拓扑优化是一种用于寻找最优结构设计的数学方法。拓扑优化通常将结构的密度场 ρ 表示为介于0~1的值，即可将拓扑优化问题转化为连续优化问题。拓扑优化通过最小化结构材料的体积或重量，获得最佳材料分布。不仅可以帮助工程师设计出满足各种约束条件的优化结构，还能够降低实验成本。拓扑优化的目标函数大致可以表示为：

f ( x ) = { min x f ( x , h ( x ) ) s . t . { d e s i g n c o n s t r a int o n x s t a t e c o n s t r a int o n h ( x ) e q u i l i b r i u m c o n s t r a int (1)

x表示物理域的材料分布， h ( x ) 所有约束的条件集合。

SIMP是Bendsoe [ 21 ] 等人提出的一种拓扑优化方法。SIMP首先将整个物理域划分为n × m个单元格，每个单元格用0~1的数值表示密度场大小，SIMP通过使用惩罚系数p迫使密度场尽可能趋近于0或者1，其中0表示空气或者没有材料，1表示完全填充材料。SIMP的目标函数是用于分析结构的形变程度，因此目标函数越小结构越稳定，其数学模型如公式(2)所示。

min x : f ( x ) = U T K U = ∑ e = 1 N ( x e ) p u e T k e u e s u b j e c t t o : V ( x ) V 0 = v f : K U = F : 0 < x min ≤ x ≤ 1 } (2)

式中，x为设计变量(物理域)， U 是全局位移， K 为全局刚度矩阵， x e 单元物理域， p 是SIMP的惩罚系数， u e 单元位移， k e 单元刚度矩阵， V ( x ) 和 V 0 分别为材料体积和设计域体积，两个的比值为体积分数 v f ，F为受力载荷， x min 为最小体积。

DDPM (Denoising Diffusion Probabilistic Models)是Jonathan Ho [ 22 ] 等人提出的一种合成高质量图像模型，被称为扩散模型(Diffusion Model)。扩散模型是一种无监督生成模型，生成效果极佳，在CIFAR10数据集上获得了出色的表现，IS (Inception Score)评价指标得分9.46，FID (Fréchet Inception Distance)评价指标得分3.17。在256x256 LSUN上，扩散模型的效果达到了和Progressive GAN相似的效果。

如图1所示，DDPM在训练的过程中可分为两大环节：数据集加噪过程、模型训练(去噪过程)。从 X 0 到 X T 的过程就是数据集加噪过程，向定初始图像 X 0 中逐步添加高斯噪声，加噪过程持续 T 次，产生 T 个加噪图像。这一目的是破坏图像，理论上 T 越接近无穷大，图像 X T 越趋近于高斯噪声。

X T 到 X 0 的过程是去噪过程，该过程无法使用数学方法直接计算，因此需要训练出一个合适的网络模型对其逐步去噪，逐步从 X T − 1 ， X T − 2 ,…，复原出没有噪声的原图像 X 0 。所以加噪过程可以看作在为去噪过程构建训练模型的数据集。

图1. DDPM模型流程图

DDIM [ 23 ] 对DDPM模型的加噪环节做了优化。因为DDPM在加噪过程中采用了一阶马尔可夫假设，导致需要很大的步长才能达到好的效果。而DDIM采用线性采样分布的方法为原图像加入噪声，即在第T步，无论 设置的值为多少，在这一步加噪后的图像都接近高斯噪音，提升了加噪效率。在本文提出的TOuCD就是在DDIM模型的基础上修改来的。

如图2所示提出的TOuCD网络流程结构，此模型是建立在扩散模型的基础之上。由于DDIM加噪思想的先进性，无需逐步对原始图片进行加噪，可直接求出对原始图像 X 0 加噪t步的结果 q ( X _ 0 : t ) 。TOuCD和DDIM的最大不同点是DDIM的训练和预测都是一种无监督过程，仅是前者时刻和后者时刻的高维映射，而TOuCD在训练的过程中，加入了标签信息，图中 p ( X t | X t + 1 , l a b e l ) 是模型预测结果。加入的标签信息可以是拓扑优化中的体积分数、应力、应变等其他边界条件，为此本文测试了多种不同输入组合对最终结果的影响。正是这些监督信息的加入，在测试环节可以约束随机噪声生成拓扑优化想要的结果，让拓扑优化结果更有物理意义。

在数据集中每组标签信息对应一个拓扑优化结果，即原始图像 X 0 。加噪是对拓扑优化结构的处理，去噪过程就是对拓扑优化结果的逐步预测，在这个过程中每一步都有监督信息，测试环节也是如此。

图2. TOuCD网络流程结构示意图

网络模型如图3所示。TOuCD由时间编码(Time Embedding)、编码器(Encoder)、自注意力机制(Self Attention)和解码器四部分组成。网络的工作步骤如下：1) 时间编码，将标签信息、加噪图像 X t 和时间t编码为128 * 4的特征图，然后通过两个线性层和一个激活层。这一步是为了给监督信息和噪声图像加上时间戳，便于网络识别当前网络步数。2) 特征提取，编码器中逐层提取输入数据的特征信息，首先通过一个卷积层，再通过若干个残差模块和卷积层组合成的网络，这一步是将输入图像映射到低维度的特征空间进行数据分类以分析，目的是获取高纬度的语义信息。3) 自注意力机制，这一部分包含两个残差模块和一个自注意力模块，目的是更加有效的提取特征图像，从而提高网络生成效果。4) 图像还原，这一部分由若干个残差模块和卷积层组成，其中层数和特征提取层数相同，并且拥有和Unet模型类似的以跳接方式进行特征融合的步骤。这些网络层主要任务是：逐步恢复输入图像的低级特征并收集编码器提取的语义信息，将相关信息对应到生成图像的像素点上，最终输出生成的图像。

图3. TOuCD网络结构示意图

在实验中，模型选择Smooth L1损失函数，其公式如3所示。均方误差和绝对值误差是最常用于图像生成的损失函数，他们各自拥有自己的优缺点。绝对值误差损失函数的梯度值稳定，使得训练平稳；不易受离群点(脏数据)影响，所有数据一视同仁。但E = 0 (E表示预测值与生成值之间的差值)处不可导，可能影响收敛；E值小时梯度大，很难收敛到极小值，只能通过降低学习率提高其收敛效果。绝对值误差损失函数平滑可导、E较大时梯度大，收敛快；E较小时梯度小，容易收敛至极值点。但是训练初期E较大导致梯度大，更新幅度太大使得训练不稳定，容易出现梯度爆炸现象；受离群点影响大，容易在离群点的干扰下大幅更新，使拟合函数偏向离群点而导致准确率低。Smooth L1是这两个损失函数的结合体，在根据生成数据与参考数据之间差距选用不太计算方法。

L o s s ( x ^ l a b e l : t ) = { 0.5 ( x ^ l a b e l : t − x t ) 2 | x ^ l a b e l : t − x t | < 1 | x ^ l a b e l : t − x t | − 0.5 o t h e r w i s e (3)

式中， x ^ l a b e l : t 为在监督信息干预的情况下第t步骤的预测数据， x t 通过SIMP计算出来的拓扑优化结果并添加t步高斯噪声。

实验的具体设置和TOuCD模型的参数如下：batch设置为8，epoch的数量设置为240000，加噪步数根据实验设定，采用线性加噪方法，加噪程度区间[0.0001, 0.01]，学习率为0.00002，网络采用Adam优化算法。相关实验在Ubuntu 20.04.5 LTS系统下运行，CPU :11th Gen Intel (R)Core(TM)19-11900K 3.50 GHz，内存：32 G，GPU：NVIDIA GeForce RTX 3090。

实验中本文将整个数据集的80%用于训练，20%用于测试。生成数据集主要采用SIMP和FEM的传统计算方法生成，并保存为图像。具体参数设置如下：

设计域：64 * 128网格单元。

体积分数：0.3~0.5之间的随机值。

荷载：荷载分别为x轴方向的力和y轴方向的力，大小均为1，在设计域上随机给出方向和位置。

应力、应变：基于上述条件，采用FEM有限元法生成。

拓扑结构：根据上述条件使用SIMP生成。

实验一

在实验中，设置加噪步数为500，监督信息为应变。训练测试结果如图4所示。图中结构效果较差，只有黑白分明的区域，这说明网络模型只明白了拓扑优化的任务需要保留可用的物理域，即黑色图像区域。出现这种情况的原因可能是加噪步数过少导致图与图间隔过大，模型不容易学到太多有效相关信息。为此计划通过修改部分参数重新训练测试。由于模型结果不佳，就不再展示损失函数效果图以及和其他模型结果对比表。

图4. 加噪500步测试结果展示图

实验二

在此次实验中，设置加噪步数为700，监督信息依然为应变。训练测试结果如图5所示。此次效果相对于实验一效果有明显提升，在图中可以看出，已经有部分结构的轮廓特征，其中少部分结果已经很接近拓扑优化结果，如图5中第四个展示图。这说明，网络模型生成能力进一步提高，已经开始学习应变到拓扑优化结构的高维映射，只是这种学习能力还比较弱。同时也说明此次实验调试方向是正确的，为此决定继续加大加噪步数。显然现在结果依旧不好，因此也不展示损失函数以及与其他模型的对比效果图。

图5. 加噪700步测试结果展示图

实验三

在此次实验中，设置加噪步数为1000，监督信息依然为应变。部分测试结果如图6所示，第一行图像展示的是SIMP方法计算出的结果，第二行图像展示的是模型预测出的结果。直观的去看，大部分生成结果符合拓扑优化的结构轮廓，而且基本没有噪音，这说明TOuCD模型可以完成传统的拓扑优化。同时也可以发现，在预测结构中发现出现了部分不属于结构中的部分，比如图6中部分预测结果出现了类似于边框的细线，同时预测结构的体积略大与参考结构的体积，因此暂时推测，由于没有考虑预测结构的体积分数导致这种情况的产生，为此打算在下次实验中，通过加入体积分数观察这种情况是否解决。

图6. 测试结果展示图

损失函数如图7所示，图中展示了前6200 epoch损失函数结果。通过观察曲线，可以明显看出模型快速收敛，在2000个步骤之后，损失函数开始趋于稳定，并在允许的误差范围内波动，这表明模型已经取得了相对稳定的性能。表1中展示了TOuCD和其他模型预测结果的对比，可以看出TOuCD模型暂时落后其他两个模型，因此TOuCD还需要进一步优化。

图7. TOuCD损失函数

表1. TOuCD和其他模型预测结果的对比

实验四

为了验证实验三中的猜想，本次实验修改了网络模型输入和部分参数。监督信息改为应变和体积分数，其他条件保持一致。由于在实验三中，模型预测效果已经比较好，所以两个实验最大的差距在细节部分，这此次实验中，改善了体积略大的问题，以及在边缘处出现不应该存在的物理结构。图8展示了本次实验的部分结构示意图。图中第一个行图像表示金标准数据可视化结果，第二行图像是预测模型预测结构的可视化效果图。在视觉上，预测数据和真实数据已基本吻合，也没有不该存在的物理域存在情况，说明这次模型调试比较成功，之前问题也基本解决。

图8. 测试结果展示图

在实验三中，观察到模型的预测能力相对逊色，与其他两个模型相比表现不佳。因此，在这次的预测中，再次与这两个模型进行对比，并将对比结果总结在表2中，以便更清晰地展示模型之间的性能差异。数据显示TOuCD预测能力已经超越cGAN的预测能力，虽然此次模型预测效果依旧逊色与TopologyGAN，但是TOuCD预测的拓扑优化结构轮廓更加完美，也没有像TopologyGAN出现不属于拓扑结构的噪声，也没有出现类似于TopologyGAN的噪音。实验后，把TopologyGAN预测结果、TOuCD预测结果与真实拓扑结构做了对比，最终发现TopologyGAN预测结果在体积分数上的表现能力依旧比TOuCD生成能力更强，这可能导致TopologyGAN在数据上看起来更好的原因。

表2. TOuCD和其他模型预测结果的对比

图9是本实验的损失函数展示图，图中展示了前6200 epoch损失函数结果。通过观察曲线，可以明显看出模型快速收敛，在2000个步骤之后，损失函数开始趋于稳定，并在允许的误差范围内波动，这表明模型已经取得了相对稳定的性能。其整体效果和实验三比较相似，都是快速收敛并趋向于稳定，只有损失函数的波动频率和幅度略有不同，出现这种情况的原因可能是加入体积分数后引起的，整体趋势相同可能是拓扑结构受应变的影响比较大。

图9. TOuCD损失函数