PM Pure Mathematics 2160-7583 Scientific Research Publishing 10.12677/PM.2023.1312385 PM-78618 PM20231200000_94229450.pdf 数学与物理 动力系统中n重回复时间集的性质研究 The Study of n Recurrent Set in Dynamical System 王 雅卿 2 1 张 思汇 2 1 上海理工大学理学院，上海 null 08 12 2023 13 12 3730 3735 © Copyright 2014 by authors and Scientific Research Publishing Inc. 2014 This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

设(X,G)是一个G-系统，其中X是紧致度量空间(度量为d)，G:X→X是连续映射。基于Furtenberg族，我们利用动力系统的复杂性和回复性，证明了对任意μ∈M(X,G)，存在一个μ(X0)=1的Borel子集X0，使得对任意x∈X，d∈ℕ以及x的任意邻域U，集合NT×T2×…×Td((x,x…,x),U1×U2×…×Ud)具有正上F-密度。 Let (X,G) be a G-system, where X is the compact metric space (metric d) and G:X→X is a continuous map. Based on the Furtenberg family, we use the complexity and recurrence of the dynamical system to prove that for any μ∈M(X,G), there exists an Borel subset X0of μ(X0)=1 such that for any x∈X，d∈ℕ and any neighborhood U of x, the set NT×T2×…×Td((x,x…,x),U1×U2×…×Ud) has a positive upper F-density.

 动力系统，回复时间集，F?lner序列, Dynamical System Recurrent Set F?lner Sequence 摘要

设 ( X , G ) 是一个G-系统，其中X是紧致度量空间(度量为d)， G : X → X 是连续映射。基于Furtenberg族，我们利用动力系统的复杂性和回复性，证明了对任意 μ ∈ M ( X , G ) ，存在一个 μ ( X 0 ) = 1 的Borel子集X0，使得对任意 x ∈ X ， d ∈ ℕ 以及x的任意邻域U，集合 N T × T 2 × ⋯ × T d ( ( x , x , ⋯ , x ) , U 1 × U 2 × ⋯ × U d ) 具有正上 F -密度。

 关键词

动力系统，回复时间集，Fϕlner序列

 The Study of n Recurrent Set in Dynamical System<sup> </sup>

Yaqing Wang*, Sihui Zhang#

College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai

Received: Nov. 19th, 2023; accepted: Dec. 20th, 2023; published: Dec. 29th, 2023

 ABSTRACT

Let ( X , G ) be a G-system, where X is the compact metric space (metric d) and G : X → X is a continuous map. Based on the Furtenberg family, we use the complexity and recurrence of the dynamical system to prove that for any μ ∈ M ( X , G ) , there exists an Borel subset X0of μ ( X 0 ) = 1 such that for any x ∈ X ， d ∈ ℕ and any neighborhood U of x, the set N T × T 2 × ⋯ × T d ( ( x , x , ⋯ , x ) , U 1 × U 2 × ⋯ × U d ) has a positive upper F -density.

Keywords:Dynamical System, Recurrent Set, Fϕlner Sequence

Copyright © 2023 by author(s) and beplay安卓登录

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 1. 引言

我们首先引进回复时间点集的概念。

定义1.1 [ 1 ] ：对于一个动力系统 ( X , T ) ，设 x ∈ X 及 U ⊂ X ，令x进入U的回复时间集为：

N ( x , U ) = { n ∈ ℤ + : T n x ∈ U } .

显然，如果x为回复点，那么它也是 T n ( n ∈ ℕ ) 的回复点。

2016年，Kwietniak [ 2 ] 等人在探索由van der Waerden定理和类似的组合问题的动态方法所产生的递归性质时，证明了：

定理1.2 设 ( X , T ) 是一个动力系统，如果在X上存在一个弱混合的、完全T-不变的Borel概率度量 μ ，则存在一个X的Borel子集 X 0 ，且 μ ( x 0 ) = 1 ，使得对于任意 x ∈ x 0 ， d ∈ ℕ ，以及X的每个非空开子集U，集合

N T × T 2 × ⋯ × T d ( ( x , x , ⋯ , x ) , U × U × ⋯ × U )

具有正上密度。

2020年，陈志景，黄煜 [ 3 ] 等人研究了具有正上 { F n } -密度的回复点，证明了所有正上 F -密度的回复点的集合是Borel的，并且对于任意的 μ ∈ M ( X , G ) ，具有满的 μ -测度。

如果对于x的每一个开邻域U，存在 d ∈ ℕ ，使集合 N T × T 2 × ⋯ × T d ( ( x , ⋯ , x ) , U × ⋯ × U ) 具有上正的 F -密度，则称点 x ∈ X 具有多重回复的上正 F -密度。

基于上述研究，我们提出下述问题：

问题1 设 ( X , T ) 是一个G-系统， μ 是X上的一个弱混合的、完全T-不变的Borel概率度量，则存在一个X的Borel子集 X 0 ，且 μ ( x 0 ) = 1 ，使得对于任意 x ∈ x 0 ， d ∈ ℕ ，以及X的每个非空开子集 U 1 , U 2 , ⋯ , U d ，集合

N T × T 2 × ⋯ × T d ( ( x , x , ⋯ , x ) , U 1 × U 2 × ⋯ × U d )

具有正上 F -密度。

 2. 定义与符号

下面介绍一些基本的符号和定义。

2.1. G-系统

G-系统 ( X , G ) 意味着X是紧致度量空间，G是可数离散无限可服从群， Γ : G × X → X ， ( g , x ) → g x 是满足以下条件的连续映射：

Γ ( e , x ) = x ，对任意的 x ∈ X ，其中e是G的单位元。

Γ ( g 1 , Γ ( g 2 ) ) = Γ ( g 1 g 2 , x ) ，对任意的 g 1 , g 2 ∈ G ， x ∈ X

设 ( X , G ) 是一个G-系统，且 x ∈ X ，对于子集 F ⊂ G ，用F-orbit表示X的轨道：

F x : = { g x : g ∈ F } .

设 U ⊂ X ，定义x的回复时间集为

N ( x , U ) : = { g ∈ G : g x ∈ U } .

如果对于x的任意开邻域U，集合 N ( x , U ) 是无穷的，则点 x ∈ X 称为回复点。如果对于y的每一个开邻域U， N ( x , U ) 是无穷的，则点 y ∈ X 称为x的 ω 极限点。X的所有 ω 极限点的集合称为X的 ω -极限集，用 ω G ( x ) 表示。如果存在一个点 y ∈ X ，使得y的 ω -极限集在X中是稠密的，则称系统 ( X , G ) 为可传递的，这样的点称为可传递点。

设 ( G , ⋅ ) 是紧致度量空间 ( X , G ) 上的可数离散无限可服从群， ( X , G ) 是紧度量空间 ( X , d ) 上的拓扑动力系统(简称G-系统)。对于任意点 x ∈ X ，我们称 G x = { g x : g ∈ G } 为x在G作用下的轨道。如果 g x ∈ Λ ，对任意 x ∈ Λ 和 g ∈ G ，我们将X的任意子集 Λ 称为G-不变集。在动力系统理论中，我们经常需要处理轨道Gx在X的给定区域E停留的概率。这促使我们考虑 ( X , G ) 中的各种密度。

 2.2. Fϕlner序列

G的一个有限子集的序列 F = { F n } n = 1 ∞ 被称为G中的(左) Fϕlner序列，如果

lim n → ∞ | g F n Δ F n | | F n | = 0 ， ∀ g ∈ G ，

其中 | · | 是G上的计数测度。显然，Fϕlner序列的每个子序列 { F n k } k = 1 ∞ 也是G中的Fϕlner序列。众所周知，只要G是可服从的，就会存在Fϕlner序列 [ 4 ] 。

对于给定的Fϕlner序列 F : = { F n } n = 1 ∞ ，在G和一个子集 A ⊆ G 中，A相对于 F 的上、下密度分别由

d ¯ F ( A ) = lim sup n → ∞ | A ∩ F n | | F n | 和 d _ F ( A ) = lim inf n → ∞ | A ∩ F n | | F n |

定义。

如果 d ¯ F ( A ) = d _ F ( A ) ，那么我们称这个值为A相对于 F 的密度。

现在，对于一个子集 E ⊆ X 和一个Fϕlner序列 F = { F n } n = 1 ∞ ，轨道Gx在 E ( X ) 中停留的概率可以用以下量来描述：

d ¯ F ( A ) = ( { g ∈ G : g x ∈ E } )

d _ F ( A ) = ( { g ∈ G : g x ∈ E } )

或者

d F ( A ) = ( { g ∈ G : g x ∈ E } )

当 d F -密度存在时。这促使我们考虑G-系统的以下概念： ℝ -actions [ 5 ] 、 ℝ + -actions [ 6 ] 和 C 0 -semiflow [ 7 ] 。

定义2.1 对于Fϕlner序列 F = { F n } n = 1 ∞ ，对于x的每一个开邻域

U， d ¯ F ( A ) = ( { g ∈ G : g x ∈ U } ) > 0 ，点 x ∈ X 是循环的且上 F -密度为正；如果对于x的每一个开邻域U， d _ F ( A ) = ( { g ∈ G : g x ∈ U } ) > 0 ，点 x ∈ X 是循环的且下 F -密度为正。

根据G-系统的逐点遍历定理 [ 8 ] ，不难看出，在遍历理论中存在“许多”点，其上 F 密度为正，其中Fϕlner序列 F = { F n } n = 1 ∞ 满足Shulman’s条件 [ 8 ] ：

| ∪ k < n F k − 1 F n | ≤ C | F n | ，对某些 C > 0 以及任意 n ∈ ℕ 。

我们利用平均遍历定理证明了这一性质对任何不存在Shulman’s条件的Fϕlner序列都成立，并描述了具有正上 F -密度的循环点集合的拓扑“大小”如下：

定理2.1 所有上 F 密度为正的循环点的集合是Borel的，并且对于任意的 μ ∈ M ( X , G ) 具有满 μ 测度。

在一定的合理条件下，从拓扑学的角度来看，上 F -密度为正的循环点集很大。

定理2.2 如果存在一个完全支持的遍历G-不变测度 ( X , G ) ，则所有上 F -密度为正的循环点的集合为残差。

定理2.3 (G-系统的sigmund猜想)设 { F n } 是G的一个双边Fϕlner序列。如果存在一个 x ∈ X ，满足性质( ∗ ) d ¯ F = ( { g ∈ G : g x ∈ U } ) > 0 ，对于任意 y ∈ X 和y的开邻域U，则所有具有性质( ∗ )的点的集合在X上是残差。

定义2.4 对于G中的 x ∈ X 和Fϕlner序列 F = { F n } n = 1 ∞ ，如果对任意 ε > 0 ，有 d F ( { g ∈ G : g x ∈ B ( C , ε ) } ) = 1 ，则X的闭子集C称为x的 F -吸引中心。如果集合C不存在任何固有子集，它同样是x的 F -吸引中心，则C称为x的最小 F -吸引中心，并写为 C F ( x ) 。这里 B ( C , ε ) 表示X中C周围的 ε -邻域。

最近几年关于动力系统的研究，主要参考文献 [ 1 ] [ 6 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] 。

 3. 定理与证明

定理3：设 ( X , G ) 是一个拓扑动力系统，对任意 ，存在一个 μ ( X 0 ) = 1 的Borel子集 X 0 ，使得对任意 x ∈ X ， d ∈ ℕ 以及x的任意邻域U，集合

N T × T 2 × ⋯ × T d ( ( x , x , ⋯ , x ) , U 1 × U 2 × ⋯ × U d )

具有正上 F -密度。

证明：对任意 t > 0 ， d , k , n , m ∈ ℕ ，设 A d , k ( t , n , m ) 为所有点 x ∈ X 的集合，使得存在一个x的开邻域U，且 d i a m ( U ) < 1 k ，满足

| F n ∩ N T × T 2 × ⋯ × T d ( ( x , ⋯ , x ) , U × ⋯ × U ) | | F n | > t − 1 m .

对任意 k ∈ ℕ ，设

A d , k ( t , n , m ) = ∪ i = 1 ∞ ∩ m = 1 ∞ ∪ n = m ∞ A d , k ( 1 i , n , m )

则在交点 X 0 上具有正 F -密度的多回复点的集合，因此它是Borel集合，因为每个 A k ( t , n , m ) 都是X的开子集。

通过遍历分解定理，我们只需要证明遍历测度的结果成立。设 ，我们假定每个 A d , k 都有满 μ 测度。相反，假设对于某些 k ∈ ℕ ， A d , k < 1 ，则我们可以选择一个 d i a m ( D ) < 1 3 k 且 μ ( D ) > 0 Borel子集 D ⊂ X \ A k 。对于任意 x ∈ X ，令

φ ( x ) = lim sup n → ∞ 1 | F n | ∑ g ∈ F n 1 D ∩ G − i ∩ ⋯ ∩ G − i d D ( x ) ，

则对于任意 x ∈ X ， ϕ 也是Borel可测的，且 0 ≤ ϕ ( x ) ≤ 1 。

利用平均遍历定理，得到 { F n } n = 1 ∞ 的一个子序列 { F n k } k = 1 ∞ ，使得

1 | F n k | ∑ g ∈ F n k 1 D ∩ G − i ∩ ⋯ ∩ G − i d D ( x ) → μ ( x ) ，

在 L 2 -norm ‖ • ‖ ， L 2 ( X . B ( X ) , μ ) ， k → ∞ 。因此，根据法图引理，有

∫ D φ ( x ) d μ ( x ) ≥ lim sup n → ∞ ∫ D 1 | F n | ∑ g ∈ F n 1 D ∩ G − i D ∩ ⋯ ∩ G − i d D ( x ) d μ ( x ) = lim sup n → ∞ 〈 1 | F n | ∑ g ∈ F n 1 D ∩ G − i ∩ ⋯ ∩ G − i d D ( x ) , 1 D 〉 ≥ lim n → ∞ 〈 1 | F n | ∑ g ∈ F n 1 D ∩ G − i ∩ ⋯ ∩ G − i d D ( x ) , 1 D 〉 = μ ( D ) 2 > 0

显然，对于任意 X ∉ B ， φ ( x ) = 0 ，因此存在某个 x ∈ B ，使得 φ ( x ) > 0 。令

U = B ( x , 2 3 k ) : = { y ∈ X : d ( x , y ) < 2 3 k } ，

则 D ⊂ U ， N T × T 2 × ⋯ × T d ( ( x , ⋯ , x ) , U × ⋯ × U ) 的上 F -密度不小于 φ ( x ) 。

我们得到 x ∈ A d , k ，矛盾！

因此对于每一个遍历测度 μ ， d , k ∈ ℕ ， μ ( A d , k ) = 1 。令

X 0 = ∩ d = 1 ∞ ∩ k = 1 ∞ A d , k

则对于每一个遍历测度 μ ( X 0 ) = 1 ，通过遍历分解同样成立。

因此 X 0 是需要的。

 文章引用

王雅卿,张思汇. 动力系统中n重回复时间集的性质研究The Study of n Recurrent Set in Dynamical System[J]. 理论数学, 2023, 13(12): 3730-3735. https://doi.org/10.12677/PM.2023.1312385

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