本文遵循Sobolev空间常用的表示法，给定区域 Ω ⊂ ℝ 2 ，对于 k ∈ ℕ ， H k ( Ω ) 表示 Ω 上的Sobolev空间， ( ⋅ , ⋅ ) k , Ω 表示Sobolev空间标准内积， |   ⋅   | k , Ω 与 ‖   ⋅   ‖ k , Ω 分别表示 H k ( Ω ) 中的半范数和范数，且 ‖   ⋅   ‖ k , Ω : = ∑ l = 0 k ‖   ⋅   ‖ l , Ω 2 。给定 Ω ⊂ R 2 是一个多边形区域 Γ = Γ N ¯ ∪ Γ D ¯ 为区域 Ω 的边界， Γ D 是 Γ 的拓扑中的闭集， Γ D ∩ Γ N = ∅ ， n Ω 表示 Γ 的单位外法向量， g N 为 Γ N 上分段光滑的函数。 { T n } n 为区域 Ω 上的一个多边形剖分序列， N V 表示 T n 的顶点的集合， ε n 表示 T n 中所有边e的集合，对于所有的 n ∈ ℕ ， K ∈ T n ， e ∈ ε n ， n K 表示 ∂ K 上的单位外法向量， h K 为单元的直径，h为所有单元中最大直径， ε n I ,   ε n B 分别表示内部边和边界边的集合。对于任意的 K ∈ T n ， e ∈ ε n ， ε n K 表示单元K上边界的集合， X K 是单元K的重心， h e 表示边e的长度， d ( A , X K ) 表示A与 X K 的距离， h Ω 表示区域 Ω 的直径，对于所有的 n ∈ ℕ ，存在一个正常数 γ ∈ ( 0 , 1 ) ，在 T n 上满足如下正则性假设：

1) 对于所有的 K 1 , K 2 ∈ T n 有 γ h K 1 ≤ h K 2 ≤ γ − 1 h K 1 ；

2) 对于所有的 K ∈ T n ，K相对于半径大于或等于 γ h K 的球是星型的；

3) 对于所有的 e ∈ ε K ， h e ≥ γ h K 。

首先考虑二维泊松问题

{ − Δ u = f , u ∈ Ω , n Ω ∇ u = g N , u ∈ Γ N , u = g D , u ∈ Γ D , (1)

其中， Ω ⊂ ℝ 2 ， f ∈ L 2 ( Ω ) ，问题(1)的变分形式为：找到 u ∈ V g D : = H g D 1 ( Ω ) : = { v ∈ H 1 ( Ω ) | 在   Γ D   上   v = g D } ，使得

a ( u , v ) = ( f , v ) 0 , Ω + ( g N , v ) 0 , Γ N ,     v ∈ H 0 1 ( Ω ) . (2)

其中， a ( u , v ) = ( ∇ u , ∇ v ) ，u是解析函数与一系列和域中拐角有关的奇异项的组合。

由于在域的顶点处有奇异行为，导致问题(2)的解不是解析的，因此，为了便于说明，我们假设问题(2)的解u可以分解为：

u = u 0 + φ A (3)

其中， u 0 表示 Ω ¯ 上的解析函数， φ A 是奇异函数。接下来，我们假设 Γ N = ∅ ， g D = 0 ，因此问题(2)变为：找到 u ∈ V : = H 0 1 ( Ω ) ，使得

a ( u , v ) = ( f , v ) 0 , Ω ,     v ∈ V . (4)

首先将 T n 细分为三层。第一层 T n 1 由邻近奇异顶点A的多边形组成：给定

γ ˜ > 0 ,   T n 1 : = { K ∈ T n | d ( A , X K ) ≤ γ ˜ h Ω } .

第二层 T n 2 是由与第一层中的单元至少共用一个边的多边形组成：

T n 2 : = { K ∈ T n \ T n 1 | 存 在   K ˜ ∈ T n 1 ,   c a r d ( ε K ∩ ε K ˜ ) > 0 } .

第三层 T n 3 是由 T n 中剩余的单元组成：

T n 3 : = { K ∈ T n \ T n 1 ∪ T n 2 } .

类似地，将 ε n 细分为两层边。第一层 ε n 1 是由属于 T n 1 中单元边界的所有边的集合：

ε n 1 = { e ∈ ε n | K ∈ T n 1 ,   e ⊂ ∂ K } .

第二层由剩余部分的边组成：

ε n 2 = { e ∈ ε n \ ε n 1 } .

接下来引入辅助函数和空间，对于给定的 K ∈ T n ， k ∈ ℕ ，首先，定义扩展函数 φ A K ( r , θ ) : = φ A ( r h K , θ ) ，在单元K上定义扩展多项式集 ℙ ˜ k ( K ) = { ℙ k ( K ) ⊕ φ A K , K ∈ T n 1 ℙ k ( K ) , 其 他 情 况 。对于 e ∈ ε K ，定义扩展函数 φ A e ( r , θ ) : = φ A ( r h e , θ ) ，在边e上定义扩展多项式集 ℙ ˜ k − 1 ( e ) = { ℙ k − 1 ( e ) ⊕ ( n e ⋅ ∇ φ A | e e ) , e ∈ ε n 1 ℙ k − 1 ( e ) , 其 他 情 况 。

进一步，定义局部扩展虚拟元空间：

V n ( K ) : = { v n ∈ H 1 ( K ) | Δ v n ∈ ℙ k − 2 ( K ) ,   n e ⋅ ∇ v n | e ∈ ℙ ˜ k − 1 ( e ) ,   ∀ K ∈ T n ,   e ∈ ε K } ,

对于所有的 v n ∈ V n ( K ) ，空间 V n ( K ) 的自由度为：

1) v n 在单元K的内部的值 1 | K | ∫ K v n m α d   x ， ∀ α = 1 , ⋯ , n k − 2 ；

2) 如果 e ∈ ε n 1 ， v n 在单元K边e上的值 { 1 h e ∫ e v n m ˜ α e d   s , ∀ α = 0 , ⋯ , k − 1 ,     ∀ e ∈ ε K ∫ e v n ( n e ⋅ ∇ φ A e ) | e d   s , α = k ,     ∀ e ∈ ε K ；

如果 e ∈ ε n 2 ， v n 在单元K边e上的值 1 h e ∫ e v n m ˜ α e d   s ， ∀ α = 0 , ⋯ , k − 1 ， ∀ e ∈ ε K 。

下面我们定义全局非协调虚拟元空间，对于 e ∈ ε n I ， n e ± 表示边e的单位外法向量，对于 e ∈ ε n B ，

n e 表示边e的单位外法向量，定义Sobolev空间

H 1 ( T n ) = ∏ K ∈ T n H 1 ( K ) = { v ∈ L 2 ( Ω ) : v | K ∈ H 1 ( K ) } ,

接下来引入跳跃算子：对于给定的 v ∈ H 1 ( T n ) 令

〚 v 〛 = v + n e + + v − n e − ,   e ∈ ε n I ;   〚 v 〛 = v ⋅ n e ,   e ∈ ε n B (5)

定义子空间

H 1 , n c ( T n , k ) : = { v ∈ H 1 ( T n ) | ∫ e 〚 v 〛 ⋅ n e m ˜ α e = 0 ,   ∀ m ˜ α e ∈ ℙ ˜ k − 1 ( e ) ,   ∀ e ∈ ε n } .

定义全局非协调扩展虚拟元空间为：

V n : = { v n ∈ H 1 , n c ( T n , k ) | v n ∈ V n ( K )   ∀ K ∈ T n } .

定义 H 1 正交投影 Π ˜ ∇ : V n ( K ) → ℙ ˜ k ( K ) ，对于任意 v n ∈ V n ( K ) ，满足如下正交条件，

{ a K ( v n , q ) = a K ( Π ˜ ∇ v n , q ) , ∫ ∂ K ( Π ˜ ∇ v n − v n ) = 0 ,     ∀ q ∈ ℙ ˜ k ( K ) , (6)

由式(6)可得

a K ( v n , q ) = − ∫ K v n Δ q d x + ∑ e ∈ ε K ∫ e v n ∂ q ∂ n K d s , (7)

对于所有的 e ∈ ε n ，定义 L 2 投影算子 Π ˜ 0 : V n ( K ) | e → ℙ ˜ k − 1 ( e ) ，对于任意 v n ∈ V n ( K ) ，满足如下正交条件，

( v n − Π ˜ 0 v n , m ˜ α e ) 0 , e = 0 ,   ∀     m ˜ α e ∈ ℙ ˜ k − 1 ( e ) , (8)

定义 L 2 投影算子 Π 0 : V n ( K ) → ℙ k ( K ) ，满足 ( v n − Π 0 v n , p ) 0 , K = 0 ， ∀ p ∈ ℙ k ( K ) ， Π 0 v n 可以通过内部自由度的定义来计算。

定义双线性形式 a K : H 1 ( Ω ) × H 1 ( Ω ) → R ，对于任意的 u , v ∈ H 1 ( Ω ) ， a K ( u , v ) : = ( ∇ u , ∇ v ) 0 , K ，局部双线性形式 a ( u , v ) = ∑ K ∈ T n a K ( u , v ) 。

定义局部离散双线性形式为

a n K ( u n , v n ) = a K ( Π ˜ ∇ u n , Π ˜ ∇ v n ) + S K ( u n − Π ˜ ∇ u n , v n − Π ˜ ∇ v n ) ,   ∀ u n , v n ∈ V n ( K ) , (9)

全局离散双线性形式 a n ( ⋅ , ⋅ ) : V n × V n → ℝ 为 a n ( u n , v n ) = ∑ K ∈ τ n a n K ( u n , v n ) ， ∀ u n , v n ∈ V n .

对所有的 n > 0 与所有 K ∈ T n ，式(9)中定义的局部离散双线性形式满足如下的一致性和稳定性。

1) 一致性：对所有 K ∈ T n 和任意的 q ∈ ℙ ˜ k ( K ) ， v n ∈ V n ，都有 a n K ( q , v n ) = a K ( q , v n ) 成立。

2) 稳定性：对所有 K ∈ T n 和任意的 v n ∈ V n ( K ) ，存在两个与n无关的两个正常数 α ∗ 与 α ∗ ，有 α ∗ a K ( v n , v n ) ≤ a n K ( v n , v n ) ≤ α ∗ a K ( v n , v n ) 。

接下来我们对右端项进行离散，在单元E定义 f n ，对于 k ≥ 2 ， E ∈ T n ，定义

〈 f n , v n 〉 = ∑ E ∈ T n ∫ E f n v n d x = ∑ E ∈ T n ∫ E ( ∏ 0 f ) v n d x = ∑ E ∈ T n ∫ E f ( ∏ 0 v n ) d x ,

即 〈 f h , v h 〉 可通过自由度的定义计算。

所以，本文要解决的离散问题为，对于任意的 v n ∈ V n ，找到 u n ∈ V n ，使得

a n ( u n , v n ) = 〈 f n , v n 〉 . (10)

在本节中，我们对模型问题(4)的虚拟元近似(10)进行误差分析。

定义双线性形式 N n : H 1 ( Ω ) × H 1 , n c ( T n , k ) → ℝ 如下

N n ( u , v ) = ∑ K ∈ T n ∫ ∂ K ∂ u ∂ n K v d   s = ∑ e ∈ ε n ∫ e ∇ u 〚 v 〛 d   s , (11)

其中， 〚 v 〛 为式(5)中所定义的跳跃算子。

引理1 [ 12 ] 令u为 H 1 ( Ω ) 中的任意函数， u 0 为式(3)中所示，在 T n 上满足正则性假设(1)~(3)，则在 ℙ ˜ k ( K ) 中存在分段多项式 u π ，使得

| u − u π | 1 , T n ≤ c h k { ( ∑ K ∈ T n 1 | u 0 | k + 1 , K 2 ) 1 2 + ( ∑ K ∈ T n 2 ∪ T n 3 | u | k + 1 , K 2 ) 1 2 } ,

其中，c是一个依赖于k和 γ 的正常数。

引理2 [ 8 ] 令 k ≥ 1 设 u ∈ H s + 1 ( Ω ) ,   s ≥ 1 是连续问题(4)的解， v ∈ H 1 , n c ( T n , k ) ， N n 满足式(11)的定义式，在正则性假设成立条件下，有如下误差估计成立

N n ( u , v n ) ≤ c h min ( s , k ) ‖ u ‖ s + 1 , Ω | v n | 1 , T n ,

其中，c是一个依赖于k和 γ 的正常数.

定理1 [ 12 ] 令u与 u n 分别为(4)与(10)的解， u 0 为式(3)中所示， H 1 范数下误差估计如下

| u − u n | 1 , T n ≤ c h p { ( ∑ K ∈ T n 1 ‖ u 0 ‖ k + 1 , K 2 + ∑ K ∈ T n 2 ∪ T n 3 ‖ u ‖ k + 1 , K 2 ) 1 2 + ‖ f ‖ k − 1 , Ω } ,

其中，c是一个与h和u无关的常数，可能与参数 γ 以及奇异函数 φ A K 有关。