首先引入一类具有Holling II功能反应和Neumann边界条件的扩散捕食系统，通过本征值研究正平衡点的一致渐近稳定性，并构造V函数给出全局渐近稳定性定理。其次，对于相应的稳定态系统，利用极值原理、Harnack不等式和能量积分推导了先验估计和非常数正解不存在性定理，最后利用单重本征值分支理论讨论了正常数稳态解的局部分支。

扩散捕食系统，稳定性分析，先验估计，非常数正解，分支理论

Shuangte Wang¹, Hengguo Yu²

¹Yueqing No.3 Middle School, Wenzhou Zhejiang

²College of Mathematics and Physics, Wenzhou University, Wenzhou Zhejiang

Received: Mar. 13^th, 2023; accepted: Apr. 14^th, 2023; published: Apr. 23^rd, 2023

The author firstly introduced a diffusive predator-prey system with Holling type II functional response subject to homogeneous Neumann boundary conditions, presented uniform asymptotic stability via eigenvalues, and also gave global asymptotic stability by constructing a V function. Then, for the corresponding steady state system, prior estimates and theorems about non-existence of non-constant positive solutions were deduced with the help of the maximum principle, the Harnack inequality and energy integration. Finally, local bifurcation from positive constant steady state solution was discussed by using the simple eigenvalue bifurcation theory.

Keywords:Diffusive Predator-Prey System, Stability Analysis, Prior Estimate, Non-Constant Positive Solution, Bifurcation Theory

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在文献 [ 1 ] 中，作者考虑了如下反应–扩散捕食系统：

u t − D 1 Δ u = r 1 u ( 1 − u K 1 ) − α u v a + u − m 1 u , t > 0 , x ∈ Ω , (1a)

v t − D 2 Δ v = α e u v a + u − m 2 v − d v 2 , t > 0 , x ∈ Ω , (1b)

∂ ν u = ∂ ν v = 0 , x ∈ ∂ ( Ω ) , t ≥ 0 , (1c)

u ( 0 , x ) = u 0 ( x ) ≥ 0 ( ≡ 0 ) , v ( 0 , x ) = v 0 ( x ) ≥ 0 ( ≡ 0 ) , x ∈ Ω , (1d)

其中正常数 r 1 ， K 1 ， α ，a， m 1 ， m 2 ，e和d有其各自生物学意义，见上述文献，而正常数 D 1 和 D 2 称为扩散系数。耦合项 α u a + u 称为Holling II功能反应，与经典的Lotka-Volterra模型比较，对于种群动力学的研究更具有现实意义 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] 。 u = u ( t , x ) 和 v = v ( t , x ) 分别表示食饵和捕食者的种群密度， Δ 是Laplace算子。条件(1c)称为齐次Neumann边界条件，其意义可参看文献 [ 6 ] [ 7 ] ；初始条件(1d)表明解是非负的且 u ( t , x ) > 0 和 v ( t , x ) > 0 [ 8 ] 。为方便研究，将系统(1)化为如下无量纲形式 [ 1 ] ：

u t − D 1 Δ u = u ( 1 − u K 1 ) − α u v 1 + u − m 1 u , t > 0 , x ∈ Ω , (2a)

v t − D 2 Δ v = α u v 1 + u − m 2 v − d v 2 , t > 0 , x ∈ Ω , (2b)

∂ ν u = ∂ ν v = 0 , t ≥ 0 , x ∈ ∂ ( Ω ) , (2c)

u ( 0 , x ) = u 0 ( x ) ≥ 0 ( ≡ 0 ) , v ( 0 , x ) = v 0 ( x ) ≥ 0 ( ≡ 0 ) , x ∈ Ω   . (2d)

系统(1)所对应常微分系统(Bazykin捕食系统)研究可参看文献 [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] 。文献 [ 1 ] 考虑了系统(2)的全局稳定性和Hopf分支，同时给出了分支方向计算公式。对于系统(1)，当 d = m 1 = 0 时，文献 [ 6 ] 通过数值模拟表明两种群对初值具有敏感性，复杂的时序动态可由空间维度所引发。对于系统(2)，当 d = m 1 = 0 时，文献 [ 7 ] 研究了常数共存稳态解的Hopf分支以及对应扩散系统的稳态分支，由此文献 [ 13 ] 则考虑了带有Holling III型功能反应的Turing失稳和Hopf分支。带有Holling II功能反应的扩散捕食系统进一步研究可参考 [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] ，如文献 [ 16 ] 研究了当 d = m 1 = 0 时系统(2)的非常数正稳态解的不存在性。

基于文献 [ 1 ] [ 7 ] [ 16 ] 的基础，本文继续研究系统(2)的稳定性，如局部的和全局的稳定性，同时考虑对应稳定态系统的动力学性质，如正常数解的存在性及其分支问题：

− D 1 Δ u = u ( 1 − u K 1 ) − α u v 1 + u − m 1 u , x ∈ Ω , (3a)

− D 2 Δ v = α u v 1 + u − m 2 v − d v 2 , x ∈ Ω , (3b)

∂ ν u = ∂ ν v = 0 , x ∈ ∂ ( Ω ) , (3c)

这里 Ω 是 R n ( n ≥ 1 ) 上有界区域且带有光滑边界 ∂ ( Ω ) 。最后本文安排如下。第1节给出了平衡点存在性条件，同时给出了系统(2)的一致渐近稳定性和全局稳定性定理，第2节考虑了系统(3)的先验估计，第3节证明了系统(3)的非常数正解不存在性，最后分析了系统(3)正常数解的局部分支。

本节考虑系统(2)正平衡点的一致渐近稳定性和全局稳定性。

本节考虑系统(3)的先验估计。显然由极值原理可得如下定理，证明略。

定理3：对于系统(3)，任意正解满足 0 ≤ u ( x ) ≤ K 1 ， 0 ≤ v ( x ) ≤ v m ， x ∈ Ω ¯ 。

其中上界 v m 不作特别说明时一般指 v m ( K 1 ) : = α K 1 d ( 1 + K 1 ) 。其次，在上述定理基础上，给出如下定理。

定理4：如果 1 − m 1 > α v m ( K 1 ) ， α u 2 1 + u 2 ≠ m 2 ，则对于任意正解及某个 D 2 * ，存在固定正常数C，使得当 D 2 ≥ D 2 * 时有

K 1 [ 1 − m 1 − α v m ( K 1 ) ] ≤ u ( x ) ≤ u 2 , C ≤ v ( x ) ≤ v m [ ( 1 − m 1 ) K 1 ] , x ∈ Ω ¯   . (5)

并注意到函数 v m [ ( 1 − m 1 ) K 1 ] 。

证明：只需证明正数C存在即可。假设不成立，则存在一列正解 { u i } i = 1 ∞ ， { v i } i = 1 ∞ 及正数 { D 2 , i } i = 1 ∞ ， D 2 , i ≥ D 2 * ，使得 min Ω ¯ { v i } → 0 ， i → ∞ ，由Harnack不等式 [ 20 ] 可知 v i 在 Ω ¯ 上一致收敛于0。现构造 w i = v i ‖ v i ‖ ∞ ， ‖ w i ‖ ∞ ≡ 1 ，则 ( u i , w i ) 满足椭圆问题

− D 1 Δ u i = u i ( 1 − u i K 1 − m 1 − α v i 1 + u i ) , x ∈ Ω , (6a)

− D 2 , i Δ w i = w i ( α u i 1 + u i − m 2 − d v i ) , x ∈ Ω , (6b)

∂ ν u i = ∂ ν w i = 0 , x ∈ ∂ ( Ω ) . (6c)

对(6)积分有

∫ Ω u i ( 1 − u i K 1 − m 1 − α v i 1 + u i ) d x = 0 , (7a)

∫ Ω w i ( α u i 1 + u i − m 2 − d v i ) d x = 0. (7b)

由Sobolev嵌入定理和椭圆方程正则估计可知，存在子列 { u i k } k = 1 ∞ ， { w i k } k = 1 ∞ ，使得 u i k → u ˜ ， w i k → w ˜ ， k → ∞ ，其中 u i k ， w i k ， u ˜ ， w ˜ ∈ C 2 ( Ω ) 。由于 v i k → 0 ， k → ∞ ，故 ( u ˜ , 0 ) 也是(3)的解，因此(7a)化为 ∫ Ω u ˜ ( 1 − u ˜ K 1 − m 1 ) d x = 0 ，这样 u ˜ = u 2 。再由(7b)可知 ∫ Ω w ˜ ( α u 2 1 + u 2 − m 2 ) d x = 0 ，这导致矛盾！

本节考虑系统(3)非常数正解的不存在性。

定理5：对于系统(3)的正解，如果存在正数 λ 1 ，使得 λ 1 D 1 > 1 且 λ 1 D 2 > α 2 K 1 v m λ 1 D 1 − 1 + α K 1 ，则(3)不存在非常数正解。

证明：首先定义可积函数f的平均为 f ¯ = ∫ Ω f d x | Ω | 。取正解 u , v ，设 ϕ = u − u ¯ ， ψ = v − v ¯ ，利用Neumann边界条件可得

∫ Ω D 1 | ∇ ϕ | 2 d x = ∫ Ω { [ 1 − m 1 − u + u ¯ K 1 − α v ¯ ( 1 + u ) ( 1 + u ¯ ) ] ϕ 2 − α u 1 + u ϕ ψ } d x , (8a)

∫ Ω D 2 | ∇ ψ | 2 d x = ∫ Ω { [ α u 1 + u − m 2 − d ( v + v ¯ ) ] ψ 2 + α v ¯ ( 1 + u ) ( 1 + u ¯ ) ϕ ψ } d x . (8b)

引入正数 η 并相加有

∫ Ω ( D 1 | ∇ ϕ | 2 + η D 2 | ∇ ψ | 2 ) d x = ∫ Ω ( A ϕ 2 + B ϕ ψ + C ψ 2 ) d x , (9)

其中

A = 1 − m 1 − u + u ¯ K 1 − α v ¯ ( 1 + u ) ( 1 + u ¯ ) ≤ 1 ,

B = − α u 1 + u + α v ¯ η ( 1 + u ) ( 1 + u ¯ ) ≤ α ( v m η + K 1 ) = B ¯ ,

C = [ α u 1 + u − m 2 − d ( v + v ¯ ) ] η ≤ α η K 1 = C ¯ .

由Poincare不等式可知，存在正数 λ 1 使得

∫ Ω ( D 1 | ∇ ϕ | 2 + η D 2 | ∇ ψ | 2 ) d x ≥ λ 1 ∫ Ω ( D 1 ϕ 2 + η D 2 ψ 2 ) d x , (10)

因此

∫ Ω [ ( 1 − λ 1 D 1 ) ϕ 2 + B ¯ | ϕ ψ | + ( C ¯ − λ 1 D 2 η ) ψ 2 ] d x ≥ 0. (11)

特别的，取正数 η 0 = K 1 v m ，(11)中的判别式为

Δ ϕ ψ = B ¯ 2 − 4 ( 1 − λ 1 D 1 ) ( C ¯ − λ 1 D 2 η 0 ) = 4 η 0 ( λ 1 D 1 − 1 ) [ α 2 K 1 v m + ( λ 1 D 1 − 1 ) α K 1 λ 1 D 1 − 1 − λ 1 D 2 ] < 0 ,

因此 ϕ = ψ = 0 。

定理6：对于(3)的正解，如果存在正数 λ 1 ，使得 λ 1 D 1 > 1 + α K 1 2 ( 1 + K 1 ) + α v m 2 且 λ 1 D 2 > 3 α K 1 2 ( 1 + K 1 ) + α v m 2 成立，则系统(3)不存在非常数正解。

证明：显然由(8)可得

∫ Ω D 1 | ∇ ϕ | 2 d x ≤ ∫ Ω [ ϕ 2 + α K 1 2 ( 1 + K 1 ) ( ϕ 2 + ψ 2 ) ] d x ,

∫ Ω D 2 | ∇ ψ | 2 d x ≤ ∫ Ω [ α K 1 1 + K 1 ψ 2 + α v m 2 ( ϕ 2 + ψ 2 ) ] d x .

将上述不等式相加，并由定理条件及Poincare不等式(10)可知结论成立。

本节利用文献 [ 21 ] 的单重本征值分支理论，考虑系统(3)正常数解的局部分支，例如以 δ = d 或扩散常数为分支参数。设1.2节中本征值 μ j 是单重的，对应本征函数族 { φ j } j = 0 ∞ 是 L 2 ( Ω ) 中正交归一基，内积为 〈 U , V 〉 = ∫ Ω U T V d x 。再定义算子 K ^ ( δ , E * ) = ∂ ∂ δ J ( δ , E * ) 及映射

F ( δ , u , v ) = ( D 1 Δ u + u ( 1 − u K 1 ) − m 1 u − α u v 1 + u D 2 Δ v + α u v 1 + u − m 2 v − δ v 2 ) .

如果有条件(H2)： μ k D 1 < J 11 ( E * ) ， D 2 < − J 12 ( E * ) J 21 ( E * ) D 1 J 11 2 ( E * ) ，则由 det L ^ k ( δ , E * ) = 0 可确定临界值

δ 0 = D 1 D 2 μ k 2 − D 2 J 11 ( E * ) μ k − J 12 ( E * ) J 21 ( E * ) v * [ J 11 ( E * ) − D 1 μ k ] > 0. (12)

进一步的，如果 ∂ δ 0 ∂ μ k 定号，或者 δ 0 关于 μ k 严格单调，或者 δ 0 ( μ k ) ≠ δ 0 ( μ j ) ( k ≠ j ) ，则 det L ^ j ( δ 0 , E * ) ≠ 0 ( j ≠ k ) 。不难计算得到 K e r   L ^ ( δ 0 , E * ) = s p a n { φ } ， φ = ( 1 b k ) φ k ，其中 b k = α v * ( 1 + u * ) 2 ( D 2 μ k + δ 0 v * ) > 0 ，再由Fredholm选择定理知

c o d i m   ℜ L ^ ( δ 0 , E * ) = d i m K e r   L ^ ( δ 0 , E * ) = 1. (13)

考虑伴随算子 L ^ ( δ 0 , E * ) * = L ^ ( δ 0 , E * ) T ，不难计算得到 K e r   L ^ ( δ 0 , E * ) * = s p a n { ψ } ， ψ = ( 1 b k * ) φ k ，其中 b k * = − α u * ( 1 + u * ) ( D 2 μ k + δ 0 v * ) < 0 。最后计算可得

〈 K ^ ( δ 0 , E * ) φ , ψ 〉 = J ′ 11 + b k J ′ 12 + b k * ( J ′ 21 + b k J ′ 22 ) . (14)

其中 J ′ i j = ∂ ∂ δ J i j ( δ 0 , E * ) 。只要 〈 K ^ ( δ 0 , E * ) φ , ψ 〉 ≠ 0 ，就有 K ^ ( δ 0 , E * ) φ ∉ ℜ L ^ ( δ 0 , E * ) 。这样就得到下面的定理。

定理7：对于系统(3)及 E * ，如果存在 μ k 使得(H2)和 〈 K ^ ( δ 0 , E * ) φ , ψ 〉 ≠ 0 成立，而 ∂ δ 0 ∂ μ k 定号，或者 δ 0 关于 μ k 严格单调，或者 δ 0 ( μ k ) ≠ δ 0 ( μ j ) ( k ≠ j ) ，则 ( δ 0 , E * ) 是方程 F ( δ , u , v ) = 0 的分支点。此外，对于参数 | s | ≪ 1 ，存在方程 F ( δ , u , v ) = 0 的 C 1 函数类 ( δ ( s ) , u ( s ) , v ( s ) ) 满足

( δ ( 0 ) , u ( 0 ) , v ( 0 ) ) = ( δ 0 , E * ) , u ( s ) = u * + s φ k + o ( s ) , v ( s ) = v * + s b k φ k + o ( s ) .

本文定性分析了一类具有Holling II功能反应和Neumann边界条件的扩散捕食系统及其对应稳态系统(椭圆问题)，包括先验估计，非常数正解的不存在性和局部分支定理。今后可继续考虑全局渐近稳定性条件(例如持久性引出的结论，V函数的构造)，非常数正解的存在性问题(例如嵌入定理和正则性理论，利用拓扑度理论证明非常数正解的存在性)，以及对局部分支作深入研究(例如分支参数的具体化，正常数解局部分支的存在性条件)。

作者感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见，感谢编辑的细致工作，感谢温州大学的赵敏老师和戴传军老师，感谢乐清市柳市镇第三中学的郑孟老师和赵淑静老师，感谢乐清城南中学的陈谱锦老师

王双特,于恒国. 具有Holling II功能反应扩散捕食系统的定性分析Qualitative Analysis of a Diffusive Predator-Prey System with Holling Type II Functional Response[J]. 理论数学, 2023, 13(04): 809-817. https://doi.org/10.12677/PM.2023.134084