首先是对中国31个省份地区生产总值做多元回归分析，地区生产总值是衡量一个地区是否有竞争力的重要指标，其影响因素众多，经过查阅相关文献，最终选取了以地区生产总值Y作为被解释变量，资本形成总额X1，居民消费支出X2、政府消费支出X3、就业人数X4、私营单位平均工资X5、居民消费价格指数X6、商品零售价格X7、居民人均可支配收入X8、居民消费水平绝对数X9、固定资产投资价格指数X10以及电力消费量X11作为解释变量建立多元回归模型：Y = β₀+ β₁X₁+ β₂X₂+ β₃X₃+…+ Є。通过多元线性回归的指标检测，识别出对GDP的增长具有明显作用的主要变量指标，以此来确定回归方程并进行预测分析 [ 5 ] 。

第一步是参数估计，本文以Stata软件为统计分析工具，将上述整理的符合数据统计格式的数据导入软件，并基于对模型中的各参数的估计，计算得到了初步回归结果。见表2所示，根据初步回归结果，整理后得到多元回归模型如下：

Y = 0.86X1 + 0.35X2 + 1.07X3 + 13.6X4 + 0.12X5 − 456.2X6 + 910.68X7 + 0.09X8 − 0.48X9 + 257.52X10 + 0.03X11 − 81524.2

表2. 多元回归模型分析结果

见表2多元回归结果可以看出，R²= 0.977，调整后的可决系数adjR²= 0.976，说明该回归模型对样本的拟合程度非常高。在进行F检验时，首先提出原假设：β₁= β₂= β₃= β₄= β₅= β₆= β₇= β₈= β₉= β₁₀= 0，在指定的显著性水平α = 0.05，F (11, 288) = 1111.67，对应的P值远小于0.05，所以强烈拒绝原假设，说明回归方程的系数不全为0，回归方程非常显著。即资本形成总额X1，居民消费支出X2、政府消费支出X3、就业人数X4、私营单位平均工资X5、居民消费价格指数X6、商品零售价格X7、居民人均可支配收入X8、居民消费水平绝对数X9、固定资产投资价格指数X10以及电力消费量X11对地区生产总值增长有显著影响。

图1. 残差图

第二步是异方差检验，见图1残差图可以看出散点分布较为集中，可初步判断可能存在异方差。再对其进行怀特检验，原假设H0默认为不存在异方差。见表3检验结果显示，P = 0.00 < 0.05，故拒绝同方差的原假设，认为存在异方差，这个检验也证实了根据残差图所做出的大致判断。因此需要通过异方差稳健标准误修正，为后续的统计检验提供保障。见表4稳健性检验结果显示，被解释变量高度显著，回归方程更加精确。

表3. 怀特检验

表4. 稳健标准误检验

表5. 方差膨胀因子

第三步是多重共线性检验，一般用方差膨胀因子VIF来检验多重共线性，见表5所示经检验，VIF的值x8 = 54.48，x2 = 39.51，x9 = 29.01，x1 = 18.85均远大于10，故可认为存在多重共线性，必须进行多重共线性修正，得到的回归结才更可靠和具有实际意义，接下来通过主成分分析和因子模型来消除多重共线性。

首先要检验数据是否适合做因子分析，“KMO和巴特利特检验”主要用于评估数据是否适合做因子分析，其中KMO值越接近1表示越适合做因子分析 [ 6 ] ，见表6所示，KMO统计量为0.756，大于0.5，说明本数据集还比较适合做因子分析，巴特利特检验的概率值为0，小于显著性水平(0.05)，因此拒绝原假设，即说明所分析的变量之间存在相关关系，有相关性则适合做因子分析。从“公因子方差”结果表来看，见表7所示，“提取”列的值除了固定资产投资价格指数和居民消费价格指数的共同度为0.376和0.505，其余变量的共同度均大于0.75，表示其他原始变量被公共因子解释的程度超过了0.75，即提取的公共因子能够反映各原始变量75%以上的信息，说明公因子的解释能力还不错，因子分析的结果是有效的。

表6. KMO 和巴特利特检验结果

表7. 原始变量共同度检验

在因子分析中，提取的每个因子都有方差贡献率，方差贡献率表示该因子对所有原始变量的信息提取程度，即解释能力。而总方差贡献率是指提取出的所有因子对于原始变量总共提取的信息量。表中，左侧部分为初始特征值，中间部分为旋转前的主要因子结果，右侧为旋转后的主要因子结果，其中“总计”为因子的特征值，“方差百分比”表示该因子特征值占总特征值的百分比，“累计”表示累计的百分比。因子载荷是公共因子与指标变量之间的相关系数，载荷越大说明公共因子与指标变量之间的关系越密切。因为设定的因子抽取标准是因子特征值大于1时才抽取，所以从表中的数据来看，只有特征值大于1的前三个因子被成功提取，见表8所示他们的方差贡献率分别为50.416%、24.549%、9.457%，累计总方差贡献率达到了84.422%，说明前三个因子对变量的解释能力非常好。因此，可以提取前三个因子作为主因子对全国31个省市经济综合发展水平作出评价。

表8. 总方差解释结果

见图2提取因子的碎石图所示能够辅助我们判断最佳因子个数，通常选取处在曲线较陡斜率所对应的因子为主因子，而处在平缓斜率上的因子对变量的解释力非常小。从结果来看，只有前三个因子处在陡坡上，从第四个因子开始曲线斜率变得平缓，因此选择前三个因子为主因子。后面的结果主要是根据提取的三个因子进行后续分析。

图2. 提取因子碎石图

成分矩阵表有两个，一个是旋转前的，一个是旋转后的。见表9所示为旋转前的因子载荷矩阵。从旋转前的矩阵来看可以得到利用主成分方法提取的两个主因子的载荷值。但结果并不令人满意，第二个主因子的因子载荷略显模糊，难以对因子明确定义。因此需要进行因子旋转，本文采取Kaiser标准化的正交旋转法对因子进行旋转，见表10所示是旋转后的成分矩阵可以更清楚的观察样本数据。

表9. 旋转前的成分矩阵

表10. 旋转后的成分矩阵

表11. 成分转换矩阵

接下来是因子命名，旋转的因子载荷矩阵 = 未旋转的因子载荷阵 * 成分转换矩阵。见表11所示，从数据中可以看到，前五个变量在因子1中的载荷值都比较大，中间四个变量在因子2中载荷量比较大，而后两个变量在因子3中的载荷比较大，说明变量与其对应的因子的相关程度较高。可以看到影响各省份发展水平的因素大致可以分为三类，第一类是以就业人数、资本形成总额、地区生产总值、政府财政预算支出和电力消费量这些变量为代表的反映出各省市的经济总量，他们的因子载荷分别为0.970、0.967、0.966、0.951、0.945，他们与经济总量关系密切可以命名为经济总量因子；第二类是以居民人均可支配收入、居民人均消费支出、居民消费水平绝对数、私营单位平均工资为代表的反映出各省市居民的消费水平，因子载荷分别为0.921、0.920、0.901、0.876，可以命名为居民消费因子；第三类是以商品零售价格指数和居民消费价格指数为代表的反映各省市的物价水平，因子载荷分别为0.876、0.645，可以命名为商品价格因子。

表12. 成分得分矩阵

见表12所示，成分转换矩阵给出了各因子间相关系数，可以由成分得分系数矩阵得出各因子计算公式：

F1 = 0. 2 0 5Zx1 + 0. 2 0 5Zx2 − 0.0 25Zx3 + 0. 2 0 7Zx4 + 0. 211Zx5 − 0.0 19Zx6 − 0.0 1 0 Zx7 + 0.0 5 0 Zx8 − 0.0 32Zx9 − 0.0 25Zx1 0 + 0.0 88Zx11 + 0. 214Zx12

F2 = − 0.00 4Zx1 − 0.0 19Zx2 + 0. 256Zx3 − 0.0 11Zx4 − 0.0 41Zx5 + 0. 264Zx6 − 0.0 45Zx7 + 0. 134Zx8 + 0. 249Zx9 + 0. 238Zx1 0 − 0. 243Zx11 − 0. 1 0 8Zx12

F3 = − 0.0 56Zx1 − 0.0 22Zx2 − 0.00 6Zx3 − 0.0 9 0 Zx4 − 0.00 8Zx5 − 0.0 88Zx6 + 0. 466Zx7 − 0. 692Zx8 + 0.0 34Zx9 + 0.0 47Zx1 0 + 0. 284Zx11 + 0.0 94Zx12

因为选择了将因子得分保存为变量的选项，所以可以在数据集中看到新增了三个变量FAC1、FAC2和FAC3，见表13所示即为提取出的经济总量因子、居民消费因子和商品价格因子得分。因子得分可以看作是原始变量降维后的新变量值，既能够与其他统计分析方法结合使用，比如回归分析、聚类分析，也可以用来进行综合得分 [ 7 ] 。由因子得分可以进一步计算综合得分：

Score = 4 0. 781 / 84 . 442 * FAC1 _ 1 + 31 . 221 / 84 . 442 * FAC2 _ 1 + 12 . 42 / 84 . 442 * FAC3 _ 1

按照因子综合得分降序排列可以得到下表所示的各省市经济发展情况排名。

表13. 各省经济发展情况综合因子得分排名

从经济总量因子来看，排名前三名的省份是广东、江苏和浙江，从居民消费因子来看，排名前三的是上海、北京和天津，从商品价格因子来看，排名前三的是宁夏、山西与内蒙古。而三个因子的综合得分排名前三的是广东、江苏与上海，与我们公认的具有实力的省份具有一致性。从地域分布上看，综合实力强大的省份基本上都分布在东部沿海地区，东、中、西部地区之间的差距明显，前十名中有8个靠近东部沿海，可见，东部沿海地区仍然是我国经济增长的热点地区。各省份在上述的3个公共因子中，这些城市和省份都具有得天独厚的优势，无论是从经济总量还是居民消费水平等各方面基本上都遥遥领先其他省份 [ 8 ] 。广东、江苏位居前二名，超越了我们常识认为的经济发达省份北京和上海，这主要是因为选取的12个变量因子中，有8个变量与人口总数和面积相关，而北京上海的人口和面积都相对较少，这样的评价结果更为客观真实。

根据以上的因子分析，我们可以看出得分排名第一的广东省的经济发展状况与其他地区有很大差别，主要表现在GDP、居民消费支出等几大经济指标远远高于其他地区，这与广东省作为我国人口第一大省，最早对外开放而且包含深圳等经济特区，企业富含活力和生机，经济实力非常雄厚等是十分吻合的；其次是江苏，经济水平稍低于广东，江苏位于长三角经济圈，它具有很强的科技研发能力和雄厚的工业实力，迅速闻名于民营经济的发展；第四名浙江，因其体制优势而且靠低价格劳动密集型产品迅速发展起来，并且近年来得益于互联网技术的高速发展，经济进入了新的增长阶段；第三名的上海和第五名的北京，作为国家的工业经济和政治文化中心，虽地处要塞经济发达，但人口和面积都相对较少，所以总量上要略低于传统省级行政单位。此次对全国各省份的经济发展水平的因子分析结果与我国现阶段各省各地区经济发展现状吻合度较高，也比较符合认知常理，从而可用来为国家做出适宜的经济投资决策提供依据，从而实现全国各城市经济水平协调发展，又快又好的促进国民经济及生活水平的提高。