向量自回归模型(Vector Autoregressive Model)由Sims (1980)提出，将所有变量内生化，并在此基础上进行回归分析。由单变量时间序列的AR(p)模型可以得到多元情形，这就是VAR(p)模型：

y t = c + A 1 y t − 1 + ⋯ + A p y t − p + u t , t = 1 , 2 , ⋯ (4)

这一方法的检验效果取决于其选择的滞后阶数，如果阶数过小，则误差项的自相关性会增加；而阶数过大则在削弱自相关性的同时会使自由度减小。因此，在检验前应判断其最优阶数。

对式(3)等式两边同时减去 r t m ，可得：

r t n − r t m = 1 k ∑ i = 0 k − 1 E r t + i m m − r t m + l ( n , m ) (5)

假设期限溢价为0，短期利率的预期上升时，长期利率会上升且高于短期利率，收益率曲线将会向上倾斜。当期限溢价被确定为一个非零常数时，长期利率会与短期利率的期望形成稳定的对应关系，两者变动比例将一致。用 s t ( n , m ) = r t n − r t m 代表即期长短期利差，且对式(5)整理并化简可得：

s t ( n , m ) = ∑ i = 0 k − 1 ( 1 − i k ) E ( r t + i m m − r t + ( i − 1 ) m m ) + l ( n , m ) (6)

根据国内外已有相关研究，利率的时间序列数据通常不稳定。但只要其变动具备一阶单整特征(即符合I (1)过程)，那么 E ( r t + i m m − r t + ( i − 1 ) m m ) 就是平稳的。由预期理论的假设， l ( n , m ) 被认为是一个确定的常数，那么必然平稳。因此，符合该假设过的利率数据，其长短期利差应该是平稳变化的，即存在协整关系，且协整向量和为零，这是使预期理论成立的一个必要条件。

上述描述中包含对于短期利率的预期，但特定时刻短期利率的具体数值未知。因而应对未来利率预期加上一个预期误差，用以表示未来实际短期利率，即 ，对式(6)变形可得：

∑ i = 0 k − 1 ( 1 − i k ) E ( r t + i m m − r t + ( i − 1 ) m m ) = − l ( n , m ) + s t ( n , m ) + ∑ i = 0 k − 1 ( 1 − i k ) ( ε t + j m − ε t + ( i − 1 ) j m ) (7)

因为 ∑ i = 0 k − 1 ( 1 − i k ) E ( r t + i m m − r t + ( i − 1 ) m m ) = ∑ i = 0 k − 1 r t + i m m − r t m ，令 ε t n = ∑ i = 0 k − 1 ( 1 − i k ) ( ε t + j m − ε t + ( i − 1 ) j m ) ，那么可以建立如下的一元二次方程：

∑ i = 0 k − 1 ( 1 − i k ) E ( r t + i m m − r t + ( i − 1 ) m m ) = α ( n ) + β ( n ) ( r t m − r t m ) + ε t + j m (8)

如果检验结果无法拒绝原假设 H 0 : α ( n ) = 0 , β ( n ) = 1 ，可认为实证结果支持纯预期理论成立，当检验结果无法拒绝原假设 H 0 : α ( n ) ≠ 0 , β ( n ) = 1 时，可认为实证结果支持以流动性偏好理论解释长短期利率之间的相互联系，即存在一个既定的至于期限类型有关的期限溢价。

出于稳健考虑，本文选用协整检验进行实证检验。

2007~2018年，我国宏观经济基本面发生了重大变化，经济高速增长变化至中高速增长。而从图中可以看到，截至2018年底的SHIBOR数据波动极大，这意味着SHIBOR数据变动反映了上述事实。因此首先对全体选定年份的SHIBOR数据进行了预检验，结果稳定，而这有悖于常识。而基于过去十几年我国经济基本面明显变动事实，本文不采用虚拟变量研究事件冲击对于SHIBOR的影响。而选取不同年份组进行静态对比，并在结论中对特殊年份倒挂现象单独总结。在对于自2007年至去年底的全体所选期限的SHIBOR数据进行预检验之后，本文决定将选取2007~2009、2012~2014以及2016~2018每组各三年数据分组进行协整检验。利率期限选择1M 3M 6M 9M 1Y期的SHIBOR数据。总体SHIBOR数据以及2007~2009年，2012~2014年，2016~2018年数据详见图1、图2、图3、图4。

图1. 2007~2018所选期限的SHIBOR利率数据

图2. 2007~2009年所选期限的SHIBOR利率数据

图3. 2012~2014年所选期限的SHIBOR利率数据

图4. 2016~2018年所选期限的SHIBOR利率数据

从图2~4可以看到，1M期的SHIBOR数据波动相对较大，而比较前后两组数据，1M期SHIBOR利率由于期限较短，数据波动最大。其中2012~2014年的1M期SHIBOR波动最为明显，且经常倒挂。而2007~2009以及2016~2018年的1M期SHIBOR数据波动相对稳定，且与其余期限利率保持同步，前者偶现倒挂，后者基本无倒挂。而3M及以上期限的SHIBOR数据则较为稳定，仅仅2012~2014组内明显倒挂，但并不频繁。

基于预期理论的数学表述，对所有数据取对数操作。

基于预期理论的假设的平稳要求，对各组不同期限的利率数据的水平项以及一阶差分项进行单位根检验。对两组数据分别汇总与分年度进行检验，检验结果可以参照表1。

表1. SHIBOR数据的单位根检验结果

注：1) 两组各期限利率水平值检验使用带有截距项的形式；

2) 两组各期限利率数据一阶差分项的单位根检验使用既无截距项也无时间趋势的形式。

从上表看，两组各期限的利率数据的水平值对于单位根零假设的拒绝情况不理想，有较多组数据不满足其平稳条件。但其一阶差分值全部满足平稳条件。因此可以认为，两组各期限的SHIBOR数据全部满足I(1)的一阶单整过程。

对已选数据进行协整检验，进行OLS回归后保存残差并进行单位根检验，检验结果见表2、表3及表4。

对比07~09年汇总数据与16~18年汇总数据，经过计算出的趋势项与截距项的伴随概率全部低于1%，而数据的拟合优度以及调整后的拟合优度均较高，且后组明显高于前组。汇总数据局部出现明显异常，对两组汇总数据的残差项进行单位根检验，前组残差项的伴随概率明显高于1%的，显著低于5%，因此本文认为回归结果是较为稳定的。16~18年汇总组中，(1M, 3M)的常数项为负，且伴随概率显著高于10%。

对汇总年份回归检验的矛盾，分年度进行数据回归，分年度检验的回归结果中，数据的拟合优度明显提高，对于趋势项以及截距项的伴随概率显著低于1%，数据残差的伴随概率总体基本低于1%，而部分高于1%的数据则明显低于5%。总体来看，分年度的数据回归结果对预期理论的满足程度较好，结果相对稳定。

2012~2014年份数据无论汇总或单独检验，均无法得到稳定支持预期理论的结果，根据图1以及图3可以直接地看到，2012~2014年期间，利率倒挂的现象较其他两组更加明显，且持续时间更久，表明期限内存在事件冲击。本组数据的经济学解释将在4.3.2部分给出。基于预期理论的经济学解释仅包括2007~2009年数据组以及2016~2018年数据组，在4.3.1部分给出。

此外，实证结果发现，宏观经济环境收到外部因素影响比较弱的年份，数据的拟合优度较低，而在宏观经济环境受到外部因素影响较明显的年份，数据的拟合优度较高。同时，在对于残差项的观察中，明显观察到残差的分布表现出明显的季节性规律。

表2. 2007~2009年数据回归检验的结果

表3. 2012~2014年数据回归检验的结果

表4. 2016~2018年数据回归检验的结果

注：1) 利率组合一栏，括号中前者为短期利率，如(1M, 3M)表示1月期与3月期的SHIBOR利率组合；

2) 对残差项的水平值进行了无趋势项且无截距项的单位根检验。

文章基于预期理论，对选定年份SHIBOR数据进行了检验，检验发现，对分年度的利率组合，发现实证结果支持包含期限溢价的非纯预期理论。且在分年份的检验结果中，随着利率期限跨度的增大，存在数据的常数项逐渐增大且截距项逐渐减小的趋势，由于趋势项逐渐减小，表明存在期限溢价，结论支持包含溢价的非纯预期理论。

对比前后实证结果，发现实证结果解释力明显提高，对比2007~2009年数据组与2016~2018数据，后组中适用预期理论解释的年份，数据的拟合优度要明显高于前组。可以推断，适用于含溢价的预期理论的情形下，SHIBOR利率市场化程度有明显改善。这与事实相符。但考虑到2012~2014年数据情形，这一改善过程中存在波动。

前文对于实证结果的描述中，存在着某些无法用预期理论解释的现象，这里部分解释：

(1) 2012~2014年数据利率倒挂，实证结果异常，违背了预期理论的基本假设。自从2010年开始，利率倒挂频繁，一直到2015年上旬才逐渐缓解(见图1)。这一期间发生了著名的“钱荒”(2013)。过程中包含了央行的政策引导举措。张明 [ 16 ] (2016)认为，“钱荒”发生的原因之一就是央行试图敦促部分深度参与同业业务的商业银行规范管理。

(2) 在对于残差项的观察中，存在季节规律，残差在每年第一季度往往为负，随后逐渐升高然后在六月底前重新回落；下半年也类似，六月后至年底，残差数值相对升高，并在年底回落。由于残差反映了对于回归方程的修正，因此本文认为，残差中包含了预期理论之外的影响因素，为应对资金考核，各金融机构在年季末“冲时点”的现象。这会收紧同业拆借市场短期的资金供给，使得短期拆借资金供给减少，利率上升，而在这一过程结束后倒挂缓解。王广龙 [ 17 ] (2015)研究发现，临近季末，短端SHIBOR会出现明显的短时上升，并在下一季初恢复正常。

(3) 在宏观经济受到较大外部因素影响的年份，模型提供了较高的拟合优度。在宏观经济收到外部因素影响较低的年份，模型的拟合优度较低。如前组中拟合优度最低的2007年，当年8月甚至更早，次贷危机已经在美国逐渐发酵，而当年我国国内生产总值(GDP)增速11.9%，居民价格指数(CPI) 4.8%，进出口总额增速23.6%，股票市场于是年冲击6124点的历史高点，我国当年宏观经济整体热度相对较高，同时受到发达经济体影响较小。而这一年的SHIBOR数据回归后得到的结果也更加不稳定，其拟合优度没有显著超过0.5，出现了解释力较弱的情况且残差的波动区间也更大。而前组中数据拟合优度更高的2008~2009年，由于全球经济危机的发生后各国财政货币政策的趋同，全球经济表现更高共性，相应年份的实证结果拟合优度也较高。在2016~2018数据组情况类似，在供给侧结构性改革稳步推进的2017年，外部经济环境相对平稳，我国宏观经济表现更多由内生性因素所决定，随着当年供给侧结构性改革的逐步推进，经济主体对于资金的需求也出现的结构性的分化，此间国内货币政策中性稳健以及美联储加息节奏柔和，当年资金的供给与需求情况相对偏紧且不均匀，也使得实证结果的拟合优度下降。同样，如2016年的英国脱欧于美联储货币政策转向的开始，以及2018年贸易问题的影响，宏观经济环境受到外部因素的影响比较大，而实证结果的拟合优度也比较高。

(4) 偶发事件对于实证结果也存在干扰。对实证结果的观察中，本文发现存在某些偶发因素使得实证结果无法解释预期理论的情况，如2007年的中国石油IPO认购阶段以及2016年的英国脱欧期间，可以观察到明显的长短端利差缩小的情况发生。谈正达 [ 18 ] (2012)采用ADJ模型，通过极大似然估计法进行参数估计，对2007年三季度至2008年三季度的短端SHIBOR数据进行实证检验，得出了IPO与货币政策调整是导致短期SHIBOR跳跃的主要原因。而2016年“英国脱欧”期间，流动性压力从发达国家市场传导到我国，在加上时值6月底对于金融机构资金考核的压力，也使得期限利差出现明显缩小。此外，每逢央行进行存款准备金率和基准利率的调整，利率期限结构总会发生一些剧烈波动，并主要集中表现在短端利率上，而长端利率则变动较小。对于这些偶发因素，由于其波动的发生多为事件侵扰，可以通过市场分割理论来解释。