本文运用Mawhin延拓定理，研究了一类奇数阶泛函微分方程周期解的存在性问题，得到了新的判定准则。

奇数阶，泛函微分方程，周期解，Mawhin延拓定理

Mengyuan Lin, Jin Wu, Baili Chen^*

School of Mathematics and Statistics, Guangdong University of Technology, Guangzhou Guangdong

Received: Jan. 22^nd, 2023; accepted: Feb. 21^st, 2023; published: Feb. 28^th, 2023

Using Mawhin’s continuation theorem we study the existence of periodic solutions for a class of odd order functional differential equations, and establish a new criterion.

Keywords:Odd Order, Functional Differential Equations, Periodic Solutions, Mawhin’s Continuation Theorem

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由于泛函微分方程在许多数学模型中有着深刻的应用，因此吸引了国内外大量的学者进行研究 [ 1 ] [ 2 ] 。其中，周期解问题一直得到学者们的关注，但大部分都只是利用不动点理论、重合度理论或者临界点理论等等讨论了低阶的泛函微分方程 [ 3 ] - [ 15 ] ，涉及到高阶的却不多 [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] 。

本文将利用Mawhin延拓定理讨论一类奇数阶泛函微分方程

x ( 2 n + 1 ) ( t ) + ∑ i = 0 2 n − 1 a i ( t ) x ( i ) ( t ) + g ( x ( t − τ ( t ) ) ) = p ( t ) (1)

周期解的存在性，其中 τ ( t ) 、 a i ( t ) ( i = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n ) 和 p ( t ) 都是定义在R上具有正周期T的实连续函数。并且 a 0 ( t ) > 0 ， a 2 k − 1 ( t ) > 0 ( k = 1 , 2 , ⋯ , n ) ， g ( x ) 是定义在R上的实连续函数。

在第二节中，我们先给出一些预备知识，以及针对周期解存在性的条件做假设。在第三节中，我们将利用Mawhin延拓定理 [ 19 ] ，证明方程(1)的周期解存在性。

为了证明主要结果，我们需要介绍Mawhin延拓定理 [ 19 ] 。

令X和Y是两个Banach空间，且 L : D o m L ⊂ X → Y 是一个线性映射， N : X → Y 是一个连续映射。若映射L满足：1) d i m K e r L = c o d i m I m L < + ∞ ；2) ImL在Y上是闭的。则称映射 是指标为零的Fredholm算子。若映射L是一个指标为零的Fredholm算子，则存在连续的投影算子 P : X → X 和 Q : Y → Y ，使得 I m P = K e r L 和 I m L = K e r Q = I m ( I − Q ) 成立。令 K p 表示 L | D o m L ∩ ​ K e r P : ( I − P ) X → I m L 的逆，若 Q N ( Ω ¯ ) 是有界的且 K p ( I − Q ) N ( Ω ¯ ) ¯ 是紧的，则称映射N是 Ω ¯ 上L-紧的，其中 Ω 是X上的有界开子集。

引理2.1 ( 延拓定理) [ 19 ] 令L是一个具有零指标的Fredholm算子，N是一个在 Ω ¯ 上L-紧的非线性算子。如果

1) 对每个 λ ∈ ( 0 , 1 ) 及 x ∈ ∂ Ω , L x ≠ λ N x ；

2) 对每个 x ∈ ∂ Ω ∩ K e r L , Q N x ≠ 0 及 deg ( Q N , Ω ∩ K e r L , 0 ) ≠ 0 ；

则方程 L x = N x 在 Ω ¯ ∩ D o m L 上至少有一个解。

在呈现我们主要结果之前，先作出如下假设：

(H₁)： M 2 k − 1 = max t ∈ [ 0 , T ] a 2 k − 1 ( t ) ≥ a 2 k − 1 ( t ) ≥ m 2 k − 1 = min t ∈ [ 0 , T ] a 2 k − 1 ( t ) > 0 ( k = 1 , 2 , ⋯ , n ) ；

(H₂)： M 2 k − 2 = max t ∈ [ 0 , T ] | a 2 k − 2 ( t ) | ( k = 2 , ⋯ , n − 1 ) , M 0 = max t ∈ [ 0 , T ] a 0 ( t ) ≥ a 0 ( t ) ≥ m 0 = min t ∈ [ 0 , T ] a 0 ( t ) > 0 ；

(H₃)： M 2 n − 1 < ( π T ) 2 , M 2 n − 2 i + 1 M 2 n − 2 i − 1 < ( π T ) 2 ( i = 2 , 3 , ⋯ , n ) ；

(H₄)：存在正常数r使得 m 0 − r 2 > T δ M 0 2 T δ M 0 + M 1 ，且 A − D B > 0 和 1 − A * > 0 。其中 δ = e M 0 M 1 T / e M 0 M 1 T − 1 ， A = 1 − A * ，

A * = M 2 n − 1 ( T 2 ) 2 + M 2 n − 2 ( T 2 ) 3 + ⋯ + M 1 ( T 2 ) 2 n ,

B = ( M 2 n − 1 − m 2 n − 1 ) ( T 2 ) + M 2 n − 2 ( T 2 ) 2 + ⋯ + M 2 ( T 2 ) 2 n − 2 + ( M 1 − m 1 ) ( T 2 ) 2 n − 1 ,

D = T m 0 − r ( M 0 M 1 T δ M 0 + M 1 + m 0 + r 2 ) .

定理3.1 若假设(H₁)~(H₄)成立，且满足

lim | x | → ∞ sup | g ( x ) x | ≤ r , (2)

lim | x | → ∞ sgn ( x ) g ( x ) = + ∞ , (3)

则方程(1)至少存在一个T周期解。

为了证明定理3.1，我们要做如下准备工作。令

X : = { x | x ∈ C 2 n ( R , R ) , x ( t + T ) = x ( t ) , ∀ t ∈ R } ,

和 x ( 0 ) ( t ) = x ( t ) ，并在空间X上定义如下范数：

‖ x ‖ = max 0 ≤ j ≤ 2 n max t ∈ [ 0 , T ] | x ( 2 n ) ( t ) | .

类似地，令 Y : = { y | y ∈ C ( R , R ) , y ( t + T ) = y ( t ) , ∀ t ∈ R } ，在空间Y上定义如下范数：

‖ y ‖ 0 = max t ∈ [ 0 , T ] | y ( t ) | .

显然， ( X , ‖ ⋅ ‖ ) 和 ( Y , ‖ ⋅ ‖ 0 ) 都是Banach空间。

分别定义算子 L : X → Y 和 N : X → Y ，如下

L x ( t ) = x ( 2 n + 1 ) ( t ) ,   t ∈ R ;   N x ( t ) = p ( t ) − ∑ i = 0 2 n − 1 a i ( t ) x ( i ) ( t ) − g ( x ( t − τ ( t ) ) ) ,   t ∈ R . (4)

易知算子L是一个指标为零的Fredholm算子，再定义投影算子P、Q分别为

P x ( t ) = x ( 0 ) = x ( T ) , ∀ t ∈ R , x ∈ X ; Q y ( t ) = 1 T ∫ 0 T y ( s ) d s , ∀ t ∈ R , y ∈ Y . (5)

容易验证，算子N是一个在 Ω ¯ 上是L-紧的非线性算子。

考虑如下的辅助方程

x ( 2 n + 1 ) ( t ) + λ ∑ i = 0 2 n − 1 a i ( t ) x ( i ) ( t ) + λ g ( x ( t − τ ( t ) ) ) = λ p ( t ) , (6)

其中 0 < λ < 1 。

引理3.2 [ 20 ] 令 x ( t ) ∈ C n ( R , R ) ∩ C T ，则

x ( i ) ≤ 1 2 ∫ 0 T | x ( i + 1 ) ( s ) | d s , i = 1 , 2 , ⋯ , n − 1.

其中 n ≥ 2 ，且 C T : = { x | x ∈ C ( R , R ) , x ( t + T ) = x ( t ) , ∀ t ∈ R } 。

引理3.3 [ 21 ] 设M，λ是两个正数，且满足 0 < M < ( π T ) 2 和 0 < λ < 1 ，则对任意的函数 φ ( t ) ( t ∈ [ 0 , T ] ) ，方程

{ x ″ ( t ) + λ M x ( t ) = λ φ ( t ) x ( 0 ) = x ( T ) , x ′ ( 0 ) = x ′ ( T )

有唯一解，其表达形式如下：

x ( t ) = ∫ 0 T G ( t , s ) λ φ ( s ) d s ,

其中， α = λ M ，

G ( t , s ) = { ω ( t − s ) , ( k − 1 ) T ≤ s ≤ t ≤ k T , ω ( T + t − s ) , ( k − 1 ) T ≤ t ≤ s ≤ k T ( k ∈ N ) .

和

ω ( t ) = cos α ( t − T 2 ) 2 α sin α T 2 .

引理3.4 若定理3.1中的条件被满足，且 x ( t ) 是方程(6)的一个T周期解，则存在独立于λ的常数 D i ( i = 0 , 1 , ⋯ , 2 n ) ，使得

x ( i ) ≤ D i ,   t ∈ [ 0 , T ] ,   i = 0 , 1 , ⋯ , 2 n . (7)

证明：设 x ( t ) 是方程(6)的一个T周期解。令

ε = m 0 − r 2 − T δ M 0 2 T δ M 0 + M 1 .

由(2)知，存在一个正常数 M ¯ 1 > 0 ，使得

| g ( x ( t ) ) | ≤ r | x ( t ) | , | x ( t ) | > M ¯ 1 , t ∈ R . (8)

令

E 1 = { t | t ∈ [ 0 , T ] , | x ( t ) | 〉 M ¯ 1 } , E 2 = [ 0 , T ] \ E 1 . (9)

和

ρ = max E 2 g ( x ) . (10)

由(6)、(8)、(9)和(10)式和引理3.2，有

‖ x ( 2 n ) ‖ 0 ≤ 1 2 ∫ 0 T | x ( 2 n + 1 ) ( t ) | d t ≤ λ 2 ∫ 0 T [ | ∑ i = 0 2 n − 1 a i ( t ) x ( i ) ( t ) | + | g ( x ( t − τ ( t ) ) ) | + | p ( t ) | ] d t ≤ λ T 2 [ M 2 n − 1 ‖ x ( 2 n − 1 ) ‖ 0 + M 2 n − 2 ‖ x ( 2 n − 2 ) ‖ 0 + ⋯ + M 0 ‖ x ( 0 ) ‖ 0 ] + λ 2 ∫ 0 T | g ( x ( t − τ ( t ) ) ) | d t + λ T 2 ‖ p ‖ 0

≤ T 2 [ M 2 n − 1 T 2 + M 2 n − 2 ( T 2 ) 2 + ⋯ + M 1 ( T 2 ) 2 n − 1 ] ‖ x ( 2 n ) ‖ 0 + T 2 M 0 ‖ x ‖ 0 + 1 2 [ ∫ E 1 | g ( x ( t − τ ( t ) ) ) | d t + ∫ E 2 | g ( x ( t − τ ( t ) ) ) | d t ] + T 2 ‖ p ‖ 0 ≤ A * ‖ x ( 2 n ) ‖ 0 + T 2 ( M 0 + r + ε ) ‖ x ‖ 0 + T 2 ( ρ + ‖ p ‖ 0 ) = A * ‖ x ( 2 n ) ‖ 0 + m 0 − r 2 D ‖ x ‖ 0 + T 2 C . (11)

其中， C = ρ + ‖ p ‖ 0 , D = T m 0 − r ( M 0 M 1 T δ M 0 + M 1 + m 0 + r 2 ) 。

由假设(H₄)和(11)式，有

‖ x ( 2 n ) ‖ 0 ≤ ( 1 − A * ) − 1 ( m 0 − r 2 D ‖ x ‖ 0 + T 2 C ) . (12)

由(6)式和引理3.3，得

x ( 2 n − 1 ) ( t ) = λ ∫ 0 T G 1 ( t , t 1 ) [ ( M 2 n − 1 − a 2 n − 1 ( t 1 ) ) x ( 2 n − 1 ) ( t 1 ) + p ( t 1 ) − g ( x ( t 1 − τ ( t 1 ) ) ) ] d t 1     − λ ∫ 0 T G 1 ( t , t 1 ) ∑ i = 0 2 n − 2 a i ( t 1 ) x ( i ) ( t 1 ) d t 1 , (13)

其中， α 1 = λ M 2 n − 1 ，

G 1 ( t , t 1 ) = { ω 1 ( t − t 1 ) , ( k − 1 ) T ≤ t 1 ≤ t ≤ k T , ω 1 ( T + t − t 1 ) , ( k − 1 ) T ≤ t ≤ t 1 ≤ k T ( k ∈ N ) .

和

ω 1 ( t ) = cos α 1 ( t − T 2 ) 2 α 1 sin α 1 T 2 , ∫ 0 T G 1 ( t , t 1 ) d t 1 = 1 λ M 2 n − 1 .

由(13)式和引理3.3，得

x ( 2 n − 3 ) ( t ) = λ ∫ 0 T G 2 ( t , t 1 ) ∫ 0 T G 1 ( t 1 , t 2 ) [ p ( t 2 ) − g ( x ( t 2 − τ ( t 2 ) ) ) ] d t 2 d t 1     + λ ∫ 0 T G 2 ( t , t 1 ) ∫ 0 T G 1 ( t 1 , t 2 ) ( M 2 n − 1 − a 2 n − 1 ( t 2 ) ) x ( 2 n − 1 ) ( t 2 ) d t 2 d t 1     + λ ∫ 0 T G 2 ( t , t 1 ) [ M 2 n − 3 M 2 n − 1 x ( 2 n − 3 ) ( t 1 ) − λ ∫ 0 T G 1 ( t 1 , t 2 ) a 2 n − 3 ( t 2 ) x ( 2 n − 3 ) ( t 2 ) d t 2 ] d t 1     − λ ∫ 0 T G 2 ( t , t 1 ) ∫ 0 T G 1 ( t 1 , t 2 ) [ ∑ i = 0 2 n − 4 a i ( t 2 ) x ( i ) ( t 2 ) + a 2 n − 2 ( t 2 ) x ( 2 n − 2 ) ( t 2 ) ] d t 2 d t 1 , (14)

其中， α 2 = M 2 n − 1 M 2 n − 3 ，

G 2 ( t , t 2 ) = { ω 2 ( t − t 2 ) , ( k − 1 ) T ≤ t 2 ≤ t ≤ k T , ω 2 ( T + t − t 2 ) , ( k − 1 ) T ≤ t ≤ t 2 ≤ k T ( k ∈ N ) .

和

ω 2 ( t ) = cos α 2 ( t − T 2 ) 2 α 2 sin α 2 T 2 , ∫ 0 T G 2 ( t , t 2 ) d t 2 = M 2 n − 1 M 2 n − 3 .

利用数学归纳法，可以得到

x ′ ( t ) = λ ∫ 0 T G n ( t , t 1 ) ⋯ ∫ 0 T G 1 ( t n − 1 , t n ) [ p ( t n ) − g ( x ( t n − τ ( t n ) ) ) ] d t n ⋯ d t 1 + λ ∫ 0 T G n ( t , t 1 ) ⋯ ∫ 0 T G 1 ( t n − 1 , t n ) ( M 2 n − 1 − a 2 n − 1 ( t n ) ) x ( 2 n − 1 ) ( t n ) d t n ⋯ d t 1 + ∫ 0 T G n ( t , t 1 ) ⋯ ∫ 0 T G 2 ( t n − 2 , t n − 1 ) [ M 2 n − 3 M 2 n − 1 x ( 2 n − 3 ) ( t n − 1 ) − λ ∫ 0 T G 1 ( t n − 1 , t n ) a 2 n − 3 ( t n ) x ( 2 n − 3 ) ( t n ) d t n ] d t n − 1 ⋯ d t 1

+ ∫ 0 T G n ( t , t 1 ) ⋯ ∫ 0 T G 3 ( t n − 3 , t n − 2 ) [ M 2 n − 5 M 2 n − 3 x ( 2 n − 5 ) ( t n − 2 ) − λ ∫ 0 T G 2 ( t n − 2 , t n − 1 ) ∫ 0 T G 1 ( t n − 1 , t n ) a 2 n − 5 ( t n ) x ( 2 n − 5 ) ( t n ) d t n d t n − 1 ] d t n − 2 ⋯ d t 1 + ⋯ + ⋯ + ∫ 0 T G n ( t , t 1 ) [ M 1 M 3 x ( 1 ) ( t 1 ) − λ ∫ 0 T G n − 1 ( t 1 , t 2 ) ∫ 0 T G n − 2 ( t 2 , t 3 ) ⋯ ∫ 0 T G 1 ( t n − 1 , t n ) a 1 ( t n ) x ( 1 ) ( t n ) d t n ⋯ d t 2 ] d t 1 − λ ∫ 0 T G n ( t , t 1 ) ⋯ ∫ 0 T G 1 ( t n − 1 , t n ) [ ∑ k = 1 n − 1 a 2 k ( t n ) x ( 2 k ) ( t n ) ] d t n ⋯ d t 1 − λ ∫ 0 T G n ( t , t 1 ) ⋯ ∫ 0 T G 1 ( t n − 1 , t n ) [ a 0 ( t n ) x ( 0 ) ( t n ) ] d t n ⋯ d t 1 . (15)

其中， α i = M 2 n − 2 i + 1 M 2 n − 2 i + 3 , 2 ≤ i ≤ n ，

G i ( t , t 1 ) = { ω i ( t − t i ) , ( k − 1 ) T ≤ t i ≤ t ≤ k T , ω i ( T + t − t i ) , ( k − 1 ) T ≤ t ≤ t i ≤ k T ( k ∈ N ) .

和

ω i ( t ) = cos α i ( t − T 2 ) 2 α i sin α i T 2 , ∫ 0 T G i ( t , t i ) d t i = M 2 n − 2 i + 3 M 2 n − 2 i + 1 , 2 ≤ i ≤ n .

再根据(15)式和常数变易法，

x ( t ) = ( e M 0 M 1 T − 1 ) ∫ 0 t Φ ( t , s ) { λ ∫ 0 T G n ( s , t 1 ) ⋯ ∫ 0 T G 1 ( t n − 1 , t n ) [ p ( t n ) − g ( x ( t n − τ ( t n ) ) ) ] d t n ⋯ d t 1     + λ ∫ 0 T G n ( s , t 1 ) ⋯ ∫ 0 T G 1 ( t n − 1 , t n ) ( M 2 n − 1 − a 2 n − 1 ( t n ) ) x ( 2 n − 1 ) ( t n ) d t n ⋯ d t 1     + ∫ 0 T G n ( s , t 1 ) ⋯ ∫ 0 T G 2 ( t n − 2 , t n − 1 ) [ M 2 n − 3 M 2 n − 1 x ( 2 n − 3 ) ( t n − 1 ) − λ ∫ 0 T G 1 ( t n − 1 , t n ) a 2 n − 3 ( t n ) x ( 2 n − 3 ) ( t n ) d t n ] d t n − 1 ⋯ d t 1     + ⋯ + ⋯

  + ∫ 0 T G n ( s , t 1 ) [ M 1 M 3 x ( 1 ) ( t 1 ) − λ ∫ 0 T G n − 1 ( t 1 , t 2 ) ∫ 0 T G n − 2 ( t 2 , t 3 ) ⋯ ∫ 0 T G 1 ( t n − 1 , t n ) a 1 ( t n ) x ( 1 ) ( t n ) d t n ⋯ d t 2 ] d t 1   − λ ∫ 0 T G n ( s , t 1 ) ⋯ ∫ 0 T G 1 ( t n − 1 , t n ) [ ∑ k = 1 n − 1 a 2 k ( t n ) x ( 2 k ) ( t n ) ] d t n ⋯ d t 1 } d s   + ( e M 0 M 1 T − 1 ) ∫ o t Φ ( t , s ) { M 0 M 1 x ( s ) − λ ∫ 0 T G n ( s , t 1 ) ⋯ ∫ 0 T G 1 ( t n − 1 , t n ) [ a 0 ( t n ) x ( 0 ) ( t n ) ] d t n ⋯ d t 1 } d s   + ∫ 0 T Φ ( t , s ) { λ ∫ 0 T G n ( s , t 1 ) ⋯ ∫ 0 T G 1 ( t n − 1 , t n ) [ p ( t n ) − g ( x ( t n − τ ( t n ) ) ) ] d t n ⋯ d t 1   + λ ∫ 0 T G n ( s , t 1 ) ⋯ ∫ 0 T G 1 ( t n − 1 , t n ) ( M 2 n − 1 − a 2 n − 1 ( t n ) ) x ( 2 n − 1 ) ( t n ) d t n ⋯ d t 1

  + ∫ 0 T G n ( s , t 1 ) ⋯ ∫ 0 T G 2 ( t n − 2 , t n − 1 ) [ M 2 n − 3 M 2 n − 1 x ( 2 n − 3 ) ( t n − 1 ) − λ ∫ 0 T G 1 ( t n − 1 , t n ) a 2 n − 3 ( t n ) x ( 2 n − 3 ) ( t n ) d t n ] d t n − 1 ⋯ d t 1   + ⋯ + ⋯   + ∫ 0 T G n ( s , t 1 ) [ M 3 M 1 x ( 1 ) ( t 1 ) − λ ∫ 0 T G n − 1 ( t 1 , t 2 ) ∫ 0 T G n − 2 ( t 2 , t 3 ) ⋯ ∫ 0 T G 1 ( t n − 1 , t n ) a 1 ( t n ) x ( 1 ) ( t n ) d t n ⋯ d t 2 ] d t 1   − λ ∫ 0 T G n ( s , t 1 ) ⋯ ∫ 0 T G 1 ( t n − 1 , t n ) [ ∑ k = 1 n − 1 a 2 k ( t n ) x ( 2 k ) ( t n ) ] d t n ⋯ d t 1 } d s   + ∫ 0 T Φ ( t , s ) { M 0 M 1 x ( s ) − λ ∫ 0 T G n ( s , t 1 ) ⋯ ∫ 0 T G 1 ( t n − 1 , t n ) [ a 0 ( t n ) x ( 0 ) ( t n ) ] d t n ⋯ d t 1 } d s . (16)

其中

Φ ( t , s ) = e M 0 M 1 ( s − t ) e M 0 M 1 T − 1 , Φ ( t , s ) ≤ Φ ( t , t + T ) = e M 0 M 1 T e M 0 M 1 T − 1 = δ ,

且

∫ 0 t Φ ( t , s ) d s = M 1 ( 1 − e − M 0 M 1 T ) M 0 ( e M 0 M 1 T − 1 ) ≤ M 1 M 0 ( e M 0 M 1 T − 1 ) .

由(8)、(9)、(10)、(16)式和引理3.2，得

‖ x ‖ 0 ≤ ( 1 M 0 + T δ M 1 ) { ‖ p ‖ 0 + ρ + [ M 0 − m 0 + ( r + ε ) ] ‖ x ‖ 0 + [ ( M 2 n − 1 − m 2 n − 1 ) ( T 2 ) + M 2 n − 2 ( T 2 ) 2     + ( M 2 n − 3 − m 2 n − 3 ) ( T 2 ) 3 + M 2 n − 4 ( T 2 ) 4 + ⋯ + ⋯ ( M 3 − m 3 ) ( T 2 ) 2 n − 3 + M 2 ( T 2 ) 2 n − 2     + ( M 1 − m 1 ) ( T 2 ) 2 n − 1 ] ‖ x ( 2 n ) ‖ 0 } , (17)

经化简后，有

M 0 M 1 T δ M 0 + M 1 ‖ x ‖ 0 − ( M 0 − m 0 + r + ε ) ‖ x ‖ 0 ≤ ‖ p ‖ 0 + ρ + [ ( M 2 n − 1 − m 2 n − 1 ) ( T 2 ) + M 2 n − 2 ( T 2 ) 2 + ( M 2 n − 3 − m 2 n − 3 ) ( T 2 ) 3 + ⋯ + M 2 ( T 2 ) 2 n − 2 + ( M 1 − m 1 ) ( T 2 ) 2 n − 1 ] ‖ x ( 2 n ) ‖ 0 , (18)

因此，根据假设(H₄)、(18)式和ε的取值，可得

‖ x ‖ 0 ≤ 2 ( B ‖ x ( 2 n ) ‖ 0 + C ) m 0 − r . (19)

结合(12)式和(19)式，得

( 1 − A * ) ‖ x ( 2 n ) ‖ 0 ≤ D ( B ‖ x ( 2 n ) ‖ 0 + C ) + T C 2 , (20)

因此有

( A − D B ) ‖ x ( 2 n ) ‖ 0 ≤ D C + T C 2 , (21)

其中， C = ρ + ‖ p ‖ 0 , D = T m 0 − r ( M 0 M 1 T δ M 0 + M 1 + m 0 + r 2 ) .

再由假设(H₄)和(21)式，得到

‖ x ( 2 n ) ‖ 0 ≤ D C + T C / 2 A − D B = D 2 n . (22)

联立(19)和(22)式，得

‖ x ‖ 0 ≤ 2 ( B D 2 n + C ) m 0 − r = D 0 . (23)

最后，由(22)、(23)式和引理3.2，得到

‖ x ( i ) ‖ 0 ≤ D i , ( 0 ≤ i ≤ 2 n ) .

引理3.4得证。

定理3.1的证明：设 x ( t ) 是方程(6)的一个T周期解。由引理3.4知，存在独立于λ的常数 D i ( i = 0 , 1 , ⋯ , 2 n ) ，使得(7)式成立。由(3)式知，存在正常数 M 2 > 0 ，使得

sgn ( x ) g ( x ) > 0 , | x ( t ) | > M 2 , t ∈ R . (24)

取一正常数 D ¯ > max 0 ≤ i ≤ 2 n { D i } + M 2 ，令

Ω : = { x ∈ X | ‖ x ‖ < D ¯ } .

此时 是指标为零的Fredholm算子，N是在 Ω ¯ 上L-紧的非线性算子。对任意有界的周期解 x ( t ) ，当 x ∈ ∂ Ω ∩ D o m L ， λ ∈ ( 0 , 1 ) 时，有 L x ≠ λ N x 。

当 x ∈ ∂ Ω ∩ K e r L 时，有 x = D ¯ 或 x = − D ¯ ，再结合(3)和(5)式可得

x ( i ) ( t ) = 0 , i = 1 , 2 , ⋯ , n − 1 , − 1 T ∫ 0 T [ ∑ i = 0 2 n − 1 a 0 ( t ) D ¯ + g ( D ¯ ) − p ( t ) ] d t < 0 , 1 T ∫ 0 T [ ∑ i = 0 2 n − 1 a 0 ( t ) D ¯ − g ( − D ¯ ) + p ( t ) ] d t > 0. (25)

然后由上式可知，当 x ∈ ∂ Ω ∩ K e r L 时，有

Q N x = 1 T ∫ 0 T [ − ∑ i = 0 2 n − 1 a i ( t ) x ( i ) ( t ) − g ( x ( t − τ ( t ) ) ) + p ( t ) ] d t ≠ 0. (26)

故对任意的 x ∈ ∂ Ω ∩ K e r L 和 η ∈ ( 0 , 1 ) ，有

x H ( x , η ) = − η x 2 + x T ( 1 − η ) ∫ 0 T [ − ∑ i = 0 2 n − 1 a i ( t ) x ( i ) ( t ) − g ( x ( t − τ ( t ) ) ) + p ( t ) ] d t ≠ 0. (27)

因此， H ( x , η ) 是一个同伦映射。进而有

deg ( Q N , Ω ∩ K e r L , 0 ) = deg { 1 T ∫ 0 T [ − ∑ i = 0 2 n − 1 a i ( t ) x ( i ) ( t ) − g ( x ( t − τ ( t ) ) ) + p ( t ) ] d t , Ω ∩ K e r L , 0 } = deg ( − x , Ω ∩ K e r L , 0 ) ≠ 0. (28)

根据引理2.1可知，方程 L x = N x 在 Ω ¯ ∩ D o m L 上至少存在一个解。因此，方程(1)至少存在一个 周期解。定理3.1得证。

广东省自然科学基金资助项目(2018A030313871)。

林梦媛,吴 进,陈柏立. 一类奇数阶泛函微分方程周期解的存在性Existence of Periodic Solutions for a Class of Odd Order Functional Differential Equations[J]. 理论数学, 2023, 13(02): 345-353. https://doi.org/10.12677/PM.2023.132038