一个互联网络系统通常会被构建成一个无向连通图 G = ( V ( G ) , E ( G ) ) ，其中 V ( G ) 代表了图的顶点集， E ( G ) 代表着图的边集，顶点和边分别代表着互联网络中的处理器和处理器之间的通信链路。在互联网络中，处理器或者通信链路出现故障是不可避免的，而连通性在衡量互联网络的容错性和可靠性方面起着重要作用。本文我们主要研究一个图G的广义k-连通性。对于图G的一个顶点子集S， κ ( S ) 表示图G中边互不相交树 T 1 , T 2 , ⋯ , T r 的最大数量r，这些树须满足 V ( T i ) ∩ V ( T j ) = S ， ( i , j ∈ [ 1 , r ] , i ≠ j ) 这一条件。对于任意的 2 ≤ k ≤ n ，图G的广义k-连通度 κ k ( G ) 被定义为： κ k ( G ) = m i n   { κ ( S )   |   S ⊆ V ( G ) 且 | S | = k } 。叶形图是一个重要的凯莱图，它有许多非常好的性质。在这篇文章中，我们主要研究了n维叶形图 C F n 的广义3-连通度，证明了 κ 3 ( C F n ) = 3 n − 5 2 (n为大于等于3的奇数)； κ 3 ( C F n ) = 3 n − 6 2 (n为大于等于4的偶数)。

广义连通性，容错性，叶形图，内部互不相交的树

Hongmei Li, Shiying Wang^*

School of Mathematics and Computer Science, Shanxi Normal University, Taiyuan Shanxi

Received: May 28^th, 2023; accepted: Jun. 23^rd, 2023; published: Jun. 30^th, 2023

An interconnection network is usually modeled as an undirected, connected graph G = ( V ( G ) , E ( G ) ) , where V ( G ) represents vertex set, E ( G ) represents edge set, and nodes represent processors, edges represent communication links between processors. In the interconnect network, the failure of processors or communication links is unavoidable. The connectivity plays an important role in measuring the fault tolerance and reliability of interconnection networks. This paper, we mainly study the generalized k-connectivity of a graph G. For any S ⊆ V ( G ) , let κ ( S ) denote the maximum number of edge-disjoint trees T 1 , T 2 , ⋯ , T r in G such that V ( T i ) ∩ V ( T j ) = S for any i , j ∈ [ 1 , r ] and i ≠ j. For every 2 ≤ k ≤ n , the generalized k-connectivity κ k ( G ) is defined as κ k ( G ) = m i n   { κ ( S )   |   S ⊆ V ( G ) and | S | = k } . An n-dimension leaf sort graph C F n is an important Cayley graph, it has many good properties. In this paper, we mainly study the generalized k-connectivity of C F n , proved that: when n is odd, κ 3 ( C F n ) = 3 n − 5 2 ( n ≥ 3 ) ; when n is even, κ 3 ( C F n ) = 3 n − 6 2 ( n ≥ 4 ) .

Keywords:Generalized Connectivity, Fault-Tolerant, Leaf-Sort Graph, Internally Disjoint Trees

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一个互联网络通常会被构建成一个无向图 G = ( V ( G ) , E   ( G ) ) ，其中 V ( G ) 代表了图G的顶点集， E   ( G ) 代表着图G的边集，顶点v和边e分别代表着互联网络中的处理器和处理器之间的通信链路。对于图G的任意一个顶点v，我们用 N G ( v ) 来表示点v的邻域，即和v相连的顶点集，令 N G [ v ] = N G ( v ) ∪ { v } ，用 E G ( v ) 表示和v相连的边集。我们用 d G ( v ) 来表示顶点v在图G中的度， δ ( G ) = min   { d G ( v ) | v ∈ V ( G ) } 表示图G的最小度。在一个图G中，如果任意一个顶点v的度都为k，那么我们就称图G是k正则图。如果 d G ( v ) = 0 ，则v是一个孤立点。对于图G中的任意两个顶点x和y，它们之间的一条路P是一个相邻的顶点序列 〈 x , w 1 , w 2 , ⋯ , w k , y 〉 ，其中 w i 和 w i + 1 是相邻的，且 w i ( i ∈ [ 1 , k ] ) 是互不相同的， w i 被称为路P的内部顶点。对于两条xy-路P和Q，如果它们内部没有公共的顶点，即 V ( P ) ∩ V ( Q ) = { x , y } ，那么我们就称P和Q是内部顶点互不相交的路。令X和Y是图G的两个顶点子集，即 X ⊆ V ( G ) ， Y ⊆ V ( G ) \ X ， ( X , Y ) -路是一组起始顶点在X中，终止端点在Y中的内部顶点互不相交路的集合，且内部顶点都不属于X和Y。如果 X = { x } ，那么 ( x , Y ) -路是一组以x为起点，终止端点在Y中的内部顶点互不相交的路的集合，并且终止端点在Y中是互不相同的，也就是从x到Y的一个k-扇形。在一个图G中，一棵树T代表的是图G中的一个无圈的连通图。在互联网络中，由于处理器或者通信链路会发生故障，所以连通性在衡量互联网络的容错性和可靠性方面起着重要的作用。一个图G的传统连通度 κ ( G ) 被定义为：使得 G − Q 是不连通的或平凡图的Q的阶的最小值，其中Q是G的顶点子集，即 Q ⊆ V ( G ) 。如果 κ ( G ) ≥ k ，则称图G是k连通的。此外，Whitney从局部观点定义了连通性，即：对于任意的一个顶点集 S = { u , v } ⊆ V ( G ) ， κ G ( S ) 表示u和v在图G中内部顶点互不相交路的最大值， κ ( G ) = min { κ G ( S ) | S ⊆ V ( G ) 且 | S | = 2 } 。作为加强连通性的一种方法，Hager在其他作者给出的相同定义中引入了广义连通性。令G是一个n维的

非平凡连通图，对于任意的一个顶点子集 S ⊆ V ( G ) ， T 1 和 T 2 是包含顶点集S的两棵树，如果 T 1 和 T 2 边不相交，且 V ( T 1 ) ∩ V ( T 2 ) = S (注意这两个树在 G − S 中是顶点互不相交的)，那么我们就称 T 1 和 T 2 是内部互不相交的树。设 κ ( S ) 表示G中包含S的内部互不相交的树的最大数值，图G的广义 k -连通性被定义为： κ k ( G ) = min { κ ( S ) | S ⊆ V ( G ) 且 | S | = k } ，其中 2 ≤ k ≤ n 。当 k = 2 时，一个图G的广义2-连通性 κ 2 ( G ) 正是连通性 κ ( G ) ，即 κ 2 ( G ) = κ ( G ) 。关于广义连通性的研究，已有许多结果，见文献 [ 1 ] - [ 14 ] 。此外，还有一些关于图的广义k-连通性的结果，其中大多数是关于 k = 3 的，少部分是关于 k = 4 的。

由于Cayley图具有许多互联网络想要的性质，比如顶点传递性、边传递性、层次结构、高容错性等等，许多研究人员都把Cayley图形作为互联网络的基础拓扑模型。因此研究Cayley图形的广义k-连通性是非常有意义的。设X是一个有限群，S是X的一个子集，Cayley有向图 C a y   ( X , S ) 是一个以X为顶点

集，以 { ( g , g s ) | g ∈ X , s ∈ S } 为弧集的有向图。显然，如果 S = S − 1 ，其中 S − 1 = { s − 1 | s ∈ S } ，则 C a y   ( X , S ) 可以变成一个无向图。现在，我们考虑当群X是一个置换群时，Cayley图 C a y   ( X , S ) 。我们用 S n 来表示由 {   1 , 2 , ⋯ , n   } 上的所有置换，用 p 1 p 2 ⋯ p n 来表示置换 ( 1 p 1 2 p 2 ⋯ ⋯ n p n ) ，置换 ( i , j ) 也被称为对换，注意：是交换位置i和j上的元素的置换(不交换元素i和j)，即 ( p 1 ⋯ p i ⋯ p j ⋯ p n )   ( i   j ) = ( p 1 ⋯ p j ⋯ p i ⋯ p n ) 。根据代数学的有关知识我们知道， { ( 1 i ) : i = 2 , 3 , ⋯ , n   } 是对称群 S n 的一个生成集。因此， { ( 1 i ) : i = 2 , 3 , ⋯ , n   } ∪ {   ( j   ( j + 1 ) ) : j = 2 , 4 , ⋯ , n − 1   } (n是奇数)和 { ( 1 i ) : i = 2 , 3 , ⋯ , n   } ∪ { ( j   ( j + 1 )   ) : j = 2 , 4 , ⋯ , n − 2   } (n是偶数)也是 S n 的一个生成集，n维叶形图 C F n 的定义如下：

定义1 [ 15 ] 当n为奇数时，n维叶形图 C F n 是一个以 S n 为顶点集，以 { ( u , v ) | u = v     ( 1 i )   ( i ∈ [ 2 , n ] ) ， u = v   ( i   ( i + 1 ) ) ( i ∈ { 2 , 4 , ⋯ , n − 1 } ) } 为边集的图；当n为偶数时，n维叶形图 C F n 是一个以 S n 为顶点集，以 { ( u , v ) | u = v   ( 1 i ) ( i ∈ [ 2 , n ] ) ,   u = v   ( i   ( i + 1 ) ) ( i ∈ { 2 , 4 , ⋯ , n − 2 } ) } 为边集的图。

接下来我们介绍一下 C F n 的层次结构。我们可以根据每个顶点最后一个位置上的数把叶形图 C F n 划分成n个不同的子图： C F n − 1 1   ,   C F n − 1 2   ,   ⋯     ,     C F n − 1 n ，例如：i子图 C F n − 1 i 里每一个顶点的最后一个位置上的数都是固定的i (i是从1到n中的任意一个数)。很显然，对于 i ∈ [ 1 , n ] ，每一个 C F n − 1 i 跟 C F n − 1 是同构的 [ 15 ] 。为了方便，我们简单的表示为： C F n = C F n − 1 1 ⊕ C F n − 1 2 ⊕ ⋯ ⊕ C F n − 1 n ，其中 ⊕ 只表示 C F n 的相应分解。任意一条边都有两个端点，我们把两个端点位于不同子图的边称为外部边。如果两条边不相邻(没有公共的顶点)，我们就称它们是不相关的。对于任意子图里面的顶点u，我们用 u + 表示 u   ( 1 , n ) ，用 u − 表示 u   ( ( n − 1 )     n   ) ，令 N u + = { u + ,     u − } 。对于 [ 1 , n ] 里的任意两个整数 i   ,   j ，我们把i子图和j子图之间所有连着的外部边用 E i , j     ( C F n   ) = E C F n   ( V   ( C F n − 1 i )   ,   V   ( C F n − 1 j ) ) 来表示；对于任意的 I ⊆ [ 1 , n ] ，我们用 C F I 来表示以 ∪ r ∈ I V   ( C F n − 1 r ) 诱导出来的子图。根据 C F n 的定义我们知道，当n是奇数的时候， C F n 是一个包含了 n   ! 个顶点的 3 n − 3 2 正则图；当n是偶数的时候， C F n 是一个包含了 n   ! 个顶点的 3 n − 4 2 正则图。图1分别画出了2维、3维、4维的叶形图 C F 2 ， C F 3 和 C F 4 。

引理1 [ 15 ] 令 C F n = C F n − 1 1 ⊕ C F n − 1 2 ⊕ ⋯ ⊕ C F n − 1 n ，其中 n ≥ 4 ， C F n − 1 i 同构于 C F n − 1   ( i ∈ { 1 , 2 , ⋯ , n } ) ，则下列的结论是成立的：

1) 当n是奇数时，两个不同的子图 C F n − 1 i 之间存在着 2   ( n − 2 )   ! 条独立的交叉边；当n是偶数时，两个不同的子图 C F n − 1 i 之间存在着 ( n − 2 )   ! 条独立的交叉边；

图1. 叶形图CF₂、CF₃、CF₄

2) 对于i子图 C F n − 1 i 里面的任意两个不同的点u、v，当n是奇数时，我们有 N u + ∩ N v + = ϕ ；当n是偶数时， u + ≠ v + ；

3) 若v是i子图 C F n − 1 i 里面的任意一个点，那么：当n是奇数时， v + 和 v − 属于两个不同的子图 C F n − 1 j ′ s ，其中 j ≠ i ；当n是偶数时， v + 属于 C F n − 1 j ，其中 j ≠ i ；

引理2 [ 7 ] 令G是一个连通图， δ 是这个图的最小的度，那么就会有 κ 3 ( G ) ≤ δ 。此外，如果在图G中有两个度为 δ 的顶点相邻，那么 κ 3 ( G ) ≤ δ − 1 。

引理3 [ 7 ] 令G是一个具有n个顶点的连通图，如果 κ ( G ) = 4 k + r ，其中k和r是满足 k ≥ 0 、 r ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 } 的两个整数，那么 κ 3 ( G ) ≥ 3 k + ⌈ r 2 ⌉ 。同时，这个下界是最优的。

引理4 [ 16 ] 令 G = ( V ( G )   ,   E ( G ) ) 是一个k连通的图，X和Y是G的一个顶点集，并且满足 | X | ≤ k 、 | Y | ≤ k ，那么在图G中就会存在k对互不相交的 ( X , Y ) -路。

引理5 [ 16 ] 令 G = ( V ( G )   ,   E ( G ) ) 是一个k连通的图，x是G中的任意一个顶点， Y ⊆ V ( G ) \ { x } 是G中一个至少包含k个顶点的顶点子集，那么在图G中就会存在一个从x到Y的k-扇形。也就是说，在G中会存在k条内部顶点互不相交的 ( x , Y ) -路，它们的终止端点在Y中是互不相同的。

引理6 [ 15 ] 令 C F n 是一个n维叶形图 ( n ≥ 2 ) ，当n是奇数时， C F n 的连通度 κ ( C F n ) = 3 n − 3 2 ；当n是偶数时， C F n 的连通度 κ ( C F n ) = 3 n − 4 2 。

引理7 令 C F n = C F n − 1 1 ⊕ C F n − 1 2 ⊕ ⋯ ⊕ C F n − 1 n ，在不同子图 C F n − 1 i 、 C F n − 1 j ( i ≠ j ) 中任意取两个点x、y，它们最多有一个公共的外部邻域。

证明：当n为偶数时，由 C F n 的定义可知，每一个点只有一个外部邻域，所以结论成立。我们接下来运用反证法来证明当n是奇数时，结论也是成立的。不失一般性，我们假设 x = x 1 x 2 ⋯ x n − 1 1 ∈ V ( C F n − 1 1 ) 、 y = y 1 y 2 ⋯ y n − 1 2 ∈ V ( C F n − 1 2 ) ，那么我们能够得到： x + = 1 x 2 x 3 ⋯ x n − 1 x 1 、 x − = x 1 x 2 ⋯ 1 x n − 1 、 y + = 2 y 2 ⋯ y y n − 1 1 、 y − = y 1 y 2 ⋯ 2 y n − 1 ，所以 x + ≠ y + ， x − ≠ y − 。又由引理1(3)可知： x + ≠ x − 。如果x和y有两个公共的外部邻域，则 { x + ,   x − } = { y + ,   y − } 。因为 x + ≠ x − 、 x + ≠ y + 、 x − ≠ y − ，所以 x + = y − 、 x − = y + ，即 x + = 1 x 2 x 3 ⋯ x n − 1 1 = y − = y 1 y 2 ⋯ 2 y n − 1 、 x − = x 1 x 2 ⋯ 1 x n − 1 = y + = 2 y 2 y 3 ⋯ y n − 1 y 1 ，那么就会有 y 1 = 1 ， x n − 1 = 2 ， x 1 = 2 ， y n − 1 = 1 。由于 x n − 1 和 x 1 不能同时等于2，所以矛盾出现，结论成立。

引理8 令 C F n = C F n − 1 1 ⊕ C F n − 1 2 ⊕ ⋯ ⊕ C F n − 1 n ， H = C F n − 1 i 1 ⊕ C F n − 1 i 2 ⊕ ⋯ ⊕ C F n − 1 i s 是由 ∪ j = 1 s V ( C F n − 1 i j ) 诱导出来的子图，其中 i 1 , i 2 , ⋯ , i s ∈ { 1 , 2 , ⋯ , n } ，那么 κ ( H ) ≥ 3 n − 7 2 (n是大于等于5的奇数)； κ ( H ) ≥ 3 n − 6 2 (n是大于等于6的偶数)。

证明：不失一般性，令 H = C F n − 1 1 ⊕ C F n − 1 2 ⊕ ⋯ ⊕ C F n − 1 i ，x和y是H中的任意两个点，为了证明引理中的结论，我们只需要证明：在H中，x和y之间存在 3 n − 7 2 (n为大于等于5的奇数)和 3 n − 6 2 (n为大于等于6的偶数)条内部顶点互不相交的路即可。根据H的构造可得：当n为奇数时， δ ( H ) ≥ 3 n − 7 2 ；当n为偶数时， δ ( H ) ≥ 3 n − 6 2 。我们分下列两种情况来讨论：

情况1：x和y属于同一个子图 C F n − 1 i 。

由引理6可知：当n为奇数时， κ ( C F n − 1 i ) = 3 ( n − 1 ) − 4 2 = 3 n − 7 2 ；当n为偶数时， κ ( C F n − 1 i ) = 3 ( n − 1 ) − 3 2 = 3 n − 6 2 。所以在 C F n − 1 i 中，x和y之间能够找到 3 n − 7 2 (n为奇数)和 3 n − 7 2 (n为偶数)条内部顶点互不相交的路，引理得证。

情况2：x和y属于不同的子图 C F n − 1 i 和 C F n − 1 j ( i ≠ j ) 。

不失一般性，我们令 x ∈ V ( C F n − 1 1 ) ， y ∈ V ( C F n − 1 2 ) 。当n为大于等于5的奇数时，在 V ( C F n − 1 1 ) \ { x } 中选择 3 n − 7 2 个点 x i ( 1 ≤ i ≤ 3 n − 7 2 ) ，使得这些点的一个外部邻域 x ′ i 在子图 C F n − 1 2 中，并且在 C F n − 1 2 中的邻域不能是y (由引理1(1)可知， 2 ( n − 2 ) !     ≥     3 n − 7 2 + 2 ，所以我们可以找到 x i 这些点)。令 X 1 = { x 1 , x 2 , ⋯ , x 3 n − 7 2 } ， X 2 = { x ′ 1 , x ′ 2 , ⋯ , x ′ 3 n − 7 2 } ，由引理5可知，在 C F n − 1 1 中存在 3 n − 7 2 条从x到 X 1 的内部顶点互不相交的路 P i ( i ∈ { 1 , 2 , ⋯ , 3 n − 7 2 } ) ；在 C F n − 1 2 中存在 3 n − 7 2 条从y到 X 2 的内部顶点互不相交的路 Q i ( i ∈ { 1 , 2 , ⋯ , 3 n − 7 2   } ) 。令 P i ¯ = x P i x i x ′ i Q i y ( i ∈ { 1 , 2 , ⋯ , 3 n − 7 2 } ) ，那么在H中存在 3 n − 7 2 条内部顶点互不相交的路。

当n为大于等于6的偶数时，同样的方法，在 V ( C F n − 1 1 ) \ { x } 中选择 3 n − 6 2 个顶点 x i ( 1 ≤ i ≤ 3 n − 6 2 ) ，使得这些点的一个外部邻域 x i + 在子图 C F n − 1 2 中，并且在 C F n − 1 2 中的邻域不能是y(由引理1(1)可知， ( n − 2 )   !   ≥   3 n − 6 2 + 2 ，所以我们可以找到 x i 这些点)。令 X 1 = { x 1 , x 2 , ⋯ , x 3 n − 6 2 } ， X 2 = { x ′ 1 , x ′ 2 , ⋯ , x ′ 3 n − 6 2 } ，由引理5可知，在 C F n − 1 1 中存在 3 n − 6 2 条从x到 X 1 的内部顶点互不相交的路 P i ( i ∈ { 1 , 2 , ⋯ , 3 n − 6 2   } ) ；在 C F n − 1 2 中存在 3 n − 6 2 条从y到 X 2 的内部顶点互不相交的路 Q i ( i ∈ { 1 , 2 , ⋯ , 3 n − 6 2   } ) 。令 P ¯ i = x P i x i x i + Q i y ( i ∈ { 1 , 2 , ⋯ , 3 n − 6 2   } ) ，那么在H中存在 3 n − 6 2 条内部顶点互不相交的路。

综上所述，引理得证。

引理9 令 H = C F n − 1 1 ⊕ C F n − 1 2 ⊕ ⋯ ⊕ C F n − 1 i 是由 ∪ j = 1 s V ( C F n − 1 i j ) 诱导出来的子图，x是H中的任意一个顶点，其中 n ≥ 5 。如果 d H ( x ) = k ， Y ⊆ V ( H ) \ { x } ，且满足 | Y | = k ，使得 |   Y ∩ V ( C F n − 1 i j )   | ≤ 3 n − 7 2 (n为奇数)， |   Y ∩ V ( C F n − 1 i j )   | ≤ 3 n − 6 2 (n为偶数)，那么在H中就会存在一个由x到Y的k-扇形。

证明：不失一般性，我们假设 H = C F n − 1 1 ⊕ C F n − 1 2 ⊕ ⋯ ⊕ C F n − 1 l 。令 x ∈ V ( H ) ， d H ( x ) = k ， Y ⊆ V ( H ) \ { x } ，且Y满足： | Y | = k ， |   Y ∩ V ( C F n − 1 j )   | ≤ 3 n − 7 2 (n为奇数)； |   Y ∩ V ( C F n − 1 j )   | ≤ 3 n − 6 2 (n为偶数)，其中 j ∈ [ 1 , l ] 。

则当n为奇数时， 3 n − 7 2 ≤ k ≤ 3 n − 3 2 ；当n为偶数时， 3 n − 6 2 ≤ k ≤ 3 n − 4 2 。下面我们分情况进行讨论：

情况1： k = 3 n − 7 2 (n为奇数)； k = 3 n − 6 2 (n为偶数)。

由引理8可知，当n为奇数时， κ ( H ) ≥ 3 n − 7 2 ；当n为偶数时， κ ( H ) ≥ 3 n − 6 2 。再由引理5可知，当n为奇数时，在H中存在一个由x到H的 3 n − 7 2 -扇形；当n为偶数时，在H中存在一个由x到Y的 3 n − 6 2 -扇形，故引理中的结论成立。

情况2： k = 3 n − 3 2 (n为奇数)； k = 3 n − 4 2 (n为偶数)。

这种情况下，我们把奇数和偶数分开讨论。

当n为奇数时，由于 k = d H ( x ) = 3 n − 3 2 ，则x的两个外部邻域 x + ， x − 都在H中。由引理1(3)可知， x + 和 x − 属于两个不同的子图，我们假设 x ∈ V ( C F n − 1 1 ) ， x + ∈ V ( C F n − 1 2 ) ， x − ∈ V ( C F n − 1 3 ) 。令 Y ∩ V ( C F n − 1 j ) = M j ， | M j | = m j ，其中 1 ≤ j ≤ l ，则 m j ≤ 3 n − 7 2 ， ∑ j = 1 l m j = 3 n − 3 2 。由于 | Y | = 3 n − 3 2 ， m 1 ≤ 3 n − 7 2 ，所以Y中至少有两个点在 C F n − 1 1 以外。由于 C F n − 1 2 和 C F n − 1 3 比较特殊，包含了x的外部邻域，所以我们对 m 2 和 m 3 进行分类讨论。

情况2.1： m 2 ≥ 1 并且 m 3 ≥ 1 。

当 j ∈ { 2 , 3 } 时，令 m ′ j = m j − 1 ，当 j ∉ { 2 , 3 } 时，令 m ′ j = m j ，则 ∑ j = 1 l m ′ j = 3 n − 7 2 。现在我们在 C F n − 1 1 \ ( M 1 ∪ { x } ) 中选择 l − 1 对不相同的顶点集 A 2   ,   A 3   ,   ⋯   ,   A l ，使得 | A j | = m ′ j ( j ∈ [ 2 , l ] ) ，并且对于 A j 中的任意一个点，都有一个外部邻域在 C F n − 1 j \ N x + 中(如图2所示)。由于 2 ( n − 2 )   ! ≥ 3 n − 7 2 + 1 ( n ≥ 5 ) ，所以这些点是可以选择出来的。令 M = M 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ ⋯ ∪ A l ，则 | M | = 3 n − 7 2 。又因为 κ ( C F n − 1 1 ) = 3 n − 7 2 ，由引理5可知，在 C F n − 1 1 中，存在一个由x到M的 3 n − 7 2 -扇形，也就是说，存在 3 n − 7 2 条由x到M的内部顶点互不相交的路，且路的终止端点在M中是互不相同的，记为 P 1 , P 2 , ⋯ , P 3 n − 7 2 。

令 A ′ j = { y ′ |     y ′ 是 y ∈ A j 的外部领域， y ′ ∈ V ( C F n − 1 j ) } ， E j = { y y ′ ∈ E   ( C F n ) | y ∈ A j , y ′ ∈ A ′ j   } ， A ″ 2 = A ′ 2 ∪ { x + } ， A ″ 3 = A ′ 3 ∪ { x − } 。则 | A ″ 2 | = m 2 ， | A ″ 3 | = m 3 。当 j ∈ { 2 , 3 } 时，令 A ″ j ∩ M j = M j 0 ， A ″ j \ M j 0 = M j 1 。

当 j ∈ [ 4 , l ] 时，令 A ′ j ∩ M j = M j 0 ， A ′ j \   M j 0 = M j 1 。现在我们假设 M j \ M j 0 = M j 2 ，则 | M j 1 | = | M j 2 | = m j − | M j 0 | 。由引理6可知， κ ( C F n − 1 j ) = 3 n − 7 2 ，则 κ ( C F n − 1 k \ M j 0 ) ≥ 3 n − 7 2 − | M j 0 | ≥ m j − | M j 0 | 。所以由引理4可得，在 C F n − 1 j \ M j 0 中存在 m j − | M j 0 | 对互不相交的 ( M j 1   ,   M j 2 ) -路，记为 Q i ( i ∈ [ 1 , m j − | M j 0 | ]   ) 。

结合 P i 、 E i 、 Q i 和 N x + 可知，在H中存在 3 n − 3 2 条由x到Y的内部顶点互不相交的路，且终止端点在Y中是互不相同的，即存在一个由x到Y的扇形。

情况2.2： m 2 = 0 或者 m 3 = 0 。

不失一般性，我们假设 m 2 = 0 ，接下来我们分为如下三种情况：

情况2.2.1： m 2 = 0 ， m 3 ≥ 2 。

这种情况参照图3，当 j = 3 时，令 m ′ j = m j − 2 ；当 j ≠ 3 时，令 m ′ j = m j 。在 C F n − 1 1 \ ( M 1 ∪ { x } ) 中选择 l − 2 对互不相交的顶点集 A 3 , A 4 , ⋯ , A l ，使得 | A j | = m ′ j ，且 A j 中的任意一个点，都有一个外部邻域属于 C F n − 1 j \ N x + ( j ∈ [ 3 , l ] ) 。由于 2 ( n − 2 )   ! ≥ 3 n − 7 2 + 2 ( n ≥ 5 ) ，所以这些点是可以选择出来的。令 M = M 1 ∪ A 3 ∪ A 4 ∪ ⋯ ∪ A l ，则 | M | = 3 n − 7 2 。由引理5可知，在 C F n − 1 1 中，存在 3 n − 7 2 条由x到M的内部

图2. 情况2.1的图示

顶点互不相交的路，记为： P 1 , P 2 , ⋯ , P 3 n − 7 2 ，这些路的终止端点在M中，并且都是互不相同的。

令 A ′ j = { y ′ |   y ′ 是 y ∈ A j 中的每个顶点在 C F n − 1 j 中的外部邻域 } ， E j = { y y ′ ∈ E   ( C F n ) | y ∈ A j , y ′ ∈ A ′ j   } j ∈ [ 3 , l ] 。令 w ∈ V ( C F n − 1 2 ) ，且w的一个外部邻域 w ′ 在 C F n − 1 3 \     ( A ′ 3 ∪ {   x − } ) 中。由于 2 ( n − 2 )   ! ≥ 3 n − 7 2 + 2 ( n ≥ 5 ) ，所以存在这样的w。又因为 C F n − 1 2 是连通的，所以在 C F n − 1 2 中存在1条由 x + 到w的路，记为： P ′ 。令 A ″ 3 = A ′ 3   ∪ { x − ,   w ′ } ，则 | A ″ 3 | = m 3 。当 j = 3 时，令 A ″ 3 ∩ M 3 = M 30 ， A ″ 3   \ M 30 = M 31 ， M 3 \ M 30 = M 32 。当 j ≠ 3 时，令 A ′ j ∩ M j = M j 0 ， A ′ j \ M j 0 = M j 1 ， M j \ M j 0 = M j 2 。那么就有 | M j 1 | = | M j 2 | = m j − | M j 0 | ( j ∈ [ 3 , l ] ) 。由引理6可知， κ ( C F n − 1 j ) = 3 n − 7 2 ，所以 κ ( C F n − 1 k \ M j 0 ) ≥ 3 n − 7 2 − | M j 0 | ≥ m j − | M j 0 | 。由引理4可知，在 C F n − 1 j \ M j 0 中存在 m j − | M j 0 | 对互不相交的 ( M j 1   ,   M j 2 ) -路，记为 Q i ( i ∈ [ 1 , m j − | M j 0 | ]   ) 。

结合 P i 、 P ′ 、 E i 、 Q i 和 N x + 可知，在H中存在 3 n − 3 2 条由x到Y的内部顶点互不相交的路，且终止端点在Y中是互不相同的，即存在一个由x到Y的扇形。

情况2.2.2： m 2 = 0 ， m 3 = 1 。

由 m 2 = 0 ， m 3 = 1 可知，一定存在一个 C F n − 1 k ( k ∈ [ 4 , l ] ) 使得 m k ≥ 1 。当 j = 3 , k 时，令 m ′ j = m j − 1 ；当 j ≠ 3 , k 时，令 m ′ j = m j 。在 C F n − 1 1 \ (   M 1 ∪ { x }   ) 中选择 l − 2 对互不相同的顶点集 A 3 , A 4 , ⋯ , A l ，使得 | A j | = m ′ j ，且 A j 中的每一个点都会有一个外部邻域属于 C F n − 1 j \ N x + 。由于 2 ( n − 2 )   !     ≥ 3 n − 7 2 + 1 ( n ≥ 5 ) ，所以存在这样的 A j 。令 M = M 1 ∪ A 3 ∪ ⋯ ∪ A l ，则 | M | = 3 n − 7 2 。同理，由于 κ ( C F n − 1 1 ) = 3 n − 7 2 ，所以在 C F n − 1 1 中存在

图3. 情况2.2.1的图示

3 n − 7 2 条由x到M的内部顶点互不相交的路，记为： P 1 , P 2 , ⋯ , P 3 n − 7 2 ，这些路的终止端点都在M中，并且都是互不相同的。令 A ′ j = { y ′ |   y ′ 是 y ∈ A j 中的每个顶点在 C F n − 1 j 中的外部邻域 } ， E j = { y y ′ ∈ E   ( C F n ) | y ∈ A j , y ′ ∈ A ′ j } ( j ∈ [ 3 , l ] ) 。令 w ∈ V ( C F n − 1 2 ) ，且满足w的一个外部邻域 w ′ 在 C F n − 1 k 中，且 w ′   ∉ A ′ k 。由于 C F n − 1 2 是连通的，所以在 x + 和w之间存在一条路 P ′ 。令 A ″ k = A ′ k ∪ { w ′ } ， A ″ 3 = A ′ 3   ∪ {   x − } ，则 | A ″ k | = m k ， | A ″ 3 | = m 3 。接下来的证明过程和情况2.2.1一样。

情况2.2.3： m 2 = 0 ， m 3 = 0 。

这种情况下，会出现两种子情况：1、存在一个子图 C F n − 1 k ，使得 m k ≥ 2 ( k ∈ [ 4 , l ] ) 。2、存在两个子图 C F n − 1 s 和 C F n − 1 t ，使得 m s ， m s ≥ 1 ( s , t ∈ [ 4 , l ] ) ，我们分别进行讨论。

1) 存在一个子图 C F n − 1 k ，使得 m k ≥ 2 k ∈ [ 4 , l ] 。当 j = k 时，令 m ′ j = m j − 2 ；当 j ≠ k 时，令 m ′ j = m j 。跟以上的讨论方法、过程相同，我们可以选择出互不相同的顶点集 A 4 , A 5 , ⋯ , A l 。接着，我们在 C F n − 1 2 中选择一个顶点 w 1 ，使得它的一个外部邻域 w ′ 1 在 C F n − 1 k \ A ′ k 中。同理，在 C F n − 1 3 中选择一个顶点 w 2 ，使得它的一个外部邻域 w ′ 2 在 C F n − 1 k \     ( A ′ k ∪ { x ′ 1 } ) 中。由于 2 ( n − 2 )   !     ≥ 3 n − 7 2 + 1 ( n ≥ 5 ) ，所以 w 1 和 w 2 是可以选择出来的。令 A ″ k = A ′ k   ∪ { x ′ 1 ,   x ′ 2 } ，则 | A ″ k | = m k 。跟上面情况的讨论方法相同，我们可以得到H中的 3 n − 3 2 条由x到Y的内部顶点互不相交的路，且终止端点在Y中是互不相同的。

2) 存在两个子图 C F n − 1 s 和 C F n − 1 t ，使得 m s , m t ≥ 1 ( s , t ∈ [ 4 , l ] ) 。当 j = s , t 时，令 m ′ j = m j − 1 ；当 j ≠ s , t 时，令 m ′ j = m j 。同理，我们也可以选择出互不相同的顶点集 A 4 , A 5 , ⋯ , A l ，使得 | A j | = m ′ j ( j ∈ [ 4 , l ] ) ，且 A j 中的每个顶点都有一个外部邻域在 C F n − 1 j 中。现在在 C F n − 1 2 中选择一个顶点 w 1 ，使得它的一个外部邻域 w 1 ' 在 C F n − 1 s \ A ′ s 中。同理，在 C F n − 1 3 中选择一个顶点 w 2 ，使得它的一个外部邻域 w ′ 2 在 C F n − 1 t \ A ′ t 中。由于 2 ( n − 2 )   !     ≥ 3 n − 7 2 + 1 ( n ≥ 5 ) ，所以 w 1 和 w 2 是可以选择出来的。令 A ″ s = A ′ s ∪ { x ′ 1 } ， A ″ t = A ′ t ∪ { x ′ 2 } ，则 | A ″ s | = m s ， | A ″ t | = m t 。同样的方法，我们可以获得 3 n − 3 2 条内部顶点互不相交路。

当n为偶数时，由于 d H ( x ) = 3 n − 4 2 ，那么 V ( H ) 一定包含了x的外部邻域 x + 。由引理1(3)可知，x和 x + 属于两个不同的子图，假设 x ∈ V ( C F n − 1 1 ) ， x + ∈ V ( C F n − 1 2 ) 。令 Y ∩ V ( C F n − 1 j ) = M j ， | M j | = m j ，则 ∑ j = 1 l m j = 3 n − 4 2 。由于 m 1 ≤ 3 n − 6 2 ，而 | Y | = 3 n − 4 2 ，所以一定有一个Y中的点在 C F n − 1 1 的外部。由于子图 C F n − 1 2 比较特殊，包含了 x + ，所以我们考虑以下两种情况：1、 m 2 ≥ 1 ；2、 m 2 = 0 。

1) m 2 ≥ 1 。当 j = 2 时，令 m ′ j = m j − 1 ；当 j ≠ 2 时，令 m ′ j = m j 。同理，在 C F n − 1 1 \ ( M 1 ∪ { x } ) 中选择 l − 1 对互不相同的顶点集 A 2 , A 3 , ⋯ , A l ，使得 | A j | = m ′ j ( j ∈ [ 2 , l ] ) ，且 A j 中的每个顶点都有一个外部邻域在 C F n − 1 j 中。由于 ( n − 2 )   !     ≥ 3 n − 6 2 + 1 ( n ≥ 6 ) ，所以这些顶点集是可以选择出来的。令 M = M 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ ∪ A l ，则 | M | = 3 n − 6 2 。又因为 κ ( C F n − 1 1 ) = 3 n − 6 2 ，由引理5可知，在 C F n − 1 1 中存在 3 n − 6 2 条内部顶点互不相交的 ( x , M ) -路，记为： P 1 , P 2 , ⋯ , P 3 n − 6 2 ，且终止端点在M中是互不相同的。令 A ′ j = { y + |       y + 是 y ∈ A j 在 C F n − 1 j 的邻域}， E j = { y y + ∈ E   ( C F n ) | y ∈ A j , y + ∈ A ′ j } ( j ∈ [ 2 , l ] ) 。跟情况2.2.2的讨论方法相同，我们可以得到：当n为偶数时，在H中存在 3 n − 4 2 条由x到Y的内部顶点互不相交的路，且终止端点在Y中互不相同。

2) m 2 = 0 。这种情况下，一定有一个 C F n − 1 k ，满足 m k ≥ 1 。同理，跟奇数的证明方法相同，我们也可以得到：在H中存在 3 n − 4 2 条由x到Y的内部顶点互不相交的路，且终止端点在Y中是互不相同的。

情况3： k = 3 n − 5 2 (n为奇数)。

如果 d H ( x ) = 3 n − 5 2 ，则 V ( H ) 中仅仅包含x的一个外部邻域，这里的证明方法和情况2中n为偶数是相似的，我们能够得到在H中一定会存在 3 n − 5 2 条由x到Y的内部顶点互不相交的路，且终止端点在Y中是互不相同的。为了避免过多的重复，我们在这里省去具体的证明过程。

综上可知，引理得证。

引理10：令 H = C F n − 1 i ⊕ C F n − 1 j ，其中 i ≠ j ， n ≥ 5 且n为奇数。如果 x ∈ V ( C F n − 1 i ) ， y ∈ V ( C F n − 1 j ) ，且 d H ( x ) = d H ( y ) = 3 n − 5 2 ，那么在H中就会存在 3 n − 5 2 条内部顶点互不相交的 ( x , y ) -路。

证明：不失一般性，我们假设 H = C F n − 1 1 ⊕ C F n − 1 2 ， x ∈ V ( C F n − 1 1 ) ， y ∈ V ( C F n − 1 2 ) ，且 d H ( x ) = d H ( y ) = 3 n − 5 2 。我们考虑如下两种情况：

情况1：x和y不相邻。

令 Y = N H ( x ) = { y 1   ,   y 2   ,   ⋯   ,   y 3 n − 5 2 } 。由于x和y不相邻，所以 x ∉ Y 。显然， |   Y ∩ V ( C F n − 1 k )   | ≤ 3 n − 7 2 ( k = 1 , 2 ) 。由于 d H ( x ) = 3 n − 5 2 ， | Y | = 3 n − 5 2 ，所以由引理9可知，在H中存在一个由x到Y的 3 n − 5 2 -扇形，记为： P 1 , P 2 , ⋯ , P 3 n − 5 2 。当y不是这些路的内部顶点时，结合y和Y中所连的边，我们可以得到 3 n − 5 2 条内部顶点互不相交的 ( x , y ) -路。当y是这些路的内部顶点时，由于 P 1 , P 2 , ⋯ , P 3 n − 5 2 是内部顶点互不相交的路，所以只可能存在包含y的一条路，假设 P 1 是包含y为内部顶点的路，且路 P 1 的终止端点是 y 1 。则结合 P i 和y到Y中所连的边 ( i ∈ [   2   ,   3 n − 7 2   ] ) ，就会得到 3 n − 7 2 条内部顶点互不相交的 ( x , y ) -路。而 P 1 \ { y 1 } 又是一条 ( x , y ) -路，故在H中存在 3 n − 5 2 条内部顶点互不相交的 ( x , y ) -路。

情况2：x和y相邻。

在 C F n − 1 1 \ { x } 中选择 3 n − 7 2 个顶点 { u 1   ,   u 2   , ⋯   ,   u 3 n − 7 2 } ，使得它们的邻域有一个 u ′ i 在 C F n − 1 2 中。由于对于 n ≥ 5 ， 2 ( n − 2 )   ! ≥ 3 n − 7 2 + 1 ，所以这些点是可以选择出来的。令 U = { u 1   ,   u 2   , ⋯   ,   u 3 n − 7 2 } ， U ′ = { u ′ 1   ,   u ′ 2   , ⋯ ,   u ′ 3 n − 7 2 } 。由于 κ ( C F n − 1 1 ) = κ ( C F n − 1 2 ) = 3 n − 7 2 ，由引理5可知，在 C F n − 1 1 和 C F n − 1 2 中分别存在 3 n − 7 2 条由x到U，y到 U ′ 的内部顶点互不相交的路，记为 P i 1 和 P i 2 ，其中 ( i ∈ [ 1 , 3 n − 7 2 ]   ) 。令 P i ¯ = P i 1 ∪ u i u ′ i ∪ P i 2 ， ( i ∈ [ 1 , 3 n − 7 2 ] ) ，则 P i ¯ 和 x y 是H中x和y之间的 3 n − 5 2 条内部顶点互不相交的路。

引理11：令 C F n = C F n − 1 1 ⊕ C F n − 1 2 ⊕ ⋯ ⊕ C F n − 1 n ， S = { x 1 , x 2 , x 3 } 是 C F n − 1 i 中的任意一个顶点集，其中 x 1 , x 2 , x 3 是 C F n − 1 i 中的任意三个顶点， n ≥ 4 ， 1 ≤ i ≤ n 。如果在 C F n − 1 i 中存在 3 n − 9 2 (n为奇数)和 3 n − 8 2 (n为偶数)条包含S的内部互不相交的树，那么在 C F n 中就会存在包含S的 3 n − 5 2 (n为奇数)和 3 n − 6 2 (n为偶数)条内部互不相交的树。

证明：不失一般性，我们假设 S ⊆ V ( C F n − 1 1 ) ，由已知条件可知：在 C F n − 1 1 中存在 3 n − 9 2 (n为奇数)和 3 n − 8 2 (n为偶数)条包含S的内部互不相交的树，记为： T 1   , T 2   , ⋯ ,   T 3 n − 9 2 (n为奇数)； T 1   , T 2   , ⋯ ,   T 3 n − 8 2 (n为偶数)。下面我们分奇数和偶数来进行讨论：

当n为奇数时，由于每一个 x i 有两个外部邻域 x i + ， x i − ，且由引理1可知，每一个外部邻域都是不同的，所以令 M = { x 1 + ,   x 1 − , x 2 + , x 2 − , x 3 + , x 3 − } 。每一个子图 C F n − 1 i 最多包含M中的三个点，根据这一结论，我们分为以下三种情况进行讨论：

情况1：存在一个子图包含M中的三个点。

令 H = C F n − 1 3 ⊕ C F n − 1 4 ⊕ ⋯ ⊕ C F n − 1 n ，不失一般性，我们假设 { x 1 + ,   x 2 + ,   x 3 + } ⊆ V ( C F n − 1 2 ) 中 { x 1 − ,   x 2 − ,   x 3 − } ⊆ V ( H ) ，中。由于 C F n − 1 2 是连通的，所以在 C F n − 1 2 中存在一条包含 { x 1 + ,   x 2 + ,   x 3 + } 的路，记为： P 1 。令 T 3 n − 7 2 = P 1 ∪ x 1 x 1 + ∪ x 2 x 2 + ∪ x 3 x 3 + ，则 T 3 n − 7 2 是 C F n 中包含S的一棵树。又因为H是连通的，所以在H中也存在一条包含 { x 1 − ,   x 2 − ,   x 3 − } 的路，记为： P 2 。令 T 3 n − 5 2 = P 2 ∪ x 1 x 1 − ∪ x 2 x 2 − ∪ x 3 x 3 − ，则 T 3 n − 5 2 是 C F n 中包含S的一棵树。故在 C F n 中存在 3 n − 5 2 条包含S的内部互不相交的树。

情况2：存在一个子图包含M中的两个点，且其他的子图最多包含M中的两个点。

不失一般性，我们假设 { x 1 +   ,   x 2 + } ⊆ V ( C F n − 1 2 ) ， x 3 + ∈ V ( C F n − 1 3 ) ，又会分为如下两种子情况：

情况2.1： C F n − 1 3 中只包含 M \ {   x 1 +   ,   x 2 +   } 中的一个点 x 3 + 。

令 H = C F n − 1 4 ⊕ C F n − 1 5 ⊕ ⋯ ⊕ C F n − 1 n 。由于 C F n   [ V   ( C F n − 1 2 )     ∪     V ( C F n − 1 3 ) ] 是连通的，所以在 C F n   [ V   ( C F n − 1 2 )     ∪     V ( C F n − 1 3 ) ] 中存在一条包含 { x 1 +   ,   x 2 + ,   x 3 + } 的路，记为： P 1 。则令 T 3 n − 7 2 = P 1 ∪ x 1 x 1 + ∪ x 2 x 2 + ∪ x 3 x 3 + ，则 T 3 n − 7 2 是 C F n 中包含S的一棵树。又因为H是连通的，所以在H中也存在一条包含 { x 1 − ,   x 2 − ,   x 3 − } 的路，记为： P 2 。令 T 3 n − 5 2 = P 2 ∪ x 1 x 1 − ∪ x 2 x 2 − ∪ x 3 x 3 − ，则 T 3 n − 5 2 是 C F n 中包含S的一棵树。故在 C F n 中存在 3 n − 5 2 条包含S的内部互不相交的树。故在 C F n 中存在 3 n − 5 2 条包含S的内部互不相交的树。

情况2.2： C F n − 1 3 中包含 M \ { x 1 + ,   x 2 + } 中的两个点 x 3 + , x 1 − 。

这种情况下，我们又可以分为两种子情况来进行讨论：

情况2.2.1： x 2 − , x 3 − 属于两个不同的子图。

不失一般性，我们令 x 3 − ∈ V ( C F n − 1 4 ) ， x 2 − ∈ V ( C F n − 1 5 ) 。由于 C F n   [   V   ( C F n − 1 2 )     ∪     V ( C F n − 1 4 )   ] 是连通的，所以在 C F n   [ V   ( C F n − 1 2 )     ∪     V ( C F n − 1 4 )   ] 中存在一条包含 { x 1 + ,   x 2 + ,   x 3 − } 的路，记为： P 1 。令 T 3 n − 7 2 = P 1 ∪ x 1 x 1 + ∪ x 2 x 2 + ∪ x 3 x 3 − ，则 T 3 n − 7 2 是 C F n 中包含S的一棵树。又因为 C F n   [ V   ( C F n − 1 3 )     ∪     V ( C F n − 1 5 ) ] 是连通的，所以在 C F n   [ V   ( C F n − 1 3 )     ∪     V ( C F n − 1 5 ) ] 中存在一条包含 { x 1 − ,   x 2 − ,   x 3 + } 的路，记为： P 2 。令 T 3 n − 5 2 = P 2 ∪ x 1 x 1 − ∪ x 2 x 2 − ∪ x 3 x 3 + ，则 T 3 n − 5 2 是 C F n 中包含S的一棵树。故在 C F n 中存在 3 n − 5 2 条包含S的内部互不相交的树。故在 C F n 中存在 3 n − 5 2 条包含S的内部互不相交的树。

情况2.2.2： x 2 − , x 3 − 属于同一个子图。

不失一般性，我们假设 { x 2 − , x 3 − } ⊆ V ( C F n − 1 4 ) 。由题意可知： x 3 + ∈ V ( C F n − 1 3 ) ， x 3 − ∈ V ( C F n − 1 4 ) 。故 x 3 具有 3 i 1 i 2 ⋯ 41 的形式。则 x 3 + 具有 1 i 1 i 2 ⋯ 43 的形式， ( x 3 + ) + ∈ V ( C F n − 1 1 ) ， ( x 3 + ) − ∈ V ( C F n − 1 4 ) 。令 u = x 3 + ( n − 2   , n − 1   ) ，则 u + ∈ V ( C F n − 1 1 ) ， u − ∈ V ( C F n − 1 i ) ( i ≠ 1 , 2 , 3 , 4 ) 。由于 C F n   [ V   ( C F n − 1 2 )     ∪     V ( C F n − 1 i ) ] 是连通的，所以在 C F n   [ V   ( C F n − 1 2 )     ∪     V ( C F n − 1 i ) ] 中存在一条包含 { x 1 + ,   x 2 + ,   u − } 的路，记为： P 1 。令 T 3 n − 7 2 = P 1 ∪ x 1 x 1 + ∪ x 2 x 2 + ∪ x 3 x 3 + ∪     u − u     ∪ u x 3 + ，则 T 3 n − 7 2 是 C F n 中包含S的一棵树。又因为 C F n   [ V   ( C F n − 1 3 )     ∪     V ( C F n − 1 4 ) ] 是连通的，所以在 C F n   [ V   ( C F n − 1 3 )     ∪     V ( C F n − 1 4 ) ] 中存在一条包含 { x 1 − ,   x 2 − ,   x 3 − } 的路，记为： P 2 。令 T 3 n − 5 2 = P 2 ∪ x 1 x 1 − ∪ x 2 x 2 − ∪ x 3 x 3 − ，则 T 3 n − 5 2 是 C F n 中包含S的一棵树。故在 C F n 中存在 3 n − 5 2 条包含S的内部互不相交的树。故在 C F n 中存在 3 n − 5 2 条包含S的内部互不相交的树。

情况3：每一个子图最多包含M中的一个点。

不失一般性，我们假设 x 1 + ∈ V ( C F n − 1 2 ) ， x 2 + ∈ V ( C F n − 1 3 ) ， x 3 + ∈ V ( C F n − 1 4 ) ， x 1 − ∈ V ( C F n − 1 5 ) ， x 2 − ∈ V ( C F n − 1 6 ) ， x 3 − ∈ V ( C F n − 1 7 ) 。由于 C F n   [ ∪ i = 2 4   V   ( C F n − 1 i ) ] 是连通的，所以在 C F n   [ ∪ i = 2 4   V   ( C F n − 1 i ) ] 中存在一条包含 { x 1 + ,   x 2 + ,   x 3 + } 的一条路，记为： P 1 。令 T 3 n − 7 2 = P 1 ∪ x 1 x 1 + ∪ x 2 x 2 + ∪ x 3 x 3 + ，则 T 3 n − 7 2 是 C F n 中包含S的一棵树。

又因为 C F n   [ ∪ i = 5 7   V   ( C F n − 1 i ) ] 是连通的，所以在 C F n   [ ∪ i = 5 7   V   ( C F n − 1 i ) ] 中存在一条包含 { x 1 − ,   x 2 − ,   x 3 − } 的路，记为： P 2 。令 T 3 n − 5 2 = P 2 ∪ x 1 x 1 − ∪ x 2 x 2 − ∪ x 3 x 3 − ，则 T 3 n − 5 2 是 C F n 中包含S的一棵树。故在 C F n 中存在 3 n − 5 2 条包含S的内部互不相交的树。故在 C F n 中存在 3 n − 5 2 条包含S的内部互不相交的树。

当n为偶数时，每一个 x i 只有一个外部邻域，令 M = { x 1 + , x 2 + , x 3 + } 。同样的，每一个子图 C F n − 1 i 最多包

含M中的三个点，根据这一结论，我们也可以分为以下三种情况进行讨论：1) 存在一个子图包含M中的三个点。2) 存在一个子图包含M中的两个点。3) 每一个一个子图最多包含M中的一个点。这三种情

况的证明过程和奇数的证明方法一样，我们可以得到：在 C F n 中存在 3 n − 6 2 条包含M的内部互不相交的树，在这里我们省略具体的证明过程。

综上所述，引理得证。

定理1：对于 n ≥ 3 ， κ 3 ( C F n ) = 3 n − 5 2 (n为奇数)； κ 3 ( C F n ) = 3 n − 6 2 (n为偶数)。

证明：由于 C F n 是 3 n − 3 2 (n为奇数)、 3 n − 4 2 (n为偶数)正则图，所以由引理2可知：当n为奇数时， κ 3 ( C F n ) ≤ δ − 1 = 3 n − 5 2 ；当n为偶数时， κ 3 ( C F n ) ≤ δ − 1 = 3 n − 6 2 。为了证明该定理中的结论，我们只需要证明 κ 3 ( C F n ) ≥ 3 n − 5 2 和 κ 3 ( C F n ) ≥ 3 n − 6 2 即可。接下来我们采用数学归纳法来证明该定理。

当 n = 3 时， C F 3 是一个 3 × 3 − 3 2 = 3 正则图。由引理3可知， κ 3 ( C F 3 ) ≥ 2 。又由引理2可知， κ 3 ( C F 3 ) ≤ 2 。所以 κ 3 ( C F 3 ) = 2 = 3 × 3 − 5 2 ；当 n = 4 时， C F 4 是一个 3 × 4 − 4 2 = 4 正则图。由引理3可知， κ 3 ( C F 4 ) ≥ 3 。又由引理2可知， κ 3 ( C F 4 ) ≤ 3 。所以 κ 3 ( C F 4 ) = 3 = 3 × 4 − 6 2 。

所以，当 n = 3 ， n = 4 时，定理中的结论是成立的。下面假设 n ≥ 5 ，并且定理中的结论对 C F n − 1 成立，我们来证明当 n ≥ 5 时， κ 3 ( C F n ) = 3 n − 5 2 (n为奇数)； κ 3 ( C F n ) = 3 n − 6 2 (n为偶数)。为了方便，我们令 M = { x 1 ,   x 2 , x 3 } 是 C F n 中的任意三个点，根据广义3-连通性的定义可知：我们只需要证明在 C F n 存在包含M的 3 n − 5 2 和 3 n − 6 2 条内部互不相交的树即可(如果存在更多互不相交的树，那么 κ 3 ( C F n ) ≥ 3 n − 5 2 和 κ 3 ( C F n ) ≥ 3 n − 6 2 就会成立)，考虑以下三种情况：

情况1： x 1 ,   x 2 , x 3 属于同一个子图 C F n − 1 i 。

通过归纳假设我们可以知道，在 C F n − 1 i 中存在包含M的 3 ( n − 1 ) − 6 2 = 3 n − 9 2 (n为奇数)和 3 ( n − 1 ) − 5 2 = 3 n − 8 2 (n为偶数)条内部互不相交的树。由引理11可得：在 C F n 中，存在包含M的 3 n − 5 2

情况2： x 1 ,   x 2 , x 3 属于两个不同的子图 C F n − 1 i 和 C F n − 1 j ( i ≠ j ) 。

不失一般性，令 x 1 , x 2 ∈ V ( C F n − 1 1 ) ， x 3 ∈ V ( C F n − 1 2 ) 。由引理6可知：当n为奇数时， κ ( C F n − 1 1 ) = 3 n − 7 2 ；当n为偶数时， κ ( C F n − 1 1 ) = 3 n − 6 2 ，故 x 1 和 x 2 在 C F n − 1 1 中存在 3 n − 7 2 (n为奇数)和 3 n − 6 2 (n为偶数)条内部顶点互不相交的路。令 H = C F n − 1 2 ⊕ C F n − 1 3 ⊕ ⋯ ⊕ C F n − 1 n ，由引理1(3)可知： x 3 的外部邻域最多有一个在 C F n − 1 1 中，也就是说， x 3 的外部邻域最多有一个在H以外。根据这一分析，我们分为以下两种情况进行讨论：

情况2.1： x 3 的外部邻域都不属于 C F n − 1 1 。

当n为奇数时， x 1 和 x 2 在 C F n − 1 1 中存在 3 n − 7 2 条内部顶点互不相交的路，记为： P 1 , P 2 , ⋯ , P 3 n − 7 2 ，这些路中最多只有一条路的长度是1，即 x 1 和 x 2 是相连的。现在我们在这些路上各自选择一个顶点 y i ，即 y i ∈ V ( P i ) ，那么这些点的外部邻域一定在H中。令 S 1 = { y 1   , y 2   , ⋯ , y 3 n − 7 2   , x 1   , x 2 } ， S 2 = { y ′ 1   , y ′ 2   , ⋯ , y ′ 3 n − 7 2   , x ′ 1   , x ′ 2 } ，其中( y ′ i ， x ′ 1 ， x ′ 2 分别代表的是 y i ， x 1 ， x 2 的一个外部邻域)。注意： x 1 和 x 2 之间路的长度可能是1，假设 P 3 n − 7 2 的长度为1，那么我们就令 y 3 n − 7 2 = x 2 ，这时 S 1 = { y 1 , y 2 , ⋯ , y 3 n − 7 2 , x 1 } ， S 2 = { y ′ 1   , y ′ 2 , ⋯ , y ′ 3 n − 7 2 , x ′ 1 , x ″ 2 } ( x ″ 2 代表 x 2 的第二个外部邻域)。故 | S 1 | = 3 n − 7 2 + 1 = 3 n − 5 2 ， | S 2 | = 3 n − 7 2 + 2 = 3 n − 3 2 。这里，我们一定能够做到让 | S 2 ∩ V ( C F n − 1 j )   | ≤ 3 n − 7 2 ，如果 | S 2 ∩ V ( C F n − 1 j )   | > 3 n − 7 2 的话，我们就用 y i 的另外一个外部邻域来代替 y ′ i 。又因为 d H ( x 3 ) = 3 n − 3 2 ，由引理9可知，在H中存在 3 n − 3 2 条从 x 3 到 S 2 的内部顶点互不相交的路，记为 Q 1 , Q 2 , ⋯ , Q 3 n − 7 2 (这些路的终止端点是 y ′ i ， i   ∈ [ 1 , 3 n − 7 2 ] )、 Q 3 n − 5 2 (终止端点是 x ′ 1 )、 Q 3 n − 3 2 (终止端点是 x ′ 2 或者 x ″ 2 )。令 P i ¯ = P i ∪ y i y ′ i   ∪ Q i ( i ∈ [ 1 , 3 n − 9 2 ]   ) ， P 3 n − 7 2 ¯ = P 3 n − 7 2 ∪ y 3 n − 7 2 y ′ 3 n − 7 2 ∪ Q 3 n − 7 2 或者 P 3 n − 7 2 ¯ = x 1 x 2 ∪ x 2 x ′ 2   ∪ Q 3 n − 7 2 ， P 3 n − 5 2 ¯ = x 1 x ′ 1   ∪ Q 3 n − 5 2 ∪ Q 3 n − 3 2 ∪ x ′ 2 x 2 或者 P 3 n − 5 2 ¯ = x 1 x ′ 1   ∪ Q 3 n − 5 2 ∪ Q 3 n − 3 2 ∪ x ″ 2 x 2 ，那么在 C F n 中就会存在包含M的 3 n − 5 2 条内部互不相交的树。

当n为偶数时， x 1 和 x 2 在 C F n − 1 1 中存在 3 n − 6 2 条内部顶点互不相交的路，记为： P 1 , P 2 , ⋯ , P 3 n − 6 2 。跟上面同样的方法，我们在 P 1 , P 2 , ⋯ , P 3 n − 6 2 上各自选择一个点 y i ( i ∈ [ 1 , 3 n − 6 2 ]   ) 。当 x 1 和 x 2 之间路的长度为1的时候，假设 P 3 n − 6 2 路的长度为1，我们就令 y 3 n − 6 2 = x 2 。令 S 1 = { y 1   , y 2   , ⋯ , y 3 n − 6 2   , x 1 } ， S 2 = { y ′ 1   , y ′ 2 , ⋯ , y ′ 3 n − 6 2 } ，其中 y ′ i 代表了 y i 的外部邻域。令 H = C F n − 1 2 ⊕ C F n − 1 3 ⊕ ⋯ ⊕ C F n − 1 n ，则 S 2 ⊆ V ( H ) 。由引理8可知， κ ( H ) ≥ 3 n − 6 2 ，也就是说，H是 3 n − 6 2 连通的。由引理5可知，在H中存在 3 n − 6 2 条内部顶点互不相交的 ( x 3 , S 2 ) -路，记为 Q 1 , Q 2 , ⋯ , Q 3 n − 6 2 (这些路的终端点是 y ′ i )。令 P i ¯ = P i ∪ y i y ′ i   ∪ Q i ，那么在 C F n 就存在包含M的 3 n − 6 2 条内部互不相交的树。

情况2.2： x 3 的一个外部邻域属于 C F n − 1 1 。

不失一般性，我们假设 x 3 + ∈ V ( C F n − 1 1 ) 。由于 C F n − 1 1 是连通的，所以 x 1 和 x 3 + 之间存在一条路 P ¯ ¯ 。又因为 κ ( C F n − 1 1 ) = 3 n − 7 2 (n为奇数)， κ ( C F n − 1 1 ) = 3 n − 6 2 (n为偶数)，则 x 1 和 x 2 在 C F n − 1 1 中一定存在 3 n − 7 2 (n为奇数)和 3 n − 6 2 (n为偶数)条内部顶点互不相交的路，记为 P 1 , P 2 , ⋯ , P 3 n − 7 2 (n为奇数)， P 1 , P 2 , ⋯ , P 3 n − 6 2 (n为偶数)。由于 x 1 在 C F n − 1 1 中的度为 3 n − 7 2 (n为奇数)和 3 n − 6 2 (n为偶数)， P ¯ ¯ 和 P i 一定会相交，现在令v是 P ¯ ¯ ∩ P i 的第一个点，假设 v ∈ V   ( P 3 n − 7 2 ) (n为奇数)， v ∈ V   ( P 3 n − 6 2 ) (n为偶数)，那么令 P 3 n − 5 2 ¯ = P 3 n − 7 2 ∪     P ¯ ¯ [ v , x 3 + ]     ∪ x 3 + x 3 (n为奇数)， P 3 n − 6 2 ¯ = P 3 n − 6 2 ∪     P ¯ ¯ [ v , x 3 + ]     ∪ x 3 + x 3 (n为偶数)，则 P 3 n − 5 2 ¯ 和 P 3 n − 6 2 ¯ 是 C F n 中包含M的一棵树。

令 H = C F n − 1 2 ⊕ C F n − 1 3 ⊕ ⋯ ⊕ C F n − 1 n 。跟情况2.1的方法相同，我们在 P 1 , P 2 , ⋯ , P 3 n − 9 2 (n为奇数)， P 1 , P 2 , ⋯ , P 3 n − 8 2 (n为偶数)上各自选择一个点 y i 。如果没有路 P i 的长度为1，就令 S 1 = { y ′ 1   , y ′ 2 , ⋯ , y ′ 3 n − 9 2   , x ′ 1 , x ′ 2 } (n为奇数)， S 1 = { y ′ 1   , y ′ 2 , ⋯ , y ′ 3 n − 8 2 , x ′ 2 } (n为偶数)；如果存在一条路的长度为1 (图中画红线的部分)，不失一般性，我们假设 P 1 的长度为1，即 y 1 = x 1 ，则令 S 1 = { y ′ 1 , y ′ 2 , ⋯ , y ′ 3 n − 9 2   , x ″ 1   , x ′ 2 } (n为奇数)和 S 1 = { y ′ 1   , y ′ 2 , ⋯ , y ′ 3 n − 8 2   , x ′ 2 } (n为偶数)，其中 y ′ i 是 y i 的外部邻域， x ″ 1 是 x 1 的第二个外部邻域， x ′ 2 是 x 2 的外部邻域。则 S 1 ⊆ V ( H ) 且 | S 1 | = 3 n − 9 2 + 2 = 3 n − 5 2 (n为奇数)， | S 1 | = 3 n − 8 2 + 1 = 3 n − 6 2 (n为偶数)。

当n为奇数时，由于 d H ( x 3 ) = 3 n − 3 2 − 1 = 3 n − 5 2 、 | S 1 | = 3 n − 5 2 、 |   S 1 ∩ V ( C F n − 1 i )   | ≤ 3 n − 7 2 ( i ∈ [ 2 , n ] ) ，如果 |   S 1 ∩ V ( C F n − 1 i )   | > 3 n − 7 2 ，我们就用 y i 的另外一个外部邻域来代替 y ′ i 。所以由引理9可知：在H中， x 3 和 S 1 之间存在 3 n − 5 2 条内部顶点互不相交的路，记为： Q 1 , Q 2 , ⋯ , Q 3 n − 5 2 ，其中 Q i 的终止端点是 y ′ i ( i ∈ [ 1 , 3 n − 9 2 ]   ) ， Q 3 n − 7 2 的终止端点是 x ′ 1 或者 x ″ 1 ， Q 3 n − 5 2 的终端点是 x ′ 2 。令 P i ¯ = P i ∪ y i y ′ i   ∪ Q i ( i ∈ [ 2 , 3 n − 9 2 ] ) ， P 1 ¯ = P 1 ∪ y 1 y ′ 1   ∪ Q 1 或者 P 1 ¯ = x 1 x 2 ∪ x 1 x ′ 1   ∪ Q 1 ， P 3 n − 7 2 ¯ = x 1 x ′ 1 ∪ Q 3 n − 7 2 ∪ Q 3 n − 5 2 ∪ x ′ 2 x 2 或者 P 3 n − 7 2 ¯ = x 1 x ″ 1   ∪ Q 3 n − 7 2 ∪ Q 3 n − 5 2 ∪ x ′ 2 x 2 ，那么 P i ¯ ( i ∈ [ 1 , 3 n − 7 2 ]   ) 是 C F n 中包含M的 3 n − 7 2 条内部互不相交的树。故当n为奇数时， C F n 中存在包含M的 3 n − 5 2 条内部互不相交的树。

当n为偶数时，由引理8可知， κ ( H ) ≥ 3 n − 6 2 、 | S 1 | = 3 n − 6 2 ，由引理5可知：在H中， x 3 和 S 1 之间存在 3 n − 6 2 条内部顶点互不相交的路，记为： Q 1 , Q 2 , ⋯ , Q 3 n − 6 2 ，其中 Q i 的终止端点是 y ′ i ( i ∈ [ 1 , 3 n − 8 2 ]   ) ， Q 3 n − 6 2 的终止端点是 x ′ 2 。 P i ¯ = P i ∪ y i y ′ i   ∪ Q i 令 ( i ∈ [ 1 , 3 n − 8 2 ]   ) ，那么 P i ¯ ( i ∈ [ 1 , 3 n − 8 2 ]   ) 是 C F n 中包含M的 3 n − 8 2 条内部互不相交的树。故当n为偶数时， C F n 中存在包含M的 3 n − 8 2 条内部互不相交的树。

情况3： x 1 , x 2 , x 3 分别属于三个不同的子图 C F n − 1 i 、 C F n − 1 j 、 C F n − 1 k (i、j、k是互不相同的)。

不失一般性，我们假设 x 1 ∈ V ( C F n − 1 1 ) ， x 2 ∈ V ( C F n − 1 2 ) ， x 3 ∈ V ( C F n − 1 3 ) ，下面我们分奇数和偶数进行讨论。

当n为偶数时，令 x 1 = i 1 i 2 ⋯ i n − 1 1 ， H = C F n − 1 3 ⊕ ⋯ ⊕ C F n − 1 n ，则 x 1 + ∈ V ( C F n − 1 2 ) 或者 x 1 + ∈ V ( H ) 。设 x 1 的内部邻域分别为： a i − 1 = x 1   (   1 i   ) ( i ∈ [ 2 , n − 1 ] ) ， b n − 1 = x 1   ( 23 ) ， b n = x 1 ( 45 ) ， b n + 1 = x 1 ( 67 ) ， ⋯ ， b 3 n − 6 2 = x 1   (   ( n − 2 )     ( n − 1 )   ) 。

1) x 1 + ∈ V ( H ) 。这种情况下， i 1 ≠ 2 ，且 i 2 , i 3 , ⋯ , i n − 1 中最多只有一个为2，我们假设 i 2 = 2 ，则 x 1 = i 1 2 ⋯ i n − 1 1 ， a 1 = 2 i 1 ⋯ i n − 1 1 ， b n − 1 = i 1 i 3 2 i 4 i 5 ⋯ i n − 1 1 。现在在 C F n − 1 1 中选择以 x 1 为起点的 3 n − 6 2 条路，取法如下：当 i = 1 时，令 P 1 1 = x 1 a 1 ；当 i ∈ [ 2 , n − 2 ] 时，令 P i 1 = x 1 a i u i ，其中 u i = a i ( 12 ) ；当 i = n − 1 时，令 P n − 1 1 = x 1 b n − 1 v u n − 1 ，其中 v = b n − 1 ( 45 ) ， u n − 1 = v ( 13 ) ；当 i ∈ [ n , 3 n − 6 2 ] 时，令 P i 1 = x 1 b i u i ，其中 u i = b i ( 12 ) 。则 u i + ∈ V ( C F n − 1 2 ) ，且 u i 都是互不相同的， P i 1 是内部顶点互不相交的路。令 U 1 = { u 1 , u 2 , ⋯ , u 3 n − 6 2 } ， U 2 = { u 1 + , u 2 + , ⋯ , u 3 n − 6 2 + } ，则 U 2 ⊆ V ( C F n − 1 2 ) 。若 x 2 ∈ U 2 ，假设 x 2 = u 1 + ，我们在 C F n − 1 2 \ U 2 中任意选一个顶点w，令 U ′ = { u 2 + , ⋯ , u 3 n − 6 2 + , w } ，则 | U 2 | = | U ′ | = 3 n − 6 2 。由于 κ ( C F n − 1 2 ) = 3 n − 6 2 ， U 2 ⊆ V ( C F n − 1 2 ) \ { x 2 } ( U ′ ⊆ V ( C F n − 1 2 ) \ { x 2 } ) ，由引理5可知，在 C F n − 1 2 中，存在 3 n − 6 2 条由 x 2 到 U 2 或者 U ′ 的内部顶点互不相交的路，且这些路的终止端点在 U 2 或者 U ′ 中是互不相同的，记为： P 1 2 , P 2 2 , ⋯ , P 3 n − 6 2 2 。令 P i ¯ = P i 1 ∪ u i u i + ∪ P i 2 。现在我们在 C F n − 1 1 取 3 n − 6 2 点，取法如下：当 i = 1 时，令 w 1 = a 1 ( 13 ) ；当 i ∈ [ 2 , 3 n − 6 2 ] 时，令 w i = a i 或 b i 。则 { w 1 } ∩ V ( P i 1 ) = ϕ ，且 w i + ∈ V ( H ) 。令 W = { w 1 + , w 2 + , ⋯ , w 3 n − 6 2 + } ，则 W ⊆ V ( H ) ，且 | W | = 3 n − 6 2 。

当 x 3 + 不属于 C F n − 1 1 时， W ⊆ V ( H ) \ { x 3 } ，且 | W | = 3 n − 6 2 。由引理8可知， κ ( H ) ≥ 3 n − 6 2 。又由引理5可知，在H中存在一个由 x 3 到W的 3 n − 6 2 -扇形，记为： Q 1 , Q 2 , ⋯ , Q 3 n − 6 2 。当 i = 1 时，令 T 1 = P 1 ¯ ∪ a 1 w 1 ∪ w 1 w 1 + ∪ Q 1 ；当 i ∈ [ 2 , 3 n − 6 2 ] 时，令 T i = P i ¯ ∪ w i w i + ∪ Q i ，则在 C F n 中存在包含M的 3 n − 6 2 条内部互不相交的树。

当 x 3 + 属于 C F n − 1 1 时，由于 C F n − 1 1 是连通的，所以在 C F n − 1 1 中存在一条由 x 1 到 x 3 + 的路，记为 P ¯ ¯ 。由于 d C F n − 1 1 ( x 1 ) = 3 n − 6 2 ，所以 P ¯ ¯ 和 P i 1 一定会有交点，假设 P ¯ ¯ 和 P 3 n − 6 2 1 相交，设 P ¯ ¯ ∩ P 3 n − 6 2 1 的第一个点为t，令 T 3 n − 6 2 = P 3 n − 6 2 ¯ ∪ P ¯ ¯ [ t , x 3 + ] ∪ x 3 + x 3 ，则 T 3 n − 6 2 是 C F n 中包含M的一棵树。现在令 W ′ = { w 1 + , w 2 + , ⋯ , w 3 n − 8 2 + , w } ，其中w是 V ( H ) \ W 中的任意一个顶点，则 W ′   ⊆ V ( H ) \ { x 3 } ，且 | W ′ | = 3 n − 6 2 。由引理8可知， κ ( H ) ≥ 3 n − 6 2 ，再由引理5可知，在H中存在 3 n − 6 2 条由 x 3 到 W ′ 的内部顶点互不相交的路，且路的端点在 W ′ 中是互不相同的，记为： Q 1 , Q 2 , ⋯ , Q 3 n − 6 2 ，其中 Q i 的终止端点为 w i + ( i ∈ [ 1 , 3 n − 8 2 ]   ) 。当 i = 1 时，令 T 1 = P 1 ¯ ∪ a 1 w 1 ∪ w 1 w 1 + ∪ Q 1 ；当 i ∈ [ 2 , 3 n − 8 2 ] 时，令 T i = P i ¯ ∪ w i w i + ∪ Q i ，则在 C F n 中存在包含M的 3 n − 6 2 条内部互不相交的树。

2) x 1 + ∈ V ( C F n − 1 2 ) 且 x 2 + ∈ V ( C F n − 1 2 ) 。这种情况下， i 1 = 2 ，故 x 1 = 2 i 2 i 3 ⋯ i n − 1 1 。当 i ∈ [ 1 , n − 4 ] 时，令 P i 1 = x 1 w i + 1 w i + 2 ⋯ w n − 1 ，其中 w k = w k − 1 ( 1 k ) ， w i + 1 = a 1 ；当 i = n − 3 时，令 P n − 3 1 = x 1 a n − 3 w n − 1 v 1 v 2 ，其中 w n − 1 = a n − 3 (   1   ( n − 1 )   ) ， v 1 = w n − 1 ( 12 ) ， v 2 = v 1   (   1   ( n − 2 )   ) ；当 i = n − 2 时，令 P n − 2 1 = x 1 a n − 2 b 1 b 2 ，其中 b 1 = a n − 2 ( 14 ) ， b 2 = b 1   ( 1 ( n − 1 ) ) ；当 i ∈ [ n − 1 , 3 n − 6 2 ] 时，令 P i 1 = x 1 b i 。当 i ∈ [ 1 , n − 4 ] 时，令 u i = w n − 1   ( 1   ( i + 1 ) ) ；当 i = n − 3 时，令 u i = v 2 ；当 i = n − 2 时，令 u i = b 2 ；当 i ∈ [ n − 1 , 3 n − 6 2 ] 时，令 u i = b i 。最后，我们令 U 1 = { u 1 , u 2 , ⋯ , u 3 n − 6 2 } ，令 U 2 = { u 1 + , u 2 + , ⋯ , u 3 n − 6 2 + } 。则 P i 1 是由 x 1 到 U 1 的一个 3 n − 6 2 -扇形，且 U 2 ⊆ V ( C F n − 1 2 ) 。跟第一种情况一样，当 x 2 ∈ U 2 时，假设 x 2 = u 1 + ，令 U ′ = ( U 2 \ {   u 1 +   } ) ∪ { w } ，其中w是 V ( C F n − 1 2 ) \ U 2 中的任意一个顶点，则 | U ′ | = 3 n − 6 2 或者 | U 2 | = 3 n − 6 2 ( x 2 ∉ U 2 ) 。根据引理5可知，在 C F n − 1 2 中存在一个由 x 2 到 U ′ 或者 U 2 的 3 n − 6 2 -扇形，记为： P i 2 。令 P i ¯ = P i 1 ∪ u i u i + ∪ P i 2 。现在我们在 C F n − 1 1 中取 3 n − 6 2 个点，取法如下：当 i ∈ [ 1 , n − 2 ] 时，令 w i = a i ；当 i ∈ [ n − 1 , 3 n − 6 2 ] 时，令 w n − 1 = b n − 1 ( 13 ) ， w n = b n ( 15 ) ， w n + 1 = b n + 1 ( 17 ) ， ⋯ 则 w i + ∈ V ( H ) ( i ∈ [ 1 , 3 n − 6 2 ] ) ，且当 i ∈ [ n − 1 , 3 n − 6 2 ] 时， w i ∩ V ( P i 1 ) = ϕ 。令 W   = { w 1 + , w 2 + , ⋯ , w 3 n − 6 2 + } ，则 | W | = 3 n − 6 2 。当 x 3 ∈ V ( W ) 时，也就是说 x 3 + ∈ V ( C F n − 1 1 ) 时，我们按照同样的方法在 C F n − 1 2 中取点，就可以使得 x 3 ∉ V ( W ) ，所以在这里不考虑 x 3 ∈ V ( W ) 的情况，只设 x 3 ∉ V ( W ) 。由引理8可知， κ ( H ) ≥ 3 n − 6 2 ，再由引理5可知，在H中存在一个由 x 3 到W的 3 n − 6 2 -扇形，记为： Q i ，其中 i ∈ [ 1 , 3 n − 6 2 ] 。所以，当 i ∈ [ 1 , n − 2 ] 时，令 T i = P i ¯ ∪ w i w i + ∪ Q i ；当 i ∈ [ n − 1 , 3 n − 6 2 ] 时，令 T i = P i ¯ ∪ b i w i ∪ w i w i + ∪ Q i ，则 T i 是 C F n 中包含M的 3 n − 6 2 棵内部互不相交的树。

当n为奇数时，由 C F n 的定义可知，每一个顶点都有两个外部邻域，所以我们令 A = { x 1 + , x 1 − , x 2 + , x 2 − , x 3 + , x 3 − } ，考虑以下三种情况：

情况3.1： A ⊆ V ( C F n − 1 1 ) ∪ V ( C F n − 1 2 ) ∪ V ( C F n − 1 3 ) 。

令 H = C F n − 1 1 ⊕ C F n − 1 2 ，则 d H ( x 1 ) = d H ( x 2 ) = 3 n − 5 2 。由引理10可知，在H中存在 3 n − 5 2 条由 x 1 到 x 2 的内部顶点互不相交的路，记为： P 1 , P 2 , ⋯ , P 3 n − 5 2 。设 x ′ 3 是 x 3 的一个外部邻域，则 x ′ 3 ∈ V ( H ) 。又因为H是连通的，所以在H中存在一条从 x 1 到 x ′ 3 的路，记为： P ¯ 。由于 d H ( x 1 ) = 3 n − 5 2 ，我们设t是 P ¯ ∩ P k ( k ∈ [ 1 , 3 n − 5 2 ]   ) 的第一个点，不失一般性，我们假设 t ∈ P 3 n − 5 2 。很显然， P 3 n − 5 2 ∪ P ¯ [ x ′ 3 , t ] ∪ x 3 x ′ 3 是 C F n 中包含M的一棵树，记为 T 3 n − 5 2 。令 u i ∈ V ( P i ) ∩ N H ( x 1 ) ( i ∈ [ 1 , 3 n − 7 2 ]   ) 。如果 x 1 的外部邻域不属于 u i ，我们就令 X = { u 1 , u 2 , ⋯ , u 3 n − 7 2 } ；如果 x 1 的外部邻域属于 u i ，假设 u 1 是 x 1 的外部领域，我们就令 X = { x 1 , u 2 , ⋯ , u 3 n − 7 2 } 。故： X ⊆ V ( C F n − 1 1 ) ， | X | = 3 n − 7 2 。令 H ′   = C F n − 1 3 ⊕ C F n − 1 4 ⊕ ⋯ ⊕ C F n − 1 n ， u ′ i 是 u i 的外部邻域，且满足 u ′ i ∈ V ( H ′ ) 。

如果 X = { u 1 , u 2 , ⋯ , u 3 n − 7 2 } ，令 X ′ = { u ′ 1 , u ′ 2 , ⋯ , u ′ 3 n − 7 2 } ，那么 | X ′ | = 3 n − 7 2 。另外， d H ′ ( x 3 ) = 3 n − 7 2 。当 x 3 ∉ V ( X ′ ) 时，由引理9可知，再 H ′ 中存在 3 n − 7 2 条由 x 3 到 X ′ 的内部顶点互不相交的路，记为： Q 1 , Q 2 , ⋯ , Q 3 n − 7 2 ，且这些路的终止端点在 X ′ 中是互不相同的，令 T i = P i ∪ u i u ′ i ∪ Q i ( i ∈ [ 1 , 3 n − 7 2 ]   ) ，那么 T i 就是 C F n 中包含M的内部互不相交的树。故在 C F n 中存在包含M的 3 n − 5 2 条内部互不相交的树。当 x 3 ∈ V ( X ′ ) 时，我们假设 u ′ 3 n − 7 2 = x 3 ，令 X ′   = { u ′ 1 , u ′ 2 , ⋯ , u ′ 3 n − 9 2 , w } ，其中w是 H ′ \ { x 3 } 中的任意一个点，则 | X ′   | = 3 n − 7 2 ，同理，在 H ′ 中存在 3 n − 7 2 条由 x 3 到 X ′ 的内部顶点互不相交的路，记为： Q 1 , Q 2 , ⋯ , Q 3 n − 7 2 ，且这些路的终止端点在 X ′ 中是互不相同的，令 T i = P i ∪ u i u ′ i ∪ Q i ( i ∈ [ 1 , 3 n − 9 2 ]   ) ， T 3 n − 7 2 = P 3 n − 7 2 ∪ u 3 n − 7 2 x 3 ，那么 T i 就是 C F n 中包含M的内部互不相交的树。故结论成立。

如果 X = { x 1 , u 2 , ⋯ , u 3 n − 7 2 } ，令 X ′ = { x ′ 1 , u ′ 2 , ⋯ , u ′ 3 n − 7 2 } 。跟上面的讨论方法相同，我们可以在 C F n 中找到 3 n − 5 2 条包含M的内部互不相交的树。

情况3.2： x 3 的外部邻域至少有一个不属于 V ( C F n − 1 1 ) ∪ V ( C F n − 1 2 ) 。

令 H = C F n − 1 1 ⊕ C F n − 1 2 ， H ′   = C F n − 1 3 ⊕ C F n − 1 4 ⊕ ⋯ ⊕ C F n − 1 n 。在 V ( C F n − 1 1 ) \ { x 1 } 中选择 3 ( n − 1 ) − 4 2 = 3 n − 7 2 个不同的点 u 1 , u 2 , ⋯ , u 3 n − 7 2 ，使得 u i 的一个外部邻域在 V ( C F n − 1 2 ) \ { x 2 } 中，同时，要保证 u i 和 x 3 有不同的外部邻域。因为 2 ( n − 2 )   ! ≥ 3 n − 7 2 + 2 + 1 ( n ≥ 5 ) ，所以我们是能够选出这么多个点的。令 S = { u 1 , u 2 , ⋯ , u 3 n − 7 2 } ， S ′   = { u ′ 1 , u ′ 2 , ⋯ , u ′ 3 n − 7 2 } ，由引理6可知， κ ( C F n − 1 1 ) = κ ( C F n − 1 2 ) = 3 n − 7 2 ，所以在 C F n − 1 1 中，存在 3 n − 7 2 条由 x 1 到S的内部顶点互不相交的路；在 C F n − 1 2 中，存在 3 n − 7 2 条由 x 2 到 S ′ 的内部顶点互不相交的路。令 x ″ 1 ， x ″ 2 是 x 1 ， x 2 在 H ′ 中的外部邻域， u ″ i 是 u i 在 H ′ 中的外部邻域。令 A = { u ″ 1 , u ″ 2 , ⋯ , u ″ 3 n − 7 2 , x ′ 1 , x ″ 2 } ，那么 A ⊆ V ( H ′ ) ，且 | A | > 3 n − 7 2 + 1 = 3 n − 5 2 ，当 x ″ 1 ≠ x ″ 2 时， | A | = 3 n − 3 2 ；当 x ″ 1 = x ″ 2 时， | A | = 3 n − 5 2 。

子情况3.2.1： x 3 的两个外部邻域都不属于 V ( C F n − 1 1 ) ∪ V ( C F n − 1 2 ) 。

这种情况下， d H ′ ( x 3 ) = 3 n − 3 2 。如果 | A | = 3 n − 3 2 ，那么这个证明过程和情况2.1相类似。如果 | A | = 3 n − 5 2 ，那么这个证明过程和情况2.1相类似，除了 T 3 n − 5 2 = x 1 x ″ 1 ∪ x 2 x ″ 1 ∪ Q 3 n − 5 2 。

子情况3.2.2： x 3 的两个外部邻域中有一个属于 V ( C F n − 1 1 ) ∪ V ( C F n − 1 2 ) 。

这种情况下， d H ′ ( x 3 ) = 3 n − 5 2 。如果 | A | = 3 n − 3 2 ，那么这个证明过程和情况2.2相类似。如果 | A | = 3 n − 5 2 ，那么这个证明过程和情况2.2相类似，除了 T 3 n − 5 2 = x 1 x ″ 1   ∪ x 2 x ″ 2 ∪ Q 3 n − 3 2 。

综上所述，当n为奇数时， C F n 中存在包含M的 3 n − 5 2 条内部互不相交的树；当n为偶数时，在 C F n 中存在包含M的 3 n − 6 2 条内部互不相交的树。故定理得证。

广义k-连通度是传统连通度的一个自然推广，它可以用来测量一个图G连接任意k个顶点的能力，当 k = 2 时，广义2-连通度和传统的连通度是一样的。在这篇文章中，我们主要研究一类Cayley图：叶形图的广义3-连通度，证明了：当n为大于等于3的奇数时， κ 3 ( C F n ) = 3 n − 5 2 ；当n为大于等于4的偶数时， κ 3 ( C F n ) = 3 n − 6 2 。到目前为止，关于广义k-连通度的研究大多数都是 k = 2 的，对 k ≥ 4 的广义k-连通度的研究是非常少的，所以对于 k ≥ 4 的 κ k ( C F n ) 的研究是非常有意义的。

本篇论文主要证明了叶形图的广义连通性，是在我的导师王世英老师以及正在读博的师姐赵丽娜的帮助下完成的。我要特别感谢我的导师，本文题目的选定、证明过程的书写、判断结论是否正确无不包含老师的心血。王老师严谨治学的态度、为人师的人格风范、渊博的知识使我受益终身。这篇论文是我研究生的第一篇论文，在写作时有很多不明白的地方，我非常感谢我的师姐们给予我的帮助，让我可以顺利完成这篇论文。在此，我向王世英老师以及我的各位师姐们表示深深的感谢！

国家自然科学基金资助项目(61772010)，山西省基础研究计划(202203021221128)。

李红梅,王世英. 叶形图的广义连通度The Generalized Connectivity of Leaf-Sort Graphs[J]. 应用数学进展, 2023, 12(06): 2979-2997. https://doi.org/10.12677/AAM.2023.126300