利用集中紧性原理、极大极小值方法和Gagliardo-Nirenberg不等式，研究了在L²-次临界和L²-临界的情况下，二维Benjamin-Ono-Zakharov-Kuznetsov (BO-ZK)方程的规范解的存在性和稳定性问题。首先通过限制 M ( Q ) = a 2 2 ，证明能量泛函 H ( Q ) 极小值的存在性，然后证明其稳定性，最终证明了在L²-次临界下泛函 S a ( Q ) 可以取到最小值，从而证明存在基态解。本文所得到的结论，即证明BO-ZK方程解的存在性和稳定性，在物理学领域中有着广泛的应用。

BO-ZK方程，基态解，存在性，稳定性，集中紧性原理

Yuanshun Wang

College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai

Received: Mar. 20^th, 2023; accepted: Apr. 21^st, 2023; published: Apr. 28^th, 2023

The existence and stability of the solution for normalized solitary waves of the two-dimensional generalized Benjamin-Ono-Zakharov-Kuznetsov Equation were studied by using concentration compactness principle, minimax theory and Gagliardo-Nirenberg in equality in the L²-subcritical case and the L²-critical case. Firstly, the existence of minimum to the energy functional under the condition of M ( Q ) = a 2 2 , then the stability is verified. Thus, it is proved that the minimum value of functional S a ( Q ) can be obtained in the L²-subcritical case and there exist ground state solutions. The conclusion of this article, that the existence and stability of the solution of BO-ZK equation, is widely applied in physics.

Keywords:BO-ZK Equation, Ground States, Existence, Stability, Concentration-Compactness Principle

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因Benjamin-Ono-Zakharov-Kuznetsov (BO-ZK)方程有一定的物理背景，研究它的规范解的存在性、稳定性和其它一些性质是一个具有物理意义的问题。

研究二维Benjamin-Ono-Zakharov-Kuznetsov (BO-ZK)方程：

{ φ t − H φ x x + φ x y y + ∂ x ( φ p + 1 ) = 0 ,                         ( x , y ) ∈ R 2 ,     t > 0 , φ ( x , y , 0 ) = φ 0 , (1)

其中 φ = φ ( x , y , t ) 是波函数。 H 表示x-方向上的Hilbert变换，定义为

H φ ( x , y , t ) = p . v . 1 π ∫ R φ ( z , y , t ) x − z d z ,

可以得到

∬ R 2 φ H φ x d x d y = ‖ D x 1 2 φ ‖ L 2 2 (2)

这是因为

∬ R 2 φ H φ x d x d y = C ∬ R 2 φ ∫ R φ x ( z , y , t ) x − z d z d x d y = C ∬ R 2 φ ∫ R φ ( x , y , t ) − φ ( z , y , t ) | x − z | 2 d z d x d y = C ∬ R 2 φ D x φ d x d y = C ‖ D x 1 2 φ ‖ L 2 2

D x 1 2 表示在x-方向上的 1 2 -阶导数算子，它由Fourier变换定义： D x 1 2 Q ^ ( ξ , η ) = | ξ | 1 2 Q ^ ( ξ , η ) ，定义能量空间 H ( 1 2 , 1 ) ，赋予范数

‖ Q ‖ H ( 1 2 , 1 ) : = { ‖ D x 1 2 Q ‖ L 2 2 + ‖ ∂ y Q ‖ L 2 2 + ‖ Q ‖ L 2 2 } 1 2

已经有不少作者研究过类似的方程，例如V. Georgiev和Y. Li研究了二维质量临界半波方程的非分散解(见文献 [ 1 ] )，Y. Bahri和S. Ibrahim研究了半波Schrodinger方程的孤立波解和Cauchy问题 [ 2 ] ，J. Bellazzini和V. Georgiev等研究了在单空间维度上四次聚焦半波方程的行波解 [ 3 ] ，C. Alysson和P. Ademir研究了在加权各向异性的Sobolev空间中离散的BO-ZK方程的守恒性 [ 4 ] ，Nascimento, A. C.研究了BO-ZK方程解的特殊正则性 [ 5 ] 。

事实上，在Esfahani等(2015) [ 6 ] 的论文中，利用二维各向异性Gagliardo-Nirenberg不等式：

‖ Q ‖ L p + 2 p + 2 ≤ C ‖ Q ‖ L 2 4 − p 2 ‖ D x 1 2 Q ‖ L 2 p ‖ ∂ y Q ‖ L 2 p 2 , Q = Q ( x , y ) ∈ H ( 1 2 , 1 )

作者研究了BO-ZK方程(1)规范解的存在性，并证明了当 0 < p < 4 时，当速度为 ω = 1 时，方程(1)有形如 φ ( x , y , t ) = Q ( x − t , y ) 的非平凡规范解。在Esfahani等(2017) [ 7 ] 中，作者研究了各向异性的Gagliardo-Nirenberg不等式中最佳常数C满足的条件。假设Q在无穷远点递减，那么Q应当满足

Q p + 1 − H Q x + Q y y = ω Q (3)

这里所说的方程(1)的解，是指保持能量H和质量M守恒的解，

H ( φ ( t ) ) = H ( φ 0 ) ， M ( φ ( t ) ) = M ( φ 0 ) ，对所有的 t ∈ I max (4)

其中 I max 表示解存在的最大时间和

M ( Q ) : = 1 2 ‖ Q ‖ L 2 ( R 2 ) 2

H ( Q ) : = 1 2 ∬ R 2 ( H Q x ( x , y ) Q ( x , y ) ¯ + | ∂ y Q ( x , y ) | 2 ) d x d y − 1 p + 2 ∬ R 2 | Q ( x , y ) | p + 2 d x d y

在Jorge等(2005) [ 8 ] , Latorre等(2006) [ 9 ] 的论文中，方程(1)作为一个模型来描述在薄微导体电迁移介质上解的存在性。BO-ZK方程(1)也可以被视为二维通用的Benjamin-Ono (BO)方程：

φ t − H φ x x + ∂ x ( φ p + 1 ) = 0 ,                   x ∈ R ,     t > 0 (5)

在长型内部重力波中，方程(5)是深层次流体中的模型。

在Esfahani and Pastor (2009) [ 10 ] ，Esfahani et al. (2015) [ 6 ] 中也证明了，当 0 < p < 4 3 时有任意速度的孤立波是非线性稳定的；当 4 3 < p < 4 时孤立波是非线性不稳定的。其中，稳定性的定义见定义1。 p = 4 3 是方程(3)的“临界值”。如果 φ 满足方程(1)有初始值 φ 0 ，那么

φ λ ( x , y , t ) = λ 1 p φ ( λ x , λ 1 2 y , λ 2 t )

满足方程(1)，且有初始值 φ λ ( x , y , 0 ) = λ 1 p φ 0 ( λ x , λ 1 2 y ) ，对任意的 λ > 0 。如果 H ˙ s 1 , s 2 : = H ˙ s 1 , s 2 ( R 2 ) 表示齐次各向异性Sobolev空间，那么

‖ φ λ ‖ H ˙ s 1 , s 2 = λ s 1 + 1 2 s 2 + 1 p − 3 4 ‖ φ 0 ‖ H ˙ s 1 , s 2

因此，L²是BO-ZK方程规模不变的Sobolev空间当且仅当 p = 4 3 。

根据Benjamin-Ono-Zakharov-Kuznetsov方程，方程(3)在静态问题上也出现(见 [ 6 ] [ 11 ] )。注意到如果定义变量 S ( Q ) 为

S ( Q ) : = H ( Q ) = 1 2 ∬ R 2 ( H Q x Q ¯ + | ∂ y Q | 2 ) d x d y − 1 p + 2 ∬ R 2 | Q | p + 2 d x d y = 1 2 ‖ D x 1 2 Q ‖ L 2 2 + 1 2 ‖ ∂ y Q ‖ L 2 2 − 1 p + 2 ‖ Q ‖ L p + 2 p + 2 (6)

令 S ′ ( Q ) = 0 可以得到 S ( Q ) 的极小值点 Q 0 ，那么 Q 0 ∈ H ( 1 2 , 1 ) 是方程(3)的解当且仅当 Q 0 是泛函 S ( Q ) 的临界点(极小值点)。在这篇论文中，我们关注基态解的情况。所谓基态解就是极小化泛函 S ( Q ) 的解，也就是方程(3)的非平凡解。本文研究基态解的存在性，得到以下定理。

定理1：当 0 < p < 4 3 时，当 0 < a ≤ ( 4 − p ) 1 2 ( p 3 p 4 2 p 2 ) 2 4 − 3 p 时，存在基态解 Q 0 ≠ 0 极小化以下约束极小化问题：

m a = inf { S a ( Q ) | Q ∈ H ( 1 2 , 1 ) }

其中

S a ( Q ) = { S ( Q ) | ∬ R 2 | Q | 2 = a 2 }

当 p = 4 3 时，当 0 < a < a * 或 a > a * 时，不存在这样的基态解。

注记1：由Esfahani等 [ 6 ] 的结果，在x-轴和y-轴上方程(3)的基态解Q是对称的，即 Q ( x , y ) = Q ( − x , y ) ， Q ( x , y ) = Q ( x , − y ) ，对于所有的 ( x , y ) ∈ R 2 。

第二部分给出一些预备知识和几个基本引理：1) 稳定性和轨道稳定性的定义；2) 在L²-次临界情况下，当a满足一定的条件时，能量泛函 H ( Q ) 可以取到极小值，从而 Σ ( μ ) 非空并且是稳定的；3) 在L²-临界情况下，当a满足一定的条件时， Σ ( μ ) = ∅ ；4) 给出了各向异性的Gagliardo-Nirenberg不等式。其中 Σ ( μ ) 的定义由(8)给出。

第三部分证明了在L²-次临界情况下，当a满足一定的条件时， Σ ( μ ) 是非空和稳定的。先证明能量泛函 H ( Q ) 的下确界的有界性，利用集中紧性原理和Gagliardo-Nirenberg不等式排除解的消失性和二分性，从而得到解是列紧的，推出解的存在性，然后证明解的稳定性。

第四部分证明了在L²-临界情况下，当a满足一定的条件时， Σ ( μ ) = ∅ 。通过Gagliardo-Nirenberg不等式和极大极小值原理，证明了a在不同的取值范围中，能量泛函 H ( Q ) 分别为取不到极小值和下无界，从而得到 Σ ( μ ) = ∅ 。

最后，本文给出定理1的证明，在L²-次临界情况下，当a在限定取值范围内时，方程(3)的基态解存在并且是稳定的，从而方程(1)有归一化解；在L²-临界情况下，当a在限定取值范围内时，方程(3)不存在基态解。

本文研究了在L²-次临界和L²-临界情况下BO-ZK方程解的存在性和稳定性，给出了方程在什么条件下存在解、什么条件下解不存在以及解的稳定性。BO-ZK方程在物理学领域有广泛的应用，读者可以在物理学上找到它的应用举例。

稳定性的定义如下：

定义1：1) 令 ∑ ⊂ H ( 1 2 , 1 ) ，称 ∑ 是稳定的，如果对于任意的 ε > 0 ，存在 δ > 0 ，使得如果 φ 0 ∈ H ( 1 2 , 1 ) 满足 inf u ∈ ∑ ‖ φ 0 − Q ‖ H ( 1 2 , 1 ) < δ ，那么在整个定义域上方程(1)的解 φ ( t ) 存在，有初始条件 φ | t = 0 = φ 0 ，且满足

sup t ∈ R inf u ∈ ∑ ‖ φ ( t ) − Q ‖ H ( 1 2 , 1 ) < ε

否则， ∑ 是不稳定的。

2) 称 T ( ω t ) Q ω 是轨道稳定的，如果它的轨道

O ω = { T ( θ ) Q ω ( ⋅ + τ 1 , ⋅ + τ 2 ) | θ ∈ R , ( τ 1 , τ 2 ) ∈ R 2 }

是稳定的。

首先，我们考虑L²-次临界情况 0 < p < 4 3 。在这种情况下，使用Cazenave和Lions [ 11 ] 的方法，来证明一些包含了基态解的轨道的子集是稳定的。为了说明结果，这里引入一些记号。对每个 μ > 0 ，考虑以下极小化问题：

I ( μ ) : = inf { H ( Q ) | M ( Q ) = μ } ,             μ = a 2 2       ( a > 0 ) (7)

记 ∑ ( μ ) 为极小化子组成的集合，即

∑ ( μ ) : = { Q ∈ H ( 1 2 , 1 ) | H ( Q ) = I ( μ ) ,     M ( Q ) = μ } (8)

为研究 L 2 -次临界和 L 2 -临界情况下基态解的存在性问题，需要研究 ∑ ( μ ) 是否非空及其稳定性。

定理2：当 0 < p < 4 3 时，那么对于任意的 0 < a ≤ ( 4 − p ) 1 2 ( p 3 p 4 2 p 2 ) 2 4 − 3 p ，可得集合 ∑ ( μ ) 非空并且是稳定的。

定理3：当 p = 4 3 时，当 0 < a < a * 或 a > a * 时， ∑ ( μ ) = ∅ 。

下面是各向异性的Gagliardo-Nirenberg不等式。

引理1：(各向异性的Gagliardo-Nirenberg不等式)令 0 < p < 4 ，存在常数C使得

‖ Q ‖ L p + 2 p + 2 ≤ C ‖ Q ‖ L 2 4 − p 2 ‖ D x 1 2 Q ‖ L 2 p ‖ ∂ y Q ‖ L 2 p 2 (9)

对所有的 Q ∈ H ( 1 2 , 1 ) 。这里的最佳常数C有方程(3)的基态解给出，即

C − 1 = 4 − p 2 ( p + 2 ) ( p 4 − p ) 3 p 4 2 p 2 ‖ Q ‖ L 2 p (10)

(见 [ 7 ] ，定理1.3)。

引理2：(集中紧性原理)设 { μ m } m = 1 + ∞ 是 R n 上的测度序列，即 μ m ≥ 0 ， ∫ R n d μ m = 1 。存在子列 { μ m } m = 1 + ∞ ，仍然记为 { μ m } m = 1 + ∞ ，使得以下三个条件之一成立：

1) (列紧性)存在序列 { μ m } m = 1 + ∞ ⊂ R n ，使得对于任意的 ε > 0 存在半径 R > 0 有以下性质：

∫ B R ( x m ) d μ m ≥ 1 − ε 对于所有的m；

2) (消失性)对于所有的 R > 0 ，存在

lim m → ∞ ( sup x ∈ R n ∫ B R ( x ) d μ m ) = 0 ;

3) (二分性)存在 λ ， 0 < λ < 1 ，使得对于任意的 ε > 0 存在 R > 0 和序列 { x m } m = 1 + ∞ ⊂ R n 有以下性质：给定 R ′ > R 存在非负测度 μ m 1 ， μ m 2 使得

0 ≤ μ m 1 + μ m 2 ≤ μ m ,

使得 μ m 1 ⊂ B R ( x m ) ，使得 μ m 2 ⊂ R n \ B R ′ ( x m ) ，

lim sup m → ∞ ( | λ − ∫ R n d μ m 1 | + | ( 1 − λ ) − ∫ R n d μ m 2 | ) ≤ ε 。(见 [ 12 ] [ 13 ] )

引理3：设 1 < q < ∞ ，令 { u n } 是 L q ( R d ) 上的有界序列，使得

lim n → ∞ u n ( x ) = u ∞ ( x ) 对几乎所有的 x ∈ R d

对于函数 u ∞ ∈ L q ( R d ) 。那么，有

lim n → ∞ ∫ R d | | u n | q − | u n − u ∞ | q − | u ∞ | q | d x = 0 (见 [ 14 ] )

在这部分，研究在( 0 < p < 4 3 )次临界情况下方程(3)基态解的存在性和稳定性。用集中紧性原理来证明方程(3)解的存在性，为此要证明消失性和二分性的情形不成立，从而得到列紧性的情形成立。首先，证明能量泛函 H ( Q ) 的下确界 I ( μ ) 是负的和有限的。

引理4：对于任意的 0 < p < 4 3 ， 0 < a ≤ ( 4 − p ) 1 2 ( p 3 p 4 2 p 2 ) 2 4 − 3 p ，有 − ∞ < I ( μ ) < 0 。

证明：首先，证明 I ( μ ) < 0 。令 Q ∈ H ( 1 2 , 1 ) 有 ‖ Q ‖ L 2 2 = a 2 = 2 μ 。考虑以下 L 2 -伸缩变换：

T λ Q ( x , y ) = λ 3 4 Q ( λ x , λ 1 2 y ) ,           λ > 0 (11)

那么，可得 ‖ T λ Q ‖ 2 = ‖ Q ‖ 2 ，

H ( T λ Q ) = 1 2 ∬ R 2 ( H ( T λ Q ) x ( x , y ) T λ Q ( x , y ) ¯ + | ∂ y T λ Q ( x , y ) | 2 ) d x d y − 1 p + 2 ∬ R 2 | T λ Q ( x , y ) | p + 2 d x d y = λ 2 ∬ R 2 ( H ( T λ Q ) x ( λ x , λ 1 2 y ) T λ Q ( λ x , λ 1 2 y ) ¯ + | ∂ y Q ( λ x , λ 1 2 y ) | 2 ) d λ x d λ 1 2 y     − λ 3 p 4 p + 2 ∬ R 2 | Q ( λ x , λ 1 2 y ) | p + 2 d λ x d λ 1 2 y = λ 2 ( ‖ D x 1 2 Q ‖ L 2 2 + ‖ ∂ y Q ‖ L 2 2 ) − λ 3 p 4 p + 2 ‖ Q ‖ L p + 2 p + 2

当 0 < p < 4 3 时， 3 p 4 < 1 。因此，令 λ > 0 充分小以致 H ( T λ Q ) < 0 可得 I ( μ ) < 0 。

接下来，证明 I ( μ ) > − ∞ 。由Gagliardo-Nrenberg不等式(9)和 M ( Q ) = a 2 2 ，有

H ( Q ) = 1 2 ( ‖ D x 1 2 Q ‖ L 2 2 + ‖ ∂ y Q ‖ L 2 2 ) − 1 p + 2 ‖ Q ‖ L p + 2 p + 2 ≥ 1 2 ( ‖ D x 1 2 Q ‖ L 2 2 + ‖ ∂ y Q ‖ L 2 2 ) − C p + 2 ‖ Q ‖ L 2 4 − p 2 ‖ D x 1 2 Q ‖ L 2 p ‖ ∂ y Q ‖ L 2 p 2 ≥ 1 2 ( ‖ D x 1 2 Q ‖ L 2 2 + ‖ ∂ y Q ‖ L 2 2 ) − C p + 2 ( 2 M ( Q ) ) 4 − p 4 ( ‖ D x 1 2 Q ‖ L 2 2 + ‖ ∂ y Q ‖ L 2 2 ) 3 p 4 = 1 2 ( ‖ D x 1 2 Q ‖ L 2 2 + ‖ ∂ y Q ‖ L 2 2 ) − C p + 2 a 4 − p 2 ( ‖ D x 1 2 Q ‖ L 2 2 + ‖ ∂ y Q ‖ L 2 2 ) 3 p 4

当 0 < p < 4 3 时， 3 p 4 < 1 ， 4 3 < 4 − p 2 < 2 。利用Young不等式，可得

H ( Q ) ≥ 1 2 ( ‖ D x 1 2 Q ‖ L 2 2 + ‖ ∂ y Q ‖ L 2 2 ) − C p + 2 a 4 − p 2 [ 1 C 1 + 3 p 4 ( ‖ D x 1 2 Q ‖ L 2 2 + ‖ ∂ y Q ‖ L 2 2 ) ] ≥ ( 1 2 − C p + 2 a 4 − p 2 3 p 4 ) ( ‖ D x 1 2 Q ‖ L 2 2 + ‖ ∂ y Q ‖ L 2 2 ) − C 1

当 1 2 − C p + 2 a 4 − p 2 3 p 4 ≥ 0 时，即当 0 < a ≤ ( 4 − p ) 1 2 ( p 3 p 4 2 p 2 ) 2 4 − 3 p 时，

H ( Q ) ≥ − C 1 (12)

其中 C > 0 是最佳常数由(10)给出， C 1 > 0 是常数，这不依赖于 Q ∈ H ( 1 2 , 1 ) 。可推出 I ( μ ) > − ∞ 。证毕。

接下来，证明方程(3)的解满足列紧性，即消失性的情形不成立。

引理5：令 { Q n } ⊂ H ( 1 2 , 1 ) ，满足 sup n ∈ N ‖ Q n ‖ H ( 1 2 , 1 ) < ∞ 和 inf n ∈ N ‖ Q n ‖ L p + 2 > δ 0     ( δ 0 > 0 ) 。那么，存在子列 { Q n } (仍然记为 { Q n } )，序列 { ( x n , y n ) } ⊂ R 2 和 Q ∞ ∈ H ( 1 2 , 1 ) \ { 0 } 使得在 H ( 1 2 , 1 ) 中，当 n → ∞ 时， Q n ( ⋅ + x n , ⋅ + y n ) ⇀ Q ∞ 。

证明：根据Holder不等式，有

δ 0 < ‖ Q n ‖ L p + 2 ≤ ‖ Q n ‖ L 2 θ ‖ Q n ‖ L 10 3 1 − θ ≲ ‖ Q n ‖ L 10 3 1 − θ

其中 θ = 4 − 3 p 2 ( p + 2 ) ，第二个不等式是由于 ∬ R 2 | Q n | p + 2 ≤ ( ∬ R 2 | Q n | p + 2 ) 4 − 3 p 4 ( ∬ R 2 | Q n | 10 3 ) 3 p 4 。因此，存在 δ 1 > 0 ，这不依赖于 n ∈ N ，使得对于所有的 n ∈ N ，有 ‖ Q n ‖ L 10 3 > δ 1 。

对于所有的 ( k , m ) ∈ Z 2 ，令

S k , m : = ( k , k + 1 ) × ( m , m + 1 )

那么，由Gagliardo-Nirenberg不等式(9)，有

‖ Q n ‖ L 10 3 ( Q k , m ) 10 3 ≤ C ‖ Q n ‖ L 2 ( Q k , m ) 4 3 ‖ D x 1 2 Q n ‖ L 2 ( Q k , m ) 4 3 ‖ ∂ y Q n ‖ L 2 ( Q k , m ) 2 3 ≤ C ‖ Q n ‖ L 2 ( Q k , m ) 4 3 ( ‖ D x 1 2 Q n ‖ L 2 ( Q k , m ) 2 + ‖ ∂ y Q n ‖ L 2 ( Q k , m ) 2 )

对 ( m , n ) ∈ Z 2 求和，有

δ 1 < ‖ Q n ‖ L 10 3 ( R 2 ) 10 3 ≤ C ∑ ( m . n ) ∈ Z 2 ‖ Q n ‖ L 2 ( Q k , m ) 4 3 ( ‖ D x 1 2 Q ‖ L 2 ( Q k , m ) 2 + ‖ ∂ y Q ‖ L 2 ( Q k , m ) 2 ) ≤ C sup ( k , m ) ∈ Z 2 ‖ Q n ‖ L 2 ( Q k , m ) 4 3 ( ‖ D x 1 2 Q ‖ L 2 ( R 2 ) 2 + ‖ ∂ y Q ‖ L 2 ( R 2 ) 2 ) ≤ C sup ( k , m ) ∈ Z 2 ‖ Q n ‖ L 2 ( Q k , m ) 4 3

因此存在 ( k n , m n ) ∈ Z 2 和 δ 2 > 0 ，使得 δ 2 ≤ ‖ Q n ‖ L 2 ( Q k , m ) 。令 Q n ˜ ( ⋅ , ⋅ ) = Q n ( ⋅ + k n , ⋅ + m n ) ，可得 lim n → ∞ ‖ Q n ˜ ‖ H ( 1 2 , 1 ) < ∞ ， ‖ Q n ˜ ‖ L 2 ( Q 0 , 0 ) ≥ δ 2 。因此，存在 { Q n } 的子列(仍然记为 { Q n } )， Q ∞ ∈ H ( 1 2 , 1 ) 在 H ( 1 2 , 1 ) 中满足 Q n ˜ ⇀ Q ∞ ( n → ∞ ) 。而且，由Rellich定理(见 [ 15 ] )，有 ‖ Q ∞ ‖ L 2 ( Q 0 , 0 ) ≥ δ 2 ，因此 Q ∞ ≠ 0 。

为了利用集中紧性原理来证明方程(3)解的存在性，下面证明二分性的情形不成立。

引理6：令 0 < p < 4 3 ， a i > 0 ( i = 1 , 2 )使得 a 1 2 + a 2 2 = a 2 ，那么 I ( μ ) < I ( μ 1 ) + I ( μ 2 ) ，其中 μ i = M ( Q i ) = 1 2 a i 2 。

证明：令 a > 0 和 θ > 1 ，令 { Q n } ⊆ S 是 I ( μ ) 的极小化序列。那么

I ( θ μ ) ≤ H ( θ Q n ) = θ 2 ∬ R 2 ( H ( Q n ) x Q n ¯ + | ∂ y Q n | 2 ) − θ p + 2 2 p + 2 ∬ R 2 | Q n | p + 2 < θ 2 ∬ R 2 ( H ( Q n ) x Q n ¯ + | ∂ y Q n | 2 ) − θ p + 2 ∬ R 2 | Q n | p + 2 ≤ θ H ( Q n )

因为 θ > 1 ， p > 0 。所以 I ( θ μ ) < θ I ( μ ) ，等号成立当且仅当 ∬ R 2 | Q n | p + 2 → 0     ( n → ∞ ) 。但是这是不可能的，否则的话存在 0 > I ( μ ) = lim n → ∞ H ( Q n ) ≥ lim inf n → ∞ 1 2 ∬ R 2 ( H ( Q n ) x Q n ¯ + | ∂ y Q n | 2 ) ≥ 0 矛盾，其中第一个不等式由引理4得到。因此，有严格的不等式

I ( θ μ ) < θ I ( μ ) (13)

接下来，证明 I ( μ ) < I ( μ 1 ) + I ( μ 2 ) 。假设 μ 1 ≥ μ 2 ，分为两种情况。

情况1： μ 1 > μ 2 。在这种情况下，有

I ( μ ) = I ( μ μ 1 μ 1 ) < μ μ 1 I ( μ 1 ) = I ( μ 1 ) + μ − μ 1 μ 1 I ( μ 1 ) = I ( μ 1 ) + μ 2 μ 1 I ( μ 1 μ 2 μ 2 ) < I ( μ 1 ) + I ( μ 2 )

情况2： μ 1 = μ 2 。在这种情况下，有

I ( μ ) = I ( 2 μ 1 ) < 2 I ( μ 1 ) = I ( μ 1 ) + I ( μ 2 ) .

然后证明方程(3)解的存在性。

引理7：假设 { Q n } ⊂ H ( 1 2 , 1 ) 满足 lim n → ∞ M ( Q n ) = a 2 2 ， lim n → ∞ H ( Q n ) = I ( μ ) 。那么，存在 { ( x n , y n ) } ⊂ R 2 使得 { Q n ( ⋅ + x n , ⋅ + y n ) } 在 H ( 1 2 , 1 ) 中是相对紧的。特别地， ∑ ( μ ) ≠ ∅ 。

证明：根据方程(12)，当 0 < a ≤ ( 4 − p ) 1 2 ( p 3 p 4 2 p 2 ) 2 4 − 3 p 时， { Q n } 在 H ( 1 2 , 1 ) 中有界。因为 H ( Q n ) < I ( μ ) 2 < 0 ， M ( Q n ) = μ = a 2 2 ，这可推出

1 2 I ( μ ) ≥ H ( Q n ) ≥ − 1 p + 2 ‖ Q n ‖ L p + 2 p + 2

这可推出

‖ Q n ‖ L p + 2 p + 2 > 0 。

这和引理5推出存在 { Q n } 的一个子列(仍然记为 { Q n } )，序列 { ( x n , y n ) } ⊂ R 2 ， Q ∞ ∈ H ( 1 2 , 1 ) \ { 0 } 使得在 H ( 1 2 , 1 ) 中 Q n ( ⋅ + x n , ⋅ + y n ) ⇀ Q ∞     ( n → ∞ ) 。下证 M ( Q ∞ ) = μ 。令 Q n ˜ ( ⋅ , ⋅ ) = Q n ( ⋅ + x n , ⋅ + y n ) 。由弱下半连续性，有

M ( Q ∞ ) ≤ lim inf n → ∞ M ( Q n ) = μ

相反，假设 M ( Q ∞ ) < μ 。由弱收敛性，根据引理3，有：

lim n → ∞ { ‖ Q n ˜ ‖ H ( 1 2 , 1 ) 2 − ‖ Q n ˜ − Q ∞ ‖ H ( 1 2 , 1 ) 2 − ‖ Q ∞ ‖ H ( 1 2 , 1 ) 2 } = 0 (14)

lim n → ∞ { M ( Q n ˜ ) − M ( Q n ˜ − Q ∞ ) − M ( Q ∞ ) } = 0 (15)

这可推出

lim n → ∞ { H ( Q n ˜ ) − H ( Q n ˜ − Q ∞ ) − H ( Q ∞ ) } = 0 (16)

令 ν n = M ( Q n ˜ − Q ∞ ) ， μ ∞ = M ( Q ∞ ) 。因为序列 { ν n } ⊂ R ≥ 0 有界，存在子列 { ν n } (仍然记为 { ν n } )， ν ∞ ≥ 0 使得 lim n → ∞ ν n = ν ∞ 。由(15)式，假设 μ ∞ < μ ，推出 μ = ν ∞ + μ ∞ 和 ν ∞ > 0 。由(16)式和引理6有 θ = μ / ν n ， μ / μ ∞     ( > 1 ) ， lim n → ∞ ν n = ν ∞ ，有

I ( μ ) ≥ lim n → ∞ I ( ν n ) + I ( μ ∞ ) > lim n → ∞ ν n μ I ( μ ) + μ ∞ μ I ( μ ) = ν n μ I ( μ ) + μ ∞ μ I ( μ ) = I ( μ )

矛盾。因此，推出 M ( Q ∞ ) = μ 。

由 I ( μ ) 的定义，可得 I ( μ ) ≤ H ( Q ∞ ) 。根据 M ( Q ∞ ) = μ 和(15)式，得到 lim n → ∞ M ( Q n ˜ − Q ∞ ) = 0 。这和 { Q n ˜ } 在 H ( 1 2 , 1 ) 中的有界性，可推出 lim n → ∞ ‖ Q n ˜ − Q ∞ ‖ L p + 2 = 0 。进一步，由弱下半连续性得

H ( Q ∞ ) ≤ lim inf n → ∞ H ( Q n ˜ ) = I ( μ )

因此，得到 H ( Q ∞ ) ∈ ∑ ( μ ) 。进一步，有

lim n → ∞ 1 2 ( ‖ D x 1 2 Q n ˜ ‖ L 2 2 + ‖ ∂ y Q n ˜ ‖ L 2 2 ) = lim n → ∞ { H ( Q n ˜ ) + 1 p + 2 ‖ Q n ˜ ‖ L p + 2 p + 2 } = H ( Q ∞ ) + 1 p + 2 ‖ Q ∞ ‖ L p + 2 p + 2 = 1 2 ( ‖ D x 1 2 Q ∞ ‖ L 2 2 + ‖ ∂ y Q ∞ ‖ L 2 2 )

这推出在 H ( 1 2 , 1 ) 中 lim n → ∞ Q n ˜ = Q ∞ 。证毕。

现在证明定理2。

定理2的证明：由引理7，可得 ∑ ( μ ) ≠ ∅ ，即证明了解的存在性。下证 ∑ ( μ ) 的稳定性。反证：假设 ∑ ( μ ) 是不稳定的，下面推出矛盾。存在 ε 0 > 0 ，序列 { φ 0 , n } ⊂ H ( 1 2 , 1 ) ， { t n } ⊂ R 使得

lim n → ∞ inf φ ∈ ∑ ( μ ) ‖ φ 0 , n − Q ‖ H ( 1 2 , 1 ) = 0 (17)

inf φ ∈ ∑ ( μ ) ‖ φ n ( t n ) − Q ‖ H ( 1 2 , 1 ) ≥ ε 0 (18)

其中 φ n ( t ) 是方程(1)的解，满足 Q n ( 0 ) = Q 0 , n 。由方程(17)和守恒法则(4)，有

lim n → ∞ M ( φ n ( t n ) ) = lim n → ∞ M ( φ 0 , n ) = μ (19)

lim n → ∞ H ( φ n ( t n ) ) = lim n → ∞ H ( φ 0 , n ) = I ( μ ) (20)

根据引理6，存在 { φ n ( t n ) } 的子列(仍然记为 { φ n ( t n ) } )， { ( x n , y n ) } ⊂ R 2 ， φ ∞ ∈ H ( 1 2 , 1 ) 使得

lim n → ∞ φ n ( ⋅ + x n , ⋅ + y n , t n ) = φ ∞ 在 H ( 1 2 , 1 ) 中。 (21)

这可推出 φ ∞ ∈ ∑ ( μ ) ，这与(18)式相矛盾。证毕。

在这一部分，研究方程(3)在临界情况下解的存在性，即 p = 4 3 。

引理8：对于每个 μ = a 2 2 > 0 ，存在 a * > 0 ，当 0 < a ≤ a * 时，有 I ( μ ) = 0 ；当 a > a * 时，有 I ( μ ) → − ∞ 。

证明：令 Q ∈ H ( 1 2 , 1 ) 满足 M ( Q ) = μ 。考虑以下L²-拉伸变换：

T λ Q ( x , y ) = λ 3 4 Q ( λ x , λ 1 2 y ) , λ > 0 (22)

那么，得到 ‖ T λ Q ‖ L 2 = ‖ Q ‖ L 2 ，利用各向异性的Gagliardo-Nirenberg不等式(9)：

‖ Q ‖ L p + 2 p + 2 ≤ C ‖ Q ‖ L 2 4 − p 2 ‖ D x 1 2 Q ‖ L 2 p ‖ ∂ y Q ‖ L 2 p 2 , Q = Q ( x , y ) ∈ H ( 1 2 , 1 )

其中 0 < p < 4 。可得

H ( T λ Q ) = 1 2 ∬ R 2 ( H T λ Q ( x , y ) T λ Q ( x , y ) ¯ + | ∂ y T λ Q ( x , y ) | 2 ) d x d y − 3 10 ∬ R 2 | T λ Q ( x , y ) | 10 3 d x d y = λ 2 ∬ R 2 ( | D x 1 2 Q ( λ x , λ 1 2 y ) | 2 + | ∂ y Q ( λ x , λ 1 2 y ) | 2 ) d λ x d λ 1 2 y − 3 λ 10 ∬ R 2 | Q ( λ x , λ 1 2 y ) | 10 3 d λ x d λ 1 2 y = λ [ 1 2 ( ‖ D x 1 2 Q ‖ L 2 2 + ‖ Q y ‖ L 2 2 ) − 3 10 ‖ Q ‖ L 10 3 10 3 ] ≥ λ [ 1 2 ( ‖ D x 1 2 Q ‖ L 2 2 + ‖ Q y ‖ L 2 2 ) − 3 C 10 ‖ Q ‖ L 2 4 3 ‖ D x 1 2 Q ‖ L 2 4 3 ‖ Q y ‖ L 2 2 3 ]

≥ λ [ 1 2 ( ‖ D x 1 2 Q ‖ L 2 2 + ‖ Q y ‖ L 2 2 ) − 3 C 10 2 3 2 2 3 M ( Q ) 2 3 ( ‖ D x 1 2 Q ‖ L 2 2 + ‖ Q y ‖ L 2 2 ) ] = λ 1 2 ( ‖ D x 1 2 Q ‖ L 2 2 + ‖ Q y ‖ L 2 2 ) [ 1 2 − C 5 2 2 3 M ( Q ) 2 3 ] = λ 1 2 ( ‖ D x 1 2 Q ‖ L 2 2 + ‖ Q y ‖ L 2 2 ) [ 1 2 − C 5 2 2 3 ( a 2 2 ) 2 3 ] (23)

当 1 2 − C 5 2 2 3 ( a 2 2 ) 2 3 = 0 时，可得 a * = ( 5 2 C ) 3 4 。其中C是各项异性Gagliardo-Nirenberg不等式(9)中最佳常数由(10)给出。当 p = 4 3 时，

1) 对于每个 0 < a ≤ a * ，由(23)，可得 H ( T λ Q ) ≥ 0 ， I ( μ ) = inf H ( T λ Q ) ≥ 0 ，令 S μ   = { Q ∈ H ( 1 2 , 1 ) ( R 2 ) | μ =   M ( Q ) = 1 2 ‖ Q ‖ L 2 2 } 。令 Q t ( x , y ) = t Q ( t x , t y ) ， t > 0 ，那么 Q t ∈ S μ 。当 t → 0 时，有

I ( μ ) ≤ H ( Q t ) = t 2 2 ∬ R 2 H Q x ( t x , t y ) Q ( t x , t y ) ¯   d t x d t y − t p p + 2 ∬ R 2 | Q ( t x , t y ) | p + 2 d t x d t y → 0 (24)

所以 I ( μ ) ≤ 0 ，已证 I ( μ ) ≥ 0 ，因此 I ( μ ) = 0 。

2) 对于每个 a > a * ，令 Q t ( x , y ) = μ t Q ( t x , t y ) ‖ Q ‖ L 2 ， t > 0 。因此， Q t ∈ S a 。有

H ( Q t ) = 1 2 ∬ R 2 H ( Q t ) x ( x , y ) Q t ( x , y ) ¯   d x d y − 1 p + 2 ∬ R 2 | Q t ( x , y ) | p + 2 d x d y = 1 2 ∬ R 2 H ( μ t Q ( t x , t y ) ‖ Q ‖ L 2 ) x μ t Q ( t x , t y ) ¯ ‖ Q ‖ L 2 d x d y − 1 p + 2 ∬ R 2 | μ t Q ( t x , t y ) ‖ Q ‖ L 2 | p + 2 d x d y = 1 2 ∬ R 2 μ t Q ( t x , t y ) ‖ Q ‖ L 2 μ t Q ( t x , t y ) ¯ ‖ Q ‖ L 2 d t x d t y − t p p + 2 ∬ R 2 | μ t Q ( t x , t y ) ‖ Q ‖ L 2 | p + 2 d t x d t y = 1 2 ∬ R 2 μ Q ( x , y ) ‖ Q ‖ L 2 μ Q ( x , y ) ¯ ‖ Q ‖ L 2 d x d y − t p p + 2 ∬ R 2 | μ Q ( x , y ) ‖ Q ‖ L 2 | p + 2 d x d y → − ∞ ( t → + ∞ ) (25)

因此当 t → + ∞ 时 I ( μ ) → − ∞ 。证毕。

下证定理3。

定理3的证明：由引理8，1) 当 0 < a ≤ a * 时， I ( μ ) = 0 。

而当 0 < a < a * ， Q ≠ 0 时，在(23)式中取 λ = 1 ，那么 H ( Q ) > 0 = I ( μ ) 。所以当 M ( Q ) = a 2 2 时， H ( Q ) 取不到最小值，即 ∑ ( μ ) = ∅ 。

2) 当 a > a * 时， I ( μ ) → − ∞ ，其中 μ = M ( Q ) = a 2 2 。所以对 a > 0 ， I ( μ ) 是下无界的，即 ∑ ( μ ) = ∅ 。证毕。

定理1的证明：1) 由定理2，当 0 < p < 4 3 时，那么对于 0 < a ≤ ( 4 − p ) 1 2 ( p 3 p 4 2 p 2 ) 2 4 − 3 p ，可得集合 ∑ ( μ ) 非空并且是稳定的， S a ( Q ) 可以取到最小值，那么方程(3)存在基态解，即方程(1)存在规范解。

2) 由定理3，当 p = 4 3 时，当 0 < a < a * 或 a > a * 时， ∑ ( μ ) = ∅ ，即 S a ( Q ) 取不到极小值，那么方程(3)不存在基态解，即方程(1)没有规范解。证毕。

王元舜. 二维Benjamin-Ono-Zakharov-Kuznetsov方程的规范解Normalized Solitary Waves of the Two-Dimensional Generalized Benjamin-Ono-Zakharov-Kuznetsov Equation[J]. 理论数学, 2023, 13(04): 1122-1134. https://doi.org/10.12677/PM.2023.134117