假设Pendubot系统部件均为刚体，设驱动电机的轴心为原点，摆杆所位于的竖直平面为坐标面，建立图2所示的笛卡尔坐标系。

图2. N节Pendubot

变量定义见表1。

表1. Pendubot变量定义表

那么系统的运动学关系满足公式组1。

O 1 = ( O 1 x , O 1 y ) = ( 0 , 0 ) O i = ( O i x , O i y ) = ( ∑ i = i N − 1 L i sin θ i , ∑ i = i N − 1 L i cos θ i ) G i = ( G i x , G i y ) = ( O i x + l i sin θ i , O i y + l i cos θ i ) i = 1 , 2 , ⋯ , N (1)

由于本次主要研究系统稳定控制情况下的可控度，因此可以利用平衡位置状态对上述系数矩阵进行线性化处理 ‎[ 3 ] 。在平衡位置有 θ i = 0 ，那么令：

a i = m i l i + ∑ j = i + 1 N m j L i ,     b i = J i + m i l i 2 + ∑ j = i + 1 N m j L i 2 ,     i = 1 , 2 , ⋯ , N (2)

可以得到公式组3 ‎[ 4 ] ：

H ¯ 1 = [ b 1 a 2 L 1 a 3 L 1 ⋯ a N L 1 a 2 L 1 b 2 a 3 L 2 ⋯ a N L 2 a 3 L 1 a 3 L 2 b 3 ⋯ a N L 3 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a N L 1 a N L 2 a N L 3 ⋯ b N ] , H ¯ 2 = [ − ( f 1 + f 2 ) f 2 0 ⋯ 0 f 2 − ( f 2 + f 3 ) f 3 ⋯ 0 0 f 3 − ( f 3 + f 4 ) ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ − f N ] , H ¯ 3 = [ a 1 g 0 0 ⋯ 0 0 a 2 g 0 ⋯ 0 0 0 a 3 g ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ a N g ] (3)

选取状态变量 z = [ θ 1 θ 2 ⋯ θ N ] T ，状态 X = [ z , z ˙ ] T ，N节Pendubot的数学模型为公式4所示。其中 I N 为N阶单位阵， H ¯ 0 = [ 1 , 0 , ⋯ , 0 ] T 。

X ˙ = [ 0 I N H ¯ 1 − 1 H ¯ 2 H ¯ 1 − 1 H ¯ 3 ] X + [ 0 H ¯ 1 − 1 H ¯ 0 ] M (4)

该指标的原理是，对于给定的初始状态，如果将系统控制回原点所需的能力越小，说明系统越容易控制，可控程度越高。

对于一般的线性时变系统，其状态方程如下。

{ x ˙ ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) y ( t ) = C ( t ) x ( t ) (5)

系统的第二类可控矩阵为：

Q c = [ B , A B , ⋯ , A n − 1 B ] (6)

设系统初始状态 x ( t 0 ) = x 0 。若系统在时域 [ t 0 , t 1 ] 内完全可控，将系统从初始状态 x 0 控制到目标状态 x ( t 1 ) = 0 所需要的最小能量为：

E ( t 1 , t 0 , x 0 ) = min u ∫ t 1 t 0 ‖ u ( τ ) ‖ 2 d τ (7)

上述公式若想计算具体数值需要获取系统的初始状态与时域区间，因此需要进行一般化处理。本文采用初始状态球面 x 0 | ‖ x 0 ‖ = 1 来代替系统的初始状态 ‎[ 5 ] 。在初始状态球面任意取一点，可以计算该点控制到初始状态所需的最小能量，那么对于整个球面，可以计算出系统在不同初始状态下的达成稳定所需最小能量的集合，使用该集合元素的平均值或最大值可以间接描述系统的控制难度。同时使用系统的第二类可控矩阵，能够将公式改为与时域无关的形式。

基于上述理论，我们可以得到指标的三种计算方法，见公式组8：

ρ g 1 = λ min ( Q c T Q c ) ,     ρ g 2 = n t r { ( Q c T Q c ) − 1 } ,     ρ g 3 = det ( Q c T Q c ) n (8)

其中 ρ g 1 代表所需最小能量集合的最大值； ρ g 2 代表最小能量集合的平均值； ρ g 3 代表限定最大控制能量

的前提下，能够达成稳定控制的初始状态球面的最大体积。

基于格拉姆矩阵的可控度指标计算步骤少，物理意义明确，限制条件少，适用于绝大多数控制系统。

模态可控度的核心原理是PBH检验，即，若系数矩阵B的任意一列与矩阵A的转置关于第i个模态的特征向量 q i 不垂直，那么系统的第i个模态可控。该指标仅适用于系统矩阵没有重复特征根的情况 ‎[ 6 ] ，同时若系统可控度最小的模态对系统输出的影响占比极小，那么这个指标将没有实际参考意义。

系统系数矩阵A的转置与特征向量的关系可以见公式9。

A T q i = λ i q i , i = 1 , 2 , ⋯ , n (9)

其中 λ i 为 A T 的第i个特征根。

若系统不存在重根情况，矩阵 A T 的所有特征向量的方向 η i = q i ‖ q i ‖ 都是唯一的 ‎[ 7 ] ，那么系统第i个模

态的可控度可以由公式10表示。

u i = ‖ f i ‖ 2 (10)

其中有

f i = q i T B ‖ q i ‖ (11)

如此便能够得到系统的模态可控度序列，此时可以用该序列的最小值描述系统的可控度，因此模态可控度的计算方法如公式12所示。

ρ m = min { u 1 , u 2 , ⋯ , u n } (12)

模态可控度的计算相对简单，可以有效反映系统在不同模态下的可控程度，能在实际研究中更好地制定针对性的控制策略。

状态范数可控度基于时间最优控制问题提出 ‎[ 8 ] ，需要获得系统的精确恢复域，然而在实际中很难得到精确结果，因此需要通过特殊方法进行结果估计。该指标主要针对一些特殊系统。

状态范数可控度需要计算系统输入受限情况下，在恢复时间T内度量系统可恢复的状态集合。设线性时不变系统的输入为 u ∈ U = [ a , b ] m 。那么以最常见的能量控制器为例，给定能量约束E，此时系统在时间T内的恢复域的定义为：

R ( T ) = { x ( 0 ) | ∃ u ( t ) , t ∈ [ 0 , T ] , 1 2 ∫ 0 T u T u d t ≤ E ,   s .t .   x ( T ) = 0 } (13)

对应的状态范数可控度同公式14，为：

ρ s = min x ( 0 ) ∉ R 2 ( T ) ‖ x ( 0 ) ‖ (14)

该公式的基本原理与基于格拉姆矩阵的可控度一致，只不过两者度量的具体指标不同。

取1~5节Pendubot，令每节摆杆的长度为0.3 m，计算其状态方程，使用上一节的可控度指标对每个系统进行可控度估计。可控度计算结果如表2所示。

表2. 节次变化可控度计算结果

指标 ρ g 3 ，所有结果都显示，随着系统节次增加，系统的可控程度不断减小。

接下来使用Simulink仿真进行验证。验证思路为，利用LQR控制器进行收敛控制，计算出的矩阵Q中分配给角度状态的权重大小代表了系统的控制难度，也间接描述了系统的稳定控制可控程度。Simulink电路图见图3。

图3. Simulink仿真实验图

取反馈输入阈值为1.07，控制结果见图4。

图4. 节次变化实验Q矩阵权重结果

从图中看出，随着系统欠驱动自由度数量不断增加，Q矩阵分配给角度状态的权重呈指数级增加，

说明系统控制难度不断增加，可控程度不断减小，与除指标 ρ g 3 外的计算结果一致。

取三节Pendubot，令一至三节摆杆的长度相同，从0.2 m到1 m之间以0.2 m的差距取5组数据进行计算，其结果见表3。

表3. 摆杆长度变化可控度计算结果

除指标 ρ s ，所有结果都显示，对于每节摆杆参数相同的Pendubot，随着每节摆杆长度的增加，系统的可控程度越低。

同样使用基于LQR控制器进行收敛控制，令输入最大幅值为1.2，结果见图5。

图5. 摆杆长度变化实验Q矩阵权重结果

由图得，理想条件下，Pendubot系统稳定控制难度随着单节摆杆长度的增加而增大。与上述部分指标计算结果一致。

经两次验证可得，指 ρ g 1 、 ρ g 3 、 ρ s 的计算与事实有出入，经深入探究，误差存在的原因分别为：系

统系数矩阵维度过高、不同状态的参数数值过于接近、无法精确测定系统恢复时间。

结合多节链式结构多阶次、参数可调节、恢复域难以界定的特性，对Pendubot以及同样具有多节链

式结构的系统，使用指标 ρ g 2 、 ρ m 来计算可控度更加合适。

对于一个控制系统的自由度，可以由是否被输入直接控制划分为驱动自由度与欠驱动的自由度。以本文研究的Pendubot为例，系统只有电机驱动一个输入，因此除了电机直接驱动的摆杆以外的摆杆都是欠驱动的。若Pendubot的自由度数量为N，那么系统欠驱动的自由度的数量就是(N − 1)。

通过上一节研究可知，随着欠驱动自由度数量的增加，系统可控程度不断减小。这一小节主要研究系统可控程度的衰减速度与系统所含欠驱动自由度数量的关系，而描述衰减速度的数据选用的是当前Pendubot的可控度和与当前系统参数相同的、比当前系统少一个欠驱动自由度的Pendubot的可控度的比值。

取2~6节Pendubot，令所有系统每节摆杆长度0.3 m，计算每个系统与小一个节次的系统的可控度的比值，计算结果如图6所示。

图6. Pendubot可控度衰减程度计算结果

图中显示，不断增加Pendubot的摆杆数量，即不断提高系统欠驱动的自由度数量，系统可控度的衰减幅度在不断增加，这反映了随着欠驱动自由度数量的提升，系统的可控程度不仅在不断减小，其减小的速度也在不断提升。这一数据结果反映出，随着Pendubot系统的摆杆数量增加，实现系统稳定控制的控制难度在不断向着难度更高的状态变化，同时这一变化的幅度也随着系统欠驱动自由度的数量增加而增大。因此对于实际的Pendubot或其它倒立摆系统控制课题中，摆杆数量的提升会极大地提高控制成本，从而进一步证明了成本估计在该类课题中地重要性；同时对于同样具有类似多节链式结构的系统，若链式环节的数量过多，那么实现系统的收敛控制在硬件环境下将失去研究意义。

同样令每节摆杆长度为0.3 m，计算2~6节Pendubot与无欠驱动环节的、只有一节驱动臂的Pendubot的可控度比值。结果如图7所示。

图7. 欠驱动环节影响程度

图中显示，若多节链式结构的欠驱动部件自由度数量越多，那么系统整体的可控度更小。该现象反映出，被控系统的欠驱动环节对系统的可控度存在着负面作用，同时作用程度与欠驱动环节的自由度数量呈显著正相关关系。那么此处可以作一个初步定义，即对于多节链式结构的欠驱动环节，其自由度数量越多，系统的“欠驱动的程度”也更高。综上所述，对于欠驱动环节可解耦的系统，可以用该环节的自由度数量来间接描述系统的欠驱动程度。