非线性方程，就是因变量与自变量之间的关系不是线性的关系。由于很多问题都可以通过各种手段抽象转化拟成一个方程或方程组，然后可以利用许多数学方法去进行求解，如微分方程、线性规划等，而现实中的很多实际问题转化成方程后往往是非线性的，并且由于问题复杂度的原因往往以方程组的形式出现，因此对非线性方程组求解的研究具有重要意义。

1) 单目标转换技术(SOT)

单目标转换技术 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] 是目前利用群智能算法求解非线性方程组问题最为常用的方法之一，其思想是通过将一个非线性方程组转化为一个单目标优化问题，进而可以各种单目标优化算法对问题进行求解，通常采用的转化方式如下：

min F ( x ) = ∑ i = 1 n f i 2 ( x ) (3)

或者

min F ( x ) = ∑ i = 1 n | f i ( x ) | (4)

采用平方和或者绝对值和的形式对非线性方程组问题进行转化，两种方式的最优解分别对应于原非线性方程组的根。

2) 基于排斥的变换技术(RBT)

基于排斥的变换方法 [ 4 ] 结合了单目标优化技术和斥力技术，它的基本思想是：如果一个根 x r 被发现并保存在一个档案中，一个斥力区域将围绕它产生一个预定义的斥力半径。然后，对处于排斥区域的任何个体的适应度值进行修改，并驱动算法寻找其他有希望的区域。

通过RBT，将非线性方程组转化为优化问题的一般形式为：

min R ( x ) = F ( x ) ⊙ P ( x ) (5)

其中 P ( x ) 为斥力函数， F ( x ) 为单目标转换技术中转化后的函数。

3) 约束单目标变换(CSOT)

约束单目标变换(CSOT) [ 5 ] 是在单目标转换技术的基础之上，将方程组的每一个方程作为约束条件，以使得转换后的问题能够应用各种处理约束优化问题的算法，其主要形式如下：

min F ( x ) = ∑ i = 1 n f i 2 ( x ) (5)

约束条件： f i ( x ) ≥ 0 , i = 1 , ⋯ , n 。

或者

min F ( x ) = ∑ i = 1 1 n | f i ( x ) | (6)

约束条件： f i ( x ) = 0 , i = 1 , ⋯ , n 。

与单目标转换技术类似，约束单目标变换同样需要额外的多样性保存技术，以便在求解的过程中定位非线性方程组不同的根。

4) 非线性规划变换(NLPT)

应用非线性规划变换(NLPT) [ 6 ] 技术，可以将非线性方程组问题的求解转化为求解一个非线性规划问题，在相关研究中 [ 7 ] ，原本的非线性方程组问题可以通过添加额外的参数 ε ∈ R n 转化为如下形式：

min ‖ ε i − ε i * ‖ ∞ (7)

约束条件：

{ | f i ( x ) | − ε i ≤ 0 ; ε i ≥ 0 , (8)

其中 i = 1 , ⋯ , n ， ε * ∈ R n 是期望的系统精度。因此，使用此种方法求解非线性方程组问题等价于求解 ε * = 0 的非线性规划问题。

5) 多目标变换(MOT)

在进化计算(EC)群体中，进化多目标优化(EMO)是非常活跃的 [ 8 ] [ 9 ] 。EMO的主要目的是找到一组具有良好收敛性和覆盖率的非支配解，即得到的非支配解接近分布良好的真Pareto前沿。定位非线性方程组的多根类似于求解EMO的非支配解。利用多目标转换技术，可以将一个NES问题转化为一个多目标优化问题(MOP)。

群智能算法是一类仿生计算方法，灵感来源于群体生物(如鸟群、蚁群等)在协作中展现出的智能行为。这些算法通过模拟自然界中的群体行为和交互方式，将个体之间的合作与竞争相结合，从而实现优化问题的求解。典型的群智能算法包括粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization, PSO)、蚁群算法(Ant Colony Optimization, ACO)、差分进化算法(Differential Evolution, DE)等。

差分进化算法 [ 10 ] 的基本思想：随机生产一组初始个体，每个个体代表一个初始解，新个体的产生借助指定的变异、交叉等方式生成。每个新个体与原父个体进行比较，如果优于原父个体，则选择新个体作为子代，反之原父个体作为子代。这种替换的优势在于子代个体总是优于父代个体，种群通过不断地进化直至收敛到全局最优个体或是满足指定结束条件。

基于指数模型的思想，为解决转换成单目标优化问题的非线性方程组问题，本文提出了新的求解模型，其基本思想是：将现有的两种单目标转换技术进行结合，通过指数模型构建目标函数如下：

min F ( x ) = ∑ i = 1 n | f i m ( x ) | (9)

其中m即可以为预先设定的超参数，也可以根据所选取的算法来进行针对性的调整，通过控制m的值来对模型进行调整和优化。当m取1或2的时候，分别对应原始的两种求解非线性方程组问题的单目标转换技术。

min F ( x ) = ∑ i = 1 n | f i ( x ) | (10)

和

min F ( x ) = ∑ i = 1 n f i 2 ( x ) (11)

在指数模型指数的设置上，在每次算法进行迭代计算的过程当中，m随机从(2, 5, 10)三个数当中选取一个数作为本次迭代的指数数值，经过数值模拟实验验证，采用这种方法可以使得在迭代过程中增强算法的全局搜索能力，从而提高算法在对应非线性方程组问题求解上的效果。

为了衡量算法的性能和其对于非线性方程组问题的求解效率，我们采用文献 [ 11 ] 中的两个性能指标：寻根率(root ratio, RR)和成功率(success rate, SR)来判断。

RR的计算公式如下：

RR = ∑ i = 1 N r NOR i NOR ⋅ N r (12)

其中， N r 是算法独立运行的总次数， NOR i 为当前第i次独立运行找到根的个数，NOR为当前NES已知根的个数。

SR的计算公式如下：

SR = N s r N r (13)

其中 N s r 为成功找到NES所有根的次数。

为验证模型的有效性，本文采用了从低维到高维的六组非线性方程组对文中所提出的模型和算法的效果进行测试，分别是三个2元非线性方程组，一个3元非线性方程组、一个4元非线性方程组、一个5元非线性方程组。

在本次实验中，由于传统的差分进化算法通常在一次运行中仅能同时定位记录优化问题的一个解(在非线性方程组问题上即只能记录方程组的一个根)，由于非线性方程组问题通常具有多个根，因此我们选用改进后的差分进化算法来求解利用指数模型方法和单目标转换技术转化后的非线性方程组问题，改进后的差分进化算法与原差分进化算法的区别主要在于增加了外部存档集这种额外的多样性保存技术，以储存算法在运行过程当中找到的非线性方程组的根，同时引入初始化策略，在找到该根的位置并记录在外部存档集之后，对根所在的位置进行初始化，以使得算法能够继续寻找该非线性方程组问题其他的根，以增强算法的多样性，并最终实现对该利用指数模型方法和单目标转换技术转化后的非线性方程组问题的求解。

1) 候选根精度： θ = 10 − 6 (因为方程组的维数 n ≤ 5 )；

2) 距离半径(保证两候选根不要靠得太近，即是不同的根)： δ = 10 − 3 ；

3) 外部存档容纳最大个体数 max s a = NP ，对所有问题，算法独立运行30次( N r = 30 )。

图1. 不同指数在各个方程组上的SR (成功率)

图2. 不同指数在各个方程组上的RR (找根率)

本文采用了基于指数模型的全新转换技术，来将一个非线性方程组问题转化为一个带有指数目标函数的单目标优化问题，在使用相同的单目标优化算法的情况下(带有档案集的改进的差分进化算法)，算法基于这两种不同的模型分别在SR和RR两个衡量指标上的对比结果见图1和图2，从实验结果中可以看出，新模型在六个非线性方程组的均表现出优势或绝对优势，其中SR值(见图1)在4个非线性方程组上数值最高，RR值(见图2)也在其中4个非线性方程组上数值最高(二者有交叉和不重合的部分)，即指数模型在我们所选用的非线性方程组测试集的6个方程组上，在超过一半的方程组上是绝对优于原模型的，说明新模型结合非线性方程组单目标转换技术在利用单目标群智能算法求解转化非线性方程组问题上具有一定优势。

本文在将非线性方程组问题转换为单目标优化问题这一过程中，采用全新的指数模型来构建单目标优化函数，取代了传统转换技术中采用平方和和绝对值和的两种模型，新的指数模型不仅能够完全包含传统方法中的模型，更是通过引入指数这一变量的方式增强算法在求解问题时的全局搜索能力，但指数模型对算法在求解问题时的收敛能力提升有限，同时在面对非线性方程组的根分布较为密集、解空间较小的情况下对算法求解问题的性能提升较弱，如何更好的平衡算法在求解问题时的全局搜索能力和局部收敛能力、对于部分复杂非线性方程组如何更好的求解是接下来需要继续研究和探讨的问题。