − P sin 2 δ } ≜ M (34)
只需证明对任意 μ > 0 ,有 max A B C { ∂ ¯ + P sin 2 δ , − ∂ ¯ − P sin 2 δ } < M + μ 。当在B点附近区域 D ε 时,结论显然成立。否则一定有 δ = δ 1 上的一点 P 1 ,在 D δ 1 内 ∂ ¯ + P sin 2 δ < M + μ , − ∂ ¯ − P sin 2 δ < M + μ 。在点 P 1 处有 ∂ ¯ + P sin 2 δ = M + μ 或 − ∂ ¯ − P sin 2 δ = M + μ 。不妨设在 δ = δ 1 处,满足 ∂ ¯ + P sin 2 δ = M + μ , − ∂ ¯ − P sin 2 δ < M + μ 。由点 P 1 处开始作负特征线,结合(33)可知 − ∂ ¯ − ( ∂ ¯ + P sin 2 δ ) | P 1 < 0 。根据连续性可得在 P 1 的某邻域 ∪ ( P 1 ) 内,有 − ∂ ¯ − ( ∂ ¯ + P sin 2 δ ) | ∪ ( P 1 ) < 0 成立。因此在该邻域内必存在点 P ′ 1 ∈ D δ 1 ∩ ∪ ( P 1 ) ,使得 ∂ ¯ + P sin 2 δ | P 1 < ∂ ¯ + P sin 2 δ | P ′ 1 成立,与假设矛盾。根据 μ 的任意性可知引理2成立。
(一阶梯度估计)若在区域 D ε ( ε < π 2 )内存在 C 1 -连续解,存在常数C且与 ε 无关,有
‖ ( α , β ) ‖ C 1 ( D ε ) ≤ C tan 2 ε . (35)
证:根据引理2可得
| ∂ ¯ + α , ∂ ¯ − α , ∂ ¯ ± β | ≤ C tan ε . (36)
结合(10)有
| ∂ ξ α | ≤ − sin β | ∂ ¯ + α | + sin α | ∂ ¯ − α | sin ( α − β ) ≤ C tan 2 ε . (37)
同理,有 | ∂ η α , ∂ ξ β , ∂ η β | ≤ C tan 2 ε 。
若在区域 D ε ( ε < π 2 )内存在 C 2 -解,存在常数C且与 ε 无关,有
‖ ( α , β ) ‖ C 2 ( D ε ) ≤ C tan 5 ε . (38)
证:结合(18)及(19)有
∂ ¯ − ∂ ¯ + α = R 1 ∂ ¯ − ∂ ¯ + P + 低阶项, ∂ ¯ + ∂ ¯ − α = S 1 ∂ ¯ + ∂ ¯ − P + 低阶项。 (39)
则可得 ∂ ¯ − ∂ ¯ + α , ∂ ¯ + ∂ ¯ − α 有界。对于 ∂ ¯ + ∂ ¯ + α ,利用(19)可得
∂ ¯ − ( ∂ ¯ + ∂ ¯ + α ) + G 1 ∂ ¯ + ∂ ¯ + α = 低阶项。 (40)
因此 ∂ ¯ + ∂ ¯ + α 有界,同理有 ∂ ¯ − ∂ ¯ − α , ∂ ¯ + ∂ ¯ + β , ∂ ¯ + ∂ ¯ − β , ∂ ¯ − ∂ ¯ + β , ∂ ¯ − ∂ ¯ − β 有界可证。
利用(22)及(18) (19)有
| ∂ ¯ − ∂ ¯ + α | ≤ C tan 3 ε , | ∂ ¯ + ∂ ¯ − α | ≤ C tan 3 ε . (41)
同理
| ∂ ¯ + ∂ ¯ + α | ≤ C tan 3 ε , | ∂ ¯ − ∂ ¯ − α | ≤ C tan 3 ε . (42)
通过计算有
| ∂ ξ ξ α | = | ( − sin β ∂ ¯ + α + sin α ∂ ¯ − α sin ( α − β ) ) ξ | ≤ C tan 5 ε . (43)
同理 | ∂ ξ η α , ∂ η η α , ∂ η ξ α | ≤ C tan 5 ε 。以上证明过程 β 同理成立。
根据所得方程组的局部存在性定理及先验估计,利用有限覆盖定理将局部解进行延拓从而得到如下定理。
退化双曲方程组Goursat问题(1) (10) (11)在半双曲片区域ABC内存在整体光滑解。
赵佳敏,陈柳诗. 双曲方程组Goursat问题整体光滑解Global Smooth Solution of Goursat Problem for Hyperbolic Systems[J]. 理论数学, 2024, 14(01): 326-334. https://doi.org/10.12677/PM.2024.141033
https://doi.org/10.1016/S0252-9602(18)30506-X
https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1989-0930070-3
https://doi.org/10.1137/0521032
https://doi.org/10.3934/dcds.2000.6.419
https://doi.org/10.1137/S1064827595291819
https://doi.org/10.1137/0524006
https://doi.org/10.1137/0914082
https://doi.org/10.3934/dcds.1998.4.609
https://doi.org/10.1007/s002050000113
https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2004.05.025
https://doi.org/10.3934/dcds.2009.24.1365
https://doi.org/10.1007/s13324-022-00707-4
https://doi.org/10.1016/j.jde.2010.07.009
https://doi.org/10.1512/iumj.2010.59.3752