设 ( Ω , F , P ) 为一个概率空间，其中 Ω 是所有基本事件的集合， F 是 Ω 子集的 σ -代数，P是 F 上的概率测度。定义 X 是概率空间 ( Ω , F , P ) 上的实值随机变量所构成的向量空间，满足 E [ X 2 ] < ∞ 。在投资随机优化模型中，随机变量 X ∈ X 的正值(负值)表示资产组合在未来某个时刻的收益(损失)，X也常称为金融寸头。

给定风险度量 ρ : X → R ，对任意的 X ∈ X ，在金融数学中 ρ ( X ) 表示为了使X成为可接受的金融寸头所需的最小资本额。一个好的风险度量一般具有以下性质 [ 17 ] ：对于 X , Y ∈ X ，有

a) 单调性：如果 X ≤ Y ，则 ρ ( X ) ≤ ρ ( Y ) ；

b) 现金可加性：对任意的 m ∈ R ， ρ ( X + m ) = ρ ( X ) + m ；

c) 凸性：对任意的 λ ∈ [ 0 , 1 ] ， ρ ( λ X + ( 1 − λ ) Y ) ≤ λ ρ ( X ) + ( 1 − λ ) ρ ( Y ) ；

d) 正齐次性：对任意的 α > 0 ， ρ ( α X ) = α ρ ( X ) ；

e) 次可加性： ρ ( X + Y ) ≤ ρ ( X ) + ρ ( Y ) ；

f) 分布不变性：对任意 X , Y ∈ X ，X和Y有相同的概率分布， ρ ( X ) = ρ ( Y ) 。

在金融数学中，满足性质a)和b)的风险度量称为货币风险度量 [ 6 ] ；满足性质c)的货币风险度量称为凸风险度量 [ 18 ] ；满足性质d)和e)的货币风险度量称为一致性风险度量 [ 9 ] ，AVaR不是一致性风险度量，而EVaR则是一致性风险度量。

首先回顾Lad等 [ 16 ] 定义的Extropy熵。

定义1 对任意的 X ∈ X ，定义概率密度函数为f，Extropy熵定义为：

J ( X ) = − 1 2 ∫ f 2 ( x ) d x (1)

在实际应用中，Extropy熵常用来度量随机变量X概率分布的不确定性。为衡量不同概率分布之间的差异，Lad等 [ 16 ] 引入了相对Extropy的概念：对于 ( Ω , F ) 上任意两个概率测度P和Q，称对任意的 ε > 0 ，存在 δ ( ε ) > 0 ，只要 P ( A ) < δ ( ε ) ， A ∈ F ， | Q ( A ) | < ε ，就有Q对于P是绝对连续的，记作 Q ≪ P ，显然 d Q / d P ≥ 0 且 E P [ d Q / d P ] = 1 。因此 d Q / d P 也常被称为密度随机变量。此外，对任意给定的概率测度 P ，令

P = { Q : Q   是 ( Ω , F )   上 的 概 率 测 度 且   Q ≪ P } .

定义2 [ 16 ] 对于 ( Ω , F ) 上任意两个概率测度P和Q，相对Extropy的定义为：

J ( Q | P ) : = { ∫ ( d Q d P ) 2 d P − 1 , Q ≪ P + ∞ , 其 它 (2)

其中假设期望是有限的。

很明显 J ( Q | P ) ≥ 0 。如果P与Q有相同的概率分布，那么 J ( Q | P ) = 0 。

定义3 设 X ∈ X ，对于任意的 c ≥ 0 ，Extropy风险度量定义为：

E x R M c ( X ) = sup Q ∈ P : J ( Q | P ) ≤ c E P [ ( d Q d P ) X ] (3)

性质：ExRM_c(X)是一个具有分布不变性的一致性风险度量。

证明：根据ExRM_c(X)的定义，显然a)、b)、f)成立。下面证明ExRM_c(X)满足d)、e)。对任意 X ∈ X ，任意的 α > 0 ，

E x R M c ( α X ) = sup Q ∈ P : J ( Q | P ) ≤ c E P [ ( d Q d P ) α X ] = α sup Q ∈ P : J ( Q | P ) ≤ c E P [ ( d Q d P ) X ] = α E x R M c ( X ) .

并且，对任意的 X , Y ∈ X ，

E x R M c ( X + Y ) = sup Q ∈ P : J ( Q | P ) ≤ c E P [ ( d Q d P ) ( X + Y ) ] = sup Q ∈ P : J ( Q | P ) ≤ c { E P [ ( d Q d P ) X ] + E P [ ( d Q d P ) Y ] } ≤ sup Q ∈ P : J ( Q | P ) ≤ c E P [ ( d Q d P ) X ] + sup Q ∈ P : J ( Q | P ) ≤ c E P [ ( d Q d P ) Y ] = E x R M c ( X ) + E x R M c ( Y ) .

证毕。

Dentcheva等 [ 19 ] 首先对风险度量的对偶表示进行了研究。Zou等 [ 20 ] 得到了EVaR的对偶表示，该表示说明EVaR风险度量能很好的描述风险厌恶投资者对投资风险的态度。接下来将探究ExRM_c(X)的对偶表示，以探索Extropy风险度量与期望效用理论中不同效用函数类之间的关系，识别这一风险度量是否能描述风险喜爱投资者对投资风险的态度。

定理4 设 X ∈ X 且 0 < c < ∞ ，Extropy风险度量的对偶表示形式如下：

E x R M c ( X ) = inf η ∈ R { η + ( 1 + c ) 1 2 ‖ ( X − η ) + ‖ 2 } (4)

其中 ‖ X ‖ 2 = ( E | X | 2 ) 1 / 2 。

证明：证明过程类似于Pichler和Schlotter [ 21 ] 中定理12的证明。

基于Extropy风险度量的对偶表示，很容易得到：对于任意 X ∈ X ，都有

E [ X ] ≤ E x R M c ( X ) ≤ ( 1 + c ) 1 / 2 ‖ X ‖ 2 .

很明显，对于参数 c > 0 ，式(4)右边的最优解 η ∗ 满足

Var ( ( X − η ∗ ) + ) c = ( E [ ( X − η ∗ ) + ] ) 2 (5)

当 η * < e s s - s u p   X ，结合式(4)与(5)，ExRM_c(X)风险度量定义中的最优密度随机变量 d Q ∗ / d P 可表示为：

d Q ∗ d P = ( X − η * ) + E ( X − η * ) + (6)

当 η * = e s s - s u p   X ，最优密度随机变量 d Q * / d P = I X = e s s - s u p   X / p * ，其中 p * : = P ( X = e s s - s u p   X ) 。

行为金融学理论认为投资者的决策行为受其风险偏好的影响。在经典的期望效用理论中，投资者的风险的偏好用效用函数来描述：喜爱财富并风险厌恶的偏好对用于单调增的凹效用函数；喜爱财富并风险喜爱的偏好对用于单调增的凸效用函数。对任意的 η ∈ R ，令 u η ( x ) = ( x − η ) + 2 ， u η ( x ) 是一个单调递增且凸的函数，基于公式(4)，ExRM_c(X)可以表示为：

E x R M c ( X ) = inf η ∈ R { η + ( 1 + c ) 1 / 2 [ E u η ( X ) ] 1 / 2 } .

则对任意的 X ∈ X ，期望效用函数值 E [ u η ( X ) ] = E [ ( X − η ) + 2 ] 可以用来描述风险喜爱投资者的投资行为。因此基于Extropy风险度量的对偶表示可以很好地度量风险喜爱投资者在未来某一时刻投资金融产品X的预期收益。

Haezendonck和Goovaerts [ 22 ] 基于Orlicz保费原理提出了Haezendonck-Goovaerts风险度量，它是流行的尾部风险度量TVAR的一个非线性推广，被广泛应用在保险和精算研究领域。Bellini等 [ 23 ] 把Haezendonck-Goovaerts风险度量的表达式定义为：

ρ c ( X ) = inf η ∈ R { η + H c ( ( X − η ) + ) } .

H_c是Orlicz范数。从定理4可以看出，风险度量ExRM_c是Haezendonck-Goovaerts风险度量的特殊情况，H_c是L²范数。

在风险度量的公理化体系中，Kusuoka表示对于分布不变性风险度量是非常重要的一个结果。Kusuoka [ 24 ] 基于对偶性建立了一致性风险度量的Kusuoka表示；Frittelli和Gianin [ 25 ] 、Dentcheva等 [ 19 ] 将Kusuoka表示法推广到凸风险度量。Zou等 [ 20 ] 探索了Rényi熵风险度量的Kusuoka表示法。下面将给出ExRM_c(X)的Kusuoka表示法，发现它可以表示为混合AVaR风险度量的最大值。首先，回忆一下AVaR [ 20 ] 的定义。对于给定的置信水平 α ∈ [ 0 , 1 ] ，

AVaR α ( X ) = 1 1 − α ∫ α 1 V a R s ( X ) d s (7)

其中 V a R α ( X ) = i n f { x : P ( X ≤ x ) ≥ α } 。

定理5 (Kusuoka表示形式) 设 X ∈ X ，对任意的 0 ≤ c < ∞ ，ExRM_c的Kusuoka表示形式如下：

ExRM c ( X ) = sup μ ∈ M c ∫ 0 1 AVaR v ( X ) μ ( d v ) (8)

其中

M c = { μ ∈ M ( [ 0 , 1 ] ) : E [ ∫ 0 U 1 1 − v μ ( d v ) ] 2 ≤ 1 + c } ,

M ( [ 0 , 1 ] ) 是空间 ( [ 0 , 1 ] , B ( [ 0 , 1 ] ) ) 上定义的概率测度集。

证明 令 Z = d Q / d P 表示密度随机变量，满足 Z ≥ 0 且 E P [ Z ] = 1 。根据式(3)，ExRM_c的表达式重写为：

E x R M c ( X ) = sup { E [ X Z ] : Z > 0 , E Z = 1 , E [ Z 2 ] ≤ 1 + c } (9)

令F和H分别表示随机变量X和密度随机变量Z的概率分布函数。那么，存在一个在 [ 0 , 1 ] 上均匀分布的随机变量U，使得 X = F − 1 ( U ) 几乎处处成立。类似于Zou等 [ 20 ] 定理2.3的证明，让 F − 1 表示F的右逆， H − 1 表示H的右逆，即 F − 1 ( u ) = sup { x : F ( x ) ≤ u } ， H − 1 ( u ) = sup { x : H ( x ) ≤ u } ， u ∈ [ 0 , 1 ] 。根据Föllmer和Schied [ 18 ] 的引理4.60，有

sup Z ~ H E [ X Z ] = E [ F − 1 ( U ) H − 1 ( U ) ] (10)

因此，在空间 ( [ 0 , 1 ] , B ( [ 0 , 1 ] ) ) 上定义一个正的局部有限测度v，使得 v ( 0 ) = H − 1 ( 0 ) 。因为 Z ≥ 0 ，所以 H − 1 ( 0 ) ≥ 0 。对 0 ≤ s < t ≤ 1 ，有 v ( ( s , t ] ) = H − 1 ( t ) − H − 1 ( s ) ，特别地，对于 0 < t ≤ 1 ，

v ( ( 0 , t ] ) = H − 1 ( t ) − H − 1 ( 0 ) ,     v ( [ 0 , t ] ) = H − 1 ( t ) ,     v ( d t ) = d ( H − 1 ( t ) ) .

在空间 ( [ 0 , 1 ] , B ( [ 0 , 1 ] ) ) 上定义一个新的度量 μ 如下：

μ ( 0 ) = v ( 0 ) = H − 1 ( 0 ) ,     μ ( d t ) = ( 1 − t ) v ( d t ) ,     t ∈ ( 0 , 1 ] .

那么，

μ ( [ 0 , 1 ] ) = ∫ 0 1 ( 1 − t ) v ( d t ) + μ ( 0 ) = ∫ 0 1 ( 1 − t ) d H − 1 ( t ) + H − 1 ( 0 ) = [ − H − 1 ( 0 ) + ∫ 0 1 H − 1 ( t ) d t ] + H − 1 ( 0 ) = ∫ 0 1 H − 1 ( t ) d t .

这意味着

∫ 0 1 H − 1 ( t ) d t = E [ H − 1 ( U ) ] = E [ Z ] = 1.

因此， μ 是在 [ 0 , 1 ] 上的概率测度。那么，对于 t ∈ [ 0 , 1 ] ，显然有

H − 1 ( t ) = ∫ 0 t 1 1 − v μ ( d v ) .

这意味着，

E [ F − 1 ( U ) H − 1 ( U ) ] = ∫ 0 1 F − 1 ( t ) H − 1 ( t ) d t = ∫ 0 1 F − 1 ( t ) ( ∫ 0 t 1 1 − v μ ( d v ) ) d t = ∫ 0 1 1 1 − v ( ∫ v 1 F − 1 ( t ) d t ) μ ( d v ) = ∫ 0 1 AVaR v ( X ) μ ( d v ) ,

再根据密度随机变量 Z = d Q / d P ，可得

J ( Q | P ) = E [ Z 2 ] − 1 = E [ ( H − 1 ( U ) ) 2 ] − 1 = E [ ( ∫ 0 U 1 1 − v μ ( d v ) ) 2 ] − 1.

证毕。

在投资组合理论中，投资者在追求高收益的同时，同时又希望可以尽可能地降低风险，所以投资随机优化的最大化或者最小化目标函数应同时包含收益和风险这两部分。ExRM_c(X)风险度量考虑了风险与收益的权衡。若X是投资资产在未来某时刻的损失，根据ExRM_c(X)的现金可加性，有

E x R M c ( X ) = − E [ − X ] + E x R M c ( X − E [ X ] ) (17)

因此，在投资随机优化问题中，最小化“整体”ExRM_c(X)的同时代表着最大化收益 E [ − X ] 和最小化“纯” E x R M c ( X − E [ X ] ) 。在投资优化问题中，指数分布是一种较为常见的分布，下面将给出一个跟指数分布有关的例子以说明ExRM_c(X)考虑了风险与收益的权衡。

例10 假设随机变量X服从参数为 λ 的指数分布。对给定的 c ∈ [ 0 , ∞ ) ，令

η 1 = arg min η ∈ ( − ∞ , 0 ] { η + 1 + c ‖ ( X − η ) + ‖ 2 } ,

和

η 2 = arg min η ∈ [ 0 , + ∞ ) { η + 1 + c ‖ ( X − η ) + ‖ 2 } ,

则

E x R M c ( X ) = min { η 1 + 1 + c ‖ ( X − η 1 ) + ‖ 2 , η 2 + 1 + c ‖ ( X − η 2 ) + ‖ 2 } .

当 η ≤ 0 ，为计算 η 1 值与对应的 η 1 + 1 + c ‖ ( X − η 1 ) + ‖ 2 值，令

h c ( X , η ) = η + 1 + c ‖ ( X − η ) + ‖ 2 = η + 1 + c [ ∫ 0 + ∞ ( x 2 − 2 η x + η 2 ) λ e − λ x d x ] 1 / 2 = η + 1 + c ( 2 λ 2 − 2 η 1 λ + η 2 ) 1 / 2 ,

求导得

d h c ( X , η ) d η = 1 + 1 + c ( 2 λ 2 − 2 η 1 λ + η 2 ) − 1 / 2 ( η − 1 λ ) .

因此，当 c > 1 时，有 η 1 = 0 和 η 1 + 1 + c ‖ ( X − η 1 ) + ‖ 2 = 2 ( 1 + c ) / λ ；当 0 ≤ c ≤ 1 时，有 η 1 = ( 1 − 1 / c ) / λ 和 η 1 + 1 + c ‖ ( X − η 1 ) + ‖ 2 = 1 / λ + c / λ 。

类似地，考虑当 η ≥ 0 ，当 0 ≤ c ≤ 1 时，有 η 2 = 0 和 η 2 + 1 + c ‖ ( X − η 2 ) + ‖ 2 = ( 2 ( 1 + c ) ) / λ ；当 c > 1 时，有 η 2 = ln ( ( 1 + c ) / 2 ) / λ 和 η 2 + 1 + c ‖ ( X − η 2 ) + ‖ 2 = 1 / λ + [ ln ( ( 1 + c ) / 2 ) / λ + 1 / λ ] 。

因此，

E x R M c ( X ) = { 1 / λ + c / λ , 0 ≤ c ≤ 1 , 1 / λ + [ ln ( ( 1 + c ) / 2 ) / λ + 1 / λ ] , c > 1.

在行为金融数学中，除了期望效用理论常用来研究金融市场市场中投资者的投资行为外，随机占优也经常用来比较两个投资决策进而做出选择，是一种具有经济学含义的风险比较工具。

本节涉及到了用于描述投资组合问题中递增风险模型的n阶递增凸序(icx)的概念。Shaked和Shanthikumar [ 29 ] 给出了 n − i c x 序的定义：对 X , Y ∈ X ，任意的 x ∈ R ，若满足

‖ ( X − x ) + ‖ n − 1 ≤ ‖ ( Y − x ) + ‖ n − 1 , (18)

则称X依 n − i c x 序小于Y，记为 X ≤ n − i c x Y 。

当然， X ≤ n − i c x Y 可以由期望效用理论来刻画，即 X ≤ n − i c x Y 当且仅当对于每个递增效用函数 u ( x ) 且满足 u ( n ) ( x ) ≥ 0 ，有

E [ u ( X ) ] ≤ E [ u ( Y ) ] .

Menezes等 [ 30 ] 将 X ≤ 3 − icx Y 解释为X的右侧风险要比Y的小，这意味着X的收益分布相对于Y来说更加稳定，也就是说X的极端不利情况出现的可能性较小。

性质11 设 X , Y ∈ X ，对任意的 c ∈ [ 0 , ∞ ) ， X ≤ 3 − icx Y 成立当且仅当 E x R M c ( X ) ≤ E x R M c ( Y ) 。

证明 必要性：假设 X ≤ 3 − icx Y ，从式(18)可知，对于任意的 η ∈ R ，都有 ‖ ( X − η ) + ‖ 2 ≤ ‖ ( Y − η ) + ‖ 2 ，因此

η + 1 + c ‖ ( X − η ) + ‖ 2 ≤ η + 1 + c ‖ ( Y − η ) + ‖ 2 .

这意味着

E x R M c ( X ) = inf η ∈ R { η + 1 + c ‖ ( X − η ) + ‖ 2 } ≤ inf η ∈ R { η + 1 + c ‖ ( Y − η ) + ‖ 2 } = E x R M c ( Y ) .

充分性：假设对任意的 c ≥ 0 ， E x R M c ( X ) ≤ E x R M c ( Y ) 。这只要证明对任意的 η ∈ R ，有 ‖ ( X − η ) + ‖ 2 ≤ ‖ ( Y − η ) + ‖ 2 。

假设X是非退化的(对另一种情况，证明过程是显然的)。由引理6和式(6)可知， η c 是c的递增连续函数，其中

lim c ↓ 0 η c = − ∞ ,   lim c ↑ ∞ η c = e s s - s u p   X ,

因此，对于任意的 η ∈ ( − ∞ , e s s - s u p   X ) ，存在 c η ，使得

E x R M c η ( X ) = η + 1 + c η ‖ ( X − η ) + ‖ 2 ,

因此

E x R M c η ( X ) = η + 1 + c η ‖ ( X − η ) + ‖ 2 ≤ E x R M c η ( Y ) ≤ η + 1 + c η ‖ ( Y − η ) + ‖ 2 .

这意味着对任意的 η ∈ ( − ∞ , e s s - s u p   X ) ，都有 ‖ ( X − η ) + ‖ 2 ≤ ‖ ( Y − η ) + ‖ 2 ；同时对于任意的 η ≥ e s s - s u p   X ，都有 0 = ‖ ( X − η ) + ‖ 2 ≤ ‖ ( Y − η ) + ‖ 2 。因此，对于任意的 η ∈ R ，都有 ‖ ( X − η ) + ‖ 2 ≤ ‖ ( Y − η ) + ‖ 2 。

证毕。

Arrow [ 31 ] 和Pratt [ 32 ] 在研究风险厌恶的随机优化问题时提出了一个标准的投资组合。给定 ω 0 为投资者的确定性初始财富；z和 z − ω 0 分别表示投资于风险资产和无风险资产的数量，其中 z ∈ [ 0 , ω 0 ] ；风险资产和无风险资产的资产收益分别记为 R − 1 和 r − 1 ，其中 R ∈ X ；投资者的最终财富为 W ( z ) = ( w 0 − z ) ⋅ r + z ⋅ R 。我们将对于此投资组合，利用ExRM_c风险度量，寻找它的最优投资组合，即：

z * = arg max [ 0 , w 0 ] E x R M c ( ( w 0 − z ) ⋅ r + z ⋅ R ) (19)

性质12 上述投资组合问题的最优投资 z * 为：

z * { = ω 0 , E x R M c ( R ) > r = E x R M c ( r ) ∈ [ 0 , ω 0 ] , E x R M c ( R ) = r = E x R M c ( r ) = 0 , E x R M c ( R ) < r = E x R M c ( r ) (20)

并且有以下结论：

如果风险溢价为正，即 E ( R ) − r > 0 ，那么风险资产的最优投资 z * > 0 ；

风险资产的最优投资 z * 关于参数c是递增的，即对于 c A ≤ c B ， z * ( c A ) ≤ z * ( c B ) 。

证明 根据ExRM_c的平移不变性和正齐次性，

E x R M c ( W ( z ) ) = E x R M c ( z ⋅ R + ( ω 0 − z ) r ) = z E x R M c ( R ) + ( ω 0 − z ) r ,

相应的导数为

d E x R M c ( W ( z ) ) d z = E x R M c ( R ) − r .

不包括决策变量z，因此得出式(20)中给出的投资组合决策。

因为

E x R M c ( X ) = sup Q ∈ P : J ( Q | P ) ≤ c E P [ ( d Q d P ) X ] ≥ E [ X ] ,

结论a)成立。

另外，因为ExRM_c关于参数c单调递增，所以对于 c A ≤ c B ，有 z * ( c A ) ≤ z * ( c B ) ，则结论b)成立。

证毕。

从性质12可知，对于上述随机优化问题，当风险溢价 E ( R ) − r > 0 时，全部投资风险资产是最优的。最大化ExRM_c产生一个全有或全无的决策：要么投资者完全进行无风险投资，要么完全投资风险资产。而在 E x R M c ( R ) = r 的特殊情况中，投资者对于任意投资组合 z ∈ [ 0 , w 0 ] 都是可接受的。然而，在传统期望效用理论下，Brandtner等 [ 33 ] 研究表明在熵风险度量下的投资决策是多样化的。产生这两种结果差异的原因是因为传统的期望理论是在假设投资者是风险厌恶的背景下进行的，而ExRM_c与风险喜爱的效用函数有关，二者针对的决策者的风险偏好不同，ExRM_c能够弥补目前期望效用理论下风险度量无法有效刻画风险喜爱投资者行为的不足。

事实上，在当今金融市场中，既存在着投资多样性的个体行为，也存在着投资非多样性的投资行为，研究ExRM_c能够使得现有风险度量体系更完整地描述市场中的投资行为。关于性质12中的投资非多样性性质在现实的决策背景下也有着重要意义，即投资者在积极决定最佳投资策略时，可以在无风险资产(或现金持有)和风险资产之间进行选择，只要该资产的组成结构不会因交易而改变。

此外，对于监管机构而言，他们通过监管测试敦促银行真正将风险评估用于内部风险管理的目的。当银行面临关于信用风险承担与现金持有之间的典型商业决策时，受ExRM_c调控的银行要么不发放任何新贷款，要么全部选择信贷。这种决策具有重要的现实意义：当银行认为当前的市场环境或经济状况存在较大的不确定性或风险，选择不发放任何新贷款来避免潜在的损失；当银行认为市场或经济状况相对稳定，并且对借款人的信用风险有较高的信心，选择发放全部信贷以获取更多的收益。总之，监管机构通过监管测试来确保银行真正将风险评估用于内部风险管理的目的，而ExRM_c作为一种风险度量方法，可以帮助银行在面临信用风险承担与现金持有之间的典型商业决策时做出合理的决策。