国内对于这类研究工作起步较晚，许多研究者在总结国外量化模型的基础上，进行了适合本国市场的量化研究。

刘毅 [ 5 ] 选取了成长、估值、质量、动量这四方面的特征指标进行最优因子组合，利用历史数据进行回测检验，结果表明在多种环境下，最优因子组合的股票都跑赢了市场基准。江方敏 [ 6 ] 使用打分法进行选股，根据市场风格构造多种投资组合，同样取得了较好表现。徐景昭 [ 7 ] 进行了行业对股市影响的研究，采用多元回归的方法优化了多因子选股模型。曹正凤等人 [ 8 ] 使用机器学习中的随机森林方法对股票的涨跌进行预测分类，预测准确率达到了较高水平。

国外量化投资的研究工作起步较早，且研究更为全面，对于多因子选股模型的构建，不仅考虑了各类资产的定价，还考虑了特征工程以及机器学习方法的应用。

Markowitz [ 9 ] 建立了均值–方差模型，将数学工具与金融领域相结合，成为现代量化投资研究与资产配置的基础。Ross [ 10 ] 提出了套利定价理论，该理论认为证券的价格不能完全由系统性风险解释，而是会受到多种因素的影响。套利定价理论的提出使得研究者开始对多因子进行研究，进而建立了多因子模型，多因子模型已经成为当下应用最为广泛的模型，几乎所有的选股方法都是基于多因子模型而建立的。Fama和French [ 11 ] 提出了三因子模型，他们通过构造市场风险、市值风险和账面市值比三个因子来刻画股票收益的变化。Patalay等人 [ 12 ] 通过人工智能技术和机器学习方法设计了财务决策支持系统，该系统有助于更高效对股票做出财务决策。Li等人 [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] 介绍了人工智能背景下不同的量化投资方法并且使用评分和筛选模型以及卷积神经网络模型进行实证并被证明是有效的。Gao等人 [ 16 ] 使用了三种机器学习方法以及线性回归来预测收益，结果表明支持向量回归的预测成功率最稳定。

综合以上对于国内外研究现状的分析，目前对于选股与投资组合理论相结合的相关研究较少，基于此，本文计划将选股模型与投资组合优化理论相结合，在选股的同时对资金进行分配，从而构建投资组合进行研究。

机器学习的理念是让机器就可以直接从经验或数据中学习如何处理复杂的任务，我们要做的不是告诉机器如何做决策，而是让机器从经验或数据中学习，从而可以自己做出决策。本次案例将会使用到机器学习中的两个经典算法。

交叉验证基本思想就是将原训练数据分为两个互补的子集，一部分作为训练数据来训练模型，另一部分作为测试数据来评价模型。交叉验证可以解决数据量不够大的问题，而简单的交叉验证并不能使数据得到充分利用，因此提出K折交叉验证。K折的意思就是将数据集分为K份，其中K-1份作训练集，剩下1份作为测试集。K折交叉验证的基本思路如图3所示。

由于本次案例数据集较小，将使用10折交叉验证来训练模型并给出最终模型的评价结果。

图3. K折交叉验证流程

Adaboost模型的主要思想主要有两个方面：1) 如何修正每一轮训练数据的权重。2) 如何将一组弱学习器组合成强学习器。

对于第一个方面，Adaboost模型的做法是将第一轮弱学习器分类错误的样本在之后的学习过程中受到更多的关注，即提高分类错误的样本的权重，这样就可以保证在下一轮训练时的弱学习器会更多的处理这些之前出错的样本。理论上来讲，训练过程的分类错误率可以趋于0。

对于第二个方面，Adaboost模型不是将弱学习器的分类结果进行简单平均后组合，而是利用弱学习器的分类错误率对权重进行改变，加大分类误差率小的弱分类器权值，使其在分类的表决中起较大的作用，减小分类误差率大的弱分类器的权值，使其在表决中起较小的作用。

首先假设有m个样本的训练集，标签为−1和1，若有n个弱分类器的预测结果分别是 ( h 1 ( x ) , h 2 ( x ) , ⋯ , h n ( x ) ) ，算法的基本原理如下：

(1) 计算样本权重

赋予训练集中每个样本一个权重，构成权重向量D，权重向量D一般初始化为1/m。

(2) 计算错误率

在训练集上训练一个弱分类器，并计算分类器的错误率：ε = 分错的数量/样本总量

(3) 计算弱分类器的权重

为当前弱分类器赋予权重alpha，如(3)所示：

α = 1 2 ln ( 1 − ε ε ) (3)

(4) 调整权重值

根据上一次训练结果，调整权重值(上一次分对的样本权重降低，分错的样本权重增加)

如果第i个样本被正确分类，则该样本权重更改为(4)：

D i ( t + 1 ) = D i i ( t ) e − α s u m ( D ) (4)

如果第i个样本被分错，则该样本权重更改为(5)：

D i ( t + 1 ) = D i i ( t ) e α s u m ( D ) (5)

(5) 最终强分类器的结果

循环结束，得到强分类器的预测结果(6)：

H ( x ) = S i g n { ∑ i n ( α t h t ( x ) ) } (6)

这个公式相当于弱分类器分类结果的线性组合得出强分类器的结果，若得出的值为正值，则强分类器的预测结果为1，若为负值，则强分类器的预测结果为−1。

可以看到，强分类器是由弱分类器的给出的结果加权相加之后，根据该值的正负给出最终的判别结果。显然我们对于一组股票仅仅是判断其未来的涨跌，仍然很难选择出其中的几支股票进行入手。若能够给出一组股票未来上涨或下跌的“机率”，这对我们选择股票将会是很重要的依据。而由弱分类器的给出的结果加权相加后的值，恰恰可以给出我们选股的依据，这里我们称这个值为类别估计值。即(7)：

∑ i n ( α t h t ( x ) ) (7)

本文将上证50股票的特征指标数据作为样本，将月度收益率用符号函数处理后作为数据集的标签。为了避免有太多相似数据影响模型的性能，本文将样本依照月度收益率作降序排序，只取位于前百分之三十及后百分之三十的数据，剔除位于中间的数据。由于剔除数据后数据集变小，所以将2010年1月至2018年12月的月度数据利用十折交叉验证的方法给出模型的精确度，将2019年1月至2019年12月的数据作为测试集进行验证。

本文采用单层决策树作为弱分类器，单层决策树仅仅基于单个特征指标做出决策，由于这棵树只有一次分裂过程，所以在这里我们需要对每个特征指标的分裂阈值参数进行优化。另外，对弱分类器的个数也需要进行优化。若只有一个弱分类器，它只能根据一个特征指标进行分类，显然其性能很弱；但若增加弱分类器的数目，其训练的误差就会逐渐减小。但并不是弱分类器的数目越多越好，随着弱分类器数目的增加很可能会发生过拟合进而影响测试的准确率。图6即为分类器个数与训练集测试集准确率的关系。

图6. 分类器数量与准确率之间的关系

接下来验证模型的有效性，我们将数据集进行十折交叉验证，将数据随机打乱后分为十份，九份作为训练集，剩下的一份作为测试集，每一份数据集都会作为测试集，迭代十次。之后分别计算训练集与测试集的准确率，最后求其均值作为模型有效性的最终结果。如图7所示。

从交叉验证的均值图中可以看到，随着分类器的个数的增加，训练集和测试集的准确率都在增长，分类器个数从10到50增加时，其准确率增长较快，准确率在分类器个数为1000~1500趋于平缓，且训练集准确率始终大于测试集的准确率，符合模型的预期表现。

接下来对模型的泛化能力进行评估。我们的模型是根据一系列特征指标产生一个实值，然后将这个预测值与分类阈值进行比较，若大于该阈值则将其划分为正类，若小于该阈值则将其划分为反类，这个实值的好坏决定了模型的泛化性能，而ROC曲线就是从这个角度来评估模型泛化能力的有力工具。ROC曲线根据模型的预测结果对样本进行排序，按此顺序把样本作为正例进行预测，计算出“真正例率”与“假正例率”，以它们为横纵坐标轴。图8即为该模型的ROC曲线图。

图7. 十折交叉验证的平均结果

图8. Adaboost模型的ROC曲线

一般来说，我们用ROC曲线下的面积，即AUC (Area Under Curve)来作为模型的评价标准。该方法可以直观的通过图示观察从而分析学习器的准确性，并可用肉眼作出判断。从图中可以看到该模型的AUC明显大于0.5，说明该模型有一定的预测价值。

1952年，马科维兹提出了一种投资组合优化模型，又称均值方差模型。该模型的建立基于以下假设：证券市场是有效的，即投资者充分了解各种风险资产的期望收益率及标准差；各种证券的收益率有一定的相关关系；投资者都是风险规避者且对是收益不知足者；证券的收益率服从正态分布；每一个资产都是无限可分的；税收和交易成本忽略不计。因为风险较难度量，所以这里我们给出在一定收益下风险最小的均值–方差模型，该模型如(8)所示：

{ min δ Q = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n w i ⋅ w j ⋅ ρ i j ⋅ δ i ⋅ δ j s .t .   E ( r Q ) = ∑ i = 1 n w i ⋅ r i = r 0           ∑ i = 1 n w i = 1         w i ≥ 0 ,   i = 1 , 2 , ⋯ , n (8)

其中Q代表投资组合， δ Q 为投资组合的期望标准差， E ( r Q ) 为组合Q的期望收益， r i 为第i支股票的期望收益， w i 为第i支股票的购买权重， δ i 为第i支股票预期收益率的标准差， ρ i j 为第i支和第j支股票的相关系数。

接下来使用该理论对2018年12月的五种风险资产进行组合：五只股票分别是万华化学、中国平安、中国中免、洛阳铝业与贵州茅台。将前三个月的平均月收益率作为期望收益，接下来根据前十一个月的月收益率计算其相关系数，代入该模型。可以得出各支股票权重如表6所示。

表6. 变换之前的季度数据

五支股票的权重分别为0.0005，0.0000，0.0014，0.2871，0.7110，即使用大约30%的资金购买第四支股票，70%的资金购买第五支股票。

从上文可以看到马科维兹的均值–方差模型得到的最优解出现了对某支股票的投资占据了非常大的权值，即投资者仅对某一只股票重仓而不进行分散组合，这无疑违背了风险分散化的投资原理，使得非系统性风险得不到有效的分散与减少。同时，马科维兹的均值–方差模型对于期望收益和方差指标的给定，都是根据自身经验所做出的判断，参数的估计等会有很大的偏误。另外，马科维兹理论没有充分考虑投资组合收益率的偏态特征，即对于真实收益高于期望收益与真实收益低于期望收益的情况作同等对待，但是人们普遍将风险视为期望收益低于实际收益的情况，而对于实际收益大于期望收益的情况，则认为是投资成功。

为了降低风险，可以对股票的权值进行限定，即对于所选股票都给予一定的初始权值，该初始权值由其股票的类别估计值给出，从而达到对风险进行分散的目的。

同时，本文将要对期望收益进行预测，得出的预测收益率将代替均值方差模型中的期望收益率。这里采用LSTM长短时记忆网络对收益率进行预测，通过LSTM对于收益率的长期依赖设定能够得到精度更高的预测值，从而达到减小误差的目的。

另外，本文将以半方差的思想重新刻画风险指标。假设真实收益率为 ，预测收益率为 r ^ ，风险为 ε ，则将 ε 表示为(9)：

ε = { r − r ^ r < r ^ 0 r > r ^ (9)

由上式可知，若预测收益率大于真实收益率，即 ε < 0 ，这无疑是投资者不能接受的情形，因为其对于预测收益率大的股票所给的权重也大，这样会影响最终收益；当 ε 为0时，预测收益率小于真实收益率，这种情况是投资者所能接受的，虽然存在一定的误差，使得实际的权重减小，但可以降低不必要的风险。基于以上分析，构建的风险指标如下： γ i j = ε i ∗ ε j ，此指标代表了第i支股票与第j支股票的相关风险，可以看到只有两种情况下 γ i j 为0，一种为 ε i 和 ε j 都大于0，即两支股票都是真实收益率大于预测收益率，这种情况可以为我们带来超额收益；另一种为 ε i 和 ε j 其中一个大于0，一个小于0，这种情况两只股票为负相关，可以使得投资组合的风险降低。 γ i j 大于0时，说明两支股票为正相关且会使得最终收益减少，所以我们要使得该指标的值尽可能小。针对优化的目标得到新的投资组合模型如(10)所示：

{ min ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n w i ⋅ w j ⋅ γ i j − ∑ i = 1 n w i ⋅ r ^ i s .t .       ∑ i = 1 n w i = 1           w i ≥ w 0 ,   i = 1 , 2 , ⋯ , n (10)

其中 w i 为第i支股票的购买权重， r ^ i 为第i支股票的预测收益率， γ i j 为构建的风险指标， w 0 为各支股票的初始限定权值，对股票的初始权值进行限定意味着不会出现某些股票买入权值为0的情况，降低了系统风险。

本文对2020年1~6月份的股票进行投资组合，以2020年1月为例，模型的基本求解步骤如下：

第一步：使用Adaboost选股模型从股票池中选取股票。

这里将2019年12月上证50股票的特征指标进行输入，得出1月份的累计类别估计值，按照该值的大小选取前十位进行投资组合。选取的股票如表7所示：

表7. 选取的股票

第二步：确定股票的初始限定权值

根据类别估计值对股票的初始购买权值进行限定。我们将初始权值设置为占总金额的30%，将各支股票类别估计值所占该值总和的比例与初始权值相乘，即可得到各支股票的初始限制权值。如表8所示：

表8. 选取的股票

第三步：使用LSTM长短时记忆网络对收益率进行预测。

利用历史数据训练LSTM模型，除了使用特征工程中选取的特征指标外，还增加了开盘价、收盘价、最低价、最高价、成交量等基本盘面指标，以及ASI、ATR、MTM、RSI、SAR等与时间序列相关的指标。这里使用前三个月的历史数据来预测下个月的收益率。图9为对中国平安的预测效果图，在图中红色线条为真实收益率，蓝色线条为预测收益率，可以看到LSTM模型预测的收益率只能模拟出收益率的大概走势，对于幅度过大振荡的预测都较为保守。

第四步：计算风险指标 γ i j

根据上文风险指标的计算方法，以1月为例，得出风险指标矩阵为(11)：

γ i j = [ 0.0273 0.0150 0.0000 0.0000 0.0000 0.0146 0.0132 0.0023 0.0144 0.0060 0.0150 0.0083 0.0000 0.0000 0.0000 0.0081 0.0073 0.0012 0.0079 0.0033 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0146 0.0081 0.0000 0.0000 0.0000 0.0078 0.0071 0.0012 0.0077 0.0032 0.0132 0.0073 0.0000 0.0000 0.0000 0.0071 0.0064 0.0011 0.0069 0.0029 0.0023 0.0012 0.0000 0.0000 0.0000 0.0012 0.0011 0.0002 0.0012 0.0005 0.0144 0.0079 0.0000 0.0000 0.0000 0.0077 0.0069 0.0012 0.0076 0.0032 0.0060 0.0033 0.0000 0.0000 0.0000 0.0032 0.0029 0.0005 0.0032 0.0013 ] (11)

图9. 中国平安的预测效果

第五步：将参数带入模型，得出股票权重。

将参数带入优化模型中，最终得到股票的购买权重。图10为结果图：

图10. 迭代优化的过程

每种股票的权重如表9所示。

表9. 选取的股票

本文将回测的初始金额设置为100万人民币。由于上证50中贵州茅台为高价股，买入时至少买入100股才能进行交易，所以设置贵州茅台的初始资金为20万。即在所选股票有贵州茅台的交易中回测金额为120万人民币。

为了消除择时买入卖出等策略因素的影响，本文在回测时不在盘中进行操作，仅在每月的第一个交易日，把所选股票买入，持有一个月，在月末卖出，然后将本月股票数据输入Adaboost选股模型对下月股票进行排名，再进行调仓，持续六个月。同时，本文还进行了平均权值的回测，即给每支股票相同权值的金额进行买入卖出。将最终得到的结果进行对比来体现投资组合的有效性。

接下来展示1~6月份投资组合收益率与平均权值收益率的回测对比，图11为投资组合的收益率曲线，图12为平均权值为的收益率曲线。其中，蓝色线条为回测曲线，红色线条为上证50指数。

图11. 投资组合策略收益趋势

图12. 平均权重策略收益趋势

从图中可以看出，通过选股模型筛选出的股票，无论是以平均权重买入还是通过组合模型分配权重后买入，其表现都优于上证50指数。此外，在组合模型对股票进行加权后，收益率曲线明显更好。接下来，对两种策略的结果进行分析，表10对两种策略的数据指标进行了比较：

表10. 选取的股票

从表中可以看出，投资组合策略在大部分指标上的表现都优于平均权值策略，可见投资组合策略更为合理有效。此外，投资组合策略在行业配置方面也更加合理，如图13所示，平均权值的策略资金大都分配到了金融行业，投资组合策略的行业配置则较为分散，对于资金的配置涉及到了较多的行业，有利于行业中性化。

图13. 行业配置比较