如图1所示，为一种波浪能装置示意图，由浮子、振子、中轴以及能量输出系统(PTO，包括弹簧和阻尼器)构成，其中振子、中轴及PTO装置(如图2所示)被密封在浮子内部；浮子由质量均匀分布的圆柱壳体和圆锥壳体组成；中轴底座固定于隔层的中心位置，中轴架通过转轴铰接于中轴底座中心，中轴绕转轴转动，PTO系统连接振子和转轴架，并处于中轴与转轴所在的平面。除了直线阻尼器，在转轴上还安装了旋转阻尼器和扭转弹簧，直线阻尼器和旋转阻尼器共同做功输出能量。在波浪的作用下，浮子进行摇荡运动，并通过转轴及扭转弹簧和旋转阻尼器带动中轴转动。

浮体在波浪的作用下做摇荡运动时，会受到海水的作用，包括附加惯性力(矩)、兴波阻尼力(矩)和静水恢复力(矩) [ 4 ]。设定F_e水平面波动造成的波浪激励力，F_r为水平面兴波阻尼力，F_PTO为输出系统PTO力，F_hs为静水回复力，设m₁为浮子质量，m₂为振子质量，A为附加质量，设z₁为浮子垂荡位移，z₂为振子垂荡位移。

图1. 垂荡纵摇浮子式波浪能装置

图2. PTO装置示意图

1) 波浪激励力：海平面波浪对装置产生的周期性作用力

F e = F f cos ω t (1)

2) 兴波阻尼力：浮体在海水中做摇荡运动时，会兴起波浪，从而产生对浮体摇荡运动的阻力

F r ( t ) = γ z ˙ (2)

3) PTO作用力：PTO装置中弹簧以及阻尼对装置的作用力

F P T O = k P T O ( z 2 − z 1 ) + c P T O ( z ˙ 2 − z ˙ 1 ) (3)

4) 静水回复力：浮体在海水中做垂荡或者纵摇运动时，会受到使浮体回到平衡位置的作用力

F h s ( t ) = ρ g V ( t ) (4)

根据振子、浮子运动方式，可以得出静水中浮子的静止水面下的体积随时间的变化 V ( t ) ，由后续求解可知浮子振幅小于1 m，静水恢复力在线性区间(圆柱区间)。因此静水恢复力有以下形式：

V ( t ) = π R 2 z 1 (5)

将5)带入4)式中可得，

F h s ( t ) = ρ g π R 2 z 1 (6)

根据浮子运动状态可知，此外，由于推动浮体做摇荡运动的力不仅要推动浮体运动，还要推动浮体周围的流体运动，因而要使浮体在海水中获得加速度，需要施加额外的力，即为附加惯性力。对应牛顿方程中惯性质量的增加A。

对振子和浮子分别做受力分析如图3所示：

图3. 振子、浮子受力分析

振子受力分析：

{ 振 子 重 力   G = m 2 g PTO     装 置 作 用 力   F P T O = k P T O z 2 + c P T O z ˙ 2 振 子 与 浮 子 垂 直 于 中 轴 方 向 的 相 互 作 用 力   F 1 (7)

沿中轴运动方向运动方程为：

m 2 [ z ¨ 1 cos ( θ 1 + θ 2 ) + z ¨ 2 − z 2 ( θ ˙ 1 ) + ( θ ˙ 2 ) 2 ] = k P T O ( z 1 − l ) + C P T O z ˙ 2 + m 2 g cos ( θ 1 + θ 2 ) (8)

垂直中轴运动方向方程为：

m 2 [ − z ¨ 1 sin ( θ 1 + θ 2 ) + 2 z ˙ 2 ( θ ˙ 1 + θ ˙ 2 ) + z 2 ( θ ¨ 1 + θ ¨ 2 ) ] = F 1 − m 2 g cos ( θ 1 + θ 2 ) (9)

浮子受力分析：对于浮子，只考虑竖直方向的垂荡运动。我们将振子重力项并入PTO装置弹簧恢复力，浮子重力项并入静水恢复力中，综上得竖直方向力为：

{ 波 浪 激 励 力   F e = F f cos ω t PTO     装 置 作 用 力 分 力   F P T O = k P T O ( z 1 − l + m 2 g / k ) cos ( θ 1 + θ 2 ) + c P T O z ˙ 2 cos ( θ 1 + θ 2 ) 静 水 恢 复 力   F h s = ρ g π R 2 z 1 振 子 作 用 力 分 力   F 1 sin ( θ 1 + θ 2 ) 兴 波 阻 尼 力   F r = γ z ˙ 1 附 加 惯 性 力   F a = A z ¨ 1 (10)

波浪能装置转动惯量计算：

振子对转轴的转动惯量：

I 2 = m 2 r 2 4 + m 2 h 2 12 + m 2 z 2 2 (11)

浮子外壳对转轴的转动惯量：圆柱高度H₁、圆锥高度H₂

I 1 = 2 π R H 1 π R L + 2 π R H 1 m 1 ( R 2 2 + H 1 3 3 ) + π R L π R L + 2 π R H 1 m 1 ( H 2 2 6 + R 2 4 ) (12)

振子转矩受力分析：

{ PTO     装 置 的 扭 矩   M P T O = k m θ 2 + c m θ ˙ 2 振 子 重 力 力 矩   M g = m g z 2 sin ( θ 1 + θ 2 ) (13)

浮子受力分析：

{ PTO     装 置 的 扭 矩   M P T O = − ( k m θ 2 + c m θ ˙ 2 ) 静 水 恢 复 力 矩   M h s = ρ g π R 2 θ 1 兴 波 阻 尼 力 矩   M r = r m θ ˙ 1 附 加 惯 性 力 矩   M a = I 1 θ ¨ 2 波 浪 激 励 力 矩   M e = L cos ( ω t ) (14)

装置初始状态方程：

{ z 2 ( 0 ) = l − m g k z 1 ( 0 ) = z ˙ 1 ( 0 ) = z ˙ 2 ( 0 ) = 0 θ 1 ( 0 ) = θ 2 ( 0 ) = θ ˙ 1 ( 0 ) = θ ˙ 2 ( 0 ) = 0 (15)

据上文中建立的势流理论模型求解波浪能装置整体基于海平面的静止状态特征，假设：

1、将海平面作为参考系；

2、设置垂直于海平面竖直向上为竖直正方向；

3、浮子初始振荡频率与波浪激励振动频率相同，无滞后状态；

将式(15)经过拉普拉斯变换求解得到高阶偏微分方程组，运用数值计算软件中计算，解出浮子和振子在波浪激励力 f cos ω t (f为波浪激励力振幅， ω 为波浪频率)作用下前40个波浪周期内时间间隔为0.2 s的垂荡位移和速度以及纵摇角位移和角速度，再将t = 10 s、20 s、40 s、60 s、100 s带入式子中，得到下列数据，如表1、表2所示。

利用编程软件解出的结果导出为可视化的图像，有利于直观地展示其中的关系，如图4、图5所示。

表1. 浮子和振子的垂荡位移和速度表

表2. 浮子和振子的纵摇角位移和角速度表

图4. 振子与浮子运动时间图

图5. 振子与浮子转动时间图

在先前的研究中，PTO系统可以是直线电机或液压PTO系统，以液压PTO系统为例，系统中的蓄能器、油液刚度等要素决定了系统刚度k_pto，通常k_pto的选取主要考虑减少系统内部流量、压力波动，其作为储能元件不参与能量吸收 [ 4 ]。而该PTO系统中则主要以阻尼装置作为功率转化输出系统，取浮子为研究对象，建立其运动方程，得到其功率计算方程：

P ( i ω ) = P θ + P z = 1 2 ω 2 c P T O ( | z 1 | − | z 2 | ) 2 + 1 2 ω 2 c m ( | θ 1 | − | θ 2 | ) (16)

同时运用局部遍历算法进行计算，考虑浮子在波浪中只做垂荡和纵摇的情形，针对直线阻尼器和旋转阻尼器的阻尼系数均为常量且为相同值的情况，当直线阻尼器和旋转阻尼器的阻尼系数均在区间[0,100000]内取值，计算出最大输出功率及相应的最优阻尼系数为1000，如图6所示。同时还可以看出随着时间变换，其功率会呈现一个震荡的状态，但在高阻尼处的平均功率明显大于低阻尼状态。

图6. 输出功率-PTO装置阻尼系数时间关系图

同时得出最大输出功率时浮子、振子的运动状态，如图7所示：

图7. 最大输出功率状态下振子和浮子的稳定运动状态