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AAM

Advances in Applied Mathematics

2324-7991

Scientific Research Publishing

10.12677/AAM.2023.128369

AAM-71169

AAM20230800000_75356482.pdf

数学与物理

利用极限与无穷小之间的关系快速求渐近线 Using the Relationship between Limit and In-finitesimal to Find Asymptote Quickly

郭

建立

² ¹ 张

曦丹

¹ ³ 晏

建学

⁴ ¹

云南财经大学，商学院，云南昆明

宁波城市职业技术学院，浙江宁波

null

云南财经大学，物流与管理工程学院，云南昆明

01 08 2023

12 08 3753 3762

2014

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

函数图形描述的是“增减极值渐近线，凹凸拐点曲率圆”，其中渐近线描述函数图形变化趋势。求水平渐近线、斜渐近线需要针对函数关系y=f(x)分别考虑两个单侧极限(x→-∞或 x→+∞)，斜渐近线在第一次求出斜率之后还需要第二次求极限才能求出截距，垂直渐近线对应于函数的无穷间断点。隐函数F(x,y)=0由于难以得出函数关系y=f(x)，从而更加难以求出渐近线。本文梳理了显函数求垂直、水平、斜渐近线的四种题型及其快速解法，使得求渐近线快速简洁，同时给出了丰富的实例。创新之处在于利用极限与无穷小之间的关系快速简便求出渐近线，同时讨论了隐函数间接求垂直、水平、斜渐近线的方法。 The Graph of a function describes “increasing or decreasing, extreme value, asymptote, concave, convex, inflection point, curvature circle”, in which the asymptote describes the change trend of the function graph. To calculate the horizontal Asymptote and the oblique Asymptote, two unilateral limits ( x→-∞ or x→+∞ ) need to be considered respectively for the functional relationship y=f(x) . The oblique Asymptote needs to calculate the limit for the second time after calculating the slope for the first time to calculate the intercept. The vertical Asymptote corresponds to the in-finite breakpoint of the function. The Implicit function F(x,y)=0 is more difficult to find the As-ymptote because it is difficult to find the functional relationship y=f(x) . This paper combs four types of problems and their fast solving process of explicit function to solve vertical, horizontal and oblique Asymptote, which makes solving Asymptote fast and concise, and gives a wealth of exam-ples. The innovation lies in using the relationship between the limit and the infinitesimal to quickly and simply find the Asymptote. At the same time, the method of indirectly finding vertical, hori-zontal and oblique Asymptote with Implicit function is discussed.

显函数，隐函数，极限，无穷大，无穷小，无穷间断点，垂直渐近线，水平渐近线，斜渐近线，四种题型, Explicit Function Implicit Function Limit Infinity Infinitesimal Infinite Breakpoint Vertical Asymptote Horizontal Asymptote Oblique Asymptote Four Types of Problems

摘要

函数图形描述的是“增减极值渐近线，凹凸拐点曲率圆”，其中渐近线描述函数图形变化趋势。求水平渐近线、斜渐近线需要针对函数关系 y = f ( x ) 分别考虑两个单侧极限( x → − ∞ 或 x → + ∞ )，斜渐近线在第一次求出斜率之后还需要第二次求极限才能求出截距，垂直渐近线对应于函数的无穷间断点。隐函数 F ( x , y ) = 0 由于难以得出函数关系 y = f ( x ) ，从而更加难以求出渐近线。本文梳理了显函数求垂直、水平、斜渐近线的四种题型及其快速解法，使得求渐近线快速简洁，同时给出了丰富的实例。创新之处在于利用极限与无穷小之间的关系快速简便求出渐近线，同时讨论了隐函数间接求垂直、水平、斜渐近线的方法。

关键词

显函数，隐函数，极限，无穷大，无穷小，无穷间断点，垂直渐近线，水平渐近线，斜渐近线，四种题型

Using the Relationship between Limit and Infinitesimal to Find Asymptote Quickly<sup> </sup>

Jianli Guo¹, Xidan Zhang², Jianxue Yan^3*

¹Ningbo City College of Vocational Technology, Ningbo Zhejiang

²School of Logistics and Management Engineering, Yunnan University of Finance and Economics, Kunming Yunnan

³School of Business, Yunnan University of Finance and Economics, Kunming Yunnan

Received: Jul. 26^th, 2023; accepted: Aug. 18^th, 2023; published: Aug. 24^th, 2023

ABSTRACT

The Graph of a function describes “increasing or decreasing, extreme value, asymptote, concave, convex, inflection point, curvature circle”, in which the asymptote describes the change trend of the function graph. To calculate the horizontal Asymptote and the oblique Asymptote, two unilateral limits ( x → − ∞ or x → + ∞ ) need to be considered respectively for the functional relationship y = f ( x ) . The oblique Asymptote needs to calculate the limit for the second time after calculating the slope for the first time to calculate the intercept. The vertical Asymptote corresponds to the infinite breakpoint of the function. The Implicit function F ( x , y ) = 0 is more difficult to find the Asymptote because it is difficult to find the functional relationship y = f ( x ) . This paper combs four types of problems and their fast solving process of explicit function to solve vertical, horizontal and oblique Asymptote, which makes solving Asymptote fast and concise, and gives a wealth of examples. The innovation lies in using the relationship between the limit and the infinitesimal to quickly and simply find the Asymptote. At the same time, the method of indirectly finding vertical, horizontal and oblique Asymptote with Implicit function is discussed.

Keywords:Explicit Function, Implicit Function, Limit, Infinity, Infinitesimal, Infinite Breakpoint, Vertical Asymptote, Horizontal Asymptote, Oblique Asymptote, Four Types of Problems

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 渐近线的定义

当曲线上一点沿曲线无限远离原点或者无限接近间断点时，如果该点到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线就称为曲s线的渐近线 [ 1 ] 。函数图形描述的是“增减极值渐近线，凹凸拐点曲率圆 [ 2 ] ”，其中渐近线描述函数图形变化趋势。渐近线分为：垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线 [ 3 ] 。

1.1. 垂直渐近线

如果 l i m x → x 0 f ( x ) = ∞ ，则 x = x 0 是函数 y = f ( x ) 图形的垂直渐近线，也就是无穷间断点。

垂直渐近线可以有无数条，也就是有无数个无穷间断点，如 y = tan x 。

1.2. 水平渐近线

如果 l i m x → ∞ f ( x ) = A ，则 y = A 是函数 y = f ( x ) = A + α 图形的水平渐近线。

求水平渐近线、斜渐近线需要针对函数关系 y = f ( x ) 分别考虑两个单侧极限( x → − ∞ 或 x → + ∞ )。水平渐近线至多有两条( x → − ∞ 或 x → + ∞ )。

1.3. 斜渐近线

如果 l i m x → ∞ [ f ( x ) − k x − b ] = 0 ，则 y = k x + b 是函数 y = f ( x ) = k x + b + α 图形的斜渐近线。

斜渐近线也至多有两条( x → − ∞ 或 x → + ∞ )。

水平渐近线与斜渐近线总共最多有两条，不可能既是水平渐近线，同时又是斜渐近线。

根据 l i m x → ∞ x [ f ( x ) x − k − b x ] = 0 ，求出 k = l i m x → ∞ f ( x ) x ， b = l i m x → ∞ [ f ( x ) − k x ] 。

常规方法求渐近线都要求极限，因而做题难度偏大，尤其是求斜渐近线需求两次极限，难度最大。

隐函数 F ( x , y ) = 0 由于难以得出函数关系 y = f ( x ) ，从而更加难以求出渐近线。

笔者通过多年教学实践总结出显函数 y = f ( x ) 及隐函数 F ( x , y ) = 0 渐近线的快速简便方法——通过拆项及泰勒公式展开，然后利用极限与无穷小之间的关系即可求出，整个求渐近线过程避免求极限！

2. 求显函数 y = f ( x ) 渐近线的快速简便方法

1) 求垂直渐近线就是找到函数 y = f ( x ) 图形的无穷间断点 x 0 ，也就求出了垂直渐近线 x = x 0 。

2) 求水平渐近线就是找到函数 y = f ( x ) = A + O ( 1 x ) ，也就求出了水平渐近线 y = A 。

3) 求斜渐近线就是找到函数 y = f ( x ) = k x + b + O ( 1 x ) ，也就求出了斜渐近线 y = k x + b 。

3. 显函数求渐近线实例 3.1. 简单题型

【例1】 y = 2 + 1 x 的垂直渐近线为 x = 0 (无穷间断点)，水平渐近线为 y = 2 。

【例2】 [ 5 ] y = x + 1 x 的垂直渐近线为 x = 0 (无穷间断点)，斜渐近线为 y = x 。

【例3】 y = 1 + e − x 2 1 − e − x 2 的垂直渐近线 x = 0 (无穷间断点)，水平渐近线 y = 1 。

函数图形如下图1。

图1. 函数图形 [ 4 ]

【例4】 [ 6 ] y = f ( x ) = ∫ 0 x e − t 2 2 d t ， f ( + ∞ ) = ∫ 0 + ∞ e − t 2 2 d t = 2 π 2 ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π e − t 2 2 d t = 2 π 2 ，

f ( − ∞ ) = ∫ 0 − ∞ e − t 2 2 d t = − 2 π 2 ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π e − t 2 2 d t = − 2 π 2 ，水平渐近线为 y = ± 2 π 2 。

【例5】 [ 7 ] y = 2 x 2 − 3 5 x 2 + 2 sin x = 2 − 3 x 2 5 + 2 sin x x 2 ，垂直渐近线为 x = 0 (无穷间断点)，水平渐近线为 y = 2 5 。

【例6】 [ 8 ] y = x 2 − 3 x + 2 x 2 − 1 arctan 1 x = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 1 ) ( x + 1 ) arctan 1 x = 1 − 2 x 1 + 1 x arctan 1 x ，垂直渐近线为 x = − 1 (无穷间断点)，水平渐近线为 y = 0 。

函数图形如下图2。

图2. 函数图形 [ 4 ]

3.2. 拆项题型

【例7】 [ 9 ] y = x 2 + x x 2 − 1 = x 2 − 1 + x + 1 ( x − 1 ) ( x + 1 ) = 1 + 1 x − 1 ，垂直渐近线为 x = 1 (无穷间断点)，水平渐近线为 y = 1 。

【例8】 y = x 3 − x 2 x 2 − 1 = x ( x 2 − 1 ) − ( x 2 − 1 ) + ( x − 1 ) ( x − 1 ) ( x + 1 ) = x − 1 + 1 x + 1 ，垂直渐近线为 x = − 1 (无穷间断点)，斜渐近线为 y = x − 1 。

【例9】 y = 2 x 2 + x + 2 x − 1 = 2 x ( x − 1 ) + 3 ( x − 1 ) + 5 x − 1 = 2 x + 3 + 5 x − 1 ，垂直渐近线为 x = 1 (无穷间断点)，斜渐近线为 y = 2 x + 3 。

【例10】 y = 2 x 5 − 4 x 4 + 1 x 4 + 1 = 2 x ( x 4 + 1 ) − 4 ( x 4 + 1 ) − 2 x + 5 x 4 + 1 = 2 x − 4 − 2 x − 5 x 4 + 1 。

斜渐近线为 y = 2 x − 4 。

函数图形如下图3。

图3. 函数图形 [ 4 ]

【例11】 y = 1 + x 1 − e − x = ( 1 + x ) e x e x − 1 = ( 1 + x ) ( e x − 1 + 1 ) e x − 1 = 1 + x + 1 + x e x − 1 。

垂直渐近线为 x = 0 (无穷间断点)，水平渐近线 y = 0 ( x → − ∞ )，斜渐近线为 y = x + 1 ( x → + ∞ )。

【例12】 [ 5 ] y = 1 x + ln ( 1 + e x ) = 1 x + ln [ e x ( 1 + e − x ) ] = x + 1 x + ln ( 1 + 1 e x ) 。

垂直渐近线 x = 0 (无穷间断点)，水平渐近线 y = 0 ( x → − ∞ )，斜渐近线 y = x ( x → + ∞ )。

【例13】 [ 9 ]

y = 1 x ( x − 1 ) + ln ( 1 + e x ) = x − ( x − 1 ) x ( x − 1 ) + ln [ e x ( 1 + 1 e x ) ] = 1 x − 1 − 1 x + x + ln ( 1 + 1 e x ) 。

垂直渐近线 x = 0 ， x = 1 (无穷间断点)，水平渐近线 y = 0 ( x → − ∞ )，斜渐近线 y = x ( x → + ∞ )。

【例14】 [ 10 ] y = x 3 + 4 x 2 = x + 4 x 2 垂直渐近线为 x = 0 (无穷间断点)，斜渐近线 y = x 。

函数图形如下图4。

图4. 函数图形 [ 4 ]

3.3. 泰勒公式展开题型

【例15】 [ 11 ] y = x sin 1 x = x ( 1 x + o ( 1 x 2 ) ) = 1 + o ( 1 x ) ，水平渐近线 y = 1 。

【例16】 [ 1 ] y = 2 x e 1 x = 2 x ( 1 + 1 x + 1 2 x 2 + o ( 1 x 2 ) ) = 2 x + 2 + 1 x + o ( 1 x ) ，垂直渐近线为 x = 0 (无穷间断点)，斜渐近线为 y = 2 x + 2 。

【例17】 [ 12 ]

y = x 2 + x − 2 x − 1 e 1 x = ( x − 1 ) ( x + 2 ) x − 1 e 1 x = ( x + 2 ) ( 1 + 1 x + 1 2 x 2 + o ( 1 x 2 ) ) = x + 3 + 2 x + o ( 1 x ) ，垂直渐近线为 x = 0 (无穷间断点)，斜渐近线为 y = x + 3 。

【例18】 [ 13 ]

y = x + x 2 − x + 1 = x + ( x − 1 2 ) 2 + 3 4 = x ± ( x − 1 2 ) [ 1 + 3 4 ( x − 1 2 ) 2 ] 1 2 = x ± ( x − 1 2 ) [ 1 + o ( 1 x − 1 2 ) ]

y = x ± ( x − 1 2 ) + O ( 1 x − 1 2 ) ，渐近线 y = x ± ( x − 1 2 ) = { 2 x − 1 2 x → + ∞ 1 2 x → − ∞

函数图形如下图5。

【例19】(2020数二15分)曲线 y = x 1 + x ( 1 + x ) x ( x > 0 )的斜渐近线。

图5. 函数图形 [ 4 ]

y = x 1 + x ( 1 + x ) x = x x x ( 1 + x ) x = x ( 1 + 1 x ) x = x e − x ln ( 1 + 1 x ) = e − 1 ( x + 1 2 − 1 12 x + o ( 1 x ) ) 。

这里： ln ( 1 + 1 x ) = 1 x − 1 2 x 2 + 1 3 x 3 + o ( 1 x 3 ) ， − x ln ( 1 + 1 x ) = − 1 + 1 2 x − 1 3 x 2 + o ( 1 x 2 ) ，

e − x ln ( 1 + 1 x ) = e − 1 + 1 2 x − 1 3 x 2 + o ( 1 x 2 ) = e − 1 e 1 2 x − 1 3 x 2 + o ( 1 x 2 ) = e − 1 ( 1 + 1 2 x − 1 3 x 2 + 1 4 x 2 + o ( 1 x 2 ) ) ，

y = e − 1 ( x + 1 2 − 1 12 x + o ( 1 x ) ) ，斜渐近线为 y = e − 1 ( x + 1 2 ) 。

【例20】 [ 14 ] y = 1 − x + x 3 x + 3 垂直渐近线 x = − 3 (无穷间断点)，渐近线 y = { − 1 2 x → + ∞ 5 2 − 2 x x → − ∞

y = 1 − x + x 3 x + 3 = 1 − x ± x ( 1 − 3 3 + x ) 1 2 = 1 − x ± x ( 1 − 1 2 3 3 + x + 1 2 ! 1 2 ( 1 2 − 1 ) ( 3 3 + x ) 2 + o ( 3 3 + x ) 2 ) ，

y = 1 − x ± x ∓ 3 2 ± 3 2 3 3 + x + o ( 3 3 + x ) = { − 1 2 ± 3 2 3 3 + x + o ( 3 3 + x ) x > 0 5 2 − 2 x ± 3 2 3 3 + x + o ( 3 3 + x ) x < 0 。

【例21】(2023数一5分)求 y = x ln ( e + 1 x − 1 ) 的渐近线。

解：垂直渐近线： x = 1 (无穷间断点)， x = 1 − 1 e (无穷间断点)，

y = x ln ( e ( 1 + 1 e ( x − 1 ) ) ) = x + x ln ( 1 + 1 e ( x − 1 ) ) = x + x ( 1 e ( x − 1 ) − 1 2 e 2 ( x − 1 ) 2 + o ( 1 ( x − 1 ) 2 ) ) ，

y = x + x − 1 + 1 e ( x − 1 ) + o ( 1 x − 1 ) = x + 1 e + 1 e ( x − 1 ) + o ( 1 x − 1 ) ，斜渐近线： y = x + 1 e

【例22】 [ 11 ] 求 y = 4 x 2 + x ln ( 2 + 1 x ) 的渐近线。

解： l i m x → − 1 2 4 x 2 + x ln ( 2 + 1 x ) = ∞ ，垂直渐近线： x = − 1 2 (无穷间断点)。

l i m x → 0 + 4 x 2 + x ln ( 2 + 1 x ) = l i m x → 0 + x 1 + 4 x ( ln 1 x + ln ( 1 + 2 x ) ) = l i m x → 0 + x ln 1 x = 0 ，

y = 2 | x | ( 1 + 1 4 x ) 1 2 ( ln 2 + ln ( 1 + 1 2 x ) ) = 2 | x | ( 1 + 1 2 ⋅ 1 4 x + O ( 1 x 2 ) ) ( ln 2 + 1 2 x + O ( 1 x ) ) ，

y = 2 | x | ( ln 2 + ln 2 8 x + 1 2 x + O ( 1 x 2 ) ) ， y = 2 | x | ln 2 + ( ln 2 4 + 1 ) | x | x + O ( 1 x ) ，

斜渐近线： y = { 2 x ln 2 + ( ln 2 4 + 1 ) x → + ∞ − 2 x ln 2 − ( ln 2 4 + 1 ) x → − ∞

函数图形如下图6。

图6. 函数图形 [ 4 ]

3.4. 等价无穷小替换题型

【例23】 [ 12 ] y = ( x − 1 ) e π 2 + arctan x . x → − ∞ 时， π 2 + arctan x ~ − 1 x ，

( x − 1 ) e π 2 + arctan x ~ ( x − 1 ) e − 1 x = ( x − 1 ) ( 1 − 1 x + o ( 1 x ) ) = x − 2 + O ( 1 x ) ，

时， arctan x − π 2 ~ − 1 x ， ( x − 1 ) e π 2 + arctan x ~ e π ( x − 1 ) e − 1 x = e π ( x − 2 ) + O ( 1 x ) ；

x → − ∞ 时，一条斜渐近线为 y = x − 2 ； x → + ∞ 时，另一条斜渐近线为 y = e π ( x − 2 ) 。

【例24】 [ 15 ] 求 y = x arctan x 的渐近线。 x → − ∞ 时， π 2 + arctan x ~ − 1 x ，

x arctan x = x ( π 2 + arctan x − π 2 ) ~ x ( − 1 x − π 2 ) = − π 2 x − 1 ；

图7. 函数图形 [ 4 ]

x → + ∞ 时， arctan x − π 2 ~ − 1 x ， x arctan x = x ( arctan x − π 2 + π 2 ) ~ x ( − 1 x + π 2 ) = π 2 x − 1 。

y = x arctan x 的斜渐近线为 y = { − π 2 x − 1 x → − ∞ π 2 x − 1 x → + ∞

函数图形如下图7。

4. 隐函数求渐近线

隐函数因函数关系 y = f ( x ) 无法写出，只能通过隐函数方程 F ( x , y ) = 0 间接求渐近线。

4.1. 垂直渐近线

如果 l i m y → ∞ x = x 0 ，则 x = x 0 是隐函数 F ( x , y ) = 0 图形的垂直渐近线，也就是无穷间断点。

垂直渐近线可以有无数条，也就是有无数个无穷间断点。

4.2. 水平渐近线

如果 l i m x → ∞ y = A ，则 y = A 是隐函数 F ( x , y ) = 0 图形的水平渐近线。

水平渐近线至多有两条( x → − ∞ 或 x → + ∞ )。

4.3. 斜渐近线

如果 k = l i m x → ∞ y x 存在，则隐函数 F ( x , y ) = 0 图形的斜渐近线 y = k x + b 存在。

将 y = k x + b 带入隐函数方程 F ( x , y ) = 0 求出b。

斜渐近线也至多有两条( x → − ∞ 或 x → + ∞ )。

4.4. 隐函数求渐近线实例

【例25】 [ 15 ] 求隐函数 x y 3 + x 4 y 2 + 2 x 4 y + 3 x 3 + 1 = 0 的渐近线。

解：两边同除x、y最高次数x⁴、y³，得：

y 2 + 2 y + 3 x + 1 x 4 + y 3 x 3 = 0 ， x + x 4 y + 2 x 4 y 2 + 3 x 3 + 1 y = 0 。

当 x → ∞ 时， y 2 + 2 y = 0 ，隐函数 y = f ( x ) 图形的水平渐近线为 y = 0 ， y = − 2 ；

当 y → ∞ 时， x = 0 ，隐函数 y = f ( x ) 图形的垂直渐近线为 x = 0 。

x 4 y 3 x 3 + x 6 y 2 x 2 + 2 x 5 y x + 3 x 3 + 1 = 0 ，若 k = l i m x → ∞ y x 存在，则 x → ∞ 时等式左边为 ∞ ，

与右边为0矛盾，所以隐函数 y = f ( x ) 没有斜渐近线。

【例26】 [ 15 ] 隐函数 ( x − 1 ) ( y − 3 ) = 1 ，求渐近线。

解： x → ∞ , y → 3 ，水平渐近线 y = 3 ； y → ∞ , x → 1 ，垂直渐近线 x = 1 ；

( x − 1 ) ( x ⋅ y x − 3 ) = 1 ，若 k = l i m x → ∞ y x 存在，则 x → ∞ 时等式左边为 ∞ 与右边为常数矛盾，

所以隐函数 y = f ( x ) 没有斜渐近线。

【例27】 [ 16 ] 笛卡尔叶形线曲线 x 3 + y 3 = 3 a x y ， 1 + y 3 x 3 = 3 a y x 2 ， k = l i m x → ∞ y x ，则 x → ∞ 时 1 + k 3 = 0 ， k = − 1 。将 y = − x + b 带入曲线方程 x 3 + y 3 = 3 a x y ，得：

b ( 3 x 2 − 3 x b + b 2 ) = x 3 + ( − x + b ) 3 = 3 a x ( − x + b ) = − 3 a x 2 + 3 a b x ， b ( 3 − 3 b x + b 2 x 2 ) = − 3 a + 3 a b x ， x → ∞ 时， b = − a ，斜渐近线 x + y + a = 0 。

常规求法：设 y = t x ，则 x 3 + t 3 x 3 = 3 a t x 2 ，参数方程 { x = 3 a t 1 + t 3 y = 3 a t 2 1 + t 3

当 x → ∞ 时 t → − 1 ， x + y + a = 3 a t ( 1 + t ) ( 1 + t ) ( 1 − t + t 2 ) + a = a ( 1 + t ) 2 1 − t + t 2 → 0 ， k = l i m x → ∞ y x = l i m t → − 1 3 a t 2 3 a t = l i m t → − 1 t = − 1 ， b = l i m t → − 1 ( y − k x ) = l i m t → − 1 3 a t ( 1 + t ) ( 1 + t ) ( 1 − t + t 2 ) = − a ，斜渐近线 y = − x − a 。

函数图形如下图8。

图8. 函数图形 [ 4 ]

本文中的所有图形均使用Mathematica 4.0绘制。

基金项目

《商务智能与大数据金融》建设项目(11511514002)。

文章引用

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