首先将空间区间 [ a , b ] 离散成N个单元 I j = [ x j − 1 2 , x j + 1 2 ] , j = 1 , 2 , ⋯ , N 。每个单元格的中心是 x j = 1 2 ( x j − 1 2 + x j + 1 2 ) ，单元格 I j 的大小记为 τ j = x j + 1 2 − x j − 1 2 ，最大网格大小记为 τ = max 1 ≤ j ≤ N τ j 。符号 Ω j = I j × [ t n , t n + 1 ] 表示时空控制体积， [ t n , t n + 1 ] 为时间间隔。在这里，我们取近似解空间如下：

V τ k = { φ ( x , t ) : φ ( x , t ) | Ω j ∈ P k ( Ω j ) } , (3)

其中 P k ( Ω j ) 表示 Ω j 上k次以下的时空多项式集合。注意， V τ k 中的函数允许在元件界面上具有间断。此外，我们使用 { v τ } j + 1 2 = ( v τ , j + 1 2 + + v τ , j + 1 2 − ) / 2 表示函数 v τ 在元素界面 x j + 1 2 处的算术平均值。

在本节中，我们将介绍一种基于将微分方程转化为其时空序列展开解的系数递推关系的方法，称为微分变换法(DTM) [ 46 ] 。值得注意的是，该方法在评估C-K过程时更加简洁高效 [ 47 ] 。为方便起见，我们首先考虑一维平流方程

q t + q x = 0 , q ( x , 0 ) = q 0 ( x ) . (4)

将 q ( x , 0 ) 的初始条件展开为泰勒多项式

q τ ( x , 0 ) = ∑ k x = 0 ∞ q ˜ ( k x , 0 ) ( x − x j ) k x . (5)

接下来，我们假设解可以表示为每个时空域内的以下多项式

q τ ( x , t ) = ∑ k x = 0 ∞ ∑ k t = 0 ∞ q ˜ ( k x , k t ) ( x − x j ) k x ( t − t n ) k t , ( x , t ) ∈ Ω j . (6)

微分变换 q ˜ 的形式是这样的

q ˜ ( k x , k t ) = 1 k x ! k t ! ∂ k x + k t q ( x , t ) ∂ x k x ∂ t k t | x = x j , t = t n , k x , k t = 0 , 1 , 2 , ⋯ . (7)

将(6)代入平流式(4)，可得递归关系如下：

q ˜ ( k x , k t + 1 ) = − k x + 1 k t + 1 q ˜ ( k x + 1 , k t ) . (8)

因此，从式(5)中的初始微分变换 q ˜ ( k x , 0 ) 开始，反复重复式(8)，得到任意时刻的微分变换。因此，我们可以通过泰勒级数展开(6)得到平流方程(4)的解，即任意高阶解。

随后，我们考虑了浅水波方程的微分变换方法(13)。我们将 U ( x , 0 ) 的初始条件投影到分段多项式空间 V τ k 中，得到 U τ ( x , 0 ) ，其形式为

U τ ( x , 0 ) = ∑ k x = 0 k U ˜ ( k x , 0 ) ( x − x j ) k x . (9)

与Runge-Kutta DG方法不同，我们通过k次的时空多项式在每个时空域 Ω j 内寻找浅水波方程(13)的数值解，如下所示

U τ ( x , t ) = ∑ k x = 0 k ∑ k t = 0 k U ˜ ( k x , k t ) ( x − x j ) k x ( t − t n ) k t . (10)

与2.2节类似，我们将(10)代入(45)，得到浅水波方程(12)的递推关系如下：

h ˜ ( k x , k t + 1 ) = − k x + 1 k t + 1 ( h ˜ u ˜ ) ( k x + 1 , k t ) , ( h ˜ u ˜ ) ( k x , k t + 1 ) = − k x + 1 k t + 1 G ˜ 1 ( k x + 1 , k t ) − k x + 1 k t + 1 G ˜ 2 ( k x + 1 , k t ) − k x + 1 k t + 1 G ˜ 3 ( k x + 1 , k t ) . (11)

其中

G ˜ 1 ( k x , k t ) = ∑ r = 0 k x ∑ s = 0 k t G ˜ 1 , a ( r , s ) G ˜ 1 , b ( k x − r , k t − s ) , G ˜ 2 ( k x , k t ) = g 2 ∑ r = 0 k x ∑ s = 0 k t h ˜ ( r , s ) h ˜ ( k x − r , k t − s ) , G ˜ 3 ( k x , k t ) = ∑ r = 0 k x h ˜ ( r , k t ) G ˜ 3 , a ( k x − r ) , G ˜ 1 , a ( k x , k t ) = ∑ r = 0 k x ∑ s = 0 k t ( h ˜ u ˜ ) ( r , s ) ( h ˜ u ˜ ) ( k x − r , k t − s ) , G ˜ 2 , b ( k x , k t ) = − 1 h ˜ ( 0 , 0 ) ∑ r = 0 k x ∑ s = 0 k t h ˜ ( r , s ) G ˜ 1 , b ( k x − r , k t − s ) , G ˜ 3 , a ( k x ) = g ( k x + 1 ) b ˜ ( k x + 1 ) .

因此，将初始微分变换 U ˜ ( k x , 0 ) 和 b ˜ ( k x ) , k x = 0 , ⋯ , k 代入(11)，得到微分变换 U ˜ ( k x , k t ) ，并利用(10)得到在时空域 Ω j 上的近似 U ( x , t ) 。

在本节中，我们将利用2.2节中的微分变换过程构建SWEs(1)的ADER-DG方法。

首先，我们将原控制方程(1)改写为

h t + ( h u ) x = 0 , ( h u ) t + ( ( h u ) 2 h + 1 2 g h 2 ) x = 1 2 g ( b 2 ) x − g ( h + b ) x x . (12)

我们将源项 − g h b x 按照 [ 48 ] [ 49 ] 中的方法改写为动量方程中的等效形式 1 2 g ( b 2 ) x − g ( h + b ) b x 。

为了便于表示，我们引入了可以将(12)改写为紧致向量形式的符号

U t + F ( U ) = S ( U ) , (13)

其中 U = ( h , h u ) T , F ( U ) = ( h u , h u 2 + 1 2 g h 2 ) T 和 S ( U ) = ( 0 , − g ( h + b ) b x + 1 2 g b x 2 ) T 分别表示保守变量、物理通量和几何源项。

式(13)与任意空间测试函数 φ ( x ) 的乘法并使用 Ω j 上的部分积分产生以下弱形式

∫ I j U ( x , t n + 1 ) ϕ ( x ) d x − ∫ I j U ( x , t n ) ϕ ( x ) d x + ∫ t n t n + 1 F ( x j + 1 2 , t ) d t ⋅ ϕ ( x j + 1 2 − ) − ∫ t n t n + 1 F ( x j − 1 2 , t ) d t ⋅ ϕ ( x j − 1 2 + ) − ∬ Ω j F ( x , t ) ϕ ( x ) d x d t = ∬ Ω j S ( U τ ( t ) ) ϕ ( x ) d x d t   for   j = 1 , 2 , ⋯ , N .

这里，为了便于表示，我们将物理通量写作一个二元函数 F ( x , t ) = F ( U ( x , t ) ) 。

求解(13)的全离散ADER-DG方法定义如下：对于所有测试函数 ϕ ( x ) = ( x − x j ) k x 且 k x = 0 , 1 , ⋯ , k ，从 V τ k 出发，解 U τ ( x , t ) ∈ V τ k 满足

∫ I j U τ ( x , t n + 1 ) ϕ ( x ) d x − ∫ I j U τ ( x , t n ) ϕ ( x ) d x − F ^ j + 1 2 ⋅ ϕ ( x j + 1 2 − ) + F ^ j − 1 2 ⋅ ϕ ( x j − 1 2 + )   + ∬ Ω j F τ ( x , t ) ϕ ( x ) d x d t + ∬ Ω j S ( U τ ( t ) ) ϕ ( x ) d x d t   j = 1 , 2 , ⋯ , N . (14)

这里用数值通量 F ^ j + 1 2 来近似网格之间物理通量的时间积分，即 ∫ t n t n + 1 F ( x j + 1 2 , t ) d t 。其中 F ^ ( U τ , j + 1 2 ( t ) ) = f ( U τ , j + 1 2 − ( t ) , U τ , j + 1 2 + ( t ) ) 数值通量与简单的Lax-Friedrichs通量一致

f ( U τ , j + 1 2 − ( t ) , U τ , j + 1 2 + ( t ) ) = 1 2 [ F ( U τ , j + 1 2 − ( t ) ) + F ( U τ , j + 1 2 + ( t ) ) − α ( U τ , j + 1 2 + ( t ) − U τ , j + 1 2 − ( t ) ) ] . (15)

其中

α = max x ∈ I | 1 Δ t n ∫ t n t n + 1 λ ( U ( x , t ) ) d t | . (16)

其中 λ ( U ) 为雅可比矩阵 F ′ ( U ) 的特征值，其具体形式为

α = max x ∈ I ( 1 Δ t n ∫ t n t n + 1 ( | u τ ( x , t ) | + g h τ ( x , t ) ) d t ) . (17)

请注意，在前一小节中提出的ADER-DG方法(45)不具有良好的平衡特性。在本节中，我们提出了对数值通量的修正，目的是准确地保持稳态(2)。

为了保持正性(如第2.14节所述)，我们还在时间步长 t n 上引入了新的网格边界值：

h τ , j + 1 2 * , ± = max ( 0 , h τ , j + 1 2 n , ± + b τ , j + 1 2 ± − max ( b τ , j + 1 2 + , b τ , j + 1 2 − ) ) , (18)

其中

h τ , j + 1 2 * , + = h τ , j + 1 2 * , −

在(2)中满足稳定性。

现在，让我们讨论平衡的数值通量。在(15)定义的Lax-Friedrichs数值通量 F ^ j + 1 2 中，附加项 − α ( U τ , j + 1 2 n , + − U τ , j + 1 2 n , − ) 对数值黏度起到了作用，这是非线性守恒律所必需的。然而，它们可能破坏稳态的良好平衡特性。因此，我们将该通量(15)修改为

f ( U τ , j + 1 2 − ( t ) , U τ , j + 1 2 + ( t ) ) = 1 2 [ ( h τ , j + 1 2 * , + u τ , j + 1 2 + ( t ) ( ( h u ) τ , j + 1 2 + ( t ) ) 2 u τ , j + 1 2 + ( t ) + 1 2 g ( h τ , j + 1 2 + ( t ) ) 2 ) + ( h τ , j + 1 2 * , − u τ , j + 1 2 − ( t ) ( ( h u ) τ , j + 1 2 − ( t ) ) 2 u τ , j + 1 2 − ( t ) + 1 2 g ( h τ , j + 1 2 − ( t ) ) 2 )                                                                 − α ( ( h τ , j + 1 2 * , + ( h u ) τ , j + 1 2 + ( t ) ) − ( h τ , j + 1 2 * , − ( h u ) τ , j + 1 2 − ( t ) ) ) ] . (19)

这里我们将通量项的第一个分量从 ( h u ) τ , j + 1 2 ± ( t ) 修改为 h τ , j + 1 2 * , ± ( t ) u τ , j + 1 2 * , ± ( t ) 以便在第2.14节中解释保正性。

接下来，我们给出源项积分的高阶平衡近似，其形式为

∬ Ω j S 2 ( t ) v d x d t = − g ∬ Ω j ( h + b ) ( t ) b x v d x d t + 1 2 g ∬ Ω j b x 2 v d x d t , (20)

其中 S 2 表示源项的第二分量。我们可以进一步把这个积分分解为

∬ Ω j S 2 ( t ) v d x d t = − g ∬ Ω j [ ( h + b ) ( t ) − ( h + b ) j ¯ ( t ) ] b x v d x d t               − g ∬ Ω j ( h + b ) j ¯ ( t ) b x v d x d t + 1 2 g ∬ Ω j b x 2 v d x d t               = − g ∬ Ω j [ ( h + b ) ( t ) − ( h + b ) j ¯ ( t ) ] b x v d x d t               − g ∫ t n t n + 1 ( h + b ) j ¯ ( t ) d t ⋅ ( ( b v ) ( x j + 1 2 − ) − ( b v ) ( x j − 1 2 + ) − ∫ I j b v x d x )               + 1 2 g ∫ t n t n + 1 d t ⋅ ( ( b v ) ( x j + 1 2 − ) − ( b v ) ( x j − 1 2 + ) − ∫ I j b v x d x )     , (21)

其中项 b , b 2 , ( h + b ) ( t ) , ( h + b ) ¯ j ( t ) 分别用它们的数值近似值 b τ , b τ 2 , ( h + b ) τ , j ¯ ( t ) 代替。此外，将 b τ , b τ 2 的边界值替换为它们在网格面处的平均值，记为 { b τ } , { b τ 2 } ，与稳态时的数值通量(51)一致。

对于双曲守恒律系统，当解包含间断点时，ADER-DG方法通常与斜率限制程序相结合，以压缩间断点附近可能出现的振荡。文献中有许多不同的斜率限制器选择，本文我们考虑经典的全变分有界(TVB)限制器 [ 50 ] 。

标准限制器可能与良好平衡性质相冲突，我们根据 [ 51 ] 中提出的思想提出了一个良好平衡限制器程序。未知 U τ 上的标准TVB限制器包括两个步骤。第一步是根据网格平均值 U τ , j ¯ , U τ , j ± 1 ¯ 和网格边界值 U τ , j + 1 / 2 − , U τ , j − 1 / 2 + 来检查单元 I j 中是否需要任何限制。第二步是对该单元 I j 中的变量 U τ 应用TVB限制器。在提出的平衡斜率限制程序中，我们将首先根据单元平均值 ( h + b ) τ , j ¯ , ( h + b ) τ , j ± 1 ¯ 和 ( h + b ) τ , j + 1 / 2 − , ( h + b ) τ , j − 1 / 2 + 来检查是否需要限制。如果单元 I j 被标记为需要限制，则实际的TVB限制器像往常一样应用于 U τ 。注意 ( h + b ) τ 在静水稳态(2)时变为常数，因此在达到稳态时不施加限位器，保持了良好的平衡性质。

我们提出的浅水波方程(1)的良好平衡ADER-DG方法由式(45)给出，其中的数值通量定义在式(51)中，源项近似在上文中已经给出。综合前面各小节的结果，可以很直观地证明如下结果：

命题1 上述浅水波方程(1)的ADER-DG方法可以保持稳态解(2)的well-balanced性。

证明 在稳态(2)时，我们有

( h + b ) τ = C , u τ = 0.

我们只需要证明包含源项的动量方程的平衡性。将方程中的通量项用 F ( 2 ) 表示。对于式(51)中给出的数值通量，式(45)左侧的数值近似为

∫ t n t n + 1 F ^ ( 2 ) ( U j + 1 2 ( t ) ) d t ⋅ v j + 1 2 − − ∫ t n t n + 1 F ^ ( 2 ) ( U j − 1 2 ( t ) ) d t ⋅ v j − 1 2 + − ∬ Ω j F ( 2 ) ( U ( t ) ) v x d x d t = ∫ t n t n + 1 1 2 g { h τ , j + 1 2 2 } ( t ) d t ⋅ v ( x j + 1 2 − ) − ∫ t n t n + 1 1 2 g { h τ , j − 1 2 2 } ( t ) d t ⋅ v ( x j − 1 2 + ) − ∬ Ω j 1 2 g h τ 2 ( t ) v x d x d t . (22)

由于 ( h + b ) τ ( t ) = ( h + b ) τ , j ¯ ( t ) ≡ C ，源项近似变成

∬ Ω j S τ ( 2 ) ( t ) v d x d t = − g C ∫ t n t n + 1 d t ⋅ ( { b τ } j + 1 2 v j + 1 2 − − { b τ } j − 1 2 v j − 1 2 + − ∫ I j b τ v x d x )                                                     + 1 2 g ∫ t n t n + 1 d t ⋅ ( { b τ 2 } j + 1 2 v j + 1 2 − − { b τ 2 } j − 1 2 v j − 1 2 + − ∫ I j b τ 2 v x d x ) .

注意这个等式

( 1 2 g h τ 2 ( t ) ) x = ( 1 2 g ( h + b ) τ 2 ( t ) − g ( h + b ) τ ( t ) b τ + 1 2 g b τ 2 ) x = − g C ( b τ ) x + 1 2 g ( b τ 2 ) x .

并由此我们得出结论，通量和源项近似在静水稳态时相互平衡，从而得到期望的良好平衡特性。

在 [ 52 ] 中，Zhang和Shu提出了设计双曲守恒律的高阶最大原理保持方法的框架。从那时起，该方法得到了许多关注，并被广泛应用，包括 [ 53 ] 中的浅水波方程。结果表明，在合适的CFL条件下，能保持水高的非负性而不影响质量守恒，并能保持通解的高阶精度。在这里，我们将探讨这种方法在第2节中为浅水波方程提出的平衡良好的ADER-DG方法中的应用。

如 [ 54 ] 所述，实现这一目标的关键组成部分是以下两项：该方法一阶版本的正性，以及与高阶方法耦合的简单保正限制器。在建立之后，我们只考虑简单的欧拉时间离散化，同样的结果可以推广到多步和TVD高阶龙格–库塔方法。考虑平衡良好的ADER-DG方法(45)与(51)中定义的数值通量，取测试函数 v = 1 导致湿截面的单元平均更新如下

h ¯ j n + 1 = h ¯ j n − λ 1 [ F ^ j + 1 2 ( 1 ) − F ^ j − 1 2 ( 1 ) ] , (23)

其中

F ^ j + 1 2 ( 1 ) = 1 2 ∫ t n t n + 1 [ h j + 1 2 * , − u j + 1 2 − ( t ) + h j + 1 2 * , + u j + 1 2 + ( t ) − α ( h j + 1 2 * , + − h j + 1 2 * , − ) ] d t . (24)

并且有 λ 1 = 1 / Δ x 。为方便起见，设 λ = λ 1 Δ t n 。为了不丧失一般性，我们在本节中忽略下标 τ 。该方法的一阶形式为

h j n + 1 = h j n − λ 1 [ F ^ j + 1 2 ( 1 ) − F ^ j − 1 2 ( 1 ) ] . (25)

其数值通量定义为

F ^ j + 1 2 ( 1 ) = 1 2 Δ t n [ h j + 1 2 * , − u j + 1 2 − ( t ) + h j + 1 2 * , + u j + 1 2 + ( t ) − α ( h j + 1 2 * , + − h j + 1 2 * , − ) ] , (26)

其中 α = max ( | u | + g h ) 。

关于这种一阶方法的保正性，我们有如下引理：

引理2 在CFL条件 λ α ≤ 1 下，考虑具有数值通量(57)的一阶格式(56)。如果 h j n , h j ± 1 n 是非负的，那么 h j n + 1 也是非负的。

证明 格式(56)可写成

∑ r = 1 N w ^ r = 1

h j n + 1 = [ 1 − 1 2 λ ( α + u j n ) h j + 1 2 * , − h j n − 1 2 λ ( α − u j n ) h j − 1 2 * , + h j n ] h j n + 1 2 λ ( α + u j − 1 n ) h j − 1 2 * , − + 1 2 λ ( α − u j + 1 n ) h j + 1 2 * , +     ≥ ( 1 − λ α ) h j n + 1 2 λ ( α + u j − 1 n ) h j − 1 2 * , − + 1 2 λ ( α − u j + 1 n ) h j + 1 2 * , + .

因此， h j n + 1 是 h j − 1 n ， h j n 和 h j + 1 n 的线性组合，并且所有系数都是非负的，因为 0 ≤ h j + 1 2 * , − ， h j − 1 2 * , + ≤ h j n 。因此， h j n + 1 ≥ 0 。

接下来，我们讨论高阶格式。我们参考 [ 54 ] 了解细节，这里只介绍主要思想。我们在区间 I j 上引入N点( 2 N − 3 ≥ k ) Legendre gaas-lobatto正交规则，用 S j = { x j − 1 2 = x ^ j 1 , x ^ j 2 , ⋯ , x ^ j N − 1 , x ^ j N = x j + 1 2 } ，表示这些正交点，在区间 [ − 1 / 2 , 1 / 2 ] 上对应的正交权值 w ^ r 满足。由于求积对于k次多项式是精确的，我们有

h ¯ j n = 1 Δ x ∫ I j h j n d x = ∑ r = 1 N w ^ r h j n ( x ^ j r ) = ∑ r = 2 N − 1 w ^ r h j n ( x ^ j r ) + w ^ r h j − 1 2 + + w ^ N h j + 1 2 − . (27)

按照 [ 55 ] 的方法，我们得到的结果是：

命题3 对于浅水波方程(1)的格式(45)，我们设 h j n ( x ) 为单元格 I j 中的DG多项式。如果 h j − 1 2 + , h j − 1 2 − 和 h j n ( x ^ j r ) ( r = 2 , ⋯ , N − 1 ) 都是非负的，则在CFL条件下 h ¯ j n + 1 也是非负的：

λ α ≤ w ^ 1 . (28)

证明我们把(58)代入(54)，重写(54)通过加减 ∫ t n t n + 1 f ( 1 ) ( h j − 1 2 * , + , u j − 1 2 + ( t ) , h j + 1 2 * , − , u j + 1 2 − ( t ) ) d t ：

h ¯ j n + 1 = ∑ r = 2 N − 1 w ^ r h j n ( x ^ j r ) + w ^ 1 h 1 + + w ^ N h N − , (29)

以及

h ^ 1 = h j − 1 2 + − λ 1 w ^ r ∫ t n t n + 1 [ f ( 1 ) ( h j − 1 2 * , + , u j − 1 2 + ( t ) , h j + 1 2 * , − , u j + 1 2 − ( t ) ) − f ( 1 ) ( h j − 1 2 * , − , u j − 1 2 − ( t ) , h j − 1 2 * , + , u j − 1 2 + ( t ) ) ] d t , (30)

h ^ N = h j + 1 2 + − λ 1 w ^ N ∫ t n t n + 1 [ f ( 1 ) ( h j + 1 2 * , − , u j + 1 2 − ( t ) , h j + 1 2 * , + , u j + 1 2 + ( t ) ) − f ( 1 ) ( h j − 1 2 * , + , u j − 1 2 + ( t ) , h j + 1 2 * , − , u j + 1 2 − ( t ) ) ] d t . (31)

注意到

h ^ 1 = h j − 1 2 + − λ 1 2 w ^ 1 ∫ t n t n + 1 [ h j − 1 2 * , + u j − 1 2 + ( t ) + h j + 1 2 * , − u j + 1 2 − ( t ) − α ( h j + 1 2 * , − − h j − 1 2 * , + )     − ( h j − 1 2 * , − u j − 1 2 − ( t ) + h j − 1 2 * , + u j − 1 2 + ( t ) − α ( h j − 1 2 * , + − h j + 1 2 * , − ) ) ] d t = ( 1 − λ α w ^ 1 h j − 1 2 * , + h j − 1 2 + ) h j − 1 2 + + λ 2 w ^ 1 ( α + 1 Δ t n ∫ t n t n + 1 u j + 1 2 − ( t ) d t ) h j + 1 2 * , − + λ 2 w ^ 1 ( α − 1 Δ t n ∫ t n t n + 1 u j − 1 2 − ( t ) d t ) h j − 1 2 * , − ≥ ( 1 − λ α w ^ 1 ) h j − 1 2 + + λ 2 w ^ 1 ( α + 1 Δ t n ∫ t n t n + 1 u j + 1 2 − ( t ) d t ) h j + 1 2 * , − + λ 2 w ^ 1 ( α − 1 Δ t n ∫ t n t n + 1 u j − 1 2 − ( t ) d t ) h j − 1 2 * , − . (32)

可以清楚地看到 h ^ 1 是 h j − 1 2 + , h j + 1 2 * , − 和 h j − 1 2 * , − 的线性组合，并且所有系数都是非负的，因为 0 ≤ h j − 1 2 * , + ≤ h j − 1 2 + (这也证明了我们在 λ α w ^ 1 ≤ 1 的合适CFL条件下分别定义α和为(49)和(50)的原因。因此，我们得到 h ^ 1 ≥ 0 ，同样有 h ^ N ≥ 0 。由于 w ^ 1 = w ^ N ，这两个CFL条件相同，也就是(59)。因此， h ¯ j n + 1 ≥ 0 ，因为它是 h ^ 1 , h ^ N 和 h j n ( x ^ j r ) ( r = 2 , ⋯ , N − 1 ) 的凸组合。

我们在DG多项式 U j n ( x ) = ( h j n ( x ) , ( h u ) j n ( x ) ) T 上采用了以下保正极限器 [ 56 ] [ 57 ] ，

U ˜ j n ( x ) = θ ( U j n ( x ) − U ¯ j n ) + U ¯ j n , θ = min { 1 , h ¯ j n h ¯ j n − m j } , (33)

并有

m j = min x ∈ S j h j n ( x ) = min r = 1 , ⋯ , N h j n ( x ^ j r ) . (34)

很容易观察到 h ˜ j n ( x ^ j r ) ≥ 0 ( r = 1 , ⋯ , N ) ，该极限保持变量 U j n ( x ) 的局部守恒。

我们计算修正的多项式 U ˜ j n ( x ) ，并在均衡方法中使用 U ˜ j n ( x ) 代替 U j n ( x ) (45)。根据 [ 56 ] [ 57 ] 中的证明，我们可以验证在CFL条件下，与该保正限制器耦合的平衡方法是高阶精度、保正和质量守恒的

λ α ≤ w ^ 1 . (35)

为了提高效率，只有当对下一个时间步长的初步计算产生负湿截面时，我们才实现时间步长限制(66)。

在本节中，我们考虑包含平坦底部的干面积(即 b ( x ) ≡ 0 )的黎曼问题。这些例子在 [ 58 ] 中使用过，这

图1. 第3.1节中200个网格的第一黎曼问题在不同时间的数值解和精确解水高h (左)和水体动量hu (右)

里选择它们是为了证明我们的方法的保正能力。该例的计算域设置为[−300, 300]，初始条件为

h u ( x , 0 ) = 0     and     u ( x , 0 ) = { 10         if   x ≤ 0 , 0       otherwise .

左侧为静水高度设为10，右侧为干区。该问题的解析解可在 [ 59 ] 中找到。我们用我们的平衡保正方法计算了这个问题，该方法具有简单的传输边界条件和200个均匀单元。 t = 4 , 8 , 12 时刻的解如图1所示。我们还在这些图中绘制了精确的解，以便进行比较。我们可以观察到，数值结果很好地反映了精确解。

Sampson等人 [ 60 ] 推导出了具有抛物型底地形的一维浅水波方程的解析解。这为我们的数值方法提供了一个很好的测试用例。这个例子已在 [ 61 ] 中用于具有摩擦源项的浅水波方程。我们取抛物线底部：

图2. 第3.2节中抛物面碗问题不同时刻的水面水平：左上：t = 1000；右上：t = 2000；左下：t = 3000；右下：t = 4000

b ( x ) = h 0 ( x / a ) 2 ,

常数 h 0 和a下文定义。计算域设置为[−5000, 5000]。对于不含摩擦源项的浅水波方程，解析水面由式给出

h ( x , t ) + b ( x ) = h 0 − B 2 4 g cos ( 2 ω t ) − B 2 4 g − B x 2 a 8 g 0 g cos ( ω t ) ,

其中 ω = 2 g h 0 / a , B = constant 。干湿锋面的确切位置如图2所示：

x 0 = − B ω a 2 2 g h 0 cos ( ω t ) ± a .

我们首先考虑 [ 62 ] 中提出的平底 b ( x ) = 0 的数值实验。初始条件为

h ( x , 0 ) = 0.1 ,   h u ( x , 0 ) = { − 0.3         if   x ≤ 5 , 0.3 otherwise ,   x ∈ [ 0 , 10 ] .

在这个例子中，干燥的河床会在两个方向相反的稀有波的中间产生。干层的生成使得这个例子很难用数值计算。将t = 1时刻得到的结果进行比较，正如图3可以观察到的那样，目前的格式在两个稀疏波之间留下了一个小的湿区。通过图中绘制出的精确解我们可以清晰的观察到，数值结果具有良好的保正性，并且很好地反映了精确解。

图3. t = 1时水深h (左)和水体动量hu (右)