考虑长度a宽度b和均匀厚度h的FG矩形板，其几何结构和坐标系如图1所示，假设其底面为金属顶面为陶瓷，其材料特性在厚度方向均匀变化。基于具有均匀孔隙率的混合律模型，FG板的材料参数可以写成厚度坐标z的函数表示如式(1)~(3)，角标c和m分别表示陶瓷和金属，P表示FG板的幂律指数，ζ表示FG板的物性参数(杨氏模量E、泊松比v和密度ρ)， ζ c 和 ζ m 分别表示陶瓷和金属的物性参数，ξ (0 < ξ ≤ 1)表示孔隙率。

图1. 矩形FGM板嵌入(a) Winkler基础(b) Pasternak基础和(c) Kerr基础

四变量板理论的位移场定义为

u = u 0 − z ∂ w b ∂ x + f ( z ) ∂ w s ∂ x , v = v 0 − z ∂ w b ∂ y + f ( z ) ∂ w s ∂ y , w = w b + w s (7)

其中u₀和v₀分别表示x和y方向的面内位移，横向位移w分为弯曲作用引起的 w b 和剪切作用引起的 w s ， f ( z ) 是剪切形函数，本文用到的是一种新的多项式函数

f ( z ) = 0.1 z − 1.62 z 3 − 16 5 h 4 ( 1 − 13.86 h 2 4 ) z 5 (8)

基于小变形假设，线性应变表示如下

{ ε x x ε y y γ x y } = { ∂ u 0 ∂ x ∂ v 0 ∂ y ∂ u 0 ∂ y + ∂ v 0 ∂ x } + z { − ∂ 2 w b ∂ x 2 − ∂ 2 w b ∂ y 2 − 2 ∂ 2 w b ∂ x ∂ y } + f ( z ) { ∂ 2 w s ∂ x 2 ∂ 2 w s ∂ y 2 2 ∂ 2 w s ∂ x ∂ y } , { γ x z γ y z } = { ( 1 + f ′ ( z ) ) ∂ w s ∂ x ( 1 + f ′ ( z ) ) ∂ w s ∂ y } (9)

广义胡克定律的应力应变关系为

{ σ x x σ y y σ z z τ x y τ x z τ y z } = { Q 11 Q 12 Q 13 0 0 0 Q 21 Q 22 Q 23 0 0 0 Q 31 Q 32 Q 33 0 0 0 0 0 0 Q 66 0 0 0 0 0 0 Q 44 0 0 0 0 0 0 Q 55 } { ε x x ε y y ε z z γ x y γ x z γ y z } (10)

其中应力为( σ x x , σ y y , σ z z , τ x y , τ x z , τ y z )，应变为( ε x x , ε y y , ε z z , γ x y , γ x z , γ y z )，在不考虑厚度拉伸效应时( ε z z = 0 )弹性常数定义如下

Q 11 = Q 22 = E ( z ) 1 − v ( z ) 2 ,   Q 12 = Q 21 = v ( z ) E ( z ) 1 − v ( z ) 2 ,   Q 66 = Q 44 = Q 55 = E ( z ) 2 ( 1 + v ( z ) ) (11)

应用哈密顿能量原理推导孔隙依赖FG板的运动方程

∫ δ ( U S + V E − K ) d t = 0 (12)

其中 δ 是变分符号， U S 分别表示应变能， V E 表示弹性地基势能，K表示FG板的动能。

应变能变分为

δ U S = ∬ A ∫ − h / 2 h / 2 ( σ x x δ ε x x + σ y y δ ε y y + τ x y δ γ x y + τ x z δ γ x z + τ y z δ γ y z ) d z d A = ∬ A [ N x x δ ∂ u 0 ∂ x − M x x δ ∂ 2 w b ∂ x 2 + S x x δ ∂ 2 w s ∂ x 2 + N y y δ ∂ v 0 ∂ y − M y y δ ∂ 2 w b ∂ y 2 + S y y δ ∂ 2 w s ∂ y 2     + N x y ( δ ∂ u 0 ∂ y + δ ∂ v 0 ∂ x ) − 2 M x y δ ∂ 2 w b ∂ x ∂ y + 2 S x y δ ∂ 2 w s ∂ x ∂ y + Q x δ ∂ w s ∂ x + Q y δ ∂ w s ∂ y ] d A (13)

其中

( N x x , N y y , N x y ) = ∫ − h / 2 h / 2 ( σ x x , σ x x , σ x x ) d z ( M x x , M y y , M x y ) = ∫ − h / 2 h / 2 ( σ x x , σ x x , σ x x ) z d z ( S x x , S y y , S x y ) = ∫ − h / 2 h / 2 ( σ x x , σ x x , σ x x ) f ( z ) d z ( Q x , Q y ) = ∫ − h / 2 h / 2 ( τ x z , τ y z ) ( 1 + f ′ ( z ) ) d z (14)

( A i j , B i j , C i j , D i j , H i j , F i j , K i j ) = ∫ z k z k + 1 Q i j [ 1 , z , f ( z ) , z 2 , z f ( z ) , f 2 ( z ) , ( f ′ ( z ) + 1 ) 2 ] d z (15)

势能变分为

δ V E = − ∫ A ∫ − h / 2 h / 2 ( q W i n k l e r + q P a s t e r n a k + q K e r r ) δ ( w b + w s ) d z d A (16)

动能变分为

δ K = ∫ 0 a ∫ 0 b ∫ z k z k + 1 ρ ( z ) ( U ˙ δ U ˙ + V ˙ δ V ˙ + W ˙ δ W ˙ ) d z d x d y = ∫ 0 a ∫ 0 b { I 0 [ u ˙ 0 δ u ˙ 0 + v ˙ 0 δ v ˙ 0 + ( w ˙ b + w ˙ s ) δ ( w ˙ b + w ˙ s ) ] − I 1 [ ∂ w ˙ b ∂ x δ u ˙ 0 + v ˙ 0 δ ∂ w ˙ b ∂ y + u ˙ 0 δ ∂ w ˙ b ∂ x       + ∂ w ˙ b ∂ y δ v ˙ 0 ] + I 2 [ ∂ w ˙ b ∂ y δ ∂ w ˙ b ∂ y + ∂ w ˙ b ∂ x δ ∂ w ˙ b ∂ x ] + I 3 [ u ˙ 0 δ ∂ w ˙ s ∂ x + v ˙ 0 δ ∂ w ˙ s ∂ y + ∂ w ˙ s ∂ y δ v ˙ 0 + ∂ w ˙ s ∂ x δ u ˙ 0 ]       − I 4 [ ∂ w ˙ b ∂ x δ ∂ w ˙ s ∂ x + ∂ w ˙ s ∂ x δ ∂ w ˙ b ∂ x + ∂ w ˙ s ∂ y δ ∂ w ˙ b ∂ y + ∂ w ˙ b ∂ y δ ∂ w ˙ s ∂ y ] + I 5 [ ∂ w ˙ s ∂ y δ ∂ w ˙ s ∂ y + ∂ w ˙ s ∂ x δ ∂ w ˙ s ∂ x ] } d A (17)

位移变量上的点表示对时间求导，其中

[ I 0 , I 1 , I 2 , I 3 , I 4 , I 5 ] = ∫ z k z k + 1 ρ ( z ) [ 1 , z , z 2 , f ( z ) , z f ( z ) , f 2 ( z ) ] d z (18)

将应变能(13)、势能(16)和动能(17)带入式(12)，通过对各项积分，可以得到孔隙依赖FG板的运动方程：

δ u 0 : ∂ N x x ∂ x + ∂ N x y ∂ y = I 0 u ¨ 0 − I 1 ∂ w ¨ b ∂ x − I 3 ∂ w ¨ s ∂ x δ v 0 : ∂ N y y ∂ y + ∂ N x y ∂ x = I 0 v ¨ 0 − I 1 ∂ w ¨ b ∂ y − I 3 ∂ w ¨ s ∂ y δ w b : ∂ 2 M x x ∂ x 2 + ∂ 2 M y y ∂ y 2 + 2 ∂ 2 M x y ∂ x ∂ y − ( q W i n k l e r + q P a s t e r n a k + q K e r r )                 = − I 1 ∂ u ¨ 0 ∂ x + I 2 ∂ 2 w ¨ b ∂ x 2 − I 4 ∂ 2 w ¨ s ∂ x 2 − I 1 ∂ v ¨ 0 ∂ y + I 2 ∂ 2 w ¨ b ∂ y 2 − I 4 ∂ 2 w ¨ s ∂ y 2 + I 0 ( w ¨ b + w ¨ s ) δ w s : ∂ 2 S x x ∂ x 2 + ∂ 2 S y y ∂ y 2 + 2 ∂ 2 S x y ∂ x ∂ y − ∂ Q x ∂ x − ∂ Q y ∂ y − ( q W i n k l e r + q P a s t e r n a k + q K e r r )                 = − I 3 ∂ u ¨ 0 ∂ x + I 4 ∂ 2 w ¨ b ∂ x 2 − I 5 ∂ 2 w ¨ s ∂ x 2 − I 3 ∂ v ¨ 0 ∂ y + I 4 ∂ 2 w ¨ b ∂ y 2 − I 5 ∂ 2 w ¨ s ∂ y 2 + I 0 ( w ¨ b + w ¨ s ) (19)

表1给出的两边简支FG板考虑不同纵横比(b/a)、厚度比(h/a)以及不同幂律指数(P)的无量纲基频，并将所得结果与Jin等人 [ 24 ] 提出的三维精确解和Mantari [ 25 ] 提出的改进理论以及Fatima Zohra Zaoui [ 26 ] 等人的准三维解进行了比较。结果表明本文所有结果都有很好的一致性。对于非常厚的矩形FG板，本文结果和准3D结果 [ 26 ] 存在一些局限性。原因是对于h = a/2的情况，结构形状是块而不再是板，此时剪切变形和厚度拉伸效应所起的作用非常重要。由于x和y方向采用相同的形函数来描述剪切应变沿板厚的分布，因此该模型更适用于方板分析(h = a/2，b = a)，而不适用于矩形板(h = a/2，b = 2a)。因此对于厚矩形板，可以采用三维弹性模型。

表1. FG板无量纲基频比较 ω ˜

不同幂律指数(P)下Winkler和Pasternak地基的弹性参数对FG板的无量纲基频的影响如表2所示。考虑了四种厚度比(h/a)，即0.05、0.1、0.15和0.2。在方板的情况下，考虑Winkler-Pastarek地基的FG板无量纲基频在所有厚度比范围内与准三维解的结果一致。从表中还可以看出无量纲基频随弹性刚度参数和厚度比的增大而增大，随幂律指数(P)的增加减小，这是由于弹性地基的刚度效应会使FG板的刚度增加，而随着幂律指数的增加，FG板变软。此外，幂律指数(厚度比)对嵌入Winkler地基的FG板的影响可以忽略不计(非常重要)，而对Pasternak地基的FG板的自由振动有很大影响。对于相同的幂律指数，

表2. FG方板在Winkler-Pasternak地基上的无量纲基频 ω ˜

频率随弹簧参数K_w而缓慢增加，随剪切层参数G_p而迅速增加。当G_p值较大时，K_w对频率的影响可以忽略不计，原因是相较于K_w，G_p前的系数 α 2 + β 2 过大。此外，G_p的变化改变了频率随幂律指数的变化趋势。在G_p= 0的情况下，频率随着梯度指数的增加而减小。但当G_p= 100时，频率随幂律指数适度上升。原因是G_p前 α 2 + β 2 系数较大导致特征值结果不准确。由此可见，Pasternak/Kerr模型在预测剪切层刚度较大的FG板自由振动响应时存在缺陷。表3通过与3D和准3D结果的对比，验证了四变量理论对嵌入弹性地基中FG板和孔隙依赖FG板的振动性能的影响。描述孔隙效应有四种模式，即无孔隙(perfect)、孔隙均匀分布(imperfect-even)、孔隙非均匀分布(imperfect-uneven)和孔隙对数非均匀分布(imperfect-loga rithmic)，厚度比(h/a)选择0.05、0.1、0.15、0.2。在不考虑Winkler-Pasternak弹性地基的情况下，计算了有和无孔隙FG板的无量纲频率。从表中可以看出均匀分布会导致无量纲基频降低，固有频率随孔隙率增加而增加，而均匀分布的固有频率随孔隙率增加而减少。

表3. 孔隙率与Winkler-Pasternak地基刚度的变化对FG方板的频率 ω ¯ 的影响( P = 1 )

对于非均匀分布，对数函数的引入会导致无量纲频率降低。剪切参数对无量纲频率的影响显著，但所有孔隙分布模式下无量纲频率变化趋势保持恒定。

表4分析了嵌入Kerr地基的FG板在不同弹性参数、厚度比(h/a)和幂律指数(P)下的固有频率变化。结果与Shahsavari的准三维解一致。与表2的结果相比，当 K s 和 K l 不变时，位于Kerr地基上的FG板的基频减小，这是因为考虑 K u = ∞ 时，Kerr地基可以退化为到Pasternak地基，因此的Kerr地基相比Pasternak地基会使FG板的刚度减小，导致频率响应减小。但随着弹簧上刚度 K u 值的增大，固有频率的减小速率变缓。图2为FG板无量纲频率与厚度比、幂律指数和孔隙率的关系，根据基频斜率的变化可以观察到 K s 的变化对基频的影响大于 K u ，增加 K u ( K s , h/a)和幂律指数对固有频率的影响较小(较大，较大)，而增加 K u ( K s , P)和h/a对自然频率的影响较小(较大，较小)。

表4. FG方板在Kerr地基上的无量纲基频 ω ˜ ( K ¯ l = 100 )

图2. 参数( K u , K s , h / a , P )对Kerr地基上FG板无量纲频率 ω ˜ 的影响( K ¯ l = 100 )

表5研究了孔隙率的不同分布模式对嵌入Kerr地基矩形FG板无量纲频率的影响。对数函数的引入对高孔隙率的频率有重要影响，而对低孔隙率频率影响较小。随着弹性刚度参数( K ¯ u , K ¯ s )值的增加，弹性基础的整体刚度增加。为了明确孔隙率对FG板在软地基和硬地基的振动特性的影响，图3为FG板无量纲频率在厚度比恒定( h / a = 0.1 )时与幂律指数和弹性刚度参数的关系。从该图可以看出，FG板的幂律指数(P)对具有孔隙均匀分布和孔隙不均匀分布的FG板振动有显著影响。在软地基中的FG板，孔隙不均匀分布比孔隙均匀分布，在高幂律指数时无量纲频率更大，而在硬地基中的FG板在所有幂律指数范围内，孔隙均匀分布的FG板基频最大。

表5. 孔隙率与Kerr地基弹性刚度参数的变化对FG方板的频率 ω ¯ 的影响( P = 1 , K ¯ l = 100 )

图3. 幂律指数和弹性刚度参数对嵌入Kerr地基的FG板无量纲频率 ω ¯ 的影响( ξ = 0.2 , P = 1 )