连通性是评估互连网络可靠度和容错性的一个非常重要的参数。若对于连通图G中的任意两个顶点 V ( C W n ) = S n ，它们之间有 u , v ∈ V ( C W n ) 条边不相交的路，则连通图G是强Menger边连通的。若对于任意的边集 ( u , v ) ∈ E ( C W n ) 且 u = v ∘ ( 1 , k ) ， 2 ≤ k ≤ n 仍保持强Menger边连通性，则图G是m-边容错强Menger边连通的。若对于任意的边集 u = v ∘ ( k , k + 1 ) 且 2 ≤ k ≤ n − 1 和 u = v ∘ ( 2 , n ) ， n 仍保持强Menger边连通性，则图G是m-条件边容错强Menger边连通的。在这篇文章中，我们证明 C W n 是 8 ≤ | F e 1 | ≤ 10 -边容错强Menger边连通的。此外，我们给出例子来说明我们保持强Menger边连通性的有关故障边的数量是最大值，即是最优的。

互连网络，容错性，轮图，强Menger边连通性

Lizhen Nan^*, Shiying Wang

School of Mathematics and Computer Science, Shanxi Normal University, Taiyuan Shanxi

Received: May 28^th, 2023; accepted: Jun. 23^rd, 2023; published: Jun. 30^th, 2023

Connectivity is an important measurement to evaluate the reliability and fault tolerance of interconnection networks. A connected graph is called strongly Menger edge connected if for any two distinct vertices x, y in G, there are | F e 2 | ≤ 4 edge-disjoint paths between x and y. A graph G is called m-edge-fault-tolerant strongly Menger edge connected if | F e 0 | ≤ 19 − 8 = 11 remains strongly Menger edge connected for an arbitrary set C W 5 i − F e i with C W n . A graph G is called m-conditional edge-fault-tolerant strongly Menger edge connected if C W n remains strongly Menger edge connected for an arbitrary set ( 2 n − 2 ) with n ≥ 4 and C W 5 [ 2 , 5 ] − F e . In this paper, we show that C W 5 1 − F e 1 is n ≥ 4 -edge-fault-tolerant strongly Menger edge connected 4 for C W 4 and C W 5 1 − F e 1 -conditional edge-fault-tolerant strongly Menger edge connected for C W 5 1 − F e 1 . Moreover, we present some examples to show that our results are all optimal with respect to the maximum number of tolerated edge faults.

Keywords:Interconnection Networks, Fault Tolerance, Wheel Network, Strong Menger Edge Connectivity

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关于图的相关的定义和概念来源于 [ 1 ] 。 C W n 1 , C W n 2 , … , C W n 3 是一个简单的无向连通图， | V ( H 1 ) | ≥ 4 ! − 2 代表顶点集， | E C W 5 ( V ( H 1 ) , V ( C W 5 2 ) ) − F e | ≥ | E 1 , 2 ( C W 5 ) | − 代表边集。对于任意的顶点 | V ( C W 5 1 ) − V ( H 1 ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 2 − 11 > 0 ， i 表示u的邻域的集合， | V ( H ) | ≥ 5 ! − 2 表示与u相连的边的集合， 5 ≤ | F e 2 | ≤ 7 表示u的度。 | F e 3 | ≤ 4 定义为G的度，是G中顶点度的最小值。若G中的任意顶点u， | F e 0 | ≤ 19 − 8 − 5 = 6 ，则G是k-正则的。若G中的边 C W 5 i − F e i 满足 v ∈ V ( C W n ) ， v ( 1 , n ) ，则 v ( n − 1 , n ) 是一个 v ( 2 , n ) 边，所有 C W 5 [ 3 , 5 ] − F e 边的集合被定义为 5 ≤ | F e 2 | ≤ 7 ，用 C W 5 2 − F e 2 来表示集合中元素的个数。 v ∗ = v ( 2 n ) 是G中的一个顶点集， | V ( H 2 ) | ≥ 4 ! − 1 是G中的一个边集。我们用 C W 5 1 − F e 1 来代表G的一个子图，它的顶点集是 ( u , v ) 和边集是 | E C W 5 ( V ( H 2 ) , V ( C W 5 3 ) ) − F e | ≥ | E 2 , 3 ( C W 5 ) | − | V ( C W 5 2 ) − V ( H 2 ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 1 − 6 > 0 。如果 C W 5 1 − F e 1 是不连通的或仅仅只有一个顶点，那么称F是G的一个顶点割。G的连通度是G的顶点割的最小值，用 n ≥ 4 来表示。我们用 | V ( H ) | ≥ 5 ! − 1 来代表G的一个子图，它的顶点集是 C W 5 1 − F e 1 和边集是 C W 5 1 − F e 1 。如果 i , j ∈ [ 1 , n ] 是不连通的，那么称 | V ( H 1 ) | ≥ 4 ! − 2 是G的一个边割。G的边连通度是G的边割的最小值，用 | V ( H 1 ) | ≥ 4 ! − 1 来表示。 | V ( H ) | ≥ 5 ! − 2 且 | V ( H 1 ) | ≥ 4 ! − 2 是k个不同的顶点表示一个u,v-路。我们取两个不同的u,v-路 i ∈ [ 1 , n ] 和 | V ( H ) | ≥ 5 ! − 2 。若 | V ( H 1 ) | = 4 ! − 2 ，则称 | V ( H 2 ) | = 4 ! − 1 和 u 11 , u 12 ∈ V ( C W 5 1 ) − V ( H 1 ) 是顶点不相交的u,v-路；若 u 2 ∈ V ( C W 5 2 ) − V ( H 2 ) ，则称 | F e 0 | ≤ 6 和 v ∈ ( { u 11 + , u 11 − , u 11 ∗ , u 12 + , u 12 − , u 12 ∗ , u 2 + , u 2 − , u 2 ∗ } − { u 11 , u 12 , u 2 } ) ∩ V ( H ) 是边不相交的u,v-路。如果 n ≥ 4 没有u,v-路，那么称 i , j ∈ [ 1 , n ] 是一个u,v-点割；如果 i ≠ j 没有u,v-路，那么称 | E i j ( C W n ) | = 3 ( n − 2 ) ! 是一个u,v-边割。Menger定理 [ 2 ] 是有关连通性和边连通性的一个典型的定理。

定理1.1 [ 2 ] 1) x, y是图G中的两个不同的顶点且 | V ( H ) | ≥ 5 ! − 2 ，x,y-割的最小值等于G中点不相交的x,y-路的最大值。

2) x, y是图G中的两个不同的顶点，x,y-边割的最小值等于G中边不相交的x,y-路的最大值。

在Menger定理的基础之上，Oh et al. [ 3 ] 提出了强Menger连通性，也被称为最大局部连通性；Qiao et al. [ 4 ] 提出了强Menger边连通性。

定义1.2 [ 5 ] 1) x, y是连通图G中的任意两个不同的顶点，若在G中x和y有 5 ≤ | F e 3 | ≤ 7 顶点不相交的路，则连通图G是强Menger连通的。

2) x, y是连通图G中的任意两个不同的顶点，若在G中x和y之间有 | F e 0 | ≤ 19 − 8 − 5 × 2 = 1 边不相交的路，则连通图G是强Menger边连通的。

在真实的互连网络中故障可能发生，因此考虑互连网络的容错性是尤为重要的。Oh et al. [ 3 ] [ 6 ] 提出了m-容错强Menger连通性；Shih et al. [ 7 ] 提出了m-条件容错强Menger连通性。此外，边的容错强Menger连通性和条件容错强Menger连通性在参考文献 [ 4 ] 和 [ 5 ] 也被提出。

定义1.3 [ 5 ] 1) 对于G中的任意一个顶点集 { u + , u − , u ∗ } ∩ { v + , v − , v ∗ } = φ 且 C W 5 [ 4 , 5 ] − F e ，若 | V ( H ) | ≥ 5 ! − 2 是强Menger连通的，则图G是m-容错强Menger连通的。

2) 对于G中的任意一个边集 | V ( H ) | ≤ 5 ! − 3 且 v 1 , v 2 , v 3 ∈ V ( C W 5 [ 1 , 3 ] ) ，若 u ∈ V ( C W n [ 1 , 2 ] ) 是强Menger边连通的，则图G是m-边容错强Menger边连通的。

定义1.4 [ 5 ] 1) 对于G中的任意一个顶点集 v ′ 1 , v ′ 2 , v ′ 3 ∈ V ( C W 5 [ 4 , 5 ] ) 且 u ' , u ' ' ∈ V ( C W n [ 3 , n ] ) 和 λ ( C W n ) = 2 n − 2 ，若 v ′ 1 , v ′ 2 , v ′ 3 ⊆ V ( C W 5 [ 4 , 5 ] ) ⊆ V ( H ) 是强Menger连通的，则图G是m-条件容错强Menger连通的。

2) 对于G中的任意一个边集 λ ( B S n ) = 2 n − 3 且 | F e 0 | ≥ 3 和 | F e 0 | ≤ 1 ，若 | V ( H ) | ≥ 5 ! − 2 是强Menger边连通的，则图G是m-条件边容错强Menger边连通的。

对于强Menger连通性和强Menger边连通性，许多拓扑结构已经被研究：超立方体 8 ≤ | F e 2 | ≤ 10 [ 4 ] ，折叠超立方体 | F e 0 | ≤ 19 − 8 × 2 = 3 [ 4 ] [ 8 ] [ 9 ] ，平衡超立方体 | F e 3 | ≤ | F e 0 | ≤ 3 < 4 [ 5 ] ，类超立方体网络 [ 7 ] [ 10 ] ，一类正则网络 [ 11 ] ，泡型星图 C W 5 3 − F e 3 [ 12 ] [ 13 ] ，泡型图 H [ 14 ] 等等。在这篇文章中我们研究的是n-维轮图 C W 5 [ 3 , 5 ] − F e [ 15 ] 的边容错强Menger边连通性和条件边容错强Menger边连通性。轮图 | V ( H ) | ≥ 5 ! − 2 有许多优良的特性，如顶点传递性和高度正则性，轮图 v ∈ V ( C W 5 [ 1 , 2 ] ) 的许多性质已经被研究过，具体可以见参考文献 [ 16 ] - [ 21 ] 。

这篇文章剩余部分的结构安排如下。第二部分阐述了轮图的定义和一些有用的性质引理，未被证明的引理我们会在这一部分给出详细的证明；第三部分证明了n-维轮图 n ≥ 3 的边容错强Menger边连通性；第四部分我们对这篇文章做出总结。

用 v ′ ∈ V ( C W 5 [ 3 , 5 ] ) 代表置换， v ″ ∈ V ( C W 5 [ 3 , 5 ] ) 。为了方便，我们可以将置换 | V ( H ) | ≤ 5 ! − 3 表示为 v 1 , v 2 , v 3 ∈ V ( C W 5 [ 1 , 2 ] ) 。此外每个置换也可以表示成一个轮换，例如： F e ∈ E ( B S n ) 。特别地， { v ′ 1 , v ″ 1 , v ′ 2 , v ″ 2 , v ′ 3 , v ″ 3 } ⊆ V ( C W 5 [ 3 , 5 ] ) ⊆ V ( H ) 。

两个置换的乘积 n ≥ 3 是先作用于 | F e 0 | ≥ 6 后作用于 | F e 0 | ≤ 3 。例如： | V ( H ) | ≥ 5 ! − 2 。设 | F e 1 | = 11 是两个整数，规定 | F e 2 | ≤ 4 。设 | F e 0 | ≤ 19 − 11 = 8 是n阶置换群，它的元素是集合 C W 5 i − F e i 中的所有置换 C W 4 − F e 。取 | E i , j ( C W 5 ) − F e | ≥ 是两个整数且 | E i , j ( C W 5 ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 8 = 10 > 0 ， | F e 1 | ≥ | F e 2 | ≥ | F e 3 | ≥ | F e 4 | 是置换群 n = 4 中的一个置换，我们规定运算“ C W 5 [ 2 , 5 ] − F e ”是将置换p中 i , j ∈ [ 1 , 4 ] 两个位置的数互换，其余位置的数不变，即 { v + , v − , v ∗ } ⊆ V ( C W 5 [ 2 , 5 ] ) 与 | V ( H ) | ≥ 5 ! − 2 互换即可。例如： | V ( H ) | ≤ 5 ! − 3 。运算“ v 1 , v 2 , v 3 ∈ V ( C W 5 1 ) ”可以简化成“ | F e | ≤ 9 ”。

我们将在下面介绍轮图 { v 1 + , v 1 − , v 1 ∗ , v 2 + , v 2 − , v 2 ∗ , v 3 + , v 3 − , v 3 ∗ } ⊆ V ( C W 5 [ 2 , 5 ] ) ⊆ V ( H ) 的定义和一些性质。

定义2.1 [ 15 ] n-维轮图 H 的顶点集 | F e 0 | ≥ 9 。对于任意的 | F e 0 | ≤ 8 ， | V ( H ) | ≥ 5 ! − 2 当且仅当 5 ≤ | F e 2 | ≤ 7 ， | F e 0 | ≤ 19 − 11 − 5 = 3 或者 | F e 3 | ≤ | F e 0 | ≤ 3 < 4 ， C W 5 3 − F e 3 或者 | F e | ≥ | E 1 ， 2 ( C W 4 ) | + | E 1 ， 3 ( C W 4 ) | = 2 × 6 = 12 > 9 。n-维轮图 | F e | ≤ 9 的顶点数是n阶置换群 E 1 ， 2 ( C W 4 ) − F e ≠ Φ 的元素个数 C W 5 [ 3 , 5 ] − F e 。

n-维轮图 v ∈ V ( C W 5 [ 1 , 2 ] ) 是一个特殊的凯莱图，因此我们可以得到一些性质。 i ∈ [ 3 , 4 ] 是 v ′ ∈ V ( C W 5 [ 3 , 5 ] ) -正则的和顶点传递的， v ″ ∈ V ( C W 5 [ 3 , 5 ] ) 。 | V ( H ) | ≥ 5 ! − 1 是二部图并且围长是4， | F e 0 | ≤ 9 − 3 = 6 。在这里展示出了4-维轮图 v 1 , v 2 ∈ V ( C W 5 [ 1 , 2 ] ) 的结构(见图1)。 i ∈ [ 2 , 4 ] 可以被划分成n个不相交的子图 { v ′ 1 , v ′ 1 , v ′ 2 , v ″ 2 } ⊆ V ( C W 5 [ 3 , 5 ] ) ⊆ V ( H ) ，其中每个顶点 E 2 , 4 ( C W 4 ) − F e ≠ Φ 的最后一个位置 | F e 0 | ≥ 4 为一个固定的整数i，其中 | F e 0 | ≤ 3 。显然， | V ( H ) | ≥ 5 ! − 1 > 5 ! − 2 是同构于 8 ≤ | F e 2 | ≤ 10 ，我们知道 | F e 0 | ≤ 19 − 11 − 8 = 0 是 C W 4 [ 2 , 4 ] − F e -维的泡型星图。对于任意的顶点 H ，有三个外部邻域 | F e 1 | = 3 ， C W 4 1 − F e 1 ， H 1 被称为v的外部邻域，记为 | V ( H 1 ) | ≥ 3 ! − 1 ， C W 5 [ 3 , 5 ] − F e ， | F e 0 | = 0 。如果一个边 v ∈ V ( C W 5 [ 1 , 2 ] ) 的两个顶点在不同的子图 H 中，那么边 v ′ ∈ V ( C W 5 [ 3 , 5 ] ) ⊆ V ( H ) 被称为交叉边。对于任意的 | F e 2 | = 3 ，其中 | F e 0 | ≤ 9 − 3 × 2 = 3 ， | F e 3 | ≤ 2 ，我们知道 12 ≤ | F e 1 | ≤ 19 属于三个不同的子图 | F e 2 | ≤ 4 中。规定集合 | F e 0 | ≤ 19 − 12 = 7 ，其中 C W 5 i − F e i ， H 。对于任意的边集 5 ≤ | F e 2 | ≤ 7 ，我们定义 | F e 0 | ≤ 19 − 12 − 5 = 2 ， | F e 3 | ≤ | F e 0 | ≤ 2 ，其中 C W 5 i − F e i 。 C W 4 [ 1 , 2 ] 是由 H 诱导出来的 | V ( H ) | ≥ 4 ! − 1 的子集，其中 | F e 3 | = 3 。

图1. 轮图CW₄

引理2.2 [ 16 ] [ 17 ] 设n是一个整数且 | F e 0 | ≤ 9 − 3 × 3 = 0 ，有以下结论：

1) 对于任意的 v ∈ V ( C W 4 [ 1 , 3 ] ) 且 v ' ∈ { v + , v − , v ∗ } ， v ' ∈ V ( C W 4 4 ) ；

2) 对于任意的 | F e 0 | = 0 ， H = C W 4 − F e 且 | F e 1 | ≥ | F e 2 | ≥ | F e 3 | ≥ ⋯ ≥ | F e n | ， | F e 2 | ≤ 2 ；

3) 对于任意的 | F e n | ≤ ⋯ ≤ | F e 4 | ≤ 2 n − 6 ， i ∈ [ 2 , 4 ] 或 | E i , j ( C W 4 ) − F e | ≥ | E i , j ( C W 4 ) | − | F e 0 | ≥ 6 − 5 = 1 > 0 或 i , j ∈ [ 2 , 4 ] ；

4) 对于任意的 C W n i − F e i ，存在两个顶点 C W 4 [ 2 , 4 ] − F e ，使得 H 。

引理2.3 [ 20 ] C W n n − F e n ，其中 | F e 1 | ≤ 2 n − 6 。

引理2.4 [ 13 ] C W n i − F e i ，其中 C W 4 1 。

引理2.5 [ 13 ] H 有以下性质：

1) 设 | V ( H ) | ≥ 4 ! − 1 ，且 | F e 2 | ≥ 3 ， | F e 0 | ≤ 9 − 4 − 3 = 2 。如果 | F e 3 | ≤ 2 不连通，则 C W 4 3 − F e 3 有一个连通分支H， | E 3 , 4 ( C W 4 ) − F e | ≥ | E 3 , 4 ( C W 4 ) | − | F e 0 | ≥ 6 − 2 > 0 。

2) 设 C W 4 [ 3 , 4 ] − F e ，且 H ， v ∈ V ( C W 4 [ 1 , 2 ] ) 。如果 v ' , v ' ' ∈ { v + , v − , v ∗ } 不连通，则 2 n − 5 ≤ | F e 1 | ≤ 4 n − 13 有一个连通分支H， | F e 0 | ≤ ( 6 n − 11 ) − ( 2 n − 5 ) = 4 n − 6 。

3) 设 | F e 2 | ≤ 2 n − 6 ，且 C W n i − F e i ， H 。如果 | E i , j ( C W n ) − F e | ≥ | E i , j ( C W n ) | − | F e 0 | ≥ 不连通，则 3 ( n − 2 ) ! − ( 4 n − 6 ) > 0 有一个连通分支H， F e ⊆ E ( C W n ) 。

引理2.6设 | F e | ≤ 4 n − 7 ，且 n ≥ 4 。如果 C W n [ 2 , n ] − F e 不连通，则 2 n − 5 ≤ | F e 1 | ≤ 4 n − 13 = 4 ( n − 1 ) − 9 由两个连通部分组成，其中一个连通部分是一个孤立点。

证明因为 C W n 1 − F e 1 是不连通的，不失一般性，我们假设 n ≥ 5 。因为 | V ( H 1 ) | ≥ ( n − 1 ) ! − 1 ，根据引理2.2(1)， | E C W n ( V ( H 1 ) , V ( C W n 2 ) ) − F e | ≥ | E 1 , 2 ( C W n ) | − | V ( C W n 1 ) − V ( H 1 ) | − | F e 0 | ≥ 3 ( n − 2 ) ! − 1 ，其中 − ( 4 n − 6 ) > 0 ， C W n − F e 。由 C W n n − F e n ，可得 | V ( H ) | ≥ n ! − 1 > n ! − 2 ；否则 2 n − 5 ≤ | F e 2 | ≤ 4 n − 13 ，与事实 | F e 3 | ≤ 2 n − 6 相矛盾。根据引理2.4， | F e 0 | ≤ ( 6 n − 11 ) − 2 ( 2 n − 5 ) = 2 n − 1 是连通的。设H是 C W n i − F e i 的包含 i ≠ j 作为一个子集的连通部分。接下来我们考虑如下情况：

情形1 n ≥ 5

在这种情形下，根据引理2.4， H = C W n − F e 是连通的， C W n − F e 。现在我们声称 2 n − 5 ≤ | F e 1 | ≤ 4 n − 13 或者 C W n [ 3 , n ] − F e ；否则的话 2 n − 5 ≤ | F e 2 | ≤ | F e 1 | ≤ 4 n − 13 ，与事实 C W n k − F e k 相矛盾。不失一般性，我们可以假设 i ∈ [ 2 , n ] 。相似的，可以得到 | V ( H k ) | ≥ ( n − 1 ) ! − 1 或者 i , j ∈ [ 2 , n ] ，其中 | E C W n ( V ( H k ) , V ( C W n 3 ) ) − F e | ≥ | E k , 3 ( C W n ) | − 。因此 | V ( C W n k ) − V ( H k ) | − | F e 0 | ≥ 3 ( n − 2 ) ! − 1 − ( 2 n − 1 ) > 0 连通了，与假设相矛盾。

情形2 C W n [ 2 , n ] − F e

假设 H ，则 2 n − 5 ≤ | F e 1 | ≤ 4 n − 13 = 4 ( n − 1 ) − 9 。根据引理2.4， C W n 1 − F e 1 是连通的， | V ( H ) | ≥ n ! − 2 。我们可以得到 | F e 3 | ≥ 2 n − 5 或者 | F e 0 | ≤ ( 6 n − 11 ) − 3 ( 2 n − 5 ) = 4 ；否则 | E i , j ( C W n ) − F e | ≥ | E i , j ( C W n ) | − | F e 0 | ≥ ，与事实 3 ( n − 2 ) ! − 4 > 0 相矛盾。不失一般性，我们可以假设 n ≥ 5 。相似的，可以得到 H 1 或者 H 。因此 C W n [ 4 , n ] − F e 是H的一个子集。因为 | F e 2 | ≥ 2 n − 5 ，根据引理2.5(1)， C W n k − F e k 有一个连通分支 | F e 3 | ≤ 3 < 2 n − 6 ，使得 | V ( H k ) | ≥ ( n − 1 ) ! − 1 。因为 C W n i − F e i | E C W n ( V ( H k ) , V ( C W n 4 ) ) − F e | ≥ | E k , 4 ( C W n ) | − | V ( C W n k ) − V ( H k ) | − | F e 0 | ，所以 ≥ 3 ( n − 2 ) ! − 1 − 4 > 0 是H的一个子集。因此 | E i , j ( C W n ) − F e | ≥ | E i , j ( C W n ) | − | F e 0 | ≥ 3 ( n − 2 ) ! − 3 > 0 。

假设 i , j ∈ [ 3 , n ] ，则 i ≠ j 。如果 n ≥ 5 ，根据引理2.4， C W n [ 3 , n ] − F e 是连通的， C W n k − F e k 。因为 | V ( H ) | ≥ n ! − 2 ，所以 v ' , v ' ' ∈ { v + , v − , v ∗ } 是H的一个子集。由引理2.2(4)，对于任意的 u i ∈ V ( C W n i ) − V ( H i ) ，存在两个顶点 v ' ' ∈ V ( C W n [ 3 , n ] ) ，使得 | F e 0 | ≤ 3 < 2 × 2 。因为 C W n [ 1 , 2 ] ，所以在 | V ( H ) | ≥ n ! − 2 中最多有一个顶点不被包含在H中。因此 | V ( H ) | ≥ n ! − 1 。如果 4 n − 12 ≤ | F e 1 | ≤ 4 n − 7 ，则 | F e 0 | ≤ 4 n − 7 − ( 4 n − 12 ) = 5 。已知对于任意的 | F e 3 | ≤ 2 < 2 n − 6 ，存在一个顶点 n ≥ 5 ，使得 C W n i − F e i 。因为 i ∈ [ 3 , n ] ，所以 | E i , j ( C W n ) − F e | ≥ | E i , j ( C W n ) | − | F e 0 | ≥ 3 ( n − 2 ) ! − 5 > 0 是连通的，与假设矛盾。

情形3 i , j ∈ [ 3 , n ]

假设 i ≠ j ，则根据引理2.4， n ≥ 5 是连通的， C W n [ 3 , n ] − F e 。因为 H | F e 2 | ≤ 2 n − 6 ，其中 C W n [ 2 , n ] − F e ， H ，所以 u ∈ V ( C W n 1 ) 是H的一个子图。已知对于任意的 { u + , u − , u ∗ } ⊆ V ( C W n [ 2 , n ] ) ， | F e | ≥ 2 × ( 2 n − 3 ) + ( 2 n − 2 ) − 2 = 6 n − 10 > 。因为 6 n − 11 ，所以在 C W n 1 中最多有一个顶点不被包含在H中。因此 4 n − 12 ≤ | F e 1 | ≤ 6 n − 20 。

假设 | F e 0 | ≤ ( 6 n − 11 ) − ( 4 n − 12 ) = 2 n + 1 ，则 | F e 3 | ≤ 2 n − 6 ， | F e | ≥ 2 ( 2 n − 5 ) + 。根据引理2.4， ( 4 n − 12 ) − 1 = 8 n − 22 > 6 n − 11 是连通的。因为 | F e 2 | ≥ 5 | F e 0 | ≤ 4 n − 7 − ( 4 n − 12 ) − 5 = 0 ，所以 C W n i − F e i 是H的一个子集。根据引理2.2(4)，对于任意的 F e ⊆ E ( C W 5 ) ，存在两个顶点 | F e | ≤ 19 ，使得 C W 5 − F e 和 C W 5 − F e 。因为 H ，所以在 C W n [ 3 , n ] − F e 中最多有一个顶点不被包含在H中。因此 C W n 2 − F e 2 。

引理2.7设 | F e 1 | ≥ | F e 2 | ≥ | F e 3 | ≥ | F e 4 | ≥ | F e 5 | ，且 n = 5 ， C W n 2 − F e 2 。如果 i , j ∈ [ 1 , 5 ] 不连通，则 i ≠ j 由两个连通部分组成，其中一个连通部分是一个孤立点。

证明当 C W n 1 − F e 1 时，根据引理2.6，证明结论是成立的。假设 | F e 5 | ≤ | F e 4 | ≤ 4 且 | F e | ≥ 5 × 4 = 20 > 19 是不连通的。不失一般性，我们可以假设 | E C W n ( V ( H 1 ) , V ( C W n 2 ) ) − F e | ≥ 。假设H是 C W 5 i − F e i 的包含 i ∈ [ 4 , 5 ] 作为一个子集的连通部分。接下来我们考虑如下情况：

情形1 H

在这种情况下，根据引理2.4， | V ( H ) | ≥ n ! − 2 是连通的， C W n 2 − F e 2 。因为 | F e 2 | ≥ 2 n − 5 | F e 0 | ≤ ( 6 n − 11 ) − ( 4 n − 12 ) − ( 2 n − 5 ) = 6 ，其中 | F e 0 | ≤ 6 ， E 1 , 2 ( C W 5 ) − F e ≠ Φ ， E 1 , 3 ( C W 5 ) − F e ≠ Φ ，因此 v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ∈ V ( C W n [ 1 , 2 ] ) 是连通的，与假设 | F e | ≤ 19 不连通相矛盾。

情形2 { v ′ 1 , v ″ 1 , v ′ 2 , v ″ 2 , v ′ 3 , v ″ 3 , v ′ 4 , v ″ 4 } ⊆ V ( C W n [ 3 , n ] )

假设 E 1 , i ( C W 5 ) − F e ≠ Φ ，则 E 2 , i ( C W 5 ) − F e ≠ Φ 。根据引理2.4， V ( C W n [ 3 , n ] ) ⊆ V ( H ) 是连通的， C W 5 − F e 。因为 | F e 0 | ≥ 8 ，其中 | F e 0 | ≤ 6 ， | F e 0 | ≤ 19 − 5 = 14 ， C W 5 i − F e i ，所以 i ∈ [ 2 , 5 ] 是H的一个子集。因为 E 2 , 3 ( C W 5 ) − F e ≠ Φ ，根据引理2.5(1)， E 2 , 4 ( C W 5 ) − F e ≠ Φ 有一个连通分支 | F e | ≥ | E 2 , 3 ( C W 5 ) | + | E 2 , 4 ( C W 5 ) | = 2 × 18 = 36 > 19 ，使得 | F e | ≤ 19 。又因为 | F e 1 | ≥ 6 n − 19 | F e 0 | ≤ ( 6 n − 11 ) − ( 6 n − 19 ) = 8 | F e 3 | ≤ 4 < 2 n − 6 ，所以 i ∈ [ 4 , 5 ] 是H的一个子集。因此 C W n 3 − F e 3 。

假设 H ，则 C W 5 1 − F e 1 ， E 1 , 2 ( C W 5 ) − F e ≠ Φ ， E 1 , 3 ( C W 5 ) − F e ≠ Φ 。根据引理2.4， C W n [ 3 , n ] − F e 是连通的， C W n 2 − F e 2 。因为 C W 5 1 − F e 1 ，其中 5 ≤ | F e 1 | ≤ 7 ， C W n 2 − F e 2 ， u ∈ V ( C W n 1 ) ，所以 { u + , u − , u ∗ } ⊆ V ( C W n [ 2 , n ] ) 是H的一个子集。由引理2.2(4)，对于任意的 | F e 0 | ≤ 8 < 3 × 3 ，存在两个顶点 V ( C W n 1 ) ，使得 H 1 和 H 。又因为 2 n − 5 ≤ | F e 2 | ≤ 8 ，所以在 5 ≤ | F e 2 | ≤ 7 中最多有一个顶点不被包含在H中。因此 | F e 2 | = 7 。

情形3 | F e 0 | = 1

在这种情形下，可得 u ∈ V ( C W n [ 1 , 2 ] ) ， C W n [ 3 , n ] ， | F e 0 | ≤ 1 ，根据引理2.4， i , j ∈ [ 3 , 5 ] 是连通的， i ≠ j 。因为 C W 5 [ 3 , 5 ] − F e ，其中 H ， 5 ≤ | F e 2 | ≤ | F e 1 | ≤ 7 ， C W 5 k − F e k ，所以 H k 是H的一个子集。

假设 | V ( H k ) | ≥ 4 ! − 1 ，则 k ∈ [ 1 , 2 ] 是H的一个子集。已知对于任意的 | E C W 5 ( V ( H k ) , V ( C W 5 3 ) ) − F e | ≥ | E k , 3 ( C W 5 ) | − | V ( C W 5 k ) − V ( H k ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 1 − 9 = 8 > 0 ，有 H k 。又因为 H ，所以在 k ∈ [ 1 , 2 ] 中最多有一个顶点不被包含在H中。因此 | V ( H ) | ≥ 5 ! − 2 。

假设 5 ≤ | F e 3 | ≤ 7 。因为 | F e 0 | ≤ 19 − 3 × 5 = 4 ，所以 | E 4 , 5 ( C W 5 ) − F e | ≥ | E 4 , 5 ( C W 5 ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 4 > 0 ，则 C W n 5 − F e 5 。根据引理2.2(4)， H 是连通的，与假设相矛盾。

引理2.8设 C W n 5 − F e 5 ，且 | F e 1 | ≤ 4 。如果 H k 不连通，则 | V ( H k ) | ≥ 4 ! − 1 有一个连通分支H， | F e 1 | ≥ 5 。

证明因为 5 ≤ | F e 1 | ≤ 7 是不连通的，不失一般性，我们可以假设 | F e 2 | ≤ 4 。因为 | F e 0 | ≤ 23 − 5 = 18 ，根据引理2.2(1)，所以 C W n i − F e i ， k ∈ [ 1 , 3 ] ， k ∈ [ 1 , 3 ] 。由 C W 5 k − F e k ，可得 | V ( H ) | ≥ 5 ! − 2 ；否则的话 | V ( H 1 ) | = | V ( H 2 ) | = | V ( H 3 ) | = 4 ! − 1 ，与事实 u i ∈ V ( C W 5 i ) − V ( H i ) 相矛盾。根据引理2.4， i = 1 , 2 , 3 是连通的， i ∈ [ 1 , 3 ] 。设H是 u i ∈ V ( H ) 中包含 C W 5 [ 2 , 5 ] − F e 作为一个子集的连通部分。现在我们考虑下面的几种情形：

情形1 5 ≤ | F e 1 | ≤ 7

在这种情况下，根据引理2.4， C W 5 1 − F e 1 是连通的， u 1 , u 2 , u 3 。现在我们声称 C W 5 − F e 或者 | E C W 5 ( V ( H 1 ) , V ( C W 5 [ 2 , 3 ] ) ) − F e | ≥ ；否则的话 | E 1 , 2 ( C W 5 ) | + | E 1 , 3 ( C W 5 ) | − 2 | V ( C W 5 1 ) − V ( H 1 ) | − | F e 0 | ≥ 18 × 2 − 2 − 18 > 0 ，与事实 C W 5 − F e 产生了矛盾。不失一般性，我们可以假设 | F e | ≥ 3 × 8 − 2 = 22 > 19 。同样的道理，可以得到 5 ≤ | F e 2 | ≤ 7 或者 | F e 3 | ≤ 4 。因此 | F e 0 | ≤ 23 − 2 × 5 = 13 是连通的，与假设 C W 5 i − F e i 是不连通的产生了矛盾。

情形2 | F e | ≤ 19

情形2.1 u 1 , u 2 , u 3

在这种情形下， C W 5 − F e 。根据引理2.4， P 3 是连通的， C W n [ 3 , 5 ] − F e 。现在我们声称 5 ≤ | F e 2 | ≤ | F e 1 | ≤ 7 或者 C W 5 k − F e k ；否则的话 | F e 2 | ≤ 4 ，与事实 | F e 0 | ≤ 19 − 8 = 11 产生矛盾。不失一般性，我们可以假设 C W 5 i − F e i 。相似的，可得 | E C W 5 ( V ( H k ) , V ( C W 5 2 ) ) − F e | ≥ | E k , 3 ( C W 5 ) | − | V ( C W 5 k ) − V ( H k ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 1 − 3 > 0 或者 | E i , j ( C W 5 ) − F e | ≥ | E i , j ( C W 5 ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 11 = 7 > 0 ， i , j ∈ [ 3 , 5 ] 。因此 5 ≤ | F e 3 | ≤ 7 是H的一个子集。

假设 C W 5 [ 2 , 5 ] − F e 是连通的。我们可以得到 C W 5 k − F e k 或者 C W 5 1 − F e 1 ，与上面类似。因此 | E 1 , 2 ( C W 5 ) − F e | ≥ | E 1 , 2 ( C W 5 ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 11 = 7 > 0 是连通的，与事实 H = C W 5 − F e 不连通相矛盾。

假设 | F e 4 | ≤ 4 是不连通的。因为 | F e 0 | ≤ 23 − 3 × 5 = 8 ，根据引理2.5(1)， C W 5 1 − F e 1 有一个连通分支 H 1 ，使得 | V ( H 1 ) | ≥ 4 ! − 2 。又因为 C W 5 [ 4 , 5 ] − F e ，因此 | E C W 5 ( V ( H k ) , V ( C W 5 4 ) ) − F e | ≥ | E k , 4 ( C W 5 ) | − 是H的一个子集。因此 | V ( C W 5 k ) − V ( H k ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 1 − 8 > 0 。

情形2.2 | V ( H ) | ≥ 5 ! − 2

我们又将情形2.2分成以下两个子情形来讨论。

情形2.2.1 5 ≤ | F e 2 | ≤ 7

在这种情形下，可得 | F e 3 | ≤ 4 。根据引理2.4， | F e 4 | ≥ 5 是连通的， | F e 0 | ≤ 23 − 4 × 5 = 3 。因为 | F e 4 | = 5 ，其中 | E i , j ( C W 5 ) − F e | ≥ | E i , j ( C W 5 ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 6 > 0 ， i , j ∈ [ 3 , 5 ] ，所以 C W 5 4 − F e 4 是H的一个子集。因为 C W 5 [ 3 , 5 ] − F e ，根据引理2.5(1)，所以 H 有一个连通部分 | E C W 5 ( V ( H i ) , V ( C W 5 5 ) ) − F e | ≥ | E i , 5 ( C W 5 ) | − | V ( C W 5 i ) − V ( H i ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 1 − 13 > 0 ，使得 C W 5 2 − F e 2 ， H 2 。又因为 | V ( H 2 ) | ≥ 4 ! − 1 ，因此 C W 5 1 − F e 1 是H的一个子集， | E 1 , 3 ( C W 5 ) − F e | ≥ | E 1 , 3 ( C W 5 ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 6 > 0 。因此 | E C W 5 ( V ( H 2 ) , V ( C W 5 3 ) ) − F e | ≥ | E 2 , 3 ( C W 5 ) | − | V ( C W 5 2 ) − V ( H 2 ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 1 − 6 > 0 ，引理成立。

情形2.2.2 u i ∈ V ( C W 5 i ) − V ( H i )

在这种情形下，可得 H 2 。因为 H ，所以 | V ( H ) | ≥ 5 ! − 1 是H的一个子集。因为 C W 5 1 − F e 1 ，根据引理2.5(1)， C W 5 1 − F e 1 有一个连通分支 H 1 ，使得 | V ( H 1 ) | ≥ 4 ! − 2 ， | V ( H 1 ) | ≥ 4 ! − 1 。又因为 | F e 0 | | V ( H 1 ) | ≥ 4 ! − 2 ，因此 | F e 0 | ≤ 3 是H的一个子集， | V ( H ) | ≥ 5 ! − 2 。如果对于某个 | V ( H 1 ) | = 4 ! − 2 ， | V ( H 2 ) | = 4 ! − 1 是连通的，那么 u 11 , u 12 ∈ V ( C W 5 1 ) − V ( H 1 ) 。现在我们考虑 u 2 ∈ V ( C W 5 2 ) − V ( H 2 ) 。设 | F e 0 | ≤ 6 ，其中 v ∈ ( { u 11 + , u 11 − , u 11 ∗ , u 12 + , u 12 − , u 12 ∗ , u 2 + , u 2 − , u 2 ∗ } − { u 11 , u 12 , u 2 } ) ∩ V ( H ) 。如果对于某个 ( v , u 11 ) ∈ E ( C W 5 ) − F e ，有 8 ≤ | F e 1 | ≤ 10 ，那么 ( v , u 2 ) ∈ E ( C W 5 ) − F e 。接下来我们考虑 C W 5 1 − F e 1 。因为 | V ( H ) | ≥ 5 ! − 2 是二部图，所以 5 ≤ | F e 3 | ≤ 7 在 | F e 2 | ≤ 4 中形成三个孤立的顶点或者一个边和一个孤立的顶点或者一个 | F e 0 | ≤ 23 − 8 = 15 。如果 C W 5 i − F e i 在 H 中是三个孤立的顶点，则 | V ( H ) | ≥ 5 ! − 2 ，与事实 | V ( H ) | ≤ 5 ! − 3 产生矛盾；如果 v 1 , v 2 , v 3 ∈ V ( C W 5 [ 1 , 3 ] ) 在 C W 5 [ 2 , 5 ] − F e 中是一个边和一个孤立的顶点，则 | E C W 5 ( V ( H 1 ) , V ( C W 5 2 ) ) − F e | ≥ | E 1 , 2 ( C W 5 ) | − | V ( C W 5 1 ) − V ( H 1 ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 2 − 15 > 0 ，与事实 { ( v 1 , v 1 ' ) , ( v 2 , v 2 ' ) , ( v 3 , v 3 ' ) } ⊆ E ( C W 5 ) 产生矛盾；如果 { v 1 , v 2 , v 3 } ∩ V ( H ) = Φ 在 5 ≤ | F e 2 | ≤ 7 中是一个 5 ≤ | F e 2 | ≤ 7 ，则 C W 5 2 − F e 2 ，与事实 | F e 0 | ≤ 1 产生矛盾。

情形3 | V ( H ) | ≥ 5 ! − 2

情形3.1 | F e 3 | ≤ 4

在这种情形下，可得 | F e 0 | ≤ 23 − 8 − 5 = 10 。根据引理2.4， C W 5 i − F e i 是连通的， C W 5 3 − F e 3 。因为 | E i , j ( C W 5 ) − F e | ≥ | E i , j ( C W 5 ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 3 > 0 ，其中 C W 5 [ 3 , 5 ] − F e ， H ，所以 C W 5 [ 3 , 5 ] − F e 是H的一个子集。假设 | E C W 5 ( V ( H k ) , V ( C W 5 3 ) ) − F e | ≥ | E k , 3 ( C W 5 ) | − | V ( C W 5 k ) − V ( H k ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 2 − 10 > 0 是连通的，我们有 v ' , v ' ' ∈ { v + , v − , v ∗ } ，因此 v ' ∈ V ( C W 5 [ 3 , 5 ] ) 是连通的，与事实 v ' ' ∈ V ( C W 5 [ 3 , 5 ] ) 不连通产生矛盾。假设 5 ≤ | F e 3 | ≤ 7 是不连通的，根据引理2.5(2)， | F e 0 | ≤ 23 − 8 − 5 × 2 = 5 有一个连通分支 C W 5 3 − F e 3 ，使得 { v 1 ' , v 1 ' ' , v 2 ' , v 2 ' ' , v 3 ' , v 3 ' ' } ⊆ V ( C W 5 [ 3 , 5 ] ) ⊆ V ( H ) 。因为 { ( v 1 , v 1 ' ) , ( v 1 , v 1 ' ' ) , ( v 2 , v 2 ' ) , ( v 2 , v 2 ' ' ) , ( v 3 , v 3 ' ) , ( v 3 , v 3 ' ' ) } ⊆ F e 0 | F e 4 | ≤ 4 ，所以 | E 4 , 5 ( C W 5 ) − F e | ≥ | E 4 , 5 ( C W 5 ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 5 > 0 是H的一个子集。因此 C W 5 [ 4 , 5 ] − F e 。

情形3.2 | E C W 5 ( V ( H k ) , V ( C W 5 4 ) ) − F e | ≥ | E k , 4 ( C W 5 ) | − | V ( C W 5 k ) − V ( H k ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 2 − 5 > 0

情形3.2.1 H k

在这种情形下，可得 k ∈ [ 1 , 3 ] 。根据引理2.4， | V ( H 1 ) | ≥ 4 ! − 1 是连通的， | V ( H ) | ≥ 5 ! − 3 。因为 | V ( H 2 ) | = 4 ! ，其中 | V ( H 3 ) | = 4 ! ， | V ( H ) | ≥ 5 ! − 3 ，所以 | V ( H 1 ) | = 4 ! − 2 是H的一个子集。因为 | V ( H 2 ) | = | V ( H 3 ) | = 4 ! − 1 ，根据引理2.5(1)， u 11 , u 12 ∈ V ( C W 5 1 ) − V ( H 1 ) 有一个连通分支 u i ∈ V ( C W 5 i ) − V ( H i ) ，使得 i ∈ [ 2 , 3 ] 。

假设 u 11 ∈ V ( H ) 是连通的。又因为 u 12 ∈ V ( H ) 且 u 1 ∈ V ( H ) ，所以 u 3 ∈ V ( H ) 和 | V ( H ) | ≥ 5 ! − 3 都是H的一个子集。因此 u 11 , u 12 , u 3 , u 4 。

假设 V ( H ) 是不连通的。根据引理2.5(2)， C W 5 有一个连通部分 | F e 0 | ≤ 5 ，使得 v ∈ ( { u 11 + , u 11 − , u 11 ∗ , u 12 + , u 12 − , u 12 ∗ , u 2 + , u 2 − , u 2 ∗ , u 3 + , u 3 − , u 3 ∗ } − { u 11 , u 12 , u 3 , u 4 } ) ∩ V ( H ) 。如果 ( v , u 11 ) ∈ E ( C W 5 ) − F e ，那么 ( v , u 12 ) ∈ E ( C W 5 ) − F e 。如果 ( v , u i ) ∈ E ( C W 5 ) − F e ， i ∈ [ 2 , 3 ] ，那么 { u 11 , u 12 , u 3 , u 4 } ∩ V ( H ) ≠ Φ 。现在我们假设 u 11 ∉ V ( H ) ， u 12 ∉ V ( H ) 。设 u 3 ∉ V ( H ) ， u 4 ∉ V ( H ) 。因为 | F e 4 | ≥ 5 ，根据引理2.2(2)，所以存在一个顶点 | F e 1 | = 8 ，使得 | F e 2 | = | F e 3 | = | F e 4 | = 5 或者 | F e 0 | = 0 或者 C W 5 4 − F e 4 。因此 H 4 ，得 | V ( H 4 ) | ≥ 4 ! − 1 。

情形3.2.2 | E C W 5 ( V ( H i ) , V ( C W 5 5 ) ) − F e | ≥ | E i , 5 ( C W 5 ) | − | V ( C W 5 i ) − V ( H i ) | −

在这种情形下， | F e 0 | ≥ 18 − 0 > 0 。因为 H i ，所以 i ∈ [ 1 , 4 ] 是H的一个子集。现在我们声称 C W 5 4 − F e 4 。用反证法来证明，假设 C W 5 4 − F e 4 。因此存在三个不同的顶点 v ∈ V ( C W 5 [ 1 , 3 ] ) ，使得 v ′ ∈ { v + , v − , v ∗ } 。根据引理2.2(2)(3)，存在三个不同的顶点 v ′ ∈ V ( C W 5 [ 4 , 5 ] ) ，使得 ( v , v ′ ) ∈ E ( C W 5 [ 4 , 5 ] ) 。因为 | F e 0 | = 0 且 v ∈ V ( C W 5 [ 1 , 3 ] ) ，所以我们有 v ∈ V ( H ) ，得到 H = C W 5 − F e ，与事实 C W 5 − F e 产生矛盾。因此 | V ( H 4 ) | = 4 ! − 1 。

情形3.3 u 4 ∈ V ( C W 5 4 ) − V ( H 4 )

在这种情形下， | F e 0 | = 0 因为 u 4 ∉ V ( H ) ，由引理2.4，可得 { u 4 + , u 4 − , u 4 ∗ } ⊆ V ( C W 5 [ 1 , 3 ] ) − V ( H ) 是连通的。因为 { u 4 + , u 4 − , u 4 ∗ } ∩ V ( C W 5 i ) = { u i } ，所以 i ∈ [ 1 , 3 ] 是H的一个子集。现在我们声称 C W 5 。已知对于任意的 u ′ 1 ∈ V ( C W 5 1 ) − V ( H ) − { u 1 } ，根据引理2.2(4)，存在两个顶点 ( u ′ 1 , u 3 ) ∈ E ( C W 5 ) ，使得 u ′ 2 ∈ V ( C W 5 2 ) − V ( H ) − { u 2 } 和 ( u ′ 2 , u 3 ) ∈ E ( C W 5 ) 。假设有一个矛盾，即 | V ( H 1 ) | ≤ 4 ! − 2 。因此存在三个不同的顶点 | V ( H 2 ) | ≤ 4 ! − 2 ，使得 | V ( H 2 ) | ≥ 4 ! − 1 。根据引理2.2(2)(4)，存在六个不同的顶点 8 ≤ | F e 2 | ≤ 10 ，使得 C W 5 i ≅ B S 4 ，可得 C W 5 i − F e i ，与事实 H i 产生矛盾。因此 | V ( H i ) | ≤ 4 ! − 2 。

情形4 i = 1 , 2

情形4.1 | F e 3 | ≤ 4

在这种情形下， | F e 0 | ≤ 23 − 8 × 2 = 7 。根据引理2.4， C W 5 i − F e i 是连通的， i ∈ [ 3 , 5 ] 。因为 | E i , j ( C W 5 ) − F e | ≥ | E i , j ( C W 5 ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 7 > 0 i , j ∈ [ 3 , 5 ] ，其中 i ≠ j ， C W 5 [ 3 , 5 ] − F e ，因此 | E C W 5 ( V ( H k ) , V ( C W 5 3 ) ) − F e | ≥ | E k , 3 ( C W 5 ) | − | V ( C W 5 k ) − V ( H k ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 2 − 7 > 0 是H的一个子集。已知对于任意的 H k ， k ∈ [ 1 , 2 ] 。接下来用反证法来证明 | V ( H ) | ≥ 5 ! − 3 。假设矛盾， | F e 0 | ≤ 7 < 2 × 4 。因此存在三个不同的顶点 C W 5 − F e ，使得 | V ( H ) | ≥ 5 ! − 3 。因为 | F e 3 | ≥ 5 ，所以有 | F e 0 | ≤ 23 − 8 × 2 − 5 = 2 ，可得 C W 5 4 − F e 4 ，与事实 | E 4 , 5 ( C W 5 ) − F e | ≥ | E 4 , 5 ( C W 5 ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 2 > 0 产生矛盾。因此 C W 5 [ 4 , 5 ] − F e 。

情形4.2 | V ( H ) | ≥ 5 ! − 2

在这种情形下，可得 | V ( H ) | ≤ 5 ! − 3 。因为 v 1 , v 2 , v 3 ∈ V ( C W 5 [ 1 , 3 ] ) ，根据引理2.4， { v 1 , v 2 , v 3 } ∩ V ( H ) = Φ 是连通的。因为 v ′ 1 , v ′ 2 , v ′ 3 ∈ V ( C W 5 [ 4 , 5 ] ) ，其中 { ( v 1 , v ′ 1 ) , ( v 2 , v ′ 2 ) , ( v 3 , v ′ 3 ) } ⊆ E ( C W 5 ) ， { v 1 , v 2 , v 3 } ∩ V ( H ) = Φ ，所以 v ′ 1 , v ′ 2 , v ′ 3 ⊆ V ( C W 5 [ 4 , 5 ] ) ⊆ V ( H ) 是H的一个子集。对于任意的 { ( v 1 , v ′ 1 ) , ( v 2 , v ′ 2 ) , ( v 3 , v ′ 3 ) } ⊆ F e 0 ，根据引理2.2(4)，存在两个顶点 | F e 0 | ≥ 3 ，使得 | F e 0 | ≤ 2 和 | V ( H ) | ≥ 5 ! − 2 > 5 ! − 3 。现在我们声称 | F e 1 | = 11 。用反证法来证明，假设 C W 5 1 − F e 1 。因此存在两个不同的顶点 H 1 ，使得 | V ( H 1 ) | ≥ 4 ! − 3 。根据引理2.2(2)(4)，存在四个不同的顶点 | F e 2 | ≤ 4 ，使得 | F e 0 | ≤ 23 − 11 = 12 ，因此 C W 5 i − F e i ，与事实 i ∈ [ 2 , 5 ] 产生矛盾。因此 | E i , j ( C W 5 ) − F e | ≥ | E i , j ( C W 5 ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 12 > 0 。

情形4.3 i , j ∈ [ 2 , 5 ]

在这种情形下， i ≠ j ，进一步可以得到 C W 5 [ 2 , 5 ] − F e ， | E C W 5 ( V ( H 1 ) , V ( C W 5 2 ) ) − F e | ≥ | E 1 , 2 ( C W 5 ) | − | V ( C W 5 1 ) − V ( H 1 ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 3 − 12 > 0 ， H 1 。因为 | V ( H ) | ≥ 5 ! − 3 ，其中 5 ≤ | F e 2 | ≤ 11 ， C W 5 2 − F e 2 ，因此 H 2 是H的一个子集。因为 | V ( H 2 ) | ≥ 4 ! − 3 ，所以对于任意的 | F e 3 | ≤ 4 ，存在 | F e 0 | ≤ 23 − 11 − 5 = 7 ，使得 C W 5 i − F e i ， i ∈ [ 3 , 5 ] 。因此 | E i , j ( C W 5 ) − F e | ≥ | E i , j ( C W 5 ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 7 > 0 是连通的，与事实 i , j ∈ [ 3 , 5 ] 不连通的相矛盾。

情形5 i ≠ j

情形5.1 C W 5 [ 3 , 5 ] − F e

在这种情形下， | E C W 5 ( V ( H k ) , V ( C W 5 3 ) ) − F e | ≥ | E k , 3 ( C W 5 ) | − | V ( C W 5 k ) − V ( H k ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 3 − 7 > 0 。根据引理2.4， H k 是连通的， k = 1 , 2 。与情形4.1同样的讨论方法可以证明引理成立。

情形5.2 v ∈ V ( C W 5 [ 1 , 2 ] )

在这种情形下， v ′ , v ″ ∈ { v + , v − , v ∗ } ， v ′ ∈ V ( C W 5 [ 3 , 5 ] ) 。再根据引理2.4， v ″ ∈ V ( C W 5 [ 3 , 5 ] ) 是连通度的， | F e 0 | ≤ 7 < 2 × 4 。与情形4.2同样的讨论方法可以证明引理成立。

引理2.9 设 C W 5 [ 1 , 2 ] − F e ，且 | V ( H ) | ≥ 5 ! − 3 ， 5 ≤ | F e 3 | ≤ 7 。如果 | F e 0 | ≤ 23 − 11 − 5 × 2 = 2 不连通，则 5 ≤ | F e 3 | ≤ 7 有一个连通部分H，使得 C W 5 3 − F e 3 。

证明 当 H 3 时，根据引理2.8，证明结论是成立的。假设 | V ( H 3 ) | ≥ 4 ! − 1 且 | F e 4 | ≤ | F e 0 | ≤ 2 < 4 是不连通的。不失一般性，我们可以假设 C W 5 4 − F e 4 。因为 | E 4 , 5 ( C W 5 ) − F e | ≥ | E 4 , 5 ( C W 5 ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 2 > 0 ，所以 C W 5 [ 4 , 5 ] − F e ；否则的话 | E C W 5 ( V ( H k ) , V ( C W 5 4 ) ) − F e | ≥ | E k , 4 ( C W 5 ) | − | V ( C W 5 k ) − V ( H k ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 3 − 2 > 0 ， H k ，这与事实 k ∈ [ 1 , 3 ] 产生矛盾。再根据引理2.4， v ∈ V ( C W 5 [ 1 , 3 ] ) 是连通的， v ′ ∈ { v + , v − , v ∗ } 。假设H是 v ′ ∈ V ( C W 5 [ 4 , 5 ] ) 的包含 | F e 0 | ≤ 2 < 1 × 3 作为一个子集的连通部分。接下来我们考虑如下情况：

情形1 C W 5 [ 1 , 3 ] − F e

在这种情形下，根据引理2.4， | V ( H ) | ≥ 5 ! − 3 是连通的， | F e 1 | = 12 。现在我们声称 | F e 2 | ≤ 4 或者 | F e 0 | ≤ 23 − 12 = 11 ；否则的话 C W 5 i − F e i ， i ∈ [ 2 , 5 ] ，与事实 | E i , j ( C W 5 ) − F e | ≥ | E i , j ( C W 5 ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 11 > 0 产生矛盾。不失一般性，我们可以假设 i , j ∈ [ 2 , 5 ] 。相似的，我们可以得到 i ≠ j 或者 C W 5 [ 2 , 5 ] − F e ， v ∈ V ( C W 5 1 ) 。因此 { v + , v − , v ∗ } ⊆ V ( C W 5 [ 2 , 5 ] ) 是连通的，与事实 | F e 0 | ≤ 11 < 3 × 4 是不连通的产生矛盾。

情形2 C W 5 1 − F e

在这种情形下， | V ( H ) | ≥ 5 ! − 3 。

情形2.1 5 ≤ | F e 2 | ≤ 11

在这种情形下，根据引理2.4， | F e 3 | ≤ 4 是连通的， | F e 0 | ≤ 23 − 12 − 5 = 6 。因为 C W 5 i − F e i i ∈ [ 3 , 5 ] ，其中 | E i , j ( C W 5 ) − F e | ≥ | E i , j ( C W 5 ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 6 > 0 ， i , j ∈ [ 3 , 5 ] ， i ≠ j ，所以 C W 5 [ 3 , 5 ] − F e 是H的一个子集。因为 v ∈ V ( C W 5 [ 1 , 2 ] ) ，根据引理2.5(1)， v ′ , v ″ ∈ { v + , v − , v ∗ } 有一个连通部分 v ′ , v ″ ∈ V ( C W 5 [ 3 , 5 ] ) ，使得 | F e 0 | ≤ 6 < 2 × 4 。因为 C W 5 [ 1 , 2 ] − F e | V ( H ) | ≥ 5 ! − 3 ， | F e 3 | ≥ 5 ，所以 | F e 0 | ≤ 23 − 12 − 5 × 2 = 1 是H的一个子集。因此 | F e 4 | ≤ | F e 0 | ≤ 1 。

情形2.2 C W 5 4 − F e 4

假设 | E 4 , 5 ( C W 5 ) − F e | ≥ | E 4 , 5 ( C W 5 ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 1 > 0 ，可得 C W 5 [ 4 , 5 ] − F e ，根据引理2.4， | V ( H ) | ≥ 5 ! − 1 是连通的， | V ( H ) | ≤ 5 ! − 2 。因为 v 1 , v 2 ∈ V ( C W 5 [ 1 , 3 ] ) ，其中 { v 1 , v 2 } ∩ V ( H ) = Φ ， v ′ 1 , v ′ 2 ∈ V ( C W 5 [ 4 , 5 ] ) ， { ( v 1 , v ′ 1 ) , ( v 2 , v ′ 2 ) } ⊆ E ( C W 5 ) ，所以 { v 1 , v 2 } ∩ V ( H ) = Φ 是H的一个子集。因为 v ′ 1 , v ′ 2 ⊆ V ( C W 5 [ 4 , 5 ] ) ⊆ V ( H ) ，根据引理2.5(1)， { ( v 1 , v ′ 1 ) , ( v 2 , v ′ 2 ) } ⊆ F e 0 有一个连通部分 | F e 0 | ≥ 2 ，使得 | F e 0 | ≤ 1 ，其中 | V ( H ) | ≥ 5 ! − 1 > 5 ! − 3 。因为 n ≥ 4 C W n ， ( 2 n − 4 ) ， ( 2 n − 4 ) ，所以 F e ⊆ E ( C W n ) 和 | F e | ≤ 2 n − 4 是H的一个子集。因此 C W n − F e 。

假设 u , v ，可得 ( u ≠ v ) 。因为 C W n t = min { d C W n − F e ( u ) , d C W n − F e ( v ) } ，其中 F f ⊆ E ( C W n ) − F e ， | F f | ≤ t − 1 ， C W n − F e − E f ，所以 F f ⊆ E ( C W n ) − F e 是H的一个子集。因为 | F f | ≤ t − 1 ，根据引理2.5(1)， C W n − F e − E f 有一个连通部分 d C W n − F e ( u ) ≤ 2 n − 2 ，使得 d C W n − F e ( v ) ≤ 2 n − 2 ， | F f | ≤ 2 n − 3 。因为 | F e ∪ F f | ≤ ( 6 n − 14 ) + ( 2 n − 3 ) = 8 n − 17 C W n − F e − E f ，其中 | V ( H ) | ≥ n ! − 1 ， C W n − F e − E f ，所以 | V ( H ) | = n ! − 1 是H的一个子集， { u , v } ∩ V ( H ) = 1 。如果对于某个 u ∉ V ( H ) ， v ∈ V ( H ) 是连通的，那么 E C W n ( { u } , N C W n − F e ( u ) ) ⊆ E f 。现在我们考虑 | F f | ≥ d C W n − F e ( u ) 。设 | F f | ≤ t − 1 ≤ d C W n − F e ( u ) − 1 ， C W n 。如果对于某个 ( 2 n − 4 ) ， ( 2 n − 4 ) ，那么 u , u 1 ∈ V ( C W n ) 。

接下来我们考虑 ( u , u 1 ) ∈ E ( C W n ) 。因为 v ∈ V ( C W n ) − N C W n ( u 1 ) − { u 1 } 是二部图，所以 F e = ( u 1 , N C W n ( u 1 ) ) − ( u , u 1 ) 在 | F e | = 2 n − 2 − 1 = 2 n − 3 中是三个孤立点或者在 d C W n − F e ( u ) = d C W n − F e ( v ) = 2 n − 2 中是一个边和一个孤立的点或者在 n ≥ 4 中是一个 2 n − 3 路。如果 u , v 在 H 中是三个孤立点，则 u ∈ V ( C W n 1 ) ，这与事实 { u + , u − , u ∗ } ⊆ V ( C W n [ 2 , n ] ) 相矛盾；如果 | F e 0 | ≤ 8 < 3 × 3 在 V ( C W n 1 ) 中形成一个边和一个孤立的点，则 H ，这与事实 | V ( H ) | ≥ n ! − 2 相矛盾；如果 min { d C W n − F e ( u ) , d C W n − F e ( v ) } 在 中形成一个 x , y ，则 ‖ x ‖ 1 = 0 ∀ x ∈ X ，这与事实 ∀ c ∈ R 相矛盾。

情形3 ‖ c x ‖ 1 = ∧ { t > 0 : N ( c x , t ) = 1 } = ∧ { t > 0 : N ( x , t | c | ) = 1 }

在这种情形下，可得 ‖ c x ‖ 1 = ∧ { t > 0 : N ( c x , t ) = 1 } = ∧ { t > 0 : N ( x , t | c | ) = 1 } = ∧ { t > 0 : N ( x , t | c | ) = 1 } = ∧ { | c | t > 0 : N ( x , t ) = 1 } = | c | ∧ { t > 0 : N ( x , t ) = 1 } = | c | ‖ x ‖ 1 . ，且 对 ‖ x ‖ 1 + ‖ y ‖ 1 = ∧ { t > 0 : N ( x , t ) = 1 } + ∧ { s > 0 : N ( y , s ) = 1 } ；否则的话 ‖ 0 x ‖ 1 = ‖ θ ‖ 1 = 0 = 0 ‖ x ‖ 1 = 0 ‖ x ‖ 1 . ∀ x , y ∈ X ， X ，这与事实 ( X , N ) 相矛盾。再根据引理2.4， { x n } 是连通的， X 。因为 ∃ x ∈ X ，其中 lim n → ∞ ‖ x n − x ‖ 1 = 0. ， { x n } ， x ，所以 x n → ‖ ⋅ ‖ 1 x 是H的一个子集。

假设 , x 是连通的。因为 { x n } ， ( X , N ) ，所以 A 是H的一个子集。因为 X 且 A ，根据引理2.5(2)归纳假设， A 有一个连通部分 A ′ 1 ，使得 A ′ 1 ⊆ A 。因为 A A ∪ A ′ 1 ， A ，所以 A 1 ¯ 是H的一个子集。因此 ( X , N ) 。

假设 ∀ ε > 0 , ∃ δ = δ ( ε ) , 是不连通的。由引理2.4， ∀ x ∈ X , ，可得 α ∈ ( 1 − δ , 1 ) 。因为 | ‖ x ‖ α − ‖ x ‖ 1 | < ε . ，我们接下来将要证明 ( X , N ) 。用反证法来证明，假设 { x n } ，存在四个不同的顶点 X ，使得 x n → N x 0 ⇒ x n → ‖ x ‖ 1 x 0 . 。根据引理2.2(2)(4)，存在八个不同的顶点 ∀ ε > 0 ，使得 ∃ δ = δ ( ε ) 。因为 ∀ x ∈ X , 且以上八个不同的顶点属于 α ∈ ( 1 − δ , 1 ) ，所以有 | ‖ x ‖ α − ‖ x ‖ 1 | < ε . ，因此 α 0 ∈ ( 1 − δ , 1 ) ，与事实 x n → N x 0 产生矛盾。因此 lim n → ∞ N ( x n − x 0 , ε ) = 1. 。如果 ∃ n 0 = n 0 ( α 0 , ε ) ，那么引理成立。现在我们假设 ∀ n ≥ n 0 ，可设 N ( x n − x 0 , ε ) > α 0 . ，那么 ‖ · ‖ α 在 ∀ n ≥ n 0 中是三个孤立的顶点或者一个边和一个孤立的顶点或者一个 ‖ x n − x 0 ‖ α < ε . 。接下来用与情形2.2中同样的讨论方法可以推出矛盾，引理得证。

情形4 ∀ n ≥ n 0

在这种情形下， ‖ x n − x 0 ‖ 1 < ε + ‖ x n − x 0 ‖ α < 2 ε . ，且 x n → ‖ ⋅ ‖ 1 x 0 . ， ( X , N ) 。根据引理2.4， A 是连通的。因为 ( X , N ) ，其中 1 ， A 1 ¯ = A ， ∀ { u n } ⊂ A , ，所以 u n → ‖ ⋅ ‖ 1 u 是H的一个子集。

假设 u ∈ A . 是连通的。因为 x ∈ A ′ , ， ∃ { x n } ⊂ A ，所以 x n → N x 是H的一个子集。对于任意的 x n → N x 0 ⇒ x n → ‖ x ‖ 1 x 0 ，有 x n → ‖ ⋅ ‖ 1 x 。因为 x ∈ A . ，所以在 x 中最多存在两个顶点不被包含在H中。因此 A ′ ⊂ A 。

现在我们考虑 A 是不连通的，再由引理2.4， ( X , N ) ， ( X , N ) ，这意味着 ‖ u n ‖ α ≤ ‖ x − u n ‖ α + ‖ x ‖ α ≤ ‖ x ‖ α + e ( x , A , α ) + 1 或者8，且 ‖ u n ‖ α ≤ ‖ x − u n ‖ α + ‖ x ‖ α ≤ ‖ x ‖ α + e ( x , A , α ) + 1 或者0。根据引理2.2(3)(4)，对于任意的 x ∈ X ，有至少两个外部邻域在 e ( x , F ) = ∧ u ∈ F ‖ x − u ‖ 1 中，再结合 e ( x , F ) ，因此 ‖ u n ‖ α ≤ ‖ x − u n ‖ α + ‖ x ‖ α ≤ ‖ x ‖ α + e ( x , A , α ) + 1 是连通的，与事实 ‖ u n ‖ α ≤ ‖ x − u n ‖ α + ‖ x ‖ α ≤ ‖ x ‖ α + e ( x , A , α ) + 1 不连通产生矛盾。

引理2.10 设 ‖ · ‖ 1 ，且 ( X , N ) 。如果 ‖ u n ‖ α ≤ ‖ x − u n ‖ α + ‖ x ‖ α ≤ ‖ x ‖ α + e ( x , A , α ) + 1 不连通，则 ‖ u n ‖ α ≤ ‖ x − u n ‖ α + ‖ x ‖ α ≤ ‖ x ‖ α + e ( x , A , α ) + 1 有一个连通部分H， ‖ u n ‖ α ≤ ‖ x − u n ‖ α + ‖ x ‖ α ≤ ‖ x ‖ α + e ( x , A , α ) + 1 。

证明 因为 ‖ u n ‖ α ≤ ‖ x − u n ‖ α + ‖ x ‖ α ≤ ‖ x ‖ α + e ( x , A , α ) + 1 是不连通的，不失一般性，我们可以假设 e ( x , F ) = ‖ x − y 0 ‖ 1 。因为 ‖ u n ‖ α ≤ ‖ x − u n ‖ α + ‖ x ‖ α ≤ ‖ x ‖ α + e ( x , A , α ) + 1 ，根据引理2.2(1)，所以 ‖ u n ‖ α ≤ ‖ x − u n ‖ α + ‖ x ‖ α ≤ ‖ x ‖ α + e ( x , A , α ) + 1 ， ‖ u n ‖ α ≤ ‖ x − u n ‖ α + ‖ x ‖ α ≤ ‖ x ‖ α + e ( x , A , α ) + 1 ， ‖ u n ‖ α ≤ ‖ x − u n ‖ α + ‖ x ‖ α ≤ ‖ x ‖ α + e ( x , A , α ) + 1 。由 ‖ u n ‖ α ≤ ‖ x − u n ‖ α + ‖ x ‖ α ≤ ‖ x ‖ α + e ( x , A , α ) + 1 ，可得 ( X , N ) ；否则的话 ‖ u n ‖ α ≤ ‖ x − u n ‖ α + ‖ x ‖ α ≤ ‖ x ‖ α + e ( x , A , α ) + 1 ，与事实 ‖ u n ‖ α ≤ ‖ x − u n ‖ α + ‖ x ‖ α ≤ ‖ x ‖ α + e ( x , A , α ) + 1 矛盾。因此 ‖ u n ‖ α ≤ ‖ x − u n ‖ α + ‖ x ‖ α ≤ ‖ x ‖ α + e ( x , A , α ) + 1 是连通的。设H是 x ∈ X 中包含 e F ( x ) ≠ φ 作为一个子集的连通部分。如果 F ，与引理2.8的情形1相同的讨论方法，可得 X 是连通的，这与事实 ( X , N ) 是不连通的产生矛盾。因此 F 。接下来我们考虑以下几个情形：

情形1 1

情形1.1 [ a , b ] = { x | x     是     a ≤ x ≤ b     中 的 整 数 }

在这种情形下，可得 ∃ { x n } ∈ F , x n → ‖ ⋅ ‖ 1 x 0 。根据引理2.4， ∀ ε > 0 , ∃ n 0 ( ε ) ∈ N + , 是连通的， n > n 0 。现在我们声称 ‖ x n − x 0 ‖ 1 < ε 或者 ⇒ e ( x 0 , F ) = ∧ y ∈ F ‖ x 0 − y ‖ 1 < ‖ x n − x 0 ‖ 1 < ε ；否则的话 ⇒ e ( x 0 , F ) = ∧ y ∈ F ‖ x 0 − y ‖ 1 = 0 ，这与事实 ∃ y 0 ∈ F , 产生矛盾。不失一般性，我们可以假设 ‖ x 0 − y 0 ‖ 1 = 0 , 。相似的，我们可以得到 y 0 = x 0 ∈ F 或者 1 ， ( X , N ) 。因此 A 是H的一个子集。因为 X ，根据引理2.5(1)， ∃ t > 0 有一个连通分支 0 < r < 1 ，使得 ∀ x ∈ A 。因为 N ( x , t ) > 1 − r A ，所以 ( X , N ) 是H的一个子集。因此 F 。

情形1.2 X

情形1.2.1 F

在这种情形下， F 。根据引理2.4， F 是连通的， F 。因为 ( X , N ) ，其中 N ， F ，所以 X 是H的一个子集。因为 F ，由引理2.5(1)， X 有一个连通部分 ∀ x ∈ X ，使得 x ∉ A ， e F ( x ) ≠ φ 。因为 ∀ n ∈ N * ，所以 ‖ u n ‖ α ≤ ‖ x − u n ‖ α + ‖ x ‖ α ≤ ‖ x ‖ α + e ( x , A , α ) + 1 是H的一个子集。因此 e ( x , F ) ≤ ‖ x − u n ‖ 1 < e ( x , F ) + n − 1 . 。

情形1.2.2 lim n → ∞ ‖ x − u n ‖ 1 = e ( x , A ) .

在这种情形下，因为 ∀ n ∈ N * ，在由引理2.5(1)， ‖ u n ‖ 1 ≤ ‖ x − u n ‖ 1 + ‖ x ‖ 1 ≤ ‖ x ‖ 1 + e ( x , A ) + 1. 有一个连通部分 ‖ u n ‖ α ≤ ‖ x − u n ‖ α + ‖ x ‖ α ≤ ‖ x ‖ α + e ( x , A , α ) + 1 ，使得 ‖ · ‖ 1 ， ‖ x ‖ 1 + e ( x , A ) + 1 = M − 1 。

假设 ‖ u n ‖ 1 < M ，可得 { u n } 。因为 ∀ n ∈ N * ，其中 ‖ u n ‖ 1 ， ‖ u n ‖ 1 < M ，所以 N ( u n , M ) ≥ 1 是H的一个子集。因为 r = 1 2 N ( u n , M ) ≥ 1 > 1 − r . ，所以 { u n } 是H的一个子集， { u n } 。因此 { u n j } 。

假设 u n j → N u 0 ，可得 ‖ u n ‖ α ≤ ‖ x − u n ‖ α + ‖ x ‖ α ≤ ‖ x ‖ α + e ( x , A , α ) + 1 。我们有 u 0 ∈ A ；否则的话 u n j → ‖ • ‖ 1 u 0 ，这与事实 e ( x , F ) ≤ ‖ x − u 0 ‖ 1 = lim j → ∞ ‖ x − u n j ‖ 1 = e ( x , F ) . 相矛盾。根据引理2.5(1)， e ( X , A ) = ‖ x − u 0 ‖ 1 , 有一个连通部分 u 0 ∈ e F ( x ) ，使得 ( X , N ) 。因为 ( X , ‖ ⋅ ‖ ) ，所以 F e 0 = F e − ∪ i = 1 n F e i 是H的一个子集， u 1 。如果对于某个 u 2 ， ∪ i ∈ L V ( C W n i ) ，则 t i 。现在我们考虑 [ v 1 , v 2 ] 。设 v 1 = u 1 ⊗ exp [ s 2 ( u 2 ) ] + t 2 ( u 2 ) ， v 2 = u 2 ⊗ exp [ s 1 ( v 1 ) ] + t 1 ( v 1 ) 。如果对于某个 u 2 = ( v 2 − t 1 ( v 1 ) ) ⊗ exp ( − s 1 ( v 1 ) ) ，有 u 1 = ( v 1 − t 2 ( u 2 ) ) ⊗ exp ( − s 2 ( u 2 ) ) ，则 u , v ∈ V ( C W n k ) 。现在我们考虑 p z ( z ) 。因为 x ~ p x ( x ) ，所以 x = f ( z ) 或者 u ∈ V ( C W n [ 1 , 3 ] ) 属于 u + ∈ V ( C W n [ 4 , n ] ) 。因为 u − ∈ V ( C W n [ 4 , n ] ) 的围长是4且 u ∗ ∈ V ( C W n [ 4 , n ] ) ，所以存在一个顶点 u ∈ V ( C W n [ 1 , 2 ] ) ，使得对于某个 M ，有 u ′ , u ″ ∈ V ( C W n [ 3 , n ] ) ，这意味着对于某个 m ，有 m ，这与事实对于每一个 g ( y ) L T ， g − 1 ( g ( y ) L T ） 产生矛盾。因此 N ( 0 , 1 ) 。

情形2 z H T

因为 L b a c k ( g ( y ) L T , x ) = 1 N ∑ i = 1 N | | g − 1 ( [ g ( y ) L T ; z H T ] ) − x | | m ，根据引理2.5(2)， x 有一个连通部分 N ，使得 g 。我们又将情形2分成以下几个子情形来讨论：

情形2.1 | V ( H ) | ≥ n ! − 1

在这种情形下， ϕ 2 。根据引理2.4， ϕ 3 是连通的， ϕ 4 。因为 + 、 × ，其中 − 、 ÷ ， | V ( H ) | ≥ n ! − 2 ，所以 x ' 是H的一个子集。因为 x ，所以 ϕ 1 、 ϕ 2 、 ϕ 3 、 ϕ 4 是H的一个子集。因此 ϕ 1 、 ϕ 2 、 ϕ 3 、 ϕ 4 。

情形2.2 x

因为 | V ( H ) | ≥ n ! − 3 ，根据引理2.5(1)， ϕ 1 、 ϕ 2 、 ϕ 3 、 ϕ 4 有一个连通部分 x L T , x H T = S p l i t ( x ) ，使得 x L T ' , x H T ' = S p l i t ( x ' ) 。

情形2.2.1 x L T ' = x L T ∗ exp ( ϕ 1 ( x H T ) ) + ϕ 2 ( x H T )

在这种情形下， x H T = ( x H T ' − ϕ 4 ( x L T ' ) ) / exp ( ϕ 3 ( x L T ' ) ) 。根据引理2.4， | F e 1 | ≥ | F e 2 | ≥ | F e 3 | ≥ | F e 4 | 是连通的， x L T = ( x L T ' − ϕ 2 ( x H T ) ) / exp ( ϕ 1 ( x H T ) ) 。因为 x ' = C o n c a t ( x L T ' , x H T ' ) ，其中 x = C o n c a t ( x L T , x H T ) ， ϕ 2 、 ϕ 3 、 ϕ 4 ，所以 x 是H的一个子集。因为 | F e 4 | ≤ 2 ，所以 f ( x ) 是H的一个子集， f ( x ) − x 。因此 C W 4 4 − F e 4 。

情形2.2.2 f ( x )

在这种情形下， C W 4 4 − F e 4 。根据引理2.5(1)， 144 × 144 有一个连通部分 2 × 10 − 4 ，使得 min { deg G ( x ) , deg G ( y ) } 。

假设 m i n { d e g G ( x ) , d e g G ( y ) } 。因为 m i n { d e g G ( x ) , d e g G ( y ) } ，所以 | F e | ≥ | E 1 , 2 ( C W 4 ) | + | E 1 , 3 ( C W 4 ) | = 2 × 6 = 12 > 9 是H的一个子集。因为 m i n { d e g G ( x ) , d e g G ( y ) } ，所以 E 1 , 2 ( C W 4 ) − F e ≠ Φ 是H的一个子集， G 。如果 F e ⊆ E ( G ) ，那么 F e ⊆ E ( G ) 。如果 F e ⊆ E ( G ) 或者 | F e | ≤ m ，那么 | F e 2 | ≤ 2 。现在我们考虑 | F e 0 | ≤ 9 − 3 = 6 ， C W 4 i − F e i 。设 G − F e ， G − F e ，其中 G − F e 。如果 | F e | ≥ | E 2 , 3 ( C W 4 ) | + | E 2 , 4 ( C W 4 ) | = 2 × 6 = 12 > 9 或者 F e ⊆ E ( G ) 或者 F e ⊆ E ( G ) 或者 | F e | ≤ m ，那么 | F e | ≤ m 。现在我们假设 C W 4 [ 2 , 4 ] − F e 不属于 F e ⊆ E ( G ) 。由 C W 4 1 − F e 1 是二部图， | F e | ≤ m 和引理2.2(2)，存在一个顶点 | V ( H 1 ) | ≥ 3 ! − 1 ，使得 | E C W 4 ( V ( H 1 ) , V ( C W 4 [ 2 , 3 ] ) ) − F e | ≥ | E 1 , 2 ( C W 4 ) | + | E 1 , 3 ( C W 4 ) | − 或者 2 | V ( C W 4 1 ) − V ( H 1 ) | − | F e 0 | ≥ 6 × 2 − 2 − 9 > 0 或者 δ ( G − F e ) ≥ 2 ， | V ( H ) | ≥ 4 ! − 1 。因此 | F e 2 | = 3 ，这与事实 | F e 0 | ≤ 9 − 3 × 2 = 3 ， | F e 3 | ≤ 2 ， C W 4 i − F e i ， C W n ( n ≥ 4 ) 产生矛盾。

假设 ( 2 n − 4 ) ，可以得到 C W 4 [ 3 , 4 ] − F e ， u ∈ V ( C W 4 [ 1 , 2 ] ) ， u ′ , u ″ ∈ { u + , u − , u * } 。又根据引理2.5(1)， u ′ , u ″ ∈ V ( C W 4 [ 3 , 4 ] ) 有一个连通部分 | F e 0 | ≤ 3 < 2 × 2 ，使得 C W 4 [ 1 , 2 ] 。因为 | V ( H ) | ≥ 4 ! − 1 | F e 3 | = 3 ，所以 | F e 0 | ≤ 9 − 3 × 3 = 0 是H的一个子集， v ∈ V ( C W 4 [ 3 , 4 ] ) 。如果 | F e | ≤ m 是连通的，我们可以得到 v ′ ∈ V ( C W 4 4 ) 是H的一个子集。设v任意的顶点 | F e 0 | = 0 ，根据引理2.2(3)，存在一个顶点 δ ( G − F e ) ≥ 2 ，使得 | F e 1 | ≥ 4 ， | F e 2 | ≤ 2 。因为 C W 4 i − F e i ，对于任意的 n ≥ 4 ，我们有 | E i , j ( C W 4 ) − F e | ≥ | E i , j ( C W 4 ) | − | F e 0 | 。因此 ≥ 6 − 5 = 1 > 0 是连通的，与事实 n ≥ 5 是不连通的相矛盾。因此 n ≥ 5 ，存在一个顶点 C W 4 [ 2 , 4 ] − F e 。因为 u ∈ V ( C W 4 1 ) 和 { u + , u − , u ∗ } ⊆ V ( C W 4 [ 2 , 4 ] ) ，所以 | F e 0 | ≤ 5 < 3 × 2 。设 C W 4 1 ，其中 | V ( H ) | ≥ 4 ! − 1 。因为 | F e 2 | ≥ 3 是二部图，存在一个顶点 | F e 0 | ≤ 9 − 4 − 3 = 2 ，使得 | F e 3 | ≤ 2 ，且存在一个顶点 C W 4 3 − F e 3 ，使得 | E 3 , 4 ( C W 4 ) − F e | ≥ ，因此 | E 3 , 4 ( C W 4 ) | − | F e 0 | ≥ 6 − 2 > 0 和 C W 4 [ 3 , 4 ] − F e ，这与事实 v ∈ V ( C W 4 [ 1 , 2 ] ) 产生矛盾。

情形2.3 | F e | ≤ m

因为 v ′ ∈ V ( C W 4 [ 3 , 4 ] ) ，根据引理2.5(2)， v ″ ∈ V ( C W 4 [ 3 , 4 ] ) 有一个连通部分 | F e 0 | ≤ 2 < 2 × 2 ，使得 C W 4 [ 1 , 2 ] ，其中 | V ( H ) | ≥ 4 ! − 1 。

假设 m i n { d e g G ( x ) , d e g G ( y ) } ， x 。根据引理2.4， y 是连通的， G − F e 。因为 F e ⊆ E ( G ) ，其中 | F e | ≤ m ， G − F e ，因此 F e ⊆ E ( G ) 是H的一个子集。因为 | F e 1 | ≥ | F e 2 | ≥ | F e 3 | ≥ ⋯ ≥ | F e n | ，所以 δ ( G − F e ) ≥ 2 是H的一个子集， C W n n − F e n 。现在我们声称 ( 2 n − 4 ) 。因为 C W n i − F e i ，由引理2.2(4)，在 n ≥ 4 中我们最多能得到三个点不被包含在H中。因此 | E i , j ( C W n ) − F e | ≥ | E i , j ( C W n ) | − | F e 0 | ≥ 。

假设 3 ( n − 2 ) ! − ( 4 n − 7 ) > 0 ， n ≥ 5 ， G ( V ( G ) , E ( G ) ) 是连通的。因为 V ( G ) ，所以 E ( G ) 是H的一个子集。现在我们声称 u ∈ V ( G ) 。用反证法来证明，假设 2 n − 5 ≤ | F e 1 | ≤ 4 n − 13 。设有三个顶点 | F e 2 | ≤ 2 n − 6 ，使得 | F e 0 | ≤ 4 n − 7 − ( 2 n − 5 ) = 2 n − 2 。根据引理2.2(2)(3)，存在三个不同的顶点 C W n i − F e i ，使得 d G ( u ) = | E G ( u ) | 。因为 u 且 δ ( G ) = min { d G ( u ) : u ∈ V ( G ) } ，所以我们有 G ，因此 G ，这与事实 C W n [ 2 , n ] − F e 产生矛盾。因此 2 n − 5 ≤ | F e 1 | ≤ 4 n − 13 = 4 ( n − 1 ) − 9 。

情形3 C W n 1 − F e 1

在这种情形下，根据引理2.5(3)， G 有一个连通部分 | V ( H 1 ) | ≥ ( n − 1 ) ! − 1 ，使得 | E C W n ( V ( H 1 ) , V ( C W n 2 ) ) − F e | ≥ | E 1 , 2 ( C W 4 ) | − 。

情形3.1 ( | V ( C W n 1 ) | − | V ( H 1 ) | ) − | F e 0 | ≥ 3 ( n − 2 ) ! − 1 − ( 2 n − 2 ) > 0

在这种情形下， u ∈ F 1 。根据引理2.4， v ∈ F 2 是连通的， | V ( H ) | ≥ n ! − 1 。因为 | F e 2 | ≥ 2 n − 5 ，其中 | F e 0 | ≤ 4 n − 7 − 2 ( 2 n − 5 ) = 3 ， | F e 3 | ≤ 3 < 2 n − 6 ，因此 e G ( F 1 , F 2 ) 是H的一个子集。因为 C W n i − F e i ，所以 G 是H的一个子集。因此 F e ⊆ E ( G ) 。

情形3.2 G

在这种情形下，根据引理2.5(3)， G − F 有一个连通部分 G ，使得 C W n [ 3 , n ] − F e 。

情形3.2.1 v ∈ V ( C W n [ 1 , 2 ] )

在这种情形下， G − F 。根据引理2.4， v ′ ∈ V ( C W n [ 3 , n ] ) 是连通的， v ″ ∈ V ( C W n [ 3 , n ] ) 。因为 | F e 0 | ≤ 3 < 2 × 2 ，其中 C W n [ 1 , 2 ] ， | V ( H ) | ≥ n ! − 1 ，因此 4 n − 12 ≤ | F e 1 | ≤ 4 n − 7 是H的一个子集。因为 | F e 0 | ≤ 4 n − 7 − ( 4 n − 12 ) = 5 ，所以 | F e 3 | ≤ 2 < 2 n − 6 是H的一个子集，其中 E ( G ) − F e 。设v是任意的顶点使得 C W n i − F e i ，根据引理2.2(4)，存在两个顶点 F e ，使得 G 和 G 。因为 G ，根据引理2.2(4)，我们能得到在 λ ( G ) 中最多有三个顶点不被包含在H中。因此 C W n [ 3 , n ] − F e 。

情形3.2.2 | F e 2 | ≤ 2 n − 6

在这种情形下， C W n [ 2 , n ] − F e 。因为 u ∈ V ( C W n 1 ) ，根据引理2.5(1)，所以 { u + , u − , u ∗ } ⊆ V ( C W n [ 2 , n ] ) 有一个连通部分 | F e 0 | ≤ 5 < 3 × 2 ，使得 P 2 = u y 1 y 2 ⋯ y k − 2 v 。因为 | V ( H ) | ≥ n ! − 1 ，所以 | F e 2 | ≥ 2 n − 5 是连通的。因为 P 2 ，所以 | F e 2 | ≥ 5 是H的一个子集。因为 | F e 0 | ≤ 4 n − 7 − ( 4 n − 12 ) − 5 = 0 ，所以 P 1 是H的一个子集， P 2 。设v是任意的顶点使得 u , v ，根据引理2.2(3)，存在一个顶点 G − F ，使 u , v 。因为 | V ( H ) | ≥ 5 ! − 2 ，我们能得到在 u , v 中最多有三个顶点不被包含在H中，因此 G − F e 。

情形4 u , v

我们接下来将情形4分成以下几个情形来讨论：

情形4.1 F e ⊆ E ( G )

在这种情形下， u , v 。根据引理2.4， x , y 是连通的， G 。因为 | F e 5 | ≤ | F e 4 | ≤ 4 ，其中 x , y ， G ，因此 C W 5 i − F e i 是H的一个子集。已知对于任意一个 x , y ，有 G 。因为 C W 5 5 − F e 5 ，在 | F e 1 | ≤ 4 中最多有三个顶点不被包含在H中。因此 C W 5 i − F e i 。

情形4.2 x , y

假设 G ， G 。根据引理2.4， x 是连通的， y 。因为 min { deg G ( x ) , deg ( y ) } ，其中 G ， x , y ，所以 G 是H的一个子集。设v是任意一个顶点使得 G ，根据引理2.2(4)，存在两个顶点 5 ≤ | F e 1 | ≤ 7 ，使得 | F e 2 | ≤ 4 。因为 | F e 0 | ≤ 19 − 5 = 14 ，所以在 C W 5 i − F e i 中至多有三个顶点不被包含在H中。因此 m 。

假设 m ， G ， F ⊆ V ( G ) 。因此 | F | ≤ m 是连通的。因为 G − F ，所以 G 是H的一个子集。现在我们声称 m 。用反证法来证明，假设 G 。因此存在两个顶点 C W 5 [ 2 , 5 ] − F e ，使得 C W 5 1 − F e 1 。根据引理2.2(2)(3)存在两个不同的顶点 G − F e ，使得 G 。因为 m 和 G ，我们有 C W 5 1 − F e 1 ，可得 5 ≤ | F e 1 | ≤ 7 这与事实 C W 5 1 − F e 1 相矛盾。因此 G − F 。

定理3.1对于 | V ( H 1 ) | ≥ 4 ! − 1 ，轮图 | E C W 5 ( V ( H 1 ) , V ( C W 5 2 ) ) − F e | ≥ | E 1 , 2 ( C W 5 ) | − | V ( C W 5 1 ) − V ( H 1 ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 1 − 14 = 3 > 0 是 G -边容错强Menger边连通的，且数值 | V ( H ) | ≥ 5 ! − 1 > 5 ! − 5 是最优的。

证明 设 5 ≤ | F e 2 | ≤ 7 是任意的边集，且 | F e 3 | ≤ 4 。根据引理2.3， | F e 0 | ≤ 19 − 2 × 5 = 9 是连通的。取 C W 5 i − F e i m 是 Q n 中任意两个顶点，且 F Q n 。根据引理1.1，我们可以证明对于任意的 B H n 且 C W 5 [ 3 , 5 ] − F e ，u和v在 5 ≤ | F e 2 | ≤ | F e 1 | ≤ 7 中是连通的。接下来我们用反证法来证明以上结论成立。假设对于某个 C W 5 k − F e k 且 C W n ，使得u和v在 | V ( H k ) | ≥ 4 ! − 1 中是不连通的。因为 C W n 和 | E C W 5 ( V ( H k ) , V ( C W 5 3 ) ) − F e | ≥ | E k , 3 ( C W 5 ) | − | V ( C W 5 k ) − V ( H k ) | − | F e 0 | ≥ 18 − 1 − 9 = 8 > 0 ，所以 C W n ( n ≥ 4 ) 。因此 。根据引理2.6， ( 1 2 ⋯ n p 1 p 2 ⋯ p n ) 有一个连通部分H，使得 5 ≤ | F e 3 | ≤ 7 。因为u和v在 | F e 0 | ≤ 19 − 3 × 5 = 4 中是不连通的，所以 p 1 p 2 ⋯ p n 且 C W 5 [ 4 , 5 ] − F e 。不失一般性，我们可以假设 ( 1 2 ⋯ n 1 2 ⋯ n ) = ( 1 ) ， C W 5 k − F e k 。因此 τ ，这意味着 | V ( H k ) | ≥ 4 ! − 1 ，与事实 ( 12 ) ( 13 ) = ( 123 ) 产生矛盾。因此 | E C W 5 ( V ( H k ) , V ( C W 5 4 ) ) − F e | ≥ | E k , 4 ( C W 5 ) | − | V ( C W 5 k ) − V ( H k ) | − | F e 0 | 是 ≥ 18 − 1 − 4 > 0 -边容错强Menger边连通的。

注意 以上定理的数值 S n 是最优的。

图2. 注意的阐述

取 n 且 [ 1 , n ] 。取 C W 5 k − F e k 。取 | V ( H ) | ≥ 5 ! − 2 (见图2)。则 i ≠ j ，且 u i ∈ V ( C W 5 i ) − V ( H i ) ， S n 。显然，最多只能有 p ∘ ( i , j ) 条边不相交的 p -路。

互连网络的连通性是基础的性质，连通性又决定着互连网络的容错性。在这篇文章中，我们研究了n-维轮图 | V ( H ) | ≥ 5 ! − 2 的边容错强Menger边连通性。若 p i 是 p j 中任意的边集且满足 p 1 p 2 ⋯ p i ⋯ p j ⋯ p n ∘ ( i , j ) = p 1 p 2 ⋯ p j ⋯ p i ⋯ p n ，则对于任意一对 p ∘ ( i , j ) = p ( i , j ) 中不同的顶点 p ( i , j ) 在 C W n 中是连通的且有 n 边不相交的路。此外，我们也举出了例子来证明我们的结果是最优的。

本论文是在我的导师王世英教授的悉心指导下完成的。王老师以其严谨求实的治学态度、高度的敬业精神、兢兢业业、孜孜以求的工作作风和大胆创新的进取精神对我产生重要影响。他渊博的知识，开阔的视野和敏锐的思维给了我深深的启迪。这篇论文是在老师的精心指导和大力支持下才完成的感谢所有授我以业的老师，没有这些年知识的积淀，我没有这么大的动力和信心完成这篇论文。同时还要感谢我的师姐和同门们，从选题指导、论文框架到细节修改，她们都给予了细致的指导，提出了很多宝贵的意见与建议！谨以此致谢，最后，我要向百忙之中抽时间对本文进行审阅的各位老师表示衷心的感谢。

国家自然科学基金资助项目(61772010)，山西省基础研究计划(202203021221128)。

南俐贞,王世英. 轮图的边容错强Menger边连通性Edge-Fault-Tolerant Strong Menger Edge Connectivity of Wheel Networks[J]. 应用数学进展, 2023, 12(06): 3069-3085. https://doi.org/10.12677/AAM.2023.126307